Докажите что а параллельна б
Параллельность прямых
Определение параллельности прямых
Начнем с главного — определимся, какие прямые параллельны согласно евклидовой геометрии. Мы недаром упомянули Евклида, ведь именно в его трудах, написанных за 300 лет до н. э., до нас дошли первые упоминания о параллельности.
Параллельными называются прямые в одной плоскости, не имеющие точек пересечения, даже если их продолжать бесконечно долго. Обозначаются они следующим образом: a II b.
Казалось бы, здесь все просто, но со времен Евклида над определением параллельных прямых и признаками параллельности прямых бились лучшие умы. Особый интерес вызывал 5-й постулат древнегреческого математика: через точку, которая не относится к прямой, в той же плоскости можно провести только одну прямую, параллельную первой. В XIX веке российский математик Н. Лобачевский смог опровергнуть постулат и указать на условия, при которых возможно провести как минимум 2 параллельные прямые через одну точку.
Впрочем, поскольку школьная программа ограничена евклидовой геометрией, вышеуказанное утверждение мы принимаем как аксиому.
На плоскости через любую точку, не принадлежащую некой прямой, можно провести единственную прямую, которая была бы ей параллельна.
Свойства и признаки параллельных прямых
Есть ряд признаков, по которым можно определить, что одна прямая параллельна другой. К счастью, свойства и признаки параллельности прямых тесно связаны, поэтому не придется запоминать много информации.
Начнем со свойств. Для этого проведем третью прямую, пересекающую параллельные прямые — она будет называться секущей. В результате у нас образуется 8 углов.
Если секущая проходит через две параллельные прямые, то:
∠4 + ∠6 = 180°; ∠3 + ∠5 = 180°.
∠1 = ∠5, ∠3 = ∠7, ∠4 = ∠8, ∠2 = ∠6.
Вышеуказанные свойства являются одновременно признаками, по которым мы можем сделать вывод о параллельности прямых. Причем достаточно установить и доказать лишь один признак — остальные будут к нему прилагаться.
А сейчас посмотрим, как все это помогает решать задачи и практиковаться в определении параллельности двух прямых.
Задача 1
Прямые MN и KP пересекают две другие прямые, образуя несколько углов. Известно, что ∠1 = 73°; ∠3 = 92°; ∠2 = 73°. Требуется найти величину ∠4.
Решение
Поскольку ∠1 и ∠2 являются соответственными, их равенство говорит о том, что MN II KP. Следовательно, ∠3 = ∠MPK = 92°.
Согласно другому свойству параллельных прямых ∠4 + ∠MPK = 180°.
Задача 2
Две параллельные прямые а и b удалены друг от друга на расстояние 27 см. Секущая к этим прямым образует с одной из них угол в 150°. Требуется найти величину отрезка секущей, расположенного между а и b.
Решение
Поскольку а II b, значит ∠MKD + ∠KDN = 180°.
Теперь рассмотрим треугольник KDM. Мы знаем, что отрезок DM представляет собой расстояние между прямыми а и b, а значит, DM ┴ b и наш треугольник является прямоугольным.
Поскольку катет, противолежащий углу в 30°, равен ½ гипотенузы, DM = 1/2DK.
Кто разбирается в геометрии,помогите пожалуйста!
Ну, достаточно нарисовать, становится все очивидно.
Доказал бы так: Любая прямая, находящаяся в плоскости а, параллельной прямой а, параллельна прямой а.
Далее: через точку В, находящаясей на прямой b, может проходить только одная приямая, параллельная прямой а.
Т.к. плоскость а параллельная прямой а, и прямая параллельная прямой а, и єти прямые имеют общую точку, а это возможно лишь в случае, когда прямая принадлежит плоскости, следует, что прямая б принадлежит плоскости б.
Вроде бы так..
следующая задача абсолютно аналогичная.
задача сводится к тому, чтобы доказать, что прямая, проходящая через отрезок ДЕ параллельная прямой, проходящей черех сторону АС. Но это следует из, насколько я понимаю, подобия треугольников.
Таким образом получается, что ДЕ параллельно АС. А если прямая параллельная прямой, находящаяся в в какой-то плоскости, то она параллельна всей плоскости, т.к. плоскость состоит из множества параллельных прямых. Вообще, там есть теорема, кажется, на которую можно сослаться, вместо последнего предложения..
НУ и третья задача
Проведем прямую «К» через точку S, которая будет параллельна отрезку АБ. Согласно какой-то таксиоме или теореме, если прямая а, параллельна прямой б, а прямая б, параллельна прямой с, то прямая с параллельна прямой а.
Таким образом, прямая К не только параллеьна АБ, но и СД.
По другой теореме можно через любые две прямые можно провести плоскость.
ЧТо мы и делаем: провоим плоскость через «К» и АБ, и проводим плоскость через «К» и СД. Т.к. S принадлежит обеим плоскостям, то прямая «К» и является пересечением двух плоскостей.