Докажите что дробь несократима

Сократимые и несократимые дроби.

Дроби делятся на сократимые и несократимые дроби. Рассмотрим подробнее какую дробь называются сократимой и какую дробь называют несократимой.

Сократимая дробь, определение и примеры.

Определение:
Сократимая дробь – это дробь у которой числитель и знаменатель имеют общий положительный делитель не равный нулю и единице.

Например:
Докажите, что дробь \(\frac<20><35>\) является сократимой.

Решение:
Распишем числитель и знаменатель на простые множители, найдем их наибольший общий делитель (НОД).
20=2⋅2⋅5
35=5⋅7

Так как у числителя и знаменателя повторяется множитель 5, это число и будет их наибольшим общим делителем.
НОД(20, 35)=5
Сократим дробь на НОД.

Из сократимой дроби \(\frac<20><35>\) получили несократимую дробь \(\frac<4><7>\).

Несократимая дробь, определение и примеры.

Какие же дроби несократимые или что значит несократимая дробь? Ответ на вопрос кроется в определении.

Определение:
Несократимая дробь – это дробь у которой числитель и знаменатель имеют только один общий делитель равный единице, то есть числитель и знаменатель являются взаимно-простыми числами.

Рассмотрим пример:
Докажите, что дробь \(\frac<137><149>\) является несократимой дробью.

Решение:
Число 137 является простым, так как оно делиться на 1 и на само себя.
Число 149 является простым, так как оно делиться на 1 и на само себя.
У числителя 137 и знаменателя 149 нет общих делителей, поэтому дробь \(\frac<137><149>\) является несократимой.

Правило несократимой дроби.

Пример:
Запишите сократимую дробь в виде несократимой обыкновенной дроби \(\frac<55><100>\).

Решение:
По правилу несократимой дроби распишем числитель и знаменатель на простые множители.
55=5⋅11
100=5⋅2⋅2⋅5
Видим, что у числителя и знаменателя есть общий множитель равный 5, поэтому сокращаем дробь на 5.

Ответ: получили несократимую дробь \(\frac<11><20>\).

Неправильные сократимые и несократимые дроби.

Чтобы перевести неправильную сократимую дробь в неправильную несократимую дробь, мы пользуемся теми же правилами, что и для правильной сократимой дроби. Рассмотрим пример:

Запишите неправильную сократимую дробь в виде неправильной несократимой дроби \(\frac<32><20>\).

Решение:
Разложим числитель и знаменатель на простые множители.
32=2⋅2⋅2⋅2⋅2
20=5⋅2
Общий множитель у числителя и знаменателя равен 2. Распишем

Ответ: получили несократимую неправильную дробь \(\frac<16><5>\).

Вопросы по теме:
Как узнать сократима ли дробь?
Ответ: чтобы узнать сократима ли дробь для начала нужно расписать числитель и знаменатель на простые множители, а потом посмотреть если у них общие множители, если есть, то дробь сократима, иначе – несократима. Рассмотрим пример.

Определите сократима ли дробь \(\frac<16><25>\).

Решение:
Распишем числитель и знаменатель на простые множители.
16=2⋅2⋅2⋅2
25=5⋅5
Видно, что у числителя и знаменателя нет общих множителей (одинаковых множителей), следовательно, дробь несократима.

Пример:
Сколько несократимых правильных дробей: а) \(\frac<8><25>\) б) \(\frac<6><4>\) в) \(\frac<13><5>\) г) \(\frac<36><44>\).

Решение:
а) У числителя и знаменателя дроби \(\frac<8><25>\) (8=2⋅2⋅2, 25=5⋅5) нет общих множителей, поэтому это правильная несократимая дробь. По условию это дробь нам подходит.

б) У числителя и знаменателя дроби \(\frac<6><4>\) (6=2⋅3, 4=2⋅2, \(\frac<6><4>=\frac<2 \times 3><2 \times 2>=\frac<3><2>\) ) есть общий множитель равный 2, поэтому это дробь сократимая и еще неправильная, потому что числитель больше знаменателя. По условию задания эта дробь нам не подходит.

в) Числитель и знаменатель дроби \(\frac<13><5>\), 5 и 13 простые числа, поэтому общих множителей кроме 1 у них нет, дробь несократимая. Так как числитель больше знаменателя дробь неправильная, поэтому по условию задания нам она не подходит.

г) Числитель и знаменатель дроби \(\frac<36><44>\) (36=2⋅2⋅3⋅3, 44=2⋅2⋅11) имеют общий множитель равный 4, поэтому дробь \(\frac<36><44>=\frac<4 \times 9><4 \times 11>=\frac<9><11>\) является сократимой, правильной. Нам по условию задания не подходит.

Ответ: \(\frac<8><25>\) несократимая, правильная дробь.

Пример:
Сколько имеется правильных несократимых дробей со знаменателем: а) 145 б) 123 в) 133 г) 115.

Решение:
а) Распишем на простые множители знаменатель 145:
145=5⋅29
Нужно исключить все числа от 1 до 144 кратные 5 и 29.
На 5 делится: 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, 55, 60, 65, 70, 75, 80, 85, 90, 95, 100, 105, 110, 115, 120, 125, 130, 135, 140.
На 29 делится: 29, 58, 87, 116.
В сумме получаем 32 числа, которые имеют общий множитель с число 145. Всего у нас чисел 144.
144-32=112
Ответ: 112 правильных несократимых дробей со знаменателем 145.

б) Распишем на простые множители знаменатель 123:
123=3⋅41
В диапазоне чисел от 1 до 122 исключаем числа кратные 3 и 41.
На число 3 делится, поэтому не могут находиться в числителе: 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33, 36, 39, 42, 45, 48, 51, 54, 57, 60, 63, 66, 69, 72, 75, 78, 81, 84, 87, 90, 93, 96, 99, 102, 105, 108, 111, 114, 117, 120.
На 41 делится: 41, 82.
В сумме получаем 40+2=42 числа, которые имеют общий множитель с число 123, поэтому мы их исключим. Всего у нас чисел 122.
122-42=80
Ответ: 80 правильных несократимых дробей со знаменателем 123.

в) Распишем на простые множители знаменатель 133:
133=7⋅19
Числа от 1 до 132 исключаем, они делятся на 7 и 19, для того чтобы получить все несократимые дроби от \(\frac<1><133>\) до \(\frac<132><133>\).
Число 7 кратно: 7, 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56, 63, 70, 77, 84, 91, 98, 105, 112, 119, 126. Всего 18 чисел.
Число 19 кратно:19, 38, 57, 76, 95, 114. Всего 6 чисел.
132-18-6=108
Ответ: 108 правильных несократимых дробей со знаменателем 133.

г) Распишем на простые множители знаменатель 115:
115=5⋅23
Числа от 1 до 114 исключаем.
На 5 делится: 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, 55, 60, 65, 70, 75, 80, 85, 90, 95, 100, 105, 110. Всего 22 числа.
На 23 делится число: 23, 46, 96, 92. Всего 4 чисел.
114-22-4=88
Ответ: 88 правильных несократимых дробей со знаменателем 115.

Нестандартная задача по математике:
Когда нельзя сокращать сократимую обыкновенную дробь?

Ответ: когда сократимая обыкновенная дробь является номером углового дома или квартала.

Источник

Сократимые и несократимые дроби, определения, примеры.

В этой статье мы разберем сократимые и несократимые дроби. Здесь мы дадим определения и приведем примеры сократимых и несократимых дробей, а также рассмотрим способ, позволяющий выяснить, является ли данная дробь сократимой или нет.

Навигация по странице.

Сократимые и несократимые дроби, определения, примеры

Все обыкновенные дроби подразделяются на сократимые дроби и несократимые дроби. Такое разделение дробей связано с наличием или отсутствием отличных от единицы положительных общих делителей их числителя и знаменателя.

Дадим определения сократимых и несократимых дробей, чтобы все стало понятно.

Сократимая обыкновенная дробь – это дробь, числитель и знаменатель которой имеют положительный общий делитель, отличный от единицы.

Несократимая обыкновенная дробь – это дробь, числитель и знаменатель которой имеют единственный общий положительный делитель – единицу, то есть, являются взаимно простыми числами.

Сократима ли данная дробь?

Определения сократимой и несократимой дроби, приведенные в предыдущем пункте, не позволяют в общем случае с первого взгляда на дробь ответить на вопрос: «Данная дробь сократимая или несократимая»?

Несомненно, в самых простых случаях признаки делимости позволяют сразу увидеть положительный общий делитель числителя и знаменателя, отличный от единицы, откуда можно делать вывод о сократимости данной дроби.

Разберем применение этого правила при решении примера.

В заключение заметим, если в результате каких-либо вычислений получилась дробь, то ее принято записывать в несократимом виде. Иными словами, если получилась сократимая дробь, то нужно провести сокращение дроби.

Источник

Докажите что дробь несократима ни при каком натуральном n?

Докажите что дробь несократима ни при каком натуральном n.

Выделим целую часть и докажем

$\frac<2n+13>=1+\frac$ то есть числитель меньше знаменателя эти числа последовательные и никогда не будут делиться нацело.

№1. Докажите, что дробь n + 1 / n несократима при всех натуральных n №2?

№1. Докажите, что дробь n + 1 / n несократима при всех натуральных n №2.

При каких натуральных n дробь n + 4 / n является сократимой.

Сократима ли дробь, которая в сумме с данной правильной несократимой дробью дает 1?

Сократима ли дробь, которая в сумме с данной правильной несократимой дробью дает 1?

Рассмотри несколько несколько примеров и докажи подмеченную закономерность.

Докажите, что если правильная дробь несократима, то дробь, дополняющая данную дробь до единицы, тоже несократима?

Докажите, что если правильная дробь несократима, то дробь, дополняющая данную дробь до единицы, тоже несократима.

Докажите, что при любом натуральном n, отличном от 2, значение дроби является натуральным числом?

Докажите, что при любом натуральном n, отличном от 2, значение дроби является натуральным числом.

Докажите что при любом натуральном n значение дроби является натуральным числом?

Докажите что при любом натуральном n значение дроби является натуральным числом.

Какую дробь называют несократимой?

Какую дробь называют несократимой.

Что такое несократимая дробь?

Что такое несократимая дробь?

Какую дробь называют несократимой?

Какую дробь называют несократимой.

Несократимая дробь это?

Несократимая дробь это.

Решение вашего уравнения.

320455 Вот, вот так : ))).

200 : 5 = 40г(одна часть) 40×2 = 80г(масса семян).

Источник