Докажите что биссектрисы противоположных углов параллелограмма параллельны или совпадают

Биссектрисы параллелограмма

Если биссектрисы углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне перпендикулярны, то биссектрисы противолежащих углов обладают другим свойством.

Свойство биссектрис противоположных углов параллелограмма.

Биссектрисы противоположных углов параллелограмма параллельны или лежат на одной прямой.

Дано: ABCD — параллелограмм,

AF — биссектриса ∠BAD,

CN- биссектриса ∠BCD.

Доказать: AF ∥ CN или лежат на одной прямой.

1) Так как AF — биссектриса ∠BAD, CN — биссектриса ∠BCD (по условию), то

Следовательно, их половины тоже равны: ∠FAD=∠BCN.

при BC ∥ AD и секущей BC).

А так как эти углы — соответственные при прямых AF и CN и секущей BC, то AF ∥ CN (по признаку параллельности прямых).

Если все стороны параллелограмма равны, биссектрисы противоположных углов лежат на одной прямой.

В этом случае из того, что AB=BC следует, что треугольник ABC — равнобедренный с основанием AC,

а значит, ∠BAC=∠BCA (как углы при основании равнобедренного треугольника).

Источник

Докажите что биссектрисы противоположных углов параллелограмма параллельны или совпадают?

Докажите что биссектрисы противоположных углов параллелограмма параллельны или совпадают.

В параллелограмме противоположные углы равны, значит равны и их половины.

Следовательно &lt ; BCF = EAD.

Но &lt ; EAD = &lt ; AEB, как накрест лежащие при параллельных прямых AD и ВС и секущей АЕ.

Тогда &lt ; BCF = &lt ; AEB, а это соответственные углы при прямых АЕ и FC и секущей ВС.

Следовательно, прямые АК и FC параллельны, что и требовалось доказать.

Докажите, что биссектриса внешнего угла при вершине, противоположной основанию равнобедренного треугольника, параллельна ему?

Докажите, что биссектриса внешнего угла при вершине, противоположной основанию равнобедренного треугольника, параллельна ему.

Противоположные углы четырехугольника попарно равны?

Противоположные углы четырехугольника попарно равны.

Докажите, что биссектриса внутреннего угла параллелограмма отсекает от параллелограмма равнобедренный треугольник?

Докажите, что биссектриса внутреннего угла параллелограмма отсекает от параллелограмма равнобедренный треугольник.

Может ли этот треугольник быть еще и равносторонним.

Докажите что если биссектриса одного из внешних углов треугольника параллельна противоположной стороне треугольника то этот треугольник равнобедренный?

Докажите что если биссектриса одного из внешних углов треугольника параллельна противоположной стороне треугольника то этот треугольник равнобедренный.

Противоположные углы четырёхугольника равны докажите что он параллелограмм?

Противоположные углы четырёхугольника равны докажите что он параллелограмм.

Докажите что в параллелограмме противоположные стороны равны и противоположные углы равны?

Докажите что в параллелограмме противоположные стороны равны и противоположные углы равны.

2 параллельные прямые пересечены секущей докажите что биссектрисы накрест лежащих углов параллельны?

2 параллельные прямые пересечены секущей докажите что биссектрисы накрест лежащих углов параллельны.

Докажите, что биссектрисы двух соседних углов параллелограмм перпендикулярны?

Докажите, что биссектрисы двух соседних углов параллелограмм перпендикулярны.

В четырёхугольнике ABCD проведены биссектриса угла А и биссектриса угла В?

В четырёхугольнике ABCD проведены биссектриса угла А и биссектриса угла В.

Биссектриса угла А пересекает сторону ВС в точке М, а биссектриса угла В — сторону AD в точке N.

Известно, что MCDN — параллелограмм.

Докажите, что ABCD — параллелограмм.

Биссектрисы углов в и с параллелограмма пересекаются на стороне АD?

Биссектрисы углов в и с параллелограмма пересекаются на стороне АD.

Докажите что AD = 2AB.

Составим систему 2x + 2y = 96 xy = 540 И решим ее Ответом будет пара чисел 18 и 30 или 25 и 23.

Думаю, из рисунка все ясно без лишних слов.

Прямая m принадлежит обеим плоскостям, все общие точки плоскостей альфа и бета принадлежат прямой m. Точка М одновременно принадлежит прямой а, плоскости альфа и плоскости бетта. Все общие точки плоскостей альфа и бетта принадлежат прямой m. Поэто..

1)АВD ABC 2)ABD BDC 3)ABE ECD.

А) 1 = 40 2 = 50 б) 1 = 65 2 = 65 в) 1 = 45 2 = 45.

Авиапочта, метеоусловия, полдома, пятидесятилетие, времяисчисление, горицвет, рособрннадзор, фотовыставка, мосжилстрой.

Источник

Биссектриса параллелограмма — свойства, признаки и теоремы

Аксиома параллельности прямых, которая приведена Евклидом в книге «Начала», служит основой для доказательства многих свойств биссектрисы параллелограмма. О них знали пифагорейцы. Но понятие о самой фигуре ввел именно Евклид. Она представляет собой четырехугольник с параллельными противоположными сторонами.

Равнобедренный треугольник в параллелограмме

Биссектриса параллелограмма может быть проведена из вершины острого или тупого угла фигуры. Доказательство теоремы о равнобедренности образуемых прямой треугольников в этих случаях имеет аналогичный порядок. Чтобы доказать утверждение, нужно знать признак равнобедренности треугольника:

С помощью аналогичных рассуждений можно доказать, что биссектриса тупого угла параллелограмма делит противоположную сторону на отрезки и отсекает от него равнобедренный треугольник.

Точка пересечения прямых

Согласно свойству, проведенные из смежных углов параллелограмма биссектрисы пересекаются в точке на противоположной стороне, если она в 2 раза больше меньшей. Доказать это утверждение можно следующим способом:

Доказательство свойства позволяет предположить, что биссектрисы смежных углов пересекаются внутри либо вне параллелограмма. При этом одна сторона больше или меньше половины другой. Если ее величина больше половины соседней, значит прямые пересекутся внутри фигуры.

Биссектрисы, проведенные через смежные углы, пересекаются с продолжением противоположных сторон параллелограмма в вершинах ромба. В зависимости от величины другой стороны, ромб совпадает с ним либо обладает большим или меньшим периметром. Если частить с построением этой фигуры, то длины сторон параллелограмма будут бесконечными.

Свойства односторонних углов

Параллелограмм АВСД имеет смежные углы при параллельных прямых АВ и СД, обозначенные а1 и а2. Для доказательства теоремы о перпендикулярности биссектрис нужно знать свойства смежных углов, сумма которых равна 180 градусам.

Поскольку биссектрисы можно провести внутри острого или тупого угла параллелограмма, то величину смежного с ним внешнего угла можно сложить, получив 180 градусов. Если обозначить их через АО и ДЕ, то углы ОАВ и ЕДС будут равны половинам а1 и а2 соответственно. Так как а1 + а2 = 180, то (а1 + а2) / 2 = 90, значит АО и ДЕ образуют прямой угол АКД.

Применять свойство биссектрис можно при нахождении периметра фигуры. Должны быть известны данные о соотношениях или длинах отрезков, образованных при пересечении противолежащей стороны биссектрисой. Например, она делит на отрезки ВК и КС сторону параллелограмма ABCD, величины которых известны.

Формула определения периметра будет иметь вид: P=2 (n+n+m). Где ВС=BК+КC=n+m, а АВ=ВК=n по свойству биссектрисы. С учетом признака равнобедренности треугольника можно построить эту прямую, дополнив рисунок фигуры без транспортира с помощью циркуля.

Противолежащие углы и биссектрисы

Согласно свойству параллельных прямых, биссектрисы a и b проходят параллельно друг другу. Они образуют внутри фигуры со сторонами mnkp другой параллелограмм, следовательно, он обладает параллельными противоположными сторонами. Прямые, на которых они лежат, соответствуют сторонам исходной фигуры, поэтому ее биссектрисы a и b являются равными.

Углы, которые образованы отрезками a и m, а также b и k, согласно свойствам биссектрис и параллелограммов, равны. Противолежащие равные по величине углы, образованные отрезками mp и nk, можно разделить пополам. Прямая b, пересекающая отрезки n и p, образует с ними накрест лежащие углы, признак которых состоит в их равенстве. Они равны разделенным пополам противоположным и являются соответственными при параллельных прямых n и p.

Вершины образуемого прямоугольника

Биссектрисы параллелограмма пересекаются в точках, представляющих собой вершины прямоугольника, что можно доказать следующим образом:

Аналогичным способом можно доказать параллельность других сторон прямой СД. Следовательно, диагональ КР образованного биссектрисами параллелограмма прямоугольника КМРО содержит точки Х и Т. Доказательство предполагает следующее равенство: КР = КХ + ХТ + ТР = ХС + СД + ТД = ВС + СД, поэтому величина диагонали равна сумме двух смежных сторон параллелограмма.

Ромб и его диагонали

Параллелограмм, имеющий биссектрису, которая совпадает с его диагональю, представляет собой ромб. Чтобы доказать это, нужно провести диагональ AC, соединяющую противоположные вершины ABCD. Способ доказательства теоремы основан на равенстве противолежащих углов параллелограмма.

Согласно свойству биссектрисы, отрезок АС делит пополам углы BCD и BAD. Они имеют одинаковую величину, поскольку противоположные углы равны. Диагональ АС — основание треугольников ACB и ACD. Согласно признаку равнобедренности АВ и АС, а также AD и CD, равны между собой. По свойству равенства противоположных сторон параллелограмма AB = CD и AD = BC.

Фигура ABCD, представляющая собой по условию параллелограмм, имеет равные по величине AB, AD, BC и CD в соответствии с доказательством. Отсюда следует, что параллелограмм ABCD по определению ромб. В нем биссектриса АС — это его диагональ.

Примеры решения задач

Биссектрисы смежных углов параллелограмма пересеклись в точке на его противолежащей стороне. Зная его меньшую сторону, можно найти большую, а также наоборот. Допустим, что длина меньшей стороны фигуры составляет 5 сантиметров.

Обозначив вершины фигуры A, B, C, D, а точку на AD буквой Р, достаточно иметь в виду, что AD=AР+РD=AB+CD. Это доказывает признак равенства накрест лежащих углов СВР и АРВ, а также ВСР и СРD при параллельных прямых. Формула для нахождения большей стороны будет иметь вид: AD=2AB=10, поскольку AB = CD. При необходимости найти меньшую можно по формуле: AD=AB/2.

По условию задачи биссектриса, исходящая из острого угла параллелограмма, разделяет его противоположную сторону на отрезки 73 мм и 54 мм, если считать от вершины тупого угла. Требуется вычислить периметр параллелограмма ABCD. Точка Е делит сторону ВС на отрезки заданной длины, поскольку АЕ — биссектриса угла ВАD. Эта прямая представляет собой секущую для параллельных AD и BC.

Отсекая равнобедренный треугольник АВЕ, биссектриса ВЕ является его основанием, поэтому сторона параллелограмма АВ равна отрезку ВЕ, длина которого по условию 73 мм. В сумме ВЕ и ЕС равны ВС, что составляет 127 мм. Отсюда периметр ABCD соответствует удвоенной сумме его сторон: Р = 2 (73+127) = 400 мм. Чтобы найти большую сторону параллелограмма ABCD при известном периметре 128 мм, можно использовать аналогичное доказательство равнобедренности треугольника.

По условию соотношение отрезков, образуемых точкой пересечения биссектрисы DЕ с противоположной стороной ВС, равно 4:3, если считать от острого угла при вершине А. Из равенства противоположных сторон ABCD и признака равнобедренного треугольника следует AD=BC=АЕ=4х, а ЕВ=3х, поэтому CD=АЕ+ЕВ=4х+3х=7х. Зная периметр ABCD, можно составить уравнение Р=2 (7х+4х)=128. Отсюда 22х=128, а х=32, поэтому большая сторона параллелограмма CD=32*7=224 мм.

Источник

Докажите, что биссектрисы двух противоположных углов параллелограмма с неравными смежными сторонами параллельны?

Докажите, что биссектрисы двух противоположных углов параллелограмма с неравными смежными сторонами параллельны.

Угол 1 = углу 2, но угол 2 = углу 3 при параллельных прямых АД и ВС и секущей АМ.

Так же Угол 4 = углу 5 и равен углу 6 как угол при параллельных АД и ВС и секущей CN.

Но угол А равен углу С, как противоположные углы параллелограмма, значит 1 = 2 = 4 = 5 = 3 = 6.

Отсюда выходит, что угол 2 равен углу 6.

Но это соответственные углы при прямых АМ и CN и секущей АД.

Значит АМ параллельна CN.

Докажите 6 свойство параллелограмма : Биссектрисы противоположных углов параллельны или совпадают?

Докажите 6 свойство параллелограмма : Биссектрисы противоположных углов параллельны или совпадают.

Как расположены биссектрисы угловпараллелограмма (с неравными смежными сторонами), противолежащих друг другу?

Как расположены биссектрисы углов

параллелограмма (с неравными смежными сторонами), противолежащих друг другу?

Пожалуйста, срочно нужно.

Докажите, что если биссектриса одного из внешних углов треугольника параллельна противоположной стороне, то это треугольник равнобедренный?

Докажите, что если биссектриса одного из внешних углов треугольника параллельна противоположной стороне, то это треугольник равнобедренный.

В параллелограмме проведены биссектрисы противоположных углов?

В параллелограмме проведены биссектрисы противоположных углов.

Докажите, что отрезки биссектрис, заключенные внутри параллелограмма, равны.

Точка пересечения биссектрис двух углов параллелограмма, прилежащих к стороне, принадлежит противоположной стороне?

Точка пересечения биссектрис двух углов параллелограмма, прилежащих к стороне, принадлежит противоположной стороне.

Большая сторона параллелограмма равно 14.

Найдите меньшую сторону параллелограмма.

Докажите что в параллелограмме противоположные стороны и углы равны?

Докажите что в параллелограмме противоположные стороны и углы равны.

Докажите, что биссектриса двух углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне, взаимно перпендикулярны?

Докажите, что биссектриса двух углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне, взаимно перпендикулярны.

Докажите что в параллелограмме противоположные стороны равны и противоположные углы?

Докажите что в параллелограмме противоположные стороны равны и противоположные углы.

Докажите что биссектрисы двух смежных углов взаимно перпендикулярны?

Докажите что биссектрисы двух смежных углов взаимно перпендикулярны.

Составим систему 2x + 2y = 96 xy = 540 И решим ее Ответом будет пара чисел 18 и 30 или 25 и 23.

Думаю, из рисунка все ясно без лишних слов.

Прямая m принадлежит обеим плоскостям, все общие точки плоскостей альфа и бета принадлежат прямой m. Точка М одновременно принадлежит прямой а, плоскости альфа и плоскости бетта. Все общие точки плоскостей альфа и бетта принадлежат прямой m. Поэто..

1)АВD ABC 2)ABD BDC 3)ABE ECD.

А) 1 = 40 2 = 50 б) 1 = 65 2 = 65 в) 1 = 45 2 = 45.

Авиапочта, метеоусловия, полдома, пятидесятилетие, времяисчисление, горицвет, рособрннадзор, фотовыставка, мосжилстрой.

Источник

Свойства биссектрис параллелограмма (геометрия, 8-й класс)

Класс: 8

Цель: доказать свойства биссектрис параллелограмма и рассмотреть их применение к решению задач.

I. Повторение (устно)

1. Сформулируйте определение параллелограмма.

2. Сформулируйте свойства параллелограмма.

3. Сформулируйте признаки параллелограмма.

4. Сформулируйте свойства параллельных прямых.

II. Изучение нового материала

Учащиеся самостоятельно по парам решают задачи на доказательство (3-5 мин) с последующей проверкой на доске и формулируют свойства биссектрис параллелограмма (каждый ряд решает по одной задаче). Оформление доказательств к задачам записывает учитель на доске под диктовку учеников.

Задача № 1. Биссектриса угла параллелограмма пересекает противоположную сторону. Определите вид полученного треугольника.

Задача № 2. Найдите угол образованный биссектрисами углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне.

Задача № 3. Определите взаимное расположение прямых на которых лежат биссектрисы противоположных углов.

Свойства биссектрис параллелограмма:

1). Биссектриса параллелограмма отсекает от него равнобедренный треугольник.

2). Биссектрисы углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне, перпендикулярны.

3). Биссектрисы противоположных углов параллелограмма параллельны или лежат на одной прямой.

III. Закрепление изученного материала

Учащиеся решают задачи на применение свойств биссектрис параллелограмма. (Тексты задач и чертежи к ним выдаются каждому ученику.) Оформление решений к задачам записывают ученики на доске.

IV. Итог урока (ученики формулируют изученные свойства)

V. Домашнее задание

Конспект (свойства биссектрис параллелограмма), задачи:

2. Дано: ABCD – параллелограмм, AM – биссектриса BAD, AM : MC = 5 : 3, P_OBC > P_OCD на 6 см. Найти стороны и периметр параллелограмма.

Приложения к уроку. Раздаточный материал.

СВОЙСТВА БИССЕКТРИС ПАРАЛЛЕЛОГРАММА

Задача № 1. Биссектриса угла параллелограмма пересекает противоположную сторону. Определите вид полученного треугольника.

Задача № 2.Найдите угол образованный биссектрисами углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне.

Задача № 3.Определите взаимное расположение прямых на которых лежат биссектрисы противоположных углов.

ПРИМЕНЕНИЕ СВОЙСТВ БИССЕКТРИС ПАРАЛЛЕЛОГРАММА

Биссектрисы углов А и B параллелограмма ABCD пересекаются в точке K. Найдите длину BK, если B, AB = 19 см.

Биссектрисы углов А и D параллелограмма ABCD пересекаются в точке, лежащей на стороне ВС. Найдите периметр параллелограмма, если ВС = 34 см.

Докажите, что при пересечении биссектрис параллелограмма образуется прямоугольник.

V. Домашнее задание.

Конспект (свойства биссектрис параллелограмма), задачи:

4. Дано: ABCD – параллелограмм, AM – биссектриса BAD, AM : MC = 5 : 3, P_OBC > P_OCD на 6 см. Найти стороны и периметр параллелограмма.

Источник