Докажите что осевое сечение цилиндра
Урок «Понятие цилиндра»
Краткое описание документа:
ТЕКСТОВАЯ РАСШИФРОВКА УРОКА:
Введем понятие цилиндра – геометрического тела.
Ну конечно, все вы видели много предметов в быту, похожих на данное тело.
Все прямые образуют поверхность, которая называется цилиндрической.
Каждая из этих прямых называется образующей цилиндрическую поверхность, а прямая, проходящая через центр окружности, – осью цилиндрической поверхности.
Далее проведем плоскость сигма, параллельную плоскости альфа, таким образом, что они отделят отрезки образующих, которые равны и параллельны между собой.
Ось цилиндрической поверхности пройдет через центр О1 окружности Р1, радиус окружностей будет равный r. Таким образом, мы получили цилиндр.
Цилиндром называется тело, ограниченное цилиндрической поверхностью и двумя кругами, лежащими в параллельных плоскостях.
Ось ОО1 – называют осью цилиндра, отрезок образующей цилиндрической поверхности ТТ1– образующая цилиндра.
Цилиндрическая поверхность, т.е. поверхность, составленная из образующих, называется боковой поверхностью цилиндра, а круги – основаниями цилиндра.
Длина образующей называется высотой цилиндра, а радиус основания — радиусом цилиндра.
Цилиндр может быть получен вращением прямоугольника вокруг одной из его сторон. На рисунке изображен цилиндр, полученный вращением прямоугольника вокруг стороны ОО1.
Рассмотрим сечение цилиндра.
1) Если секущая плоскость проходит через ось цилиндра, то сечение представляет собой прямоугольник, две стороны которого – образующие, а две другие – диаметры оснований цилиндра. Такое сечение называется осевым.
2) Если секущая плоскость перпендикулярна оси цилиндра, то сечение является кругом.
Теперь давайте посмотрим, какие бывают цилиндры.
1) Прямые и наклонные, в зависимости от того, перпендикулярны или наклонны плоскости оснований к образующим.
2) Сложные цилиндры.
изображён цилиндр, каждое основание которого представляет собой фигуру, ограниченную частью параболы и отрезком.
На втором рисунке изображен цилиндр, основаниями которого являются круги, но образующие цилиндра не перпендикулярны к плоскости оснований (наклонный цилиндр).
Докажите, что осевое сечение цилиндра является прямоугольником, две противоположные стороны которого – образующие, а две другие – диаметры оснований цилиндра. Найти диагональ осевого сечения, если радиус цилиндра равен 1,5 м, а высота равна 4 м.
1) так как АВ и CD – образующие то они равны и параллельны, и по определению образующих цилиндра АВ и CD перпендикулярны основанию.
AD и BC равны как диаметры оснований,
следовательно, четырехугольник ABCD по признаку параллелограмма и определению является прямоугольником.
2) Диагональ АС делит прямоугольник на два равных прямоугольных треугольника, тогда,
из прямоугольного треугольника АВС находим АС: по теореме Пифагора АС равна корню квадратному из суммы квадратов сторон АВ и АС, где АВ равна высоте цилиндра, а ВС диаметру основания то есть двум радиусам.
Сечение цилиндра: определение, виды, его образующая
Кратко о цилиндре
Цилиндр — это геометрическая фигура, которая ограничена цилиндрической поверхностью и двумя плоскими окружностями.
Также можно сказать, что это тело вращения, возникающее при вращении прямоугольника вокруг его стороны.
Осевое сечение
Это сечение фигуры плоскостью, проходящей через ее ось. Оно является прямоугольником. Таким образом, любое сечение, параллельное оси цилиндра (и перпендикулярное его основанию), становится прямоугольником. Сторонами этой фигуры будет диаметр цилиндра и высота его оси.
Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.
Как найти площадь сечения
Формула 1
\(S = d*h,\)
где \(d\) — диаметр, а \(h\) — высота всей фигуры.
Также есть формулы для расчета площади сечения, параллельного оси геометрического тела (но не пересекающего ее).
Формула 2
\(S = a*h, \)
Осевое сечение наклонного цилиндра
Сечение наклонного цилиндра по оси представляет собой параллелограмм. Его стороны нам уже известны: одна из них равна диаметру d, как и в случае с прямой фигурой. Другая — длина образующего отрезка. Ее мы можем обозначить буквой b.
Для точного определения всех параметров параллелограмма недостаточно знать только длины его сторон. Для расчета площади фигуры нам понадобится один из ее углов. Допустим, что острый угол между плоскостью и направляющий равен α. Тогда формула S параллелограмма будет выглядеть следующим образом:
Примеры задач
Рассмотрим пару задач на осевое сечение с решениями.
Задача 1
Дан круглый прямой цилиндр. Его осевое сечение является квадратом. Вопрос: чему равна S сечения, если площадь поверхности всего цилиндра — 100 см²?
Решение
Чтобы найти S квадрата, нужно сначала определить радиус или диаметр окружности цилиндра. Для этого вспомним формулу для нахождения площади самого цилиндра:
Так как осевое сечение — квадрат, значит радиус основания в два раза меньше высоты фигуры. В таком случае, формула будет выглядеть так:
\(Sц = 2pi * r * (r + 2r) = 6 * pi * r²\)
Исходя из этого, будем выражать радиус:
Если сторона квадратного сечения равна диаметру основания цилиндра, то для определения площади квадрата S используем формулу:
\(S = (2*r)2 = 4*r2 = 2*Sц/ (3*pi)\)
Задача 2
Решение
Так как площадь сечения — прямоугольник, то \(Sc = AB * BC = h * 2r.\) Тогда \(h = Sc/(2r) = 10/(2√(5/pi)) = 5√(pi/5) = √(5pi).\)