Доказать что векторы взаимно перпендикулярны

18.04.202223.04.2022 admin 0 Comments

Перпендикулярность векторов

Мы можем выяснить, будут ли два каких-либо вектора взаимно перпендикулярными. Для этого нужно воспользоваться координатами векторов и некоторыми приемами, описанными в данной статье. Информация о перпендикулярности будет полезной для решения некоторых задач физики и математики.

Координаты вектора на плоскости, равного по модулю и перпендикулярного данному

Пусть на плоскости заданы координаты какого-либо вектора. Из этих координат получим координаты двух дополнительных векторов, перпендикулярных первоначальному вектору. Все три вектора будут иметь равные длины и располагаться в плоскости xOy.

Алгоритм получения координат перпендикулярных векторов

Вектор на плоскости xOy, перпендикулярный данному вектору получают так:

Графический пример

Рассмотрим небольшой графический пример (рис. 1).

На плоскости проведены три вектора: один красный и два черных и, отмечены их координаты. Рассмотрим подробнее координаты двух векторов: \(\vec\) и \(\vec\).

Векторы, изображенные черным цветом, перпендикулярны красному вектору.

Условие перпендикулярности векторов

Взаимную перпендикулярность двух векторов можно проверить, вычислив их скалярное произведение. Этот способ проверки можно применять для векторов, расположенных как на плоскости, так и в трехмерном пространстве.

Векторы будут перпендикулярными, когда их скалярное произведение равно нулю.

Пусть, известны координаты двух векторов и пусть каждый вектор имеет ненулевую длину.
Запишем условие перпендикулярности векторов.
Для двумерного случая:
\[ \large \boxed < a_\cdot b_ + a_ \cdot b_ = 0 >\]
Для трехмерного случая:
\[ \large \boxed < a_\cdot b_ + a_ \cdot b_ + a_ \cdot b_ = 0 >\]
Пользуясь любой из этих формул, можно определить одну неизвестную координату вектора.
При этом, должны быть известными остальные координаты этого вектора и все координаты второго вектора.
Примечание:
Есть такое правило: Количество неизвестных должно равняться количеству уравнений.
Чтобы однозначно определить значение неизвестной, в уравнение должна входить только одна неизвестная. Остальные величины должны быть известными.
Перпендикулярные векторы в физике
В физике перпендикулярность некоторых векторов достаточно важна.
Вот несколько примеров:
Источник
Нахождение вектора, перпендикулярного данному вектору, примеры и решения
Данная статья раскрывает смысл перпендикулярности двух векторов на плоскости в трехмерном пространстве и нахождение координат вектора, перпендикулярному одному или целой паре векторов. Тема применима для задач, связанных с уравнениями прямых и плоскостей.
Мы рассмотрим необходимое и достаточное условие перпендикулярности двух векторов, решим по методу нахождения вектора, перпендикулярному заданному, затронем ситуации по отысканию вектора, который перпендикулярен двум векторам.
Необходимое и достаточное условие перпендикулярности двух векторов
Применим правило о перпендикулярных векторах на плоскости и в трехмерном пространстве.
При условии значения угла между двумя ненулевыми векторами равным 90 ° ( π 2 радиан) называют перпендикулярными.
Что это значит, и в каких ситуациях необходимо знать про их перпендикулярность?
Установление перпендикулярности возможно через чертеж. При отложении вектора на плоскости от заданных точек можно геометрически измерить угол между ними. Перпендикулярность векторов если и будет установлена, то не совсем точно. Чаще всего данные задачи не позволяют делать это при помощи транспортира, поэтому данный метод применим только в случае, когда ничего больше о векторах неизвестно.
Большинство случаев доказательства перпендикулярности двух ненулевых векторов на плоскости или в пространстве производится с помощью необходимого и достаточного условия перпендикулярности двух векторов.
Вторая часть доказательства
Условие перпендикулярности на координатной плоскости
Применим на практике и рассмотрим на примерах.
Для решения данной задачи необходимо найти скалярное произведение. Если по условию оно будет равным нулю, значит, они перпендикулярны.
Ответ: да, заданные векторы a → и b → перпендикулярны.
Используем условие перпендикулярности двух векторов в пространстве в квадратной форме, тогда получим
Имеются случаи, когда вопрос о перпендикулярности невозможен даже при необходимом и достаточном условии. При известных данных о трех сторонах треугольника на двух векторах, возможно, найти угол между векторами и проверить его.
Нахождение вектора, перпендикулярного данному
Важно научиться находить координаты вектора, перпендикулярного заданному. Это возможно как на плоскости, так и в пространстве при условии перпендикулярности векторов.
Нахождение вектора, перпендикулярного данному в плоскости.
Ненулевой вектор a → может иметь бесконечное количество перпендикулярных векторов на плоскости. Изобразим это на координатной прямой.
Рассмотрим доказательство на примере.
Нахождение координат вектора, перпендикулярного двум заданным векторам
При решении применяется понятие векторного произведения векторов.
Разберем подробнее векторное произведение на примере задачи.
Для решения необходимо найти векторное произведение векторов. (Необходимо обратиться к пункту вычисления определителя матрицы для нахождения вектора). Получим :
Источник
Ортогональность векторов. Перпендикулярность векторов.
Вектора a и b называются ортогональными, если угол между ними равен 90°. (рис. 1).
рис. 1
Примеры задач на ортогональность векторов
Примеры плоских задач на ортогональность векторов
Найдем скалярное произведение этих векторов:
Ответ: так как скалярное произведение равно нулю, то вектора a и b ортогональны.
Найдем скалярное произведение этих векторов:
Ответ: так как скалярное произведение не равно нулю, то вектора a и b не ортогональны.
Найдем скалярное произведение этих векторов:
Примеры пространственных задач на ортогональность векторов
Так в случае пространственной задачи для векторов a = < a_x ; a_y ; a_z > и b = < b_x ; b_y ; b_z >, условие ортогональности запишется следующим образом:
Найдем скалярное произведение этих векторов:
Ответ: так как скалярное произведение равно нулю, то вектора a и b ортогональны.
Найдем скалярное произведение этих векторов:
Ответ: так как скалярное произведение равно нулю, то вектора a и b ортогональны.
Найдем скалярное произведение этих векторов:
Ответ: вектора a и b будут ортогональны при n = 2.
Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!
Добро пожаловать на OnlineMSchool.
Меня зовут Довжик Михаил Викторович. Я владелец и автор этого сайта, мною написан весь теоретический материал, а также разработаны онлайн упражнения и калькуляторы, которыми Вы можете воспользоваться для изучения математики.
Источник
Смешанное произведение трёх векторов
§ 33. Смешанное произведение трёх векторов
Тройкой векторов называются три вектора, если указано, какой из них считается первым, какой вторым и какой третьим. Тройку векторов записывают в порядке нумерации; например, запись а, b, с означает, что вектор а считается первым, b — вторым, с — третьим.
Тройка некомпланарных векторов а, b, с называется правой, если составляющие её векторы, будучи приведены к общему началу, располагающи в порядке нумерации аналогично тому, как расположены большой, указательный и средний пальцы правой руки. Если векторы а, b, с расположены аналогично тому, как расположены большой, указательный и средний пальцы левой руки, то тройка этих векторов называется левой.
Смешанным произведением трёх векторов а, b, с называется число, равное векторному произведению [ab], умноженному скалярно на вектор с, т. е. [ab] с.
Имеет место тождество: [ab] с = а [ab], ввиду чего для обозначения смешанного произведения [ab] с употребляется более простой символ: abc. Таким образом,
Смешанное произведение abc равно объёму параллелепипеда, построенного на векторах а, b, с, взятому со знаком плюс, если тройка abc правая, со знаком минус, если эта тройка левая. Если векторы а, b, с компланарны (и только в этом случае), смешанное произведение abc равно нулю; иначе говоря, равенство abc = 0
есть необходимое и достаточное условие компланарности векторов а, b, c. Если векторы а, b, с заданы своими координатами:
то смешанное произведение abc определяется формулой
abc =,
Напомним, что система координатных осей предполагается правой (вместе с тем является правой и тройка векторов i, j, k.
865. Определить, какой является тройка а, b , с (правой или левой), если:
1) а = k, b = i, с = у; 2 )а = i, b = k, c = j;
3) a = j, b = i, c = k; 4) а = i + y, b = j, c = k;
5) a = i + j, b = i — j, c= j; 6) a = i + y, b = i — j, c = k.
866. Векторы a, b, с, образующие правую тройку, взаимно перпендикулярны. Зная, что |а| = 4, |а| = 2, |а| = 3, вычислить abc.
в каком случае здесь может иметь место знак равенства?
870. Доказать тождество
аb (с + l a + b ) = abc,
где |а| и — какие угодно числа.
871. Доказать, что векторы а, b, с, удовлетворяющие условию
872. Доказать, что необходимым и достаточным условием компланарности векторов а, b, с является зависимость
a + b + c = 0,
где по крайней мере одно из чисел , , не равно нулю.
873. Даны три вектора:
874. Установить, компланарны ли векторы а, b, с, если:
А(1; 2; —1), В (0; 1; 5), С (—1; 2; 1), D (2; 1; 3)
лежат в одной плоскости.
876. Вычислить объём тетраэдра, вершины которого находятся в точках А (2; —1; 1), В (5; 5; 4), С (3; 2; — 1) и D (4; 1; 3).
877. Даны вершины тетраэдра:
А(2; 3; 1), В(4; 1;—2), С(6; 3; 7), D(— 5; —4; 8).
Найти длину его высоты, опущенной из вершины D.
878. Объём тетраэдра = 5, три его вершины находятся в точках А(2; 1; —1), В (3; 0; 1), С (2; —1; 3). Найти координаты четвёртой вершины D, если известно, что она лежит на оси Оу.
Источник