Докажите что если диагонали вписанного четырехугольника перпендикулярны то сумма квадратов

Окружность можно описать около ромба тогда и только тогда, когда ромб является квадратом.

Окружность можно описать около трапеции тогда и только тогда, когда трапеция является равнобедренной трапецией.

Окружность можно описать около дельтоида тогда и только тогда, когда дельтоид состоит из двух одинаковых прямоугольных треугольников.

Площадь произвольного вписанного четырёхугольника можно найти по формуле Брахмагупты:

где a, b, c, d – длины сторон четырёхугольника,
а p – полупериметр, т.е.

Теорема Птолемея

Докажем, что справедливо равенство:

Для этого выберем на диагонали AC точку E так, чтобы угол ABD был равен углу CBE (рис. 4).

откуда вытекает равенство:

(1)

Источник

Проектно-исследовательская работа по теме: Вписанный четырехугольник с перпендикулярными диагоналями.

В работе представлены основные теоремы и свойства о вписанном четырехугольнике с перпендикулярными диагоналями(с доказательствами)

Просмотр содержимого документа
«Проектно-исследовательская работа по теме: Вписанный четырехугольник с перпендикулярными диагоналями.»

Вписанный четырехугольник с перпендикулярными диагоналями.

Выполнила учащиеся 8 класса :

Проверила учитель математики:

Четырехугольник с перпендикулярными диагоналями.

Диагонали четырехугольника перпендикулярны тогда и только тогда,когда равны суммы квадратов его противолежащих сторон.

Пусть точка Р — точка пересечения диагоналей четырехугольника.

Введем обозначения длин сторон(рис 1а)

2)Признак.Пусть диагонали четырехугольника

Проведем перпендикулярны BK и DM

АС(АМ-СМ).Так как a 2 +c 2 =b 2 +d 2

Это равенство выполняется только

в случае,если точки К и М совпадают,то

есть диагонали АС и ВД этого четырехугольника

Доказательство аналогично для невыпуклого

четырехугольника.

Свойства вписанного в окружность четырехугольника со взаимно перпендикулярными диагоналями.

Вписанный в окружность четырехугольник со взаимно перпендикулярными диагоналями обладает рядом замечательных свойств.

Приведем несколько задач.

По условию АС ВД,значит, треугольник РДС

прямоугольный(рис 2) и  РСД+ РДС=90º.

По свойству вписанных углов получим,что

дуги АmД + BnC =180º. Аналогично доказываем,

что дуги ApB+DkC=180º.

2)Сумма квадратов противоположных сторон четырехугольника равна квадрату диаметра описанной около четырехугольника окружность.

Проведем диаметр описанной окружности через одну из вершин четырехугольника,например диаметр DM(рис 3), и соединим точку М с вершинами А и С.Поскольку дуги ͜ DmA+

͜ BnC=180º(см задачу 1) и ͜ DmA + ͜ AlM=180º,то дуги AlM=BnC,а отсюда АМ=ВС.

Площадь четырехугольника равна полусумме произведений противоположных сторон.

К тому же выводу придем,применив теорему Птолемея:

Поскольку АС ┴ ВD,то S =1/2AC∙BD,а тогда S=1/2(AD∙BC+AB∙DC).

Если четырехугольникABCD вписан в окружность, то произведение его

диагоналей равно сумме произведений его противоположных сторон:

Проведем из точки B отрезок BE до пересечения с диагональю AC таким образом, чтобы CBE = ABD. Углы BCЕ и BDA равны как вписанные, опирающиеся на одну и ту же дугу AB. Тогда треугольники ABD и СBЕ подобны (по двум углам). Отсюда следует, что и, следовательно, далее имеем:

AD . BC = BD . CE. (2)

Подобны также треугольники ABE и DBC, так как ABE = DBC и BAE = BDC.

Отсюда следует, что и затем имеем:

AB . CD = BD . AE. (3)

Сложим соответственно левые и правые части равенств (2) и (3). Получим

AD . BC + AB . CD = BD . CE + BD . AE или

AD . BC + AB . CD = BD . (CE + AE) , то есть

AD . BC + AB . CD = BD . AC, что и требовалось.

Замечание. К этому же можно прийти, введя другие обозначения.

Тогда треугольники СВЕ и DВА подобны.

Из подобия треугольников АВЕ и DВС (углы АВЕ и DВС равны как равносоставленные) получаем АЕ :

Значит, ЕС = АЕ = АЕ + ЕС =АС,

Теорема Птолемея доказана. ◄

(Справедлива и теорема, обратная теореме Птолемея).

4)Если вписанный четырехугольник имеет перпендикулярные диагонали,пересекающиеся в точке М,то прямая,проходящая через точку М и перпендикулярная одной из его сторон,делит противовоположную ей сторону пополам.

Упражнения и задачи для самостоятельного решения

1 Докажите, что если четырехугольник АВСD с перпендикулярным диагоналям вписан в

окружность с центром О, то АОВ + СОD = 180.

2 Докажите, что во вписанном четырехугольнике с перпендикулярными диагоналями

расстояние от центра описанной окружности до стороны равно половине противолежащей

3)Диагонали четырехугольника АВСD,вписанного в окружность радиуса R,

б) Найдите сумму квадратов сторон четырехугольника АВСD.

Источник

Докажите что если диагонали вписанного четырехугольника перпендикулярны то сумма квадратов

Четырёхугольник, диагонали которого взаимно перпендикулярны, вписан в окружность. Докажите, что квадрат диаметра этой окружности равен сумме квадратов противоположных сторон четырёхугольника.

Пусть радиус данной окружности равен r, Треугольник АВС вписан в окружность радиуса r. По теореме синусов:

Треугольник ABD вписан в ту же окружность, значит

Так как d = 2r,

Четырёхугольник, диагонали которого взаимно перпендикулярны, вписан в окружность. Докажите, что сумма квадратов расстояний от точки пересечения диагоналей до вершин четырёхугольника в 4 раза больше квадрата радиуса описанной окружности.

Четырёхугольник, диагонали которого взаимно перпендикулярны, вписан в окружность. Докажите, что сумма квадратов сторон в 8 раз больше квадрата радиуса описанной окружности.

Во вписанном четырехугольнике, диагонали которого взаимно перпендикулярны, сумма квадратов противоположных сторон равна квадрату диаметра описанной окружности, то есть:

Таким образом, если сложить квадраты всех четырех сторон, получаем 8 квадратов радиуса:

Источник

Докажите что если диагонали вписанного четырехугольника перпендикулярны то сумма квадратов

Четырёхугольник, диагонали которого взаимно перпендикулярны, вписан в окружность. Докажите, что квадрат диаметра этой окружности равен сумме квадратов противоположных сторон четырёхугольника.

Пусть радиус данной окружности равен r, Треугольник АВС вписан в окружность радиуса r. По теореме синусов:

Треугольник ABD вписан в ту же окружность, значит

Так как d = 2r,

Четырёхугольник, диагонали которого взаимно перпендикулярны, вписан в окружность. Докажите, что сумма квадратов расстояний от точки пересечения диагоналей до вершин четырёхугольника в 4 раза больше квадрата радиуса описанной окружности.

Четырёхугольник, диагонали которого взаимно перпендикулярны, вписан в окружность. Докажите, что сумма квадратов сторон в 8 раз больше квадрата радиуса описанной окружности.

Во вписанном четырехугольнике, диагонали которого взаимно перпендикулярны, сумма квадратов противоположных сторон равна квадрату диаметра описанной окружности, то есть:

Таким образом, если сложить квадраты всех четырех сторон, получаем 8 квадратов радиуса:

Источник

• Популярная книга Круть доступна для чтения прямо сейчас на нашем сайте boochi.ru. Скачать книгу в формате FB2, TXT, PDF, EPUB бесплатно без регистрации. →