Доказательство что прямая перпендикулярна плоскости

Перпендикулярные прямая и плоскость, признак и условия перпендикулярности прямой и плоскости.

В этой статье мы поговорим о перпендикулярности прямой и плоскости. Сначала дано определение прямой, перпендикулярной к плоскости, приведена графическая иллюстрация и пример, показано обозначение перпендикулярных прямой и плоскости. После этого сформулирован признак перпендикулярности прямой и плоскости. Далее получены условия, позволяющие доказывать перпендикулярность прямой и плоскости, когда прямая и плоскость заданы некоторыми уравнениями в прямоугольной системе координат в трехмерном пространстве. В заключении показаны подробные решения характерных примеров и задач.

Навигация по странице.

Перпендикулярные прямая и плоскость – основные сведения.

Рекомендуем для начала повторить определение перпендикулярных прямых, так как определение прямой, перпендикулярной к плоскости, дается через перпендикулярность прямых.

Говорят, что прямая перпендикулярна к плоскости, если она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости.

Также можно сказать, что плоскость перпендикулярна к прямой, или прямая и плоскость перпендикулярны.

Для обозначения перпендикулярности используют значок вида «». То есть, если прямая c перпендикулярна к плоскости , то можно кратко записать .

В качестве примера прямой, перпендикулярной к плоскости, можно привести прямую, по которой пересекаются две смежных стены комнаты. Эта прямая перпендикулярна к плоскости и к плоскости потолка. Канат в спортивном зале можно также рассматривать как отрезок прямой, перпендикулярной к плоскости пола.

В заключении этого пункта статьи отметим, что если прямая перпендикулярна к плоскости, то угол между прямой и плоскостью считается равным девяноста градусам.

На практике часто возникает вопрос: «Перпендикулярны ли заданные прямая и плоскость»? Для ответа на него существует достаточное условие перпендикулярности прямой и плоскости, то есть, такое условие, выполнение которого гарантирует перпендикулярность прямой и плоскости. Это достаточное условие называют признаком перпендикулярности прямой и плоскости. Сформулируем его в виде теоремы.

Для перпендикулярности заданных прямой и плоскости достаточно, чтобы прямая была перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в этой плоскости.

При решении задач на установление перпендикулярности прямой и плоскости также часто применяется следующая теорема.

Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к плоскости, то и вторая прямая перпендикулярна к плоскости.

В школе рассматривается много задач, для решения которых применяется признак перпендикулярности прямой и плоскости, а также последняя теорема. Здесь мы не будем на них останавливаться. В этом пункте статьи основное внимание сосредоточим на применении следующего необходимого и достаточного условия перпендикулярности прямой и плоскости.

Для перпендикулярности прямой a и плоскости необходимо и достаточно, чтобы направляющий вектор прямой a и нормальный вектор плоскости были коллинеарны.

Это условие можно переписать в следующем виде.

Доказательство этого необходимого и достаточного условия перпендикулярности прямой и плоскости основано на определениях направляющего вектора прямой и нормального вектора плоскости.

Очевидно, это условие удобно использовать для доказательства перпендикулярности прямой и плоскости, когда легко находятся координаты направляющего вектора прямой и координаты нормального вектора плоскости в зафиксированной прямоугольной системе координат в трехмерном пространстве. Это справедливо для случаев, когда заданы координаты точек, через которые проходят плоскость и прямая, а также для случаев, когда прямую определяют некоторые уравнения прямой в пространстве, а плоскость задана уравнением плоскости некоторого вида.

Рассмотрим решения нескольких примеров.

Докажите перпендикулярность прямой и плоскости .

Нам известно, что числа, стоящие в знаменателях канонических уравнений прямой в пространстве, являются соответствующими координатами направляющего вектора этой прямой. Таким образом, — направляющий вектор прямой .

Проверим выполнение необходимого и достаточного условия перпендикулярности прямой и плоскости.

Так как , то векторы и связаны соотношением , то есть, они коллинеарны. Следовательно, прямая перпендикулярна плоскости .

Перпендикулярны ли прямая и плоскость .

Найдем направляющий вектор заданной прямой и нормальный вектор плоскости, чтобы проверить выполнений необходимого и достаточного условия перпендикулярности прямой и плоскости.

Направляющим вектором прямой является векторное произведение нормальных векторов плоскостей и . То есть, , откуда (при необходимости смотрите статью координаты вектора в прямоугольной системе координат).

Заданное уравнение плоскости в отрезках эквивалентно общему уравнению плоскости вида . Нормальным вектором этой плоскости является вектор .

Проверим коллинеарность векторов и : .

Итак, направляющий вектор прямой не коллинеарен нормальному вектору плоскости, следовательно, прямая не перпендикулярна к плоскости .

нет, прямая и плоскость не перпендикулярны.

Источник

Геометрия. 10 класс

Конспект урока

Геометрия, 10 класс

Урок №9. Признак перпендикулярности прямой и плоскости

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме.

Две прямые в пространстве называются перпендикулярными, если угол между ними равен 90º.

Прямая называется перпендикулярной к плоскости, если она перпендикулярная к любой прямой, лежащей в этой плоскости.

Лемма о перпендикулярности двух прямых к третьей прямой: если одна из двух параллельных прямых перпендикулярная к третьей прямой, то и другая прямая перпендикулярна к этой прямой.

Теорема о параллельных прямых, перпендикулярных плоскости: если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к плоскости, то и другая прямая перпендикулярна к этой плоскости.

Признак перпендикулярности прямой и плоскости: если прямая перпендикулярная к двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна к этой плоскости.

Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф. Кадомцев С. Б. и др. Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия. 10–11 классы: учеб. для общеобразоват. организаций: базовый и углубл. уровни. – 4-е изд. – М.: Просвещение, 2017. – 255 с.

Глазков Ю. А., Юдина И. И., Бутузов В. Ф. Рабочая тетрадь по геометрии для 10 класса. Базовый и профильный уровень. – М.: Просвещение, 2017. – 160 с.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Для того чтобы проверить перпендикулярность прямой к плоскости достаточно проверить перпендикулярность лишь к двум пересекающимся прямым, лежащим в этой плоскости.

Для доказательства рассмотрим прямую a, перпендикулярная к прямым p и q, лежащим в плоскости α и пересекающимся в точке О (рис. 1).

Сначала рассмотрим случай, когда прямая a проходит через точку О (рис. 2). Проведем через точку О прямую l, параллельную прямой m. Если m проходит через точку О, то в качестве l возьмем саму m.

Отметим на прямой a точки A и B так, чтобы точка O была серединой отрезка AB. Затем проведем в плоскости α прямую, пересекающую прямые p, q и l соответственно в точках P, Q и L.

Так как отрезок AO равен OB и прямая a перпендикулярна к прямым p и q, то p и q являются серединными перпендикулярами к отрезку AB. Поэтому отрезок AP равен BP и AQ равен BQ. Следовательно, треугольник APQ равен треугольнику BPQ по трем сторонам. Отсюда получаем, что угол APQ равен углу BPQ.

Треугольники APL и BPL равны по двум сторонам и углу между ними, так как отрезок AP равен BP, PL – общая сторона и угол APL равен углу BPL. Значит, отрезок AL равен BL. Значит, треугольник ABL – равнобедренный, а его медиана LO является и высотой, т.е. l перпендикулярна прямой a.

По лемме о перпендикулярности двух прямых к третьей прямой m будет перпендикулярна прямой a. Поэтому a перпендикулярна к любой прямой m плоскости α.

Теперь рассмотрим случай, когда прямая а не проходит через точку O (рис. 3). Проведем через точку O прямую a₁, параллельную a. По лемме о перпендикулярности двух прямых к третьей, получим, что прямая a₁ перпендикулярна прямым p и q. Поэтому по доказанному в первом случае a₁ перпендикулярна плоскости α.

По теореме о параллельных прямых, перпендикулярных плоскости a перпендикулярна к плоскости α.

Теорема доказана.

Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля

Пример 1. Докажем, что прямые CA₁ и BD, проходящие через вершины куба ABCDA₁B₁C₁D₁, перпендикулярны (рис. 4).

Рассмотрим плоскость ACC₁ и прямую BD. Так как прямая BD перпендикулярна прямым AA₁ и AC, то по признаку перпендикулярности прямой и плоскости, прямая BD перпендикулярна ACC₁.

Следовательно, прямая BD перпендикулярна любой прямой в ACC₁. В частности, прямая BD перпендикулярна прямой CA₁. Что и требовалось доказать.

Тестовый вопрос №5. Верно ли, что если прямая перпендикулярна каким-нибудь двум прямым плоскости, то она перпендикулярна этой плоскости?

Решение. Воспользуемся признаком перпендикулярности прямой и плоскости: если прямая перпендикулярная к двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна к этой плоскости. В нем сказано, что прямые в плоскости должны пересекаться. В условии подобного не сказано, поэтому утверждение неверно.

Тестовый вопрос №7. Треугольник АВС – равносторонний, CD – медиана, MD перпендикулярно плоскости ABC. AB = 2√3, MD = 4. Найти MC.

Решение. Рассмотрим треугольник ABC. Он равносторонний. Это означает, что его медиана так же является высотой и биссектрисой. Рассмотрим треугольник ADC. Он прямоугольный, т.к. DC медиана и высота. Сторона AD равна √3. По теореме Пифагора вычислим длину стороны DC: .

Далее рассмотрим треугольник MDC, он прямоугольный, т.к. MD перпендикулярна плоскости ABC. Воспользовавшись теоремой Пифагора, найдем MC: .

Источник

Доказательство что прямая перпендикулярна плоскости

Углы бывают острые, прямые и тупые.

Угол с градусной мерой 90° называется прямым. Если угол меньше 90°, его называют острым, а если больше 90° — тупым. Угол, равный 180° (то есть образующий прямую линию), называют развёрнутым.

Два угла с одной общей стороной называются смежными.

На рисунке луч ОС делит развёрнутый ∡AOB =180° на две части, образуя тупой ∡1 и острый ∡2.

Поэтому если один из смежных углов прямой, то второй также оказывается прямым: 180° – 90° = 90°

При пересечении двух прямых образуются четыре угла:

Обе стороны ∡1 также являются сторонами ∡3, а стороны ∡2 продолжают стороны ∡4. Такие углы называют вертикальными.

∡1 и ∡2 — смежные, как и ∡1 и ∡4. Следовательно:
∡1 + ∡2 = 180°
∡1 + ∡4 = 180°
∡2 = ∡4

То же справедливо и для ∡1 и ∡3.

Прямые, пересекающиеся под прямым углом, называются перпендикулярными.

∡1 равен 90°, остальные углы оказываются для него либо смежными, либо вертикальными, а значит, тоже равными 90°.

Перпендикулярность прямых принято обозначать так: a⟂b

Изучайте математику вместе с преподавателями домашней онлайн-школы «Фоксфорда»! По промокоду GEOM72021 вы получите неделю бесплатного доступа к курсу геометрии 7 класса, в котором изучаются перпендикулярные прямые!

Теорема о перпендикулярных прямых

Через каждую точку прямой можно провести перпендикулярную ей прямую, притом только одну.

Построим доказательство теоремы о перпендикулярных прямых «от противного», то есть для начала предположим, что утверждение неверно.

Возьмём прямую a, отметим на ней точки О и B. От луча OB отложим ∡BOA = 90°. Таким образом, отрезок OA будет находиться на прямой, перпендикулярной а.

Теперь предположим, что в той же полуплоскости существует другой перпендикуляр к а, проходящий через О. Назовём его OK. ∡BOK и ∡BOA, равны 90° и лежат в одной полуплоскости относительно луча OB. Но от луча OB в данной полуплоскости можно отложить только один прямой угол. Поэтому другой прямой, проходящей через О и перпендикулярной a, не существует. Теорема доказана.

Свойство перпендикулярных прямых

Две прямые, перпендикулярные третьей, не пересекаются.

Пусть a⟂b и a⟂c. b и с не пересекаются, ведь если бы существовала точка их пересечения, значит, через неё проходили бы две прямые, перпендикулярные a, что невозможно согласно теореме о перпендикулярных прямых. Следовательно, b||с.

У нас вы сможете учиться в удобном темпе, делать упор на любимые предметы и общаться со сверстниками по всему миру.

Попробовать бесплатно

Интересное по рубрике

Найдите необходимую статью по тегам

Подпишитесь на нашу рассылку

Мы в инстаграм

Домашняя онлайн-школа
Помогаем ученикам 5–11 классов получать качественные знания в любой точке мира, совмещать учёбу со спортом и творчеством

Посмотреть

Рекомендуем прочитать

Реальный опыт семейного обучения

Звонок по России бесплатный

Посмотреть на карте

Если вы не нашли ответ на свой вопрос на нашем сайте, включая раздел «Вопросы и ответы», закажите обратный звонок. Мы скоро свяжемся с вами.

Источник

Признак перпендикулярности прямой и плоскости

Урок 17. Геометрия 10 класс ФГОС

В данный момент вы не можете посмотреть или раздать видеоурок ученикам

Чтобы получить доступ к этому и другим видеоурокам комплекта, вам нужно добавить его в личный кабинет, приобрев в каталоге.

Получите невероятные возможности

Конспект урока «Признак перпендикулярности прямой и плоскости»

На прошлых уроках вы познакомились с понятием прямой перпендикулярной к плоскости.

Прямая называется перпендикулярной к плоскости, если она перпендикулярна к любой прямой, лежащей в этой плоскости.

Но, так как плоскость содержит бесконечно много прямых, становится невозможным проверить перпендикулярность данной прямой ко всем прямым плоскости. И вообще, возникают сомнения в том, что такая прямая есть.

Но мы с вами приводили примеры прямых перпендикулярных к плоскости из жизни.

Очевидно, есть способ построения таких прямых. В этом помогает признак перпендикулярности прямой и плоскости.

И звучит он так: если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна к этой плоскости.

Докажем это утверждение.

Но перед этим вспомним свойство, которое активно будем применять при доказательстве. А именно свойство серединного перпендикуляра к отрезку.

Серединным перпендикуляром к отрезку называется прямая, проходящая через середину данного отрезка и перпендикулярная к нему.

Ну, а каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку равноудалена от концов этого отрезка.

Итак, рассмотрим плоскость α; прямые p и q, лежащие в ней и пересекающиеся в точке О; а также прямую a, перпендикулярную к прямым p и q.

Нужно доказать, что прямая a перпендикулярна к плоскости α. То есть перпендикулярна к произвольной прямой m плоскости α.

Рассмотрим случай, когда прямая a проходит через точку О. И через точку О проведём прямую l параллельную прямой m.

Далее отметим на прямой a точки А и B так, чтобы точка О являлась серединой отрезка АB, и проведём в плоскости α прямую пересекающую прямые p, q и l в точках P, Q и L соответственно.

Так как прямая a перпендикулярна к прямым p и q и точка О является серединой отрезка АB, то можно сказать, что прямые p и q являются серединными перпендикулярами к отрезку АB.

Тогда, точка P равноудалена от концов отрезка АB, то есть равны отрезки AP и BP. Аналогично, точка Q равноудалена от концов отрезка АB, и равны отрезки AQ и BQ.

Тогда треугольники APQ и BPQ равны по трём сторонам. Отсюда равны углы APQ и BPQ.

Теперь рассмотрим треугольники APL и BPL. Они равны по двум сторонам и углу между ними.

Тогда равны отрезки AL и BL. Это означает, что точка L равноудалена от концов отрезка AB, а прямая l является серединным перпендикуляром к отрезку АB.

Тем самым мы получили, что прямая l перпендикулярна к прямой a.

Так как прямая m параллельна прямой l, а прямая l перпендикулярна к прямой a, то по лемме о двух параллельных прямых перпендикулярных к третьей получаем, что прямая m так же перпендикулярна к прямой a.

Мы доказали теорему для случая, когда прямая a проходит через точку О. А теперь рассмотрим случай, когда прямая a не проходит через точку О.

Проведём через точку О прямую a₁ параллельную прямой a.

Так как прямые a₁ и a параллельны, а прямая a перпендикулярна к прямым p и q, то и прямая a₁ перпендикулярна к данным прямым. А значит, по первой части доказательства, прямая a₁ перпендикулярна к плоскости α.

Но ведь прямая a параллельна прямой a₁. Тогда и прямая a перпендикулярна к плоскости α.

Что и требовалось доказать.

На примере прямоугольного параллелепипеда, например, не трудно доказать, что ребро АА₁ перпендикулярно к плоскости ABCD.

Действительно, гранями прямоугольного параллелепипеда являются прямоугольники. И можно отметить, что ребро АА1 будет перпендикулярно к ребру АБ, а также перпендикулярно к ребру АД.

Рёбра АБ и АД, в свою очередь, пересекаются в точке А и лежат в плоскости АБЦД. Это означает, что, по признаку перпендикулярности прямой и плоскости, ребро АА1 перпендикулярно к плоскости АБЦД.

Воспользуемся доказанным признаком и решим следующую задачу.

Задача. Доказать, что через любую точку пространства проходит плоскость, перпендикулярная к данной прямой.

Если точка M лежит на прямой a, то, аналогично предыдущему доказательству, через прямую a проводят две плоскости и в них проводят перпендикуляры к прямой a через точку M. Плоскость, проходящая через две проведённые прямые, и является искомой.

Стоит заметить, что плоскость γ будет единственной плоскостью проходящей через точку M и перпендикулярной к прямой a.

Посмотрим, как можно применять полученные на этом уроке знания при решении задач.

Задача. тетраэдр, где точка — середина ребра . , .

Доказать, что плоскость треугольника перпендикулярна к прямой .

Что и требовалось доказать.

Решим ещё одну задачу.

Задача. В треугольнике , см, см, медиана.

. Найти , если см.

При решении задачи мы воспользовались свойством прямоугольного треугольника. Вспомним его подробнее.

В треугольнике ABC угол C равен 90° тогда и только тогда, когда медиана CM равна половине гипотенузы AB.

Отсюда можно сформулировать два утверждения.

Если в треугольнике ABC угол C равен 90°, то медиана CM равна половине гипотенузы АB.

И второе утверждение: если медиана CM треугольника ABC равна половине гипотенузы АB, то угол C данного треугольника равен 90°.

Действительно, если угол C= 90°, то треугольник не трудно достроить до прямоугольника. И зная, что диагонали прямоугольника равны и точкой пересечения делятся пополам, можно заметить, что CM действительно равно половине AB.

Ну, а если же в треугольнике ABC медиана CM равна половине стороны AB, то она делит данный треугольник на два равнобедренных треугольника.

Равные углы треугольника ACM обозначим за α. А равные углы треугольника BCM за β.

Запишем теорему о сумме углов треугольника для треугольника ABC. Получаем, что удвоенная сумма углов α и β равна 180°. Отсюда α+β= 90°.

А величина угла C как раз таки и равна α+β и, значит, равна 90°.

Подведём итоги нашего урока.

Сегодня мы познакомились с признаком перпендикулярности прямой и плоскости.

Если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна к этой плоскости.

Так же нами были рассмотрены примеры решения геометрических задач с помощью признака изученного на этом уроке.

Источник