Докажите что отрезок который соединяет середины двух противоположных сторон четырехугольника
Отрезок, соединяющий середины двух противоположных сторон выпуклого четырёхугольника, равен полусумме двух других сторон. Докажите, что этот четырёхугольник – трапеция или параллелограмм.
Решение 1
Пусть M и N – середины сторон AB и CD выпуклого четырёхугольника ABCD и MN = ½ (AD + BC). На продолжении отрезка BN за точку N отложим отрезок NK, равный BN. Из равенства треугольников BCN и KDN (по двум сторонам и углу между ними) следует, что DK = BC и DK || BC.
Поскольку MN – средняя линия треугольника ABK, то AK = 2MN = AD + BC = AD + DK. Следовательно, точка D лежит на отрезке AK и AD || BC.
Решение 2
Заметим, что Сложив (с учетом того, что ), получим, что Поскольку длина суммы векторов не превосходит суммы их длин, то 2MN ≤ BC + AD, причём равенство достигается только в том случае, когда векторы и сонаправлены, то есть когда ABCD – трапеция с основаниями BC и AD.
Урок геометрии по теме «Теорема Вариньона. Решение задач». 8-й класс
Класс: 8
Презентация к уроку
Цель: изучить теорему Вариньона и научиться применять ее на практике с наименьшими временными затратами.
Задачи:
Ход урока
Введение
В 21 век, в век информационных технологий, главным ресурсом является время. Тысячи людей желают посещать тренинги, семинары и лекции по тайм-менеджменту, где бы их научили, как рационально, с минимальными потерями и максимальной пользой использовать свое время. Большую часть времени у ученика занимает обучение в школе и приготовление домашнего задания. Одним из самых сложных предметов в школе является геометрия. В частности, задачи на доказательство требуют значительной траты времени, поэтому у многих отсутствует интерес к решению подобных заданий. В теме «Четырехугольники» эту проблему может решить использование теоремы Вариньона.
Пьер Вариньон – французский математик и механик 18 века, который первым доказал, что середины сторон выпуклого четырехугольника являются вершинами параллелограмма. Эта теорема вызвала интерес у отечественных ученых лишь в 20 веке. Подробно ее применение показал украинский геометр – Г.Б.Филипповский и кандидат физико-математических наук, доцент МГУ В.В. Вавилов. В школе теорема Вариньона не входит в курс программы, но считаю изучение её необходимым.
1. Теоретическая часть
Вариньон Пьер [1] (1654–1722)
Пьер Вариньон родился во Франции в 1654 году. Обучался в иезуитском коллеже и университете в Кане, где стал магистром в 1682 году. Вариньон готовился к религиозной деятельности, но, изучая сочинения Эвклида и Декарта, увлекся математикой и механикой. Труды Вариньона посвящены теоретической механике, анализу бесконечно малых, геометрии, гидромеханике и физике. Вариньон был одним из первых ученых, ознакомивших Францию с анализом бесконечно малых. В конце 17 и начале 18 в. Вариньон руководил «Журналом ученых», в котором помещали свои работы по исчислению бесконечно малых братья Бернулли. В геометрии Вариньон изучал различные специальные кривые, в частности ввел термин «логарифмическая спираль». Главные заслуги Вариньона относятся к теоретической механике, а именно к геометрической статике. В 1687 Вариньон представил в Парижскую АН сочинение «Проект новой механики. », в котором сформулировал закон параллелограмма сил. В 1725 в Париже был издан трактат Вариньона «Новая механика или статика», представляющий собой систематическое изложение учения о сложении и разложении сил, о моментах сил и правилах оперирования ими, почти без изменений сохранившееся в учебниках статики до нашего времени. Написал учебник по элементарной геометрии (издан в 1731).
Теорема Вариньона [2]
Четырехугольник, образованный путем последовательного соединения середин сторон выпуклого четырехугольника, является параллелограммом, и его площадь равна половине площади данного четырехугольника.
ABCD – выпуклый четырехугольник
AK=KB; BL=LC; CM=MD; AN=ND
1) KLMN – параллелограмм;
Т.е., SKLMN = SABCD/2. Что и требовалось доказать.
Определение. Бимедианы четырехугольниках [3] – это отрезки, соединяющие середины противоположных сторон (диагонали параллелограмма Вариньона)
Следствия из теоремы Вариньона
Параллелограмм Вариньона является ромбом тогда и только тогда, когда в исходном четырехугольнике 1) диагонали равны 2) бимедианы перпендикулярны.
Доказать: KLMN – ромб
Так как AC=BD (диагонали исходного четырехугольника равны по условию), то стороны параллелограмма Вариньона будут равны KL=LM=MN=NK (используя свойство средних линий треугольников, образованных при пересечении диагоналей исходного четырехугольника). Параллелограмм c равными сторонами является ромбом.
KLMN – параллелограмм Вариньона;
KM и LN перпендикулярны
Бимедианы исходного четырехугольника – это диагонали параллелограмма Вариньона. Так как в параллелограмме диагонали перпендикулярны, то этот параллелограмм является ромбом (по признаку ромба).
Что и требовалось доказать.
Параллелограмм Вариньона является прямоугольником тогда и только тогда, когда в исходном четырехугольнике: 1) диагонали перпендикулярны; 2) бимедианы равны
KLMN – параллелограмм Вариньона;
диагонали AC и BD – перпендикулярны
Так как диагонали AC и BD – перпендикулярны, то стороны параллелограмма Вариньона будут перпендикулярны. Следовательно, параллелограмм Вариньона является прямоугольником.
KLMN – параллелограмм Вариньона;
бимедианы KM и LN – равны
Бимедианы исходного четырехугольника – это диагонали параллелограмма Вариньона. Так как в параллелограмме диагонали равны, то этот параллелограмм является прямоугольником (по признаку прямоугольника).
Что и требовалось доказать.
Параллелограмм Вариньона является квадратом тогда и только тогда, когда в исходном четырехугольнике 1) диагонали равны и перпендикулярны; 2) бимедианы равны и перпендикулярны
KLMN – параллелограмм Вариньона;
диагонали AC и BD – перпендикулярны; AC=BD
Так как диагонали исходного четырехугольника AC и BD равны и перпендикулярны, то стороны параллелограмма Вариньона будут равны и перпендикулярны. Следовательно, параллелограмм Вариньона является квадратом.
KLMN – параллелограмм Вариньона;
бимедианы KM и LN – перпендикулярны; KM=LN
Доказать: KLMN – квадрат
Бимедианы исходного четырехугольника – это диагонали параллелограмма Вариньона. Так как в параллелограмме диагонали равны и перпендикулярны, то этот параллелограмм является квадратом (по признаку квадрата).
Что и требовалось доказать.
2. Практическая часть. Решение задач.
Докажите, что а) середины сторон прямоугольника являются вершинами ромба. И наоборот, б) середины сторон ромба являются вершинами прямоугольника.
а) Диагонали прямоугольника равны, поэтому середины сторон прямоугольника являются вершинами ромба (см. следствие 1);
Стороны прямоугольника перпендикулярны, поэтому бимедианы перпендикулярны, тогда середины сторон прямоугольника являются вершинами ромба (см. следствие 1).
б) диагонали ромба перпендикулярны, поэтому середины сторон ромба являются вершинами прямоугольника (см. следствие 2);
Стороны ромба равны, поэтому середины сторон ромба являются вершинами прямоугольника (см. следствие 2).
У четырехугольника диагонали равны aи b. Найдите периметр четырехугольника, вершинами которого являются середины сторон данного четырехугольника.
Периметр параллелограмма Вариньона равен a+b.
Докажите, что середины сторон четырехугольника являются вершинами параллелограмма.
См. теорему Вариньона.
Докажите, что средние линии четырехугольника делятся точкой пересечения пополам.
Т.к. средние линии четырехугольника являются диагоналями параллелограмма Вариньона, то точка пересечения делит их пополам.
Олимпиадные задачи
1. Докажите, что если диагонали четырехугольника равны, то его площадь равна произведению средних линий [5].
Доказать: SABCD= KM*LN
Так как диагонали AC = BD, параллелограмм Вариньона является ромбом, площадь ромба равна половине произведения его диагоналей.
Что и требовалось доказать.
2. Докажите, что суммы площадей накрест лежащих четырехугольников, образованных пересечением бимедиан LN и KM выпуклого четырехугольника ABCD равны [6].
Воспользуемся теоремой о средней линии треугольника.
Что и требовалось доказать.
Заключение
«Нет ничего нового под солнцем, но есть кое-что старое, чего мы не знаем», – сказал американский литератор Лоренс Питер.
Пьер Вариньон жил в 18 веке, но теорема Вариньона как нельзя актуальна именно в наши дни, когда чтобы всё успеть, необходимо гораздо больше, чем 24 часа в сутки.
Поэтому была поставлена цель: изучить теорему Вариньона и научиться применять ее на практике с наименьшими временными затратами.
Для этого был разобран весь теоретический материал, решены задачи базового уровня, а также повышенной сложности (олимпиадные). Было подсчитано, что на решение задачи традиционным способом затрачивается 15-20 минут, а зная теорему Вариньона и следствия из нее, доказательство сводится к одному-двум предложениям и занимает 1-2 минуты. При этом экономия времени на доказательство в среднем составляет 15 минут. Таким образом, уже даже решение трех задач добавит дополнительные сорок пять минут (т.е. целый урок) на доказательство других, более сложных.
От этого повышается не только интерес к изучению данного предмета, но и сам процесс работы приносит удовлетворение. Цель работы считаю достигнутой.
Презентация внеклассного занятия по геометрии «Бимедианы четырехугольника. Теорема Вариньона в теориях и задачах»
Описание презентации по отдельным слайдам:
Конспект внеклассного занятия по геометрии 8 класс «Бимедианы четырёхугольника. Теорема Вариньона в теории и задачах» Автор:: Ковалева Людмила Леонидовна учитель математики, высшей квалификационной категории, «Почётный работник общего образования РФ», МБОУ «СОШ №77» г.Кемерово
Цель работы: Расширить свой кругозор, узнать новую информацию из раздела геометрии, познакомиться с теоремой Вариньона и научиться применять её на практике. Объект исследования: Теорема Вариньона Предмет исследования: геометрия
Задачи: 1. Изучить теоретический материал: ознакомиться с понятием “параллелограмм Вариньона”, рассмотреть способы решения задач по данной теореме, вывести доказательство и сделать следствие по теореме Вариньона. 2. Сравнить способы решения с помощью обыденного решения задач, и используя теорему Вариньона. 3. Показать наглядно способы решения на примере конкурсных и олимпиадных заданий, применяя теорему Вариньона.
Вариньон Пьер. Вариньон Пьер(1654-1722)-выдающийся механик и учёный, член Французской Академии Наук(с 1688 г.). Изучал философию, математику в частности. Место рождения-Каен. Главнейшие научные заслуги Вариньона относятся к механике. Вариньон исходя из принципа равновесия рычага, начала параллелограмма сил и применяя теорему моментов, выводит условия равновесия всех простых машин. Является первым учёным, который доказал, что середины сторон выпуклого четырёхугольника являются вершинами параллелограмма.
Основные теоретические сведения. Определение. Бимедианы четырехугольника – это отрезки, соединяющие середины противоположных сторон. Одна из основных теорем о бимедианах четырехугольника принадлежит французскому механику и инженеру Пьеру Вариньону (1654 – 1722), написавшему учебник по элементарной геометрии (издан в 1731 г.), в котором эта теорема впервые и появилась.
Теорема Вариньона Параллелограмм, вершинами которого являются середины сторон четырёхугольника, называется параллелограммом Вариньона Середины сторон четырёхугольника называют вершинами параллелограмма. Параллелограмм, образованный серединами сторон, иногда называется вариньоновским или вариньоновым.
Теорема Вариньона. Теорема: Четырехугольник, образованный путем последовательного соединения середин сторон выпуклого четырехугольника, является параллелограммом, и его площадь равна половине площади данного четырехугольника. Дано: ABCD – выпуклый четырехугольник AK=KB; BL=LC; CM=MD; AN=ND Доказать: 1) KLMN – параллелограмм; 2) SKLMN= SABCD/2
Доказательство: Рассмотрим одну из сторон четырехугольника KLMN, например KL. KL – средняя линия треугольника ABC (по определению),следовательно, KL║AC. Аналогично, так как MN – средняя линия треугольника ADC,то MN║AC. Так как KL║AC и MN║AC следовательно, KL║NM и KL=MN=AC/2. Таким образом, KLMN – параллелограмм. Этот параллелограмм называется параллелограммом Вариньона данного четырехугольника. Средняя линия треугольника отсекает от него треугольник, площадь которого в четыре раза меньше площади исходного треугольника, т.е. SKBL = SABC/4, SMDN=SADS/4. Следовательно, S1+S3=SABCD /4. Аналогично, S2+S4=SABCD/4. Следовательно, S1+S3 + S2+S4 = SABCD /4 + SABCD/4 = SABCD/2. Т.е., SKLMN = SABCD/2. Что и требовалось доказать.
Следствия из теоремы. Следствие 1. Параллелограмм Вариньона является ромбом тогда и только тогда, когда в исходном четырехугольнике: Дано: ABCD – четырехугольник; KLMN – параллелограмм Вариньона; AC=BD Доказать: KLMN – ромб а) диагонали равны (см. рис. 2.1.) б) бимедианы перпендикулярны (см. рис. 2.2). Дано: ABCD – четырехугольник; KLMN – параллелограмм Вариньона; KM и LN перпендикулярны Доказать: KLMN – ромб
Следствия из теоремы. Следствие 2.1. Параллелограмм Вариньона является прямоугольником тогда и только тогда, когда в исходном четырехугольнике: а) диагонали перпендикулярны (см. рис 3.1.); Так как диагонали исходного четырехугольника перпендикулярны, то стороны параллелограмма Вариньона будут перпендикулярны. Тогда параллелограмм Вариньона является прямоугольником (по признаку прямоугольника). б) бимедианы равны (см. рис. 3.2.). Бимедианы исходного четырехугольника – это диагонали параллелограмма Вариньона. Так как в параллелограмме диагонали равны, то этот параллелограмм является прямоугольником (по признаку прямоугольника).
Следствия из теоремы. Следствие 3. Параллелограмм Вариньона является квадратом тогда и только тогда, когда в исходном четырехугольнике: а) диагонали равны и перпендикулярны(см. рис. 4.1.); Так как диагонали исходного четырехугольника равны и перпендикулярны, то стороны параллелограмма Вариньона будут равны и перпендикулярны. Тогда параллелограмм Вариньона является квадратом (по признаку квадрата). б) бимедианы равны и перпендикулярны (см. рис. 4.2.). Бимедианы исходного четырехугольника – это диагонали параллелограмма Вариньона. Так как в параллелограмме диагонали равны и перпендикулярны, то этот параллелограмм является квадратом (по признаку квадрата).
Следствия из теоремы. Следствие 4.(теорема о бабочках). Суммы площадей накрест лежащих четырехугольников, образованных пересечением бимедиан LN и KM выпуклого четырехугольника ABCD равны. Доказательство: Воспользуемся теоремой о средней линии треугольника. Получаем: Что и требовалось доказать
Разбор задач задачи из школьного курса геометрии Задача 1. У четырехугольника диагонали равны a и b. Найдите периметр четырехугольника, вершинами которого являются середины сторон данного четырехугольника. Решение. параллелограмм; со сторонами параллелограмм; со сторонами и Ответ: Периметр параллелограмма Вариньона равен a+b.
Разбор задач задачи из школьного курса геометрии Задача 2. Докажите, что середины сторон четырехугольника являются вершинами параллелограмма. Решение. См. теорему Вариньона.
Конкурсные задачи. Задача 3. Докажите, что если диагонали четырехугольника равны, то его площадь равна произведению средних линий Дано: ABCD – четырехугольник; AC = BD Доказать: SABCD= KM*LN Доказательство: Так как диагонали AC = BD, параллелограмм Вариньона является ромбом, площадь ромба равна половине произведения его диагоналей. Что и требовалось доказать
Конкурсные задачи. Задача 5. Все стороны выпуклого четырехугольника площади 1 разделены на 2n равных частей, а затем точки деления на противоположных сторонах соединены так, чтобы получилась «косоугольная шахматная доска», состоящая из белых и черных «клеток» (см. рис. при n = 2). Доказать, что сумма площадей всех белых «клеток» равна сумме площадей всех черных «клеток»
Конкурсные задачи. Задача 5. Все стороны выпуклого четырехугольника площади 1 разделены на 2n равных частей, а затем точки деления на противоположных сторонах соединены так, чтобы получилась «косоугольная шахматная доска», состоящая из белых и черных «клеток» (см. рис. при n = 2). Доказать, что сумма площадей всех белых «клеток» равна сумме площадей всех черных «клеток»
Конкурсные задачи. Задача 4. Докажите, что площадь параллелограмма, образованного прямыми, проходящими через вершины выпуклого четырехугольника и параллельными его диагоналям, в два раза больше площади исходного четырехугольника Дано: ABCD – четырехугольник; AC = BD Доказать: SABCD= KM*LN Доказательство: Так как диагонали AC = BD, параллелограмм Вариньона является ромбом, площадь ромба равна половине произведения его диагоналей. Что и требовалось доказать
Заключение «Нет ничего нового под солнцем, но есть кое-что старое, чего мы не знаем», – сказал американский литератор Лоренс Питер. Пьер Вариньон жил в 18 веке, но теорема Вариньона как нельзя актуальна именно в наши дни, когда чтобы всё успеть, необходимо гораздо больше, чем 24 часа в сутки. Поэтому была поставлена цель: изучить теорему Вариньона и научиться применять ее на практике с наименьшими временными затратами.
Заключение Для этого был разобран весь теоретический материал, решены задачи базового уровня, а также повышенной сложности (олимпиадные). Было подсчитано, что на решение задачи традиционным способом затрачивается больше времени, а зная теорему Вариньона и следствия из нее, доказательство сводится к одному-двум предложениям и занимает наименьшее время. При этом экономия времени на доказательство в среднем составляет около 15 минут. Таким образом, уже даже решение трех задач добавит дополнительные сорок пять минут (т.е. целый урок) на доказательство других, более сложных задач. От этого повышается не только интерес к изучению данного предмета, но и сам процесс работы приносит удовлетворение. Цель работы считаю достигнутой, задачи решены.
Курс повышения квалификации
Дистанционное обучение как современный формат преподавания
Курс повышения квалификации
Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО
Курс профессиональной переподготовки
Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации
Ищем педагогов в команду «Инфоурок»
1. Данная тема является дополнением и углублением изученных в курсе геометрии свойств.
2. Применение опыта решения планиметрических задач с использованием теоремы Вариньона и следствий из нее помогает повысить уровень пространственного воображения и уровень логической культуры.
3. Изучение данной темы поможет более глубоко подготовиться к успешному участию в математических конкурсах и олимпиадах по математике.
Номер материала: ДБ-609669
Не нашли то что искали?
Вам будут интересны эти курсы:
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.
Безлимитный доступ к занятиям с онлайн-репетиторами
Выгоднее, чем оплачивать каждое занятие отдельно
Путин поручил не считать выплаты за классное руководство в средней зарплате
Время чтения: 1 минута
В России утверждены новые аккредитационные показатели для школ и колледжей
Время чтения: 2 минуты
В Якутии проведут первую в РФ федеральную олимпиаду по родным языкам
Время чтения: 1 минута
В Ленобласти педагоги призеров и победителей олимпиады получат денежные поощрения
Время чтения: 1 минута
Учителям предлагают 1,5 миллиона рублей за переезд в Златоуст
Время чтения: 1 минута
Создана Ассоциация руководителей школ России и Беларуси
Время чтения: 1 минута
Подарочные сертификаты
Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.
Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.
