Докажите что биссектрисы параллелограмма перпендикулярны
Биссектрисы углов параллелограмма
Какими свойствами обладают биссектрисы углов параллелограмма? Для биссектрис углов, прилежащих к одной стороне параллелограмма, и для биссектрис противолежащих углов эти свойства разные.
Свойство биссектрис углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне.
Биссектрисы углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне, взаимно перпендикулярны.
Дано: ABCD — параллелограмм,
AF биссектриса ∠BAD,
DK- биссектриса ∠ADC,
1) ∠BAD+∠ADC=180º (как внутренние односторонние углы при AB ∥ CD и секущей AD).
2) Так как биссектриса угла делит его пополам, то
4) Рассмотрим треугольник ADM. Так как сумма углов треугольника равна 180º, то
90º+∠AMD=180º, откуда ∠AMD=180º- 90º=90º,
то есть биссектрисы углов параллелограмма, прилежащие к стороне AD, перпендикулярны.
Что и требовалось доказать.
В следующий раз рассмотрим свойство биссектрис противолежащих углов параллелограмма.
Биссектрисы параллелограмма
Если биссектрисы углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне перпендикулярны, то биссектрисы противолежащих углов обладают другим свойством.
Свойство биссектрис противоположных углов параллелограмма.
Биссектрисы противоположных углов параллелограмма параллельны или лежат на одной прямой.
Дано: ABCD — параллелограмм,
AF — биссектриса ∠BAD,
CN- биссектриса ∠BCD.
Доказать: AF ∥ CN или лежат на одной прямой.
1) Так как AF — биссектриса ∠BAD, CN — биссектриса ∠BCD (по условию), то
Следовательно, их половины тоже равны: ∠FAD=∠BCN.
при BC ∥ AD и секущей BC).
А так как эти углы — соответственные при прямых AF и CN и секущей BC, то AF ∥ CN (по признаку параллельности прямых).
Если все стороны параллелограмма равны, биссектрисы противоположных углов лежат на одной прямой.
В этом случае из того, что AB=BC следует, что треугольник ABC — равнобедренный с основанием AC,
а значит, ∠BAC=∠BCA (как углы при основании равнобедренного треугольника).