Докажите что если к произведению четырех последовательных натуральных чисел прибавить 1
Ответы и решения очного тура конкурса «Юный знаток математики»
ПСКОВСКИЙ ОБЛАСТНОЙ ЦЕНТР РАЗВИТИЯ ОДАРЕННЫХ ДЕТЕЙ И ЮНОШЕСТВА
Ответы и решения очного тура конкурса «Юный знаток математики»
№1. Докажите, что произведение четырех последовательных натуральных чисел, сложенное с единицей, есть точный квадрат.
Произведение четырех последовательных натуральных чисел, сложенное с единицей, является точным квадратом, если оно представимо в виде квадрата целого числа.
Рассмотрим данное произведение
Так как, 
является целым числом, то выражение
является точным квадратом. Ч. т.д.
№2. Длины катетов прямоугольного треугольника равны a и b. На его гипотенузе как на стороне во внешнюю сторону треугольника построен квадрат. Найдите расстояние от вершины прямого угла треугольника до центра квадрата.
Ответ: расстояние от вершины прямого угла треугольника до центра квадрата равно 
.
Решение: Построим квадрат CBKL на гипотенузе во внешнюю сторону.
Достроим данный треугольник до квадрата AFED со стороной 
.
Центр квадрата CBKL совпадает с квадратом AFED. Тогда расстояние от точки A до центра O квадрата CBKL равно половине диагонали квадрата AFED.
По теореме Пифагора 
. Тогда 
.
№3. В выпуклом четырехугольнике ABCD выполняется 
. Докажите неравенство 
.
Пусть точка O — пересечение диагоналей AC и BD. По неравенству треугольника AO + BO > AB, OC + OD > CD, откуда
Я предполагаю : перемножим числа( я взял 1, 2, 3, 4) получается 24.
Перемножим средние(2 на 3) и удвоим( 6 на 2) получим 12.
Произведение двух последовательных натуральных чисел на 6 больше удвоенного меньшего числа?
Произведение двух последовательных натуральных чисел на 6 больше удвоенного меньшего числа.
Произведение двух последовательных натуральных чисел на 6 больше удвоенного меньшего числа?
Произведение двух последовательных натуральных чисел на 6 больше удвоенного меньшего числа.
Квадрат данного натурального числа на 7 меньше удвоенного произведения двух соседних с ним чисел?
Квадрат данного натурального числа на 7 меньше удвоенного произведения двух соседних с ним чисел.
Даны четыре последовательных натуральных числа?
Даны четыре последовательных натуральных числа.
Сравните произведение первого и последнего из них с произведением двух средних чисел.
Даны три последовательных натуральных числа?
Даны три последовательных натуральных числа.
Сравните квадрат среднего из них с произведением двух других чисел.
Сумма квадратов двух последовательных натуральных чисел больше их произведения на 157?
Сумма квадратов двух последовательных натуральных чисел больше их произведения на 157.
Сумма квадратов двух последовательных натуральных чисел больше их произведения на 307?
Сумма квадратов двух последовательных натуральных чисел больше их произведения на 307.
Сумма квадратов двух последовательных натуральных чисел на 91 больше их произведения?
Сумма квадратов двух последовательных натуральных чисел на 91 больше их произведения.
Сумма квадратов двух последовательных натуральных чисел больше их произведения на 307?
Сумма квадратов двух последовательных натуральных чисел больше их произведения на 307.
Представим такие числа как арифметическую прогрессию, где а1 = 13 ; d = 13 ; an = 13n. Найдём количество её членов : 13n.