Докажите что биссектрисы соседних углов параллелограмма взаимно перпендикулярны
Биссектрисы углов параллелограмма
Какими свойствами обладают биссектрисы углов параллелограмма? Для биссектрис углов, прилежащих к одной стороне параллелограмма, и для биссектрис противолежащих углов эти свойства разные.
Свойство биссектрис углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне.
Биссектрисы углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне, взаимно перпендикулярны.
Дано: ABCD — параллелограмм,
AF биссектриса ∠BAD,
DK- биссектриса ∠ADC,
1) ∠BAD+∠ADC=180º (как внутренние односторонние углы при AB ∥ CD и секущей AD).
2) Так как биссектриса угла делит его пополам, то
4) Рассмотрим треугольник ADM. Так как сумма углов треугольника равна 180º, то
90º+∠AMD=180º, откуда ∠AMD=180º- 90º=90º,
то есть биссектрисы углов параллелограмма, прилежащие к стороне AD, перпендикулярны.
Что и требовалось доказать.
В следующий раз рассмотрим свойство биссектрис противолежащих углов параллелограмма.
Биссектрисы параллелограмма
Если биссектрисы углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне перпендикулярны, то биссектрисы противолежащих углов обладают другим свойством.
Свойство биссектрис противоположных углов параллелограмма.
Биссектрисы противоположных углов параллелограмма параллельны или лежат на одной прямой.
Дано: ABCD — параллелограмм,
AF — биссектриса ∠BAD,
CN- биссектриса ∠BCD.
Доказать: AF ∥ CN или лежат на одной прямой.
1) Так как AF — биссектриса ∠BAD, CN — биссектриса ∠BCD (по условию), то
Следовательно, их половины тоже равны: ∠FAD=∠BCN.
при BC ∥ AD и секущей BC).
А так как эти углы — соответственные при прямых AF и CN и секущей BC, то AF ∥ CN (по признаку параллельности прямых).
Если все стороны параллелограмма равны, биссектрисы противоположных углов лежат на одной прямой.
В этом случае из того, что AB=BC следует, что треугольник ABC — равнобедренный с основанием AC,
а значит, ∠BAC=∠BCA (как углы при основании равнобедренного треугольника).
Параллелограмм: свойства его биссектрисы
МУНИЦИПАЛЬНАЯ XI УЧЕНИЧЕСКАЯ НАУЧНО-ПРАКТИЧЕСКАЯ КОНФЕРЕНЦИЯ « ЮНОСТЬ: ТВОРЧЕСТВО, ПОИСК, УСПЕХ»
Аннинский муниципальный район
Тема: « Параллелограмм: свойства его биссектрисы»
Автор работы: Зубов Данил
МБОУ Аннинская СОШ № 3, 9 «А» класс
Место выполнения работы: МБОУ Аннинская СОШ № 3, 9 «А» класс,
Воронежская область, п.г.т. Анна
Научный руководитель:
Конюхова Галина Станиславовна,
учитель математики МБОУ Аннинская СОШ №3
г. АННА, 2020/2021 учебный год
3 Свойства параллелограмма……………………………………………………….….стр 6
4. Доказательство свойств биссектрисы параллелограмма………………. ……. стр 7-9
5. Способ построения биссектрисы параллелограмма без транспортира………… стр 10
6. Практическое применение свойств биссектрисы параллелограмма при
7. Проверь себя. стр 17
8. Методические аспекты решения задачи № 23 2 части ОГЭ по математике
9. Полезные советы учащимся для успешной подготовки к ОГЭ по математике. стр 19
при одинаковости прочих условий
превосходит тот, кто знает геометрию
Во время изучения темы «Параллелограмм» на уроках геометрии в 8 классе мы рассмотрели свойства и признак параллелограмма, которые были в учебнике, но когда я начал подготовку к ОГЭ и стал решать задачи из КИМов, то оказалось, что этого материала недостаточно.
У меня возник вопрос, а есть ли у параллелограмма еще свойства, которые помогут мне при решении задач. И поставил перед собой цель: изучить дополнительные свойства биссектрисы параллелограмма и показать, как их можно применить для решения задач.
Предмет исследования: параллелограмм
Объект исследования: свойства биссектрисы параллелограмма
Цель работы:
1. Формулировка и доказательство свойств биссектрисы параллелограмма, которые не изучаются в школе;
2. Применение этих свойств для решения задач.
1. Изучить историю возникновения параллелограмма и историю развития его свойств;
2. Найти дополнительную литературу по исследуемому вопросу;
3. Изучить свойства биссектрисы параллелограмма и доказать их;
4. Показать применение этих свойств для решения задач;
5. Рассмотреть применение свойств параллелограмма в жизни.
1. Работа с учебной и научно – популярной литературой, ресурсами сети Интернет;
2. Изучение теоретического материала;
3. Выделение круга задач, которые можно решать с использованием свойств биссектрисы параллелограмма;
4. Наблюдение, сравнение, анализ, аналогия.
Тема «Многоугольники» является одной из важных тем курса алгебры основной школы. Она отражена в заданиях 1-й (базового уровня) и 2-й (повышенного уровня) частях экзаменационной работы.
Практическая значимость моей работы заключается:
1. В использовании приобретенных знаний по данной теме, а также углубление их и применение к задачам;
2. В использовании навыков исследовательской работы в дальнейшей учебной деятельности.
Ключевые слова: параллелограмм, биссектриса, ОГЭ, геометрия.
2. Историческая справка
Оказывается термин «параллелограмм» греческого происхождения Parallelos — параллельный и gramme — линия. Поэтому слово «параллелограмм» можно перевести как «параллельные линии». И, согласно древнегреческому философу Проклу, был введен Евклидом. Понятие параллелограмма и некоторые его свойства были известны еще пифагорейцам.
В «Началах» Евклида доказывается следующая теорема: в параллелограмме противоположные стороны равны и противоположные углы равны, а диагональ разделяет его пополам. Евклид не упоминает о том, что точка пересечения диагоналей параллелограмма делит их пополам. Он не рассматривает ни прямоугольника, ни ромба.
Полная теория параллелограммов была разработана к концу средних веков и появились в учебниках лишь в XVII веке. Все теоремы о параллелограммах основываются непосредственно или косвенно на теореме Евклида о свойствах параллелограмма.
В учебнике геометрии мы читаем следующее определение параллелограмма: параллелограмм – это четырехугольник, у которого противолежащие стороны параллельны, т.е. лежат на параллельных прямых.
3. Свойства биссектрисы параллелограмма
Биссектриса параллелограмма — это отрезок, соединяющий вершину параллелограмма с точкой на одной из двух противоположных сторон и делящий угол при вершине пополам.
В учебнике по геометрии даны только два свойства параллелограмма:
1. Противоположные углы и стороны равны
2.Диагонали параллелограмма пересекаются и точкой пересечения делятся пополам
В различных источниках по геометрии можно встретить следующие дополнительные свойства:
1. Биссектриса угла параллелограмма отсекает от него равнобедренный треугольник;
2. Биссектрисы противолежащих углов параллелограмма лежат на параллельных прямых;
3. Биссектрисы соседних углов параллелограмма пересекаются под прямым углом;
4. Биссектрисы всех углов параллелограмма при пересечении образуют прямоугольник;
5. Биссектрисы соседних углов параллелограмма пересекаются на большей стороне параллелограмма, если она в два раза больше меньшей стороны;
6. Биссектрисы соседних углов параллелограмма пересекаются внутри параллелограмма, если меньшая сторона больше половины большей стороны;
7. Биссектрисы соседних углов параллелограмма пересекаются вне параллелограмма, если меньшая сторона меньше половины большей стороны;
8. Биссектрисы соседних углов параллелограмма могут пересекать противоположную сторону или ее продолжение.
4. Доказательство свойств биссектрисы параллелограмма
1 
. Биссектриса угла параллелограмма отсекает от него равнобедренный треугольник
Биссектриса параллелограмма отсекает от него равнобедренный треугольник.
Д 
ано: ABCD — параллелограмм, AF — биссектриса ∠ BAD, F ∈ BC.
Доказать: ∆ ABF — равнобедренный.
1) ∠ BAF= ∠ DAF (так как AF — биссектриса ∠ BAD по условию).
2) ∠ BFA= ∠ DAF (как внутренние накрест лежащие углы при BC ∥ AD м секущей AF).
РИС.3
3) Следовательно, ∠ BAF= ∠ BFA.
4) Следовательно, треугольник ABF — равнобедренный с основанием AF (по признаку).
5) Следовательно, AB=BF ч.т.д.
2. Биссектрисы углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне, взаимно перпендикулярны.
Д 
ано: ABCD — параллелограмм,
AF биссектриса ∠ BAD, DK- биссектриса ∠ ADC,
∠ BAD+ ∠ ADC=180º (как внутренние односторонние углы при AB ∥ CD и секущей AD).
∠ DAM + ∠ ADM = 0,5 ∠ BAD + 0,5 ∠ ADC = 0,5 ( ∠ BAD + ∠ ADC ) = 0,5 × 180 0 = 90 0 Рассмотрим треугольник ADM. Так как сумма углов треугольника равна 180º, то
∠ DAM+ ∠ ADM+ ∠ AMD=180º, 90º+ ∠ AMD=180º, откуда ∠ AMD=180º- 90º=90º,
т 
о есть биссектрисы углов параллелограмма, прилежащие к стороне AD, перпендикулярны
Из предыдущего доказательства можно сделать ещё два вывода:
4. Биссектрисы параллелограмма пересекутся внутри параллелограмма, если меньшая сторона больше половины соседней стороны.
5. Биссектрисы соседних углов в параллелограмме пересекутся вне параллелограмма, если меньшая сторона меньше половины соседней стороны
6 
. Биссектрисы противоположных углов параллелограмма лежат на параллельных прямых.
Дано: АВСD – параллелограмм
АК и СМ – биссектрисы
5. Способ построения биссектрисы параллелограмма без транспортира.
На ОГЭ выпускник может пользоваться только линейкой, и поэтому хочу поделиться способом построения биссектрисы параллелограмма без транспортира.
Мы узнали, что биссектриса отсекает от параллелограмма равнобедренный треугольник. Линейкой измеряем сторону АВ и откладываем это расстояние из точки В на прямой ВС, делаем засечку, обозначаем точку буквой К. Таким образом АВ = ВК. Проводим биссектрису А – АК.
6. Практическое применение свойств биссектрисы параллелограмма при решении задач.
1 (№18). Биссектрисы углов B и C параллелограмма ABCD пересекаются на стороне AD. Найдите BC, если AB=4.
Д 
ано: Биссектрисы углов B и C параллелограмма ABCD пересекаются на стороне AD. AB=4.
Решение.
По свойству биссектрисы параллелограмма △ ABK и △ CDK – равнобедренные (AB=AK, CD=DK). Следовательно, BC=AD=AK+DK=AB+CD=2AB=8.
Ответ: 8.
Т.к. BK – биссектриса ∠ ABC, то ∠ KBC= ∠ BKA, т.к. это накрест лежащие углы при параллельных прямых. Тогда: ∠ ABK= ∠ BKA=0,5(180 ∘ − ∠ BAD)=0,5(180 ∘ −60 ∘ )=60 ∘ △ ABK равносторонний, значит AB=BK=AK=6. Тогда AK:KD=6:KD=3:2 ⇒ KD=4. AD=AK+KD=10, тогда P ABCD =2 ⋅ 6+2 ⋅ 10=32
Дано: ABCD-параллелограмм, AN и BE – биссектрисы. AN =16, AB =10.
4 (№ 18). В параллелограмме ABCD биссектриса ∠ BAD пересекает сторону BC в точке K и делит ее пополам, а также пересекает продолжение стороны DC в точке L. Найдите периметр параллелограмма, если CL=3.
Дано: ABCD-параллелограмм, АК – биссектриса,
△ CKL= △ BKA и являются равнобедренными. AB=CL=3,BC=BK+KC=2 ⋅ CK=2 ⋅ CL=2 ⋅ 3=6. Тогда PABCD=2 ⋅ 3+2 ⋅ 6=18.
Дано: ABCD-параллелограмм, BK=3,
BK– биссектриса ∠ ABC,
Решение
⇒ ∠ BAD=60 ∘ ⇒ △ ABK – равносторонний, тогда AB=BK=3 ⇒ PABCD=2 ⋅ 3+2 ⋅ 5=16.
6 (№ 24). Биссектриса тупого угла параллелограмма делит противоположную сторону в отношении 4:3, считая от вершины острого угла. Найдите большую сторону параллелограмма, если его периметр равен 88.
Дано: ABCD-параллелограмм, P АВС D = 88,
ВК- биссектриса, AK:KD=4:3
Из условия задачи следует, что AK:KD=4:3. Обозначим AK=4x, KD=3x. Следовательно, AD=7x. Так как в параллелограмме противоположные стороны параллельны, то ∠ AKB= ∠ KBC как накрест лежащие при AD ∥ BC и секущей BK. Следовательно, ∠ AKB= ∠ ABK, то есть △ ABK равнобедренный: AK=AB. Отсюда AB=4x. Следовательно, периметр 88=2(4x+7x) (так как противоположные стороны параллелограмма равны), следовательно, x=4. Значит, большая сторона параллелограмма равна 7x=28.
1 случай: биссектрисы пересекаются вне параллелограмма.
Дано: ABCD – параллелограмм,
D, то △ DCN- равнобедренный
Тогда, МN= 10 – (BM+NC) = 10 – (3+3)=4 см
2 случай: биссектрисы пересекаются внутри параллелограмма
Т.к. DM – биссектриса D, то △ DCM- равнобедренный
Тогда, BN=3 см, СN=10 – 3 = 7 см,
CM= 3 см, ВМ=10 – 3 =7 см, чего быть не может, т.к. ВC=10 см
2 случай не возможен.
Ответ: 3см, 4 см, 3 см
8 
(№ 24). В параллелограмме ABCD: BC=2 ⋅ AB, AN и CM – биссектрисы, AB=4. Найдите NM.
Дано: ABCD-параллелограмм, BC=2 ⋅ AB,
AN и CM – биссектрисы, AB=4.
Внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых и секущей равны, тогда ∠ BNA= ∠ NAD, но ∠ NAD= ∠ BAN, тогда ∠ BNA= ∠ BAN и треугольник BAN – равнобедренный, AB=BN. Обозначим AB=x. Аналогично треугольник MCD – равнобедренный, x=CD=MD. BC=2x=AD, тогда NC=x=AM, следовательно, BN=x=AM; AM ∥ BN, тогда ABNM – параллелограмм, откуда заключаем, что MN=AB=4.
9. (№ 24 ОГЭ). В параллелограмме ABCD биссектрисы углов при стороне AD делят сторону ВС точками М и N так, что BM : MN = 1:5. Найдите ВС, если АВ =3
В этой задаче также возможны два случая: биссектрисы пересекаются вне параллелограмма и внутри параллелограмма.
1 случай: биссектрисы пересекаются вне параллелограмма
Дано: ABCD – параллелограмм, АМ – биссектриса А,
DN – биссектриса D, АВ=3 см, BM : MN = 1:5
Т.к. АМ- биссектриса ⦟ А, то △ АВМ – равнобедренный.
Т.к. DN – биссектриса D, то △ DCN- равнобедренный
Т. к. ВМ: МN=1:5, то на отрезок ВМ приходится 1 часть, а на отрезок MN – 5 частей,
Тогда, ВС= ВМ +МN+NC=3+15+3=21
2 случай: биссектрисы пересекаются внутри параллелограмма
Ответ: 21 см или 3,5 см
Открытый банк заданий ОГЭ
Прототип заданий 18, 23.
Биссектриса угла A параллелограмма ABCD пересекает сторону BC в точке K. Найдите периметр параллелограмма, если BK=7, CK=12.
Биссектриса угла A параллелограмма ABCD пересекает сторону BC в точке K. Найдите периметр параллелограмма, если BK=5, CK=14.
Биссектриса угла A параллелограмма ABCD пересекает сторону BC в точке K. Найдите периметр параллелограмма, если BK=8, CK=13.
Биссектриса угла A параллелограмма ABCD пересекает сторону BC в точке K. Найдите периметр параллелограмма, если BK=3, CK=19.
В параллелограмме ABCD: BK – биссектриса, BK=AK. Чему равен ∠ D? Ответ дайте в градусах.
В параллелограмме ABCD проведена биссектриса AN, точка N лежит на стороне BC, причём NC=3, AB=5. Найдите периметр параллелограмма ABCD.
24. В параллелограмме ABCD биссектрисы BK и AL пересекаются в точке O. Найдите периметр параллелограмма ABCD, если AD=10, а медиана OM в △ AOB равна 4..
24. Точка пересечения биссектрис двух углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне, принадлежит противоположной стороне. Меньшая сторона параллелограмма равна 5. Найдите его большую сторону.
ABCD –параллелограмм; K А – биссектриса; BK = 14 см; KC = 7 см. Найти: P ᴀᴃᴄᴅ
8. Методические аспекты решения задачи № 23 2 части ОГЭ по математике
Задания второй части модуля «Геометрия» направлены на проверку владения таких качеств математической подготовки выпускников, как:
умение решить планиметрическую задачу, применяя различные теоретические знания курса геометрии;
умения математически грамотно и ясно записать решение, приводя при этом необходимые пояснения и обоснования;
владения широким спектром приёмов и способов рассуждений.
Основные проверяемые требования к математической подготовке при выполнении задания 23.
Основные проверяемые требования к математической подготовке
Разделы элементов содержания
Разделы элементов требований
Максимальный балл за выполнение задания
Уметь выполнять действия с геометрическими фигурами, координатами и векторами
5. Уметь выполнять действия с геометрическими фигурами, координатами и векторами
Задания второй части считаются выполненными верно, если учащийся выбрал правильный путь решения, из письменной записи решения понятен ход его рассуждений, получен верный ответ. В этом случае ему выставляется полный балл, соответствующий данному заданию. Ход решения верный, все его шаги выполнены правильно, но даны
неполные объяснения, или допущена одна вычислительная ошибка, то учащемуся засчитывается балл, на 1 меньше указанного.
9. Полезные советы учащимся для успешной подготовки к ОГЭ по математике.
1. Не секрет, что успешнее сдает экзамен тот, кто в полном объеме владеет материалом, хорошо знаком с процедурой проведения экзамена, психологически готов к экзамену и адекватно реагирует на нестандартные ситуации.
2. Хорошо знать документы, регламентирующие проведение экзамена по математике:
«Кодификатор требований к уровню подготовки обучающихся для проведения основного государственного экзамена по математике»
«Кодификатор элементов содержания для проведения основного государственного экзамена по математике»;
«Спецификация контрольных измерительных материалов для проведения основного государственного экзамена по математике»;
«Демонстрационный вариант контрольных измерительных материалов для проведения основного государственного экзамена по математике»;
Литературу для подготовки к ОГЭ.
Список сайтов, содержащих демоверсии и позволяющие онлайн-тестироваться.
3. На основании школьного плана подготовки к экзамену, составить личный план, включив в него консультации, которые проводит учитель, расписание «пробных» ОГЭ.
4. Тщательно анализировать пробные ОГЭ. По их итогам корректировать самостоятельную подготовку к экзамену.
5. Собирать свой портфолио-папку со всеми выполненными пробниками. Вести мониторинг выполнения всех заданий пробных экзаменов.
6. Серьезное внимание уделять устному счету, который проводит учитель на уроках. Эти упражнения активизируют мыслительную деятельность, требуют осознанного усвоения учебного материала. При их выполнении развивается память, речь, внимание, быстрота реакции. Устные упражнения позволяют корректировать знания, умения и навыки учащихся, а также автоматизировать навыки простейших вычислений и преобразований.
7. Научиться «читать» условие задачи до начала решения и после ее решения для того, чтобы верно ответить на поставленный вопрос (что нужно было найти?).
Геометрия полна приключений, потому что за каждой задачей
При рассмотрении данной темы меня постоянно мучил один вопрос: почему в учебниках геометрии так мало задач на применение свойств биссектрис параллелограмма, а в сборниках для подготовки к экзаменам их довольно много?
Работая и изучая школьные учебники по геометрии авторов А.В. Погорелова, Л.С. Атанасяна, И.Ф. Шарыгина, можно сказать, что в них к теоретическим фактам (теоремам) отнесены в основном только те утверждения, которые необходимы для построения теории. При этом многие утверждения, весьма полезные для решения большого числа задач, даются как задачи на доказательство. К таким теоретическим фактам (не приведенным в учебниках) можно отнести, например, свойства биссектрисы угла параллелограмма.
Рассмотрение вопроса о свойствах биссектрис параллелограмма позволило мне приобрести новые знания. Я увидел необходимость этих свойств для решения большого количества задач. В своей работе я не только сам сформулировал, доказал свойства, но и попытался применить их к решению задач. Буду рад, если другие ребята воспользуются им.
Цель моей исследовательской работы выполнена.
11. Библиографический список
4. ПогореловА.В. Геометрия 7-9: учебник для общеобразоват. учреждений-М.: Просвещение, 2019г
5.Л.С.Атанасян и др. Геометрия. Доп. Главы к учебнику 8 кл.: учеб. пособие для учащихся школ и классов с углубл. изуч. математики. – М.: Вита-пресс, 2018
Параллелограмм: свойство его биссектрисы
Биссектриса параллелограмма — это отрезок, соединяющий вершину параллелограмма с точкой на одной из двух противоположных сторон и делящий угол при вершине пополам.
\(\bullet\) Биссектриса параллелограмма отсекает от него равнобедренный треугольник.
Выпускники, которые рассчитывают успешно сдать ЕГЭ, в обязательном порядке должны повторить тему «Свойства биссектрисы параллелограмма». Как показывает статистика, при прохождении аттестационного испытания задачи по данному разделу планиметрии вызывают сложности у большого количества учащихся. При этом задания, в которых необходимо применить свойства биссектрисы угла параллелограмма, встречаются в ЕГЭ ежегодно. Таким образом, справляться с ними должны все учащиеся.
Образовательный портал «Школково» предлагает выстроить процесс подготовки к прохождению аттестационного испытания по-новому. Занимаясь вместе с нашим ресурсом, выпускники смогут определить наиболее сложные для себя темы и ликвидировать пробелы в знаниях.
Чтобы задания ЕГЭ не вызывали трудностей, рекомендуем вначале повторить основные понятия и свойства биссектрисы параллелограмма. Найти этот материал учащиеся смогут в разделе «Теоретическая справка».
Для того чтобы окончательно понять принцип решения задач по данному разделу планиметрии, мы рекомендуем выполнить соответствующие упражнения. Большая подборка заданий различного уровня сложности представлена в разделе «Каталог». Для каждого упражнения на сайте приведен алгоритм решения и дан правильный ответ. Последовательно выполняя их, учащиеся смогут понять, как правильно применять свойства биссектрисы внутреннего угла параллелограмма.
Получать новые знания и оттачивать собственные навыки по данной теме или, например, в решении задач на тему «Прямоугольник» в ЕГЭ учащиеся могут в онлайн-режиме, находясь в Москве или любом другом российском городе. При необходимости задание можно сохранить в разделе «Избранное». Благодаря этому вы сможете быстро найти интересующие примеры и обсудить алгоритмы нахождения правильного ответа с преподавателем.