Докажите что число кратно
Доказательство кратности и уравнение
Существует обратная задача – разложить многочлен на множители, она решается также с помощью формул сокращенного умножения.
Пример 6: доказать что число 
кратно 25:
Очевидно, что если мы будем выполнять все вычисления, это будет сложно и долго, но если заметить формулу, то работа значительно упрощается. Итак, мы видим разность кубов. Распишем выражение:
В результате преобразований мы получили выражение, один из множителей которого равен 25, очевидно, что это выражение кратно 25.
Пример 7: решить уравнение:
Напомним, что решить уравнение – означает найти такие значения х, которые обращают выражение в верное числовое равенство. Распишем в уравнении квадрат суммы и разность квадратов:
Соберем неизвестные слева, а свободные члены справа и приведем подобные:
Из полученного элементарного уравнения найдем значение х:
Запишем еще несколько формул, которые можно вывести:
– куб суммы (разности)
Чтобы вывести данные формулы, нужно выполнить умножение скобок, и вы убедитесь в их справедливости.
Итоги урока
Вывод: мы рассмотрели формулы сокращенного умножения, записали вид основных из них и некоторые доказали. Мы рассмотрели примеры различной сложности, чтобы окончательно закрепить данный материал.
1. Преобразовать выражение в многочлен:
а) (а – 2)(а + 2); б) (7а + 8в)²; в) (с³ – 0,1)².
2. Решить уравнение:
3. Упростить выражение и найдите его значение:
Урок 5:Повторение. Разложение многочленов на множители.
На данном уроке мы вспомним все изученные методы разложения многочлена на множители, рассмотрим примеры к ним.
1. Методы разложения многочленов на множители.
Напомним, что многочлен есть алгебраическая сумма одночленов, а одночлен – это произведение чисел и степеней.
Вспомним способы разложения многочлена на множители.
1. В каждом члене многочлена может быть общий множитель, отсюда первый способ – метод вынесения общего множителя за скобки, то есть такого множителя, который присутствует во всех членах многочлена. Рассмотрим пример 1, вынесем общий множитель за скобки, для этого определим, какие переменные представлены во всех членах, и вынесем их в минимальной степени:
;
Напомним, что, перемножив вынесенный множитель на скобку, можно проверить правильность вынесения.
В обоих членах есть скобка 
, в одном в первой, а в другом во второй степени, вынесем минимальную ее степень – первую:
2. Метод группировки. Не всегда в многочлене можно вынести общий множитель. В таком случае нужно его члены разбить на группы таким образом, чтобы в каждой группе можно было вынести общий множитель, и постараться разбить так, чтобы после вынесения множителей в группах появился общий множитель у всего выражения, и можно было бы продолжить разложение. Рассмотрим пример 3:
;
Сгруппируем первый член со вторым, третий с четвертым и вынесем общие множители в группах:
У выражения появился общий множитель. Вынесем его:
;
3. Применение формул сокращенного умножения. Рассмотрим пример 4:
Мы расписали заданный многочлен по известной формуле разности кубов.
Комментарий: мы увидели в заданном многочлене формулу суммы кубов и разложили его.
4. Метод выделения полного квадрата. Он базируется на формулах квадрата суммы и квадрата разности. Напомним их:
– формула квадрата суммы (разности);
Особенность этих формул в том, что в них есть квадраты двух выражений и их удвоенное произведение. Рассмотрим пример 6:
;
Итак, первое выражение – это 
, а второе должно быть 
, но не хватает удвоенного произведения. Прибавим и вычтем его:
Свернем полный квадрат разности:
;
Преобразуем полученное выражение, применяя формулу разности квадратов, напомним, что разность квадратов двух выражений есть произведение суммы на их разность:
;
Напомним, что, перемножив скобки, можно проверить правильность разложения.
Подведение итогов урока
Вывод: мы вспомнили все изученные методы разложения многочленов на множители и рассмотрели примеры. Вспомнили определение и некоторые свойства алгебраических дробей, решили несколько типовых задач, с ними связанных.
1. Вынести общий множитель за скобки:
а) 8х – 8у; б) 5ху – 7х; в) 25х³ – 10х² + 5х;
2. Решить уравнение:
а) (7х – 10)(х + 5) = 0; б) 12у² – 60у = 0; в) х³ + х² – 4х – 4 = 0.
3. Докажите, что выражение:
а) 5¹³ – 5¹¹ делится на 24; б) 125³ + 625² делится на 6.
4. Разложите на множители способом группировки:
а) 3(а + с) + х(а + с); б) 6х – 6у + ах – ау;
Урок 6: Повторение. Системы двух линейных уравнений с двумя переменными.
1. Определение системы уравнений с двумя переменными
Напомним, что из себя представляет система двух линейных уравнений с двумя переменными. Это система вида:
Из первого уравнения 
можно получить линейную функцию, в случае если 
: 
. График данного уравнения – прямая линия.
Bторое линейное уравнение:
, из него также можно получить линейную функцию, при условии, что 
: 
. График данного уравнения – также прямая линия.
Запишем систему в другом виде:
Мы знаем, что множеством решений первого уравнения является множество точек, лежащих на соответствующей ему прямой, аналогично и для второго уравнения множество решений – это множество точек на другой прямой. Две прямые могут пересекаться – и тогда у системы будет единственное решение, единственная пара чисел х и у будет удовлетворять одновременно обоим уравнениям. Это происходит, если 
. Две прямые также при некоторых значениях численных параметров могут быть параллельны, в таком случае они никогда не пересекутся и не будут иметь ни одной общей точки, значит в этом случае система не будет иметь решений. Для этого должны выполняться условия: 
и 
. Кроме того, две прямые могут совпадать, и тогда каждая точка будет решением обоих уравнений, а значит система будет иметь бесчисленное множество решений. Для этого должны выполняться условия: и 
.
2. Способ подстановки
На данном уравнении можно продемонстрировать сразу несколько способов решения систем уравнений.
1 способ – способ подстановки: выразим во втором уравнении х и подставим полученное выражение в первое уравнение:
Подставим найденное значение у во второе уравнение и найдем значение х:
3. Способ алгебраического сложения
2 способ – способ алгебраического сложения: выполним сложение уравнений:
Из полученного уравнения найдем х:
Теперь вычтем из первого уравнения системы второе:
Таким образом, мы получили решение системы двумя способами, и это решение – точка с координатами (2; 1).
4. Системы уравнений с одним решением
В данном случае удобнее применить способ алгебраического сложения, вычтем из второго уравнения первое. Получаем:
Подставим значение у во второе уравнение и найдем х:
В данной системе нет переменных с одинаковыми коэффициентами, но мы можем их уравнять самостоятельно, для этого выполним преобразования:
Выполним сложение уравнений:
Подставим полученное значение у в первое уравнение и определим значение х:
5. Системы, имеющее бесконечное множество или не имеющие решений
Разделим второе уравнение на два:
Вычтем из первого уравнения второе:
Очевидно, что полученное выражение не зависит от значений переменных системы и не является верным числовым равенством, значит, система не имеет решений. В данном случае рекомендуется графически доказать, что система не имеет решений, для этого из уравнений записать линейные функции, построить их и показать, что прямые параллельны.
Очевидно, что, если разделить второе уравнение на два, получим первое уравнение:
Мы получили два одинаковых уравнения, значит, чтобы довести решение системы до конца, можем оставить одно: 
; это линейное уравнение с двумя переменными, график его – прямая линия, и оно имеет бесчисленное множество решений, а значит и система имеет бесчисленное множество решений. Чтобы записать решения, выразим у: 
, таким образом, дадим ответ: х – любое число,
Графическая иллюстрация (рис. 1):
6. Подведение итогов урока
Вывод: мы рассмотрели системы двух линейных уравнений с двумя переменными, варианты и способы их решения. Мы вспомнили некоторые термины, понятия и свойства и решили примеры для закрепления техники.
1. Решите систему тремя способами: сложением, подстановки, графическим: 
2. Сколько решений имеет система: 
3. Решите систему любым способом: 
Урок 7:Алгебраические дроби. Арифметические операции над алгебраическими дробями.Основные понятия.
На данном уроке рассматривается понятие алгебраической дроби. С дробями человек встречается в самых простых жизненных ситуациях: когда необходимо разделить некий объект на несколько частей, например, разрезать торт поровну на десять человек. Очевидно, что каждому достанется по 
части торта. В указанном случае мы сталкиваемся с понятием числовой дроби, однако возможна ситуация, когда объект делится на неизвестное количество частей, например, на x. В таком случае возникает понятие дробного выражения. С целыми выражениями (не содержащими деление на выражения с переменными) и их свойствами вы уже познакомились в 7 классе. Далее мы рассмотрим понятие рациональной дроби, а также допустимых значений переменных.
1. Определение и примеры алгебраических дробей
Рациональные выражения делятся на целые и дробные выражения.
Определение.Рациональная дробь – дробное выражение вида 
, где 
– многочлены. 
– числитель, 
– знаменатель.
Примерырациональных выражений: 
– дробные выражения; 
– целые выражения. В первом выражении, к примеру, в роли числителя выступает 
, а знаменателя – 
.
Значение алгебраической дроби, как и любого алгебраического выражения, зависит от численного значения тех переменных, которые в него входят. В частности, в первом примере значение дроби зависит от значений переменных 
и 
, а во втором только от значения переменной .
Механическое удерживание земляных масс: Механическое удерживание земляных масс на склоне обеспечивают контрфорсными сооружениями различных конструкций.
Поперечные профили набережных и береговой полосы: На городских территориях берегоукрепление проектируют с учетом технических и экономических требований, но особое значение придают эстетическим.
Признаки делимости чисел
Что такое «признак делимости»
Признак делимости числа — это такая особенность числа, которая еще до выполнения деления позволяет определить, кратно ли число делителю.
Истинный путь джедая, чтобы зря не пыхтеть над числами, которые в конечном итоге не делятся.
Однозначные, двузначные и трехзначные числа
Однозначное число — это такое число, в составе которого один знак (одна цифра). Девять однозначных натуральных чисел: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
Двузначные числа — такие, в составе которых два знака (две цифры). Цифры могут повторяться или быть различными.
Трехзначные числа — числа, в составе которых три знака (три цифры).
Чётные и нечётные числа
Число называют четным тогда, когда оно делится на два без остатка. А нечетные числа — те, что на два без остатка не делятся. Все просто!
Признаки делимости чисел
Признак делимости на 2. Сразу можно сказать, что число делится на 2, если последняя цифра четная.
Признак делимости на 3. Сумма цифр числа должна делиться на 3.
Признаки делимости на 4. Число делится на 4, если две последние цифры — 0 или если они образуют цифру, которая делится на 4.
Признаки делимости на 5. Число делится на 5, если заканчивается на 0 или 5.
Признак делимости на 6. На 6 делятся те числа, которые могут одновременно делится на 2 и на 3.
Признаки делимости на 8. Число делится на 8, если три последних цифры — 0 или если они образуют число, которое делится на 8.
Признак делимости на 9. Число делится на 9, если сумма цифр делится на 9.
Признаки делимости на 10, 100. Числа, которые заканчиваются на 0, 00, 000 делятся на 10, 100, 1000 и так далее.