Докажите что осевое сечение цилиндра является прямоугольником 320
Желательно оформить с дано/найти.Докажите, что осевое сечение цилиндра является прямоугольником, две противоположные стороны кот
Желательно оформить с дано/найти.
Докажите, что осевое сечение цилиндра является прямоугольником, две противоположные стороны которого — образующие, а две другие — диаметры оснований цилиндра. Найдите диагональ осевого сечения, если радиус цилиндра равен 1,5 м, а высота —4 м.
Решение во вложении.
Катет фронтона равен 10*cos 45° =5√2.
Площадь одного ската 5√2*8 = 40√2, площадь всей крыши 80√2 ≈113 м².
Площадь листа 1,75*1,13 = 1,98 м².
Количество листов 113 / 1,98 ≈ 57 листов. Но это не верно,т.к. листы накладываются и по ширине и по длине, а какую часть нужно добавить в задаче не дано.
В условии какая-то цифра 8 стоит, что означает не ясно.
Согласно свойствам средней линии, она равна половине противолежащей стороны, в нашем случае половине основания. Исходя из этого находим основание
Треугольник равнобедренный, так что боковые стороны равны. Периметр представляет из себя сумму всех сторон
Урок «Понятие цилиндра»
Краткое описание документа:
ТЕКСТОВАЯ РАСШИФРОВКА УРОКА:
Введем понятие цилиндра – геометрического тела.
Ну конечно, все вы видели много предметов в быту, похожих на данное тело.
Все прямые образуют поверхность, которая называется цилиндрической.
Каждая из этих прямых называется образующей цилиндрическую поверхность, а прямая, проходящая через центр окружности, – осью цилиндрической поверхности.
Далее проведем плоскость сигма, параллельную плоскости альфа, таким образом, что они отделят отрезки образующих, которые равны и параллельны между собой.
Ось цилиндрической поверхности пройдет через центр О1 окружности Р1, радиус окружностей будет равный r. Таким образом, мы получили цилиндр.
Цилиндром называется тело, ограниченное цилиндрической поверхностью и двумя кругами, лежащими в параллельных плоскостях.
Ось ОО1 – называют осью цилиндра, отрезок образующей цилиндрической поверхности ТТ1– образующая цилиндра.
Цилиндрическая поверхность, т.е. поверхность, составленная из образующих, называется боковой поверхностью цилиндра, а круги – основаниями цилиндра.
Длина образующей называется высотой цилиндра, а радиус основания — радиусом цилиндра.
Цилиндр может быть получен вращением прямоугольника вокруг одной из его сторон. На рисунке изображен цилиндр, полученный вращением прямоугольника вокруг стороны ОО1.
Рассмотрим сечение цилиндра.
1) Если секущая плоскость проходит через ось цилиндра, то сечение представляет собой прямоугольник, две стороны которого – образующие, а две другие – диаметры оснований цилиндра. Такое сечение называется осевым.
2) Если секущая плоскость перпендикулярна оси цилиндра, то сечение является кругом.
Теперь давайте посмотрим, какие бывают цилиндры.
1) Прямые и наклонные, в зависимости от того, перпендикулярны или наклонны плоскости оснований к образующим.
2) Сложные цилиндры.
изображён цилиндр, каждое основание которого представляет собой фигуру, ограниченную частью параболы и отрезком.
На втором рисунке изображен цилиндр, основаниями которого являются круги, но образующие цилиндра не перпендикулярны к плоскости оснований (наклонный цилиндр).
Докажите, что осевое сечение цилиндра является прямоугольником, две противоположные стороны которого – образующие, а две другие – диаметры оснований цилиндра. Найти диагональ осевого сечения, если радиус цилиндра равен 1,5 м, а высота равна 4 м.
1) так как АВ и CD – образующие то они равны и параллельны, и по определению образующих цилиндра АВ и CD перпендикулярны основанию.
AD и BC равны как диаметры оснований,
следовательно, четырехугольник ABCD по признаку параллелограмма и определению является прямоугольником.
2) Диагональ АС делит прямоугольник на два равных прямоугольных треугольника, тогда,
из прямоугольного треугольника АВС находим АС: по теореме Пифагора АС равна корню квадратному из суммы квадратов сторон АВ и АС, где АВ равна высоте цилиндра, а ВС диаметру основания то есть двум радиусам.
Сечение цилиндра: определение, виды, его образующая
Кратко о цилиндре
Цилиндр — это геометрическая фигура, которая ограничена цилиндрической поверхностью и двумя плоскими окружностями.
Также можно сказать, что это тело вращения, возникающее при вращении прямоугольника вокруг его стороны.
Осевое сечение
Это сечение фигуры плоскостью, проходящей через ее ось. Оно является прямоугольником. Таким образом, любое сечение, параллельное оси цилиндра (и перпендикулярное его основанию), становится прямоугольником. Сторонами этой фигуры будет диаметр цилиндра и высота его оси.
Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.
Как найти площадь сечения
Формула 1
\(S = d*h,\)
где \(d\) — диаметр, а \(h\) — высота всей фигуры.
Также есть формулы для расчета площади сечения, параллельного оси геометрического тела (но не пересекающего ее).
Формула 2
\(S = a*h, \)
Осевое сечение наклонного цилиндра
Сечение наклонного цилиндра по оси представляет собой параллелограмм. Его стороны нам уже известны: одна из них равна диаметру d, как и в случае с прямой фигурой. Другая — длина образующего отрезка. Ее мы можем обозначить буквой b.
Для точного определения всех параметров параллелограмма недостаточно знать только длины его сторон. Для расчета площади фигуры нам понадобится один из ее углов. Допустим, что острый угол между плоскостью и направляющий равен α. Тогда формула S параллелограмма будет выглядеть следующим образом:
Примеры задач
Рассмотрим пару задач на осевое сечение с решениями.
Задача 1
Дан круглый прямой цилиндр. Его осевое сечение является квадратом. Вопрос: чему равна S сечения, если площадь поверхности всего цилиндра — 100 см²?
Решение
Чтобы найти S квадрата, нужно сначала определить радиус или диаметр окружности цилиндра. Для этого вспомним формулу для нахождения площади самого цилиндра:
Так как осевое сечение — квадрат, значит радиус основания в два раза меньше высоты фигуры. В таком случае, формула будет выглядеть так:
\(Sц = 2pi * r * (r + 2r) = 6 * pi * r²\)
Исходя из этого, будем выражать радиус:
Если сторона квадратного сечения равна диаметру основания цилиндра, то для определения площади квадрата S используем формулу:
\(S = (2*r)2 = 4*r2 = 2*Sц/ (3*pi)\)
Задача 2
Решение
Так как площадь сечения — прямоугольник, то \(Sc = AB * BC = h * 2r.\) Тогда \(h = Sc/(2r) = 10/(2√(5/pi)) = 5√(pi/5) = √(5pi).\)
Докажите что осевое сечение цилиндра есть прямоугольника
Сечение цилиндра: определение, виды, его образующая
Кратко о цилиндре
Цилиндр — это геометрическая фигура, которая ограничена цилиндрической поверхностью и двумя плоскими окружностями.
Также можно сказать, что это тело вращения, возникающее при вращении прямоугольника вокруг его стороны.
Осевое сечение
Это сечение фигуры плоскостью, проходящей через ее ось. Оно является прямоугольником. Таким образом, любое сечение, параллельное оси цилиндра (и перпендикулярное его основанию), становится прямоугольником. Сторонами этой фигуры будет диаметр цилиндра и высота его оси.
Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.
Как найти площадь сечения
где \(d\) — диаметр, а \(h\) — высота всей фигуры.
Также есть формулы для расчета площади сечения, параллельного оси геометрического тела (но не пересекающего ее).
Осевое сечение наклонного цилиндра
Сечение наклонного цилиндра по оси представляет собой параллелограмм. Его стороны нам уже известны: одна из них равна диаметру d, как и в случае с прямой фигурой. Другая — длина образующего отрезка. Ее мы можем обозначить буквой b.
Для точного определения всех параметров параллелограмма недостаточно знать только длины его сторон. Для расчета площади фигуры нам понадобится один из ее углов. Допустим, что острый угол между плоскостью и направляющий равен α. Тогда формула S параллелограмма будет выглядеть следующим образом:
Примеры задач
Рассмотрим пару задач на осевое сечение с решениями.
Задача 1
Дан круглый прямой цилиндр. Его осевое сечение является квадратом. Вопрос: чему равна S сечения, если площадь поверхности всего цилиндра — 100 см²?
Чтобы найти S квадрата, нужно сначала определить радиус или диаметр окружности цилиндра. Для этого вспомним формулу для нахождения площади самого цилиндра:
Так как осевое сечение — квадрат, значит радиус основания в два раза меньше высоты фигуры. В таком случае, формула будет выглядеть так:
\(Sц = 2pi * r * (r + 2r) = 6 * pi * r²\)
Исходя из этого, будем выражать радиус:
Если сторона квадратного сечения равна диаметру основания цилиндра, то для определения площади квадрата S используем формулу:
Задача 2
Так как площадь сечения — прямоугольник, то \(Sc = AB * BC = h * 2r.\) Тогда \(h = Sc/(2r) = 10/(2√(5/pi)) = 5√(pi/5) = √(5pi).\)
Урок «Понятие цилиндра»
Краткое описание документа:
ТЕКСТОВАЯ РАСШИФРОВКА УРОКА:
Введем понятие цилиндра – геометрического тела.
Ну конечно, все вы видели много предметов в быту, похожих на данное тело.
Все прямые образуют поверхность, которая называется цилиндрической.
Каждая из этих прямых называется образующей цилиндрическую поверхность, а прямая, проходящая через центр окружности, – осью цилиндрической поверхности.
Далее проведем плоскость сигма, параллельную плоскости альфа, таким образом, что они отделят отрезки образующих, которые равны и параллельны между собой.
Ось цилиндрической поверхности пройдет через центр О1 окружности Р1, радиус окружностей будет равный r. Таким образом, мы получили цилиндр.
Цилиндром называется тело, ограниченное цилиндрической поверхностью и двумя кругами, лежащими в параллельных плоскостях.
Ось ОО1 – называют осью цилиндра, отрезок образующей цилиндрической поверхности ТТ1– образующая цилиндра.
Цилиндрическая поверхность, т.е. поверхность, составленная из образующих, называется боковой поверхностью цилиндра, а круги – основаниями цилиндра.
Длина образующей называется высотой цилиндра, а радиус основания — радиусом цилиндра.
Цилиндр может быть получен вращением прямоугольника вокруг одной из его сторон. На рисунке изображен цилиндр, полученный вращением прямоугольника вокруг стороны ОО1.
Рассмотрим сечение цилиндра.
1) Если секущая плоскость проходит через ось цилиндра, то сечение представляет собой прямоугольник, две стороны которого – образующие, а две другие – диаметры оснований цилиндра. Такое сечение называется осевым.
2) Если секущая плоскость перпендикулярна оси цилиндра, то сечение является кругом.
Теперь давайте посмотрим, какие бывают цилиндры.
1) Прямые и наклонные, в зависимости от того, перпендикулярны или наклонны плоскости оснований к образующим.
изображён цилиндр, каждое основание которого представляет собой фигуру, ограниченную частью параболы и отрезком.
На втором рисунке изображен цилиндр, основаниями которого являются круги, но образующие цилиндра не перпендикулярны к плоскости оснований (наклонный цилиндр).
Докажите, что осевое сечение цилиндра является прямоугольником, две противоположные стороны которого – образующие, а две другие – диаметры оснований цилиндра. Найти диагональ осевого сечения, если радиус цилиндра равен 1,5 м, а высота равна 4 м.
1) так как АВ и CD – образующие то они равны и параллельны, и по определению образующих цилиндра АВ и CD перпендикулярны основанию.
AD и BC равны как диаметры оснований,
следовательно, четырехугольник ABCD по признаку параллелограмма и определению является прямоугольником.
2) Диагональ АС делит прямоугольник на два равных прямоугольных треугольника, тогда,
из прямоугольного треугольника АВС находим АС: по теореме Пифагора АС равна корню квадратному из суммы квадратов сторон АВ и АС, где АВ равна высоте цилиндра, а ВС диаметру основания то есть двум радиусам.
Сечение цилиндра: определение, виды, его образующая
Кратко о цилиндре
Цилиндр — это геометрическая фигура, которая ограничена цилиндрической поверхностью и двумя плоскими окружностями.
Также можно сказать, что это тело вращения, возникающее при вращении прямоугольника вокруг его стороны.
Осевое сечение
Это сечение фигуры плоскостью, проходящей через ее ось. Оно является прямоугольником. Таким образом, любое сечение, параллельное оси цилиндра (и перпендикулярное его основанию), становится прямоугольником. Сторонами этой фигуры будет диаметр цилиндра и высота его оси.
Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.
Как найти площадь сечения
где \(d\) — диаметр, а \(h\) — высота всей фигуры.
Также есть формулы для расчета площади сечения, параллельного оси геометрического тела (но не пересекающего ее).
Осевое сечение наклонного цилиндра
Сечение наклонного цилиндра по оси представляет собой параллелограмм. Его стороны нам уже известны: одна из них равна диаметру d, как и в случае с прямой фигурой. Другая — длина образующего отрезка. Ее мы можем обозначить буквой b.
Для точного определения всех параметров параллелограмма недостаточно знать только длины его сторон. Для расчета площади фигуры нам понадобится один из ее углов. Допустим, что острый угол между плоскостью и направляющий равен α. Тогда формула S параллелограмма будет выглядеть следующим образом:
Примеры задач
Рассмотрим пару задач на осевое сечение с решениями.
Задача 1
Дан круглый прямой цилиндр. Его осевое сечение является квадратом. Вопрос: чему равна S сечения, если площадь поверхности всего цилиндра — 100 см²?
Чтобы найти S квадрата, нужно сначала определить радиус или диаметр окружности цилиндра. Для этого вспомним формулу для нахождения площади самого цилиндра:
Так как осевое сечение — квадрат, значит радиус основания в два раза меньше высоты фигуры. В таком случае, формула будет выглядеть так:
\(Sц = 2pi * r * (r + 2r) = 6 * pi * r²\)
Исходя из этого, будем выражать радиус:
Если сторона квадратного сечения равна диаметру основания цилиндра, то для определения площади квадрата S используем формулу:
Задача 2
Так как площадь сечения — прямоугольник, то \(Sc = AB * BC = h * 2r.\) Тогда \(h = Sc/(2r) = 10/(2√(5/pi)) = 5√(pi/5) = √(5pi).\)
Осевое сечение цилиндра прямого и наклонного. Формулы для площади сечения и его диагоналей
Цилиндр — это симметричная пространственная фигура, свойства которой рассматривают в старших классах школы в курсе стереометрии. Для его описания используют такие линейные характеристики, как высота и радиус основания. В данной статье рассмотрим вопросы касательно того, что такое осевое сечение цилиндра, и как рассчитать его параметры через основные линейные характеристики фигуры.
Геометрическая фигура
Сначала дадим определение фигуре, о которой пойдет речь в статье. Цилиндр представляет собой поверхность, образованную параллельным перемещением отрезка фиксированной длины вдоль некоторой кривой. Главным условием этого перемещения является то, что отрезок плоскости кривой принадлежать не должен.
На рисунке ниже показан цилиндр, кривая (направляющая) которого является эллипсом.
Здесь отрезок длиной h является его образующей и высотой.
Видно, что цилиндр состоит из двух одинаковых оснований (эллипсы в данном случае), которые лежат в параллельных плоскостях, и боковой поверхности. Последней принадлежат все точки образующих линий.
Прямой и наклонный цилиндры
Перед тем как переходить к рассмотрению осевого сечения цилиндров, расскажем, какие типы этих фигур бывают.
Если образующая линия перпендикулярна основаниям фигуры, тогда говорят о прямом цилиндре. В противном случае цилиндр будет наклонным. Если соединить центральные точки двух оснований, то полученная прямая называется осью фигуры. Приведенный рисунок демонстрирует разницу между прямым и наклонным цилиндрами.
Видно, что для прямой фигуры длина образующего отрезка совпадает со значением высоты h. Для наклонного цилиндра высота, то есть расстояние между основаниями, всегда меньше длины образующей линии.
Далее охарактеризуем осевые сечения обоих типов цилиндров. При этом будем рассматривать фигуры, основаниями которых является круг.
Осевое сечение прямого цилиндра
Осевым называется любое сечение цилиндра, которое содержит его ось. Это определение означает, что осевое сечение будет всегда параллельно образующей линии.
В цилиндре прямом ось проходит через центр круга и перпендикулярна его плоскости. Это означает, что рассматриваемое сечение круг будет пересекать по его диаметру. На рисунке показана половинка цилиндра, которая получилась в результате пересечения фигуры плоскостью, проходящей через ось.
Не сложно понять, что осевое сечение прямого круглого цилиндра представляет собой прямоугольник. Его сторонами являются диаметр d основания и высота h фигуры.
Запишем формулы для площади осевого сечения цилиндра и длины hd его диагонали:
Прямоугольник имеет две диагонали, но обе они равны друг другу. Если известен радиус основания, то не сложно переписать эти формулы через него, учитывая, что он в два раза меньше диаметра.
Осевое сечение наклонного цилиндра
Рисунок выше демонстрирует наклонный цилиндр, изготовленный из бумаги. Если выполнить его осевое сечение, то получится уже не прямоугольник, а параллелограмм. Его стороны — это известные величины. Одна из них, как и в случае сечения прямого цилиндра, равна диаметру d основания, другая же — длина образующего отрезка. Обозначим ее b.
Для однозначного определения параметров параллелограмма недостаточно знать его длины сторон. Необходим еще угол между ними. Предположим, что острый угол между направляющей и основанием равен α. Он же и будет углом между сторонами параллелограмма. Тогда формулу для площади осевого сечения наклонного цилиндра можно записать следующим образом:
Диагонали осевого сечения цилиндра наклонного рассчитать несколько сложнее. Параллелограмм имеет две диагонали разной длины. Приведем без вывода выражения, позволяющие рассчитывать диагонали параллелограмма по известным сторонам и острому углу между ними:
Здесь l1 и l2 — длины малой и большой диагоналей соответственно. Эти формулы можно получить самостоятельно, если рассмотреть каждую диагональ как вектор, введя прямоугольную систему координат на плоскости.
Задача с прямым цилиндром
Покажем, как использовать полученные знания для решения следующей задачи. Пусть дан круглый прямой цилиндр. Известно, что осевое сечение цилиндра — квадрат. Чему равна площадь этого сечения, если площадь поверхности всей фигуры составляет 100 см2?
Для вычисления искомой площади необходимо найти либо радиус, либо диаметр основания цилиндра. Для этого воспользуемся формулой для общей площади Sf фигуры:
Поскольку сечение осевое представляет собой квадрат, то это означает, что радиус r основания в два раза меньше высоты h. Учитывая это, можно переписать равенство выше в виде:
Теперь можно выразить радиус r, имеем:
Поскольку сторона квадратного сечения равна диаметру основания фигуры, то для вычисления его площади S будет справедлива следующая формула:
Мы видим, что искомая площадь однозначно определяется площадью поверхности цилиндра. Подставляя данные в равенство, приходим к ответу: S = 21,23 см2.
Докажите что осевое сечение цилиндра является прямоугольником найдите диагональ
Урок «Понятие цилиндра»
Краткое описание документа:
ТЕКСТОВАЯ РАСШИФРОВКА УРОКА:
Введем понятие цилиндра – геометрического тела.
Ну конечно, все вы видели много предметов в быту, похожих на данное тело.
Все прямые образуют поверхность, которая называется цилиндрической.
Каждая из этих прямых называется образующей цилиндрическую поверхность, а прямая, проходящая через центр окружности, – осью цилиндрической поверхности.
Далее проведем плоскость сигма, параллельную плоскости альфа, таким образом, что они отделят отрезки образующих, которые равны и параллельны между собой.
Ось цилиндрической поверхности пройдет через центр О1 окружности Р1, радиус окружностей будет равный r. Таким образом, мы получили цилиндр.
Цилиндром называется тело, ограниченное цилиндрической поверхностью и двумя кругами, лежащими в параллельных плоскостях.
Ось ОО1 – называют осью цилиндра, отрезок образующей цилиндрической поверхности ТТ1– образующая цилиндра.
Цилиндрическая поверхность, т.е. поверхность, составленная из образующих, называется боковой поверхностью цилиндра, а круги – основаниями цилиндра.
Длина образующей называется высотой цилиндра, а радиус основания — радиусом цилиндра.
Цилиндр может быть получен вращением прямоугольника вокруг одной из его сторон. На рисунке изображен цилиндр, полученный вращением прямоугольника вокруг стороны ОО1.
Рассмотрим сечение цилиндра.
1) Если секущая плоскость проходит через ось цилиндра, то сечение представляет собой прямоугольник, две стороны которого – образующие, а две другие – диаметры оснований цилиндра. Такое сечение называется осевым.
2) Если секущая плоскость перпендикулярна оси цилиндра, то сечение является кругом.
Теперь давайте посмотрим, какие бывают цилиндры.
1) Прямые и наклонные, в зависимости от того, перпендикулярны или наклонны плоскости оснований к образующим.
изображён цилиндр, каждое основание которого представляет собой фигуру, ограниченную частью параболы и отрезком.
На втором рисунке изображен цилиндр, основаниями которого являются круги, но образующие цилиндра не перпендикулярны к плоскости оснований (наклонный цилиндр).
Докажите, что осевое сечение цилиндра является прямоугольником, две противоположные стороны которого – образующие, а две другие – диаметры оснований цилиндра. Найти диагональ осевого сечения, если радиус цилиндра равен 1,5 м, а высота равна 4 м.
1) так как АВ и CD – образующие то они равны и параллельны, и по определению образующих цилиндра АВ и CD перпендикулярны основанию.
AD и BC равны как диаметры оснований,
следовательно, четырехугольник ABCD по признаку параллелограмма и определению является прямоугольником.
2) Диагональ АС делит прямоугольник на два равных прямоугольных треугольника, тогда,
из прямоугольного треугольника АВС находим АС: по теореме Пифагора АС равна корню квадратному из суммы квадратов сторон АВ и АС, где АВ равна высоте цилиндра, а ВС диаметру основания то есть двум радиусам.
Конспект лекции (раздаточный материал) по учебной дисциплине «Математика: геометрия» по разделу » Цилиндр, конус, шар»
Ищем педагогов в команду «Инфоурок»
Выбранный для просмотра документ Конспект лекций Цилиндр, конус,шар.docx
МУНИЦИПАЛЬНОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
«ВОЛЖСКИЙ ИНСТИТУТ ЭКОНОМИКИ, ПЕДАГОГИКИ И ПРАВА»
Волжский социально-педагогический колледж
Математика:Геометрия (10-11кл., 1 курс СПО)
Конспект лекций (раздаточный материал) по разделу
Автор: Бондаренко Людмила Валентиновна
Место работы: Волжский социально-педагогический колледж – структурное подразделение ВИЭПП
Как уже отмечалось, все образующие цилиндра параллельны и равны друг другу. Длина образующей называется высотой цилиндра, а радиус основания — радиусом цилиндра.
Площадь поверхности цилиндра
За площадь боковой поверхности цилиндра принимается площадь ее развертки.
Решение задач по теме « Цилиндр»
521. Докажите, что осевое сечение цилиндра является прямоугольником, две противоположные стороны которого — образующие, а две другие — диаметры оснований цилиндра. Найдите диагональ осевого сечения, если радиус цилиндра равен 1,5 м, а высота 4м.
522. Диагональ осевого сечения цилиндра равна 48 см. Угол между этой диагональю и образующей цилиндра равен 60°. Найдите: а) высоту цилиндра; б) радиус цилиндра; в) площадь основания цилиндра
523. Осевое сечение цилиндра — квадрат, диагональ которого равна 20 см. Найдите: а) высоту цилиндра; б) площадь основания цилиндра.
531. Высота цилиндра равна 10 дм. Площадь сечения цилиндра плоскостью, параллельной оси цилиндра и удаленной на 9 дм от нее, равна 240 дм 2 Найдите радиус цилиндра
545. Цилиндр получен вращением квадрата со стороной а вокруг одной из его сторон. Найдите площадь: а) осевого сечения цилиндра; б) боковой поверхности цилиндра; в) полной поверхности цилиндра.
Тело, ограниченное конической поверхностью и кругом с границей L, называется конусом (рис. 149). Круг называется основанием конуса, вершина конической поверхности — вершиной конуса, отрезки образующих, заключенные между вершиной и основанием, — образующими конуса, а образованная ими часть конической поверхности — боковой поверхностью конуса. Ось конической поверхности называется осью конуса, а ее отрезок, заключенный между вершиной и основанием, — высотой конуса. Отметим, что все образующие конуса равны друг другу (объясните почему).
Конус может быть получен вращением прямоугольного треугольника вокруг одного из его катетов. На рисунке 150 изображен конус, полученный вращением прямоугольного треугольника ABC вокруг катета АВ . При этом боковая поверхность конуса образуется вращением гипотенузы АС , а основание — вращением катета ВС .
Площадь поверхности конуса
Таким образом, площадь боковой поверхности конуса равна произведению половины длины окружности основания на образующую.
Площадью полной поверхности конуса называется сумма площадей боковой поверхности и основания. Для вычисления площади S кон полной поверхности конуса получается формула
Часть конической поверхности, ограничивающая усеченный конус, называется его боковой поверхностью, а отрезки образующих конической поверхности, заключенные между основаниями, называются образующими усеченного конуса. Все образующие усеченного конуса равны друг другу (докажите это самостоятельно).
547. Высота конуса равна 15 см, а радиус основания равен 8 см. Найдите образующую конуса.
550. Осевое сечение конуса — прямоугольный треугольник. Найдите площадь этого сечения, если радиус основания конуса равен 5 см.
555. Высота конуса равна 10 см. Найдите площадь сечения, проходящего через вершину конуса и хорду основания, стягивающую дугу в 60°, если плоскость сечения образует с плоскостью основания конуса угол: а) 30°; б) 45°; в) 60°.
Сферой называется поверхность, состоящая из всех точек пространства, расположенных на данном расстоянии от данной точки (рис. 157).
Тело, ограниченное сферой, называется шаром. Центр, радиус и диаметр сферы называются также центром, радиусом и диаметром шара. Очевидно, шар радиуса R с центром О содержит все точки пространства , которые расположены от точки О на расстоянии, не превышающем R (включая и точку О), и не содержит других точек.
Взаимное расположение сферы и плоскости
Касательная плоскость к сфере
Рассмотрим более подробно случай, когда сфера и плоскость имеют только одну общую точку.
Плоскость, имеющая со сферой только одну общую точку, называется касательной плоскостью к сфере, а их общая точка называется точкой касания плоскости и сферы.
Радиус сферы, проведенный в точку касания сферы и плоскости, перпендикулярен к касательной плоскости.
Обратная теорема . Если радиус сферы перпендикулярен к плоскости, проходящей через его конец, лежащий на сфере, то эта плоскость является касательной к сфере. (Самостоятельно)
Формула для вычисления площади сферы радиуса R: S = 4π г 2