Докажите что отрезок соединяющий середины боковых сторон трапеции параллелен основаниям трапеции 386
В трапеции параллельно основаниям проведены четыре отрезка с концами на боковых сторонах: KL, MN, RS и TQ. Известно, что первый отрезок проходит через точку пересечения диагоналей трапеции, второй — делит ее на два подобных четырехугольника, третий — соединяет середины боковых сторон, четвертый разбивает трапецию на две равновеликие части.
а) Найдите длины этих отрезков.
б) Докажите, что KLa. Введем обозначения, как показано на рисунках. Для единообразия записей в каждом из случаев обозначим искомый отрезок EF и прием его длину за х.
1. Отрезок, проходящий через точку пересечения диагоналей. Достроим трапецию до параллелограмма, как показано на рисунке. Треугольники BOC и AOD подобны, их высоты относятся как Треугольники FCG также FDH подобны, их высоты относятся как Поскольку указанные пары треугольников имеют равные высоты, получаем: откуда
Отметим, что найденная длина отрезка является средним гармоническим оснований.
2. Подобные трапеции. Если трапеции ALFD и LBCF подобны, то Отсюда
Отметим, что найденная длина отрезка является средним геометрическим оснований.
Отметим, что найденная длина отрезка является средним арифметическим оснований.
4. Равновеликие трапеции. Достроим трапецию до треугольника, как показано на рисунке. В силу подобия треугольников PBC, PEF и PAD имеем:
Складывая равенства, получаем откуда
Отметим, что найденная длина отрезка является средним квадратичным оснований.
Неравенства между средними. Известно, что для положительных чисел a и b их среднее гармоническое не больше среднего геометрического, среднее геометрическое не больше среднего арифметического, а среднее арифметическое не больше среднего квадратичного; причем равенства достигаются только в случае равенства чисел a и b:
Иллюстрация этих соотношений представлена на рисунке.
Докажем неравенства, попарно возводя их в квадрат:
Критерии оценивания выполнения задания
Баллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты.
4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.
3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.
2
Верно получен один из следующих результатов:
— обоснованное решение п. б;
— обоснование в п. в того, что S может принимать все целые значения (отличные от −1 и 1);
Докажите что отрезок соединяющий середины боковых сторон трапеции параллелен основаниям трапеции 386
Задание 16. Отрезок, соединяющий середины М и N оснований соответственно ВС и AD трапеции ABCD, разбивает её на две трапеции, в каждую из которых можно вписать окружность.
а) Докажите, что трапеция ABCD равнобедренная.
б) Известно, что радиус этих окружностей равен 4, а меньшее основание ВС исходной трапеции равно 14. Найдите радиус окружности, касающейся боковой стороны АВ, основания AN трапеции ABMN и вписанной в неё окружности.
а) Дана трапеция ABCD, в которой M – середина BC, а N – середина AD (см. рисунок ниже). Следовательно,
По условию задания в трапецию ABMN можно вписать окружность, значит, суммы ее противоположных сторон равны:
б) Так как радиус вписанных окружностей равен 4, значит, высота трапеции MN=2∙4=8. Также по условию дана длина BC=14 и, следовательно, BM=BC:2=14:2=7. Обозначим BF через x (см. рисунок ниже). Тогда BM1=x как отрезки касательных.
Получаем, что M1M=7-x, поэтому и MZ=7-x,
следовательно, N1N=x+1 (так как соответствующие отрезки касательных равны). Так как MZ=ZN (радиус O1Z вписанной окружности будет параллелен основаниям трапеции), имеем:
Значит, BF=BM1 = 3. Рассмотрим прямоугольный треугольник BO1A (он прямоугольный, так как AO1 и BO1 – биссектрисы, а , поэтому ). Квадрат высоты OF1, проведенной из прямого угла, равен:
и по теореме Пифагора
Обозначим радиус малой окружности AO=y, тогда
Учитывая, что треугольники AFO1 и AYO подобны по двум углам, можем записать отношение:
Точка пересечения диагоналей трапеции, точка пересечения продолжения боковых сторон трапеции и середины оснований трапеции лежат на одной прямой.
Существует несколько способов доказательства этого свойства. Надо доказать, что четыре данные точки лежат на одной прямой. Прямую можно провести через любые две точки. Выбирают две любые точки из четырёх, проводят через них прямую и доказывают, что две другие точки также лежат на этой прямой.
Сформулируем это свойство иначе:
Прямая, проходящая через точку пересечения диагоналей трапеции и точку пересечения продолжения её боковых сторон, делит основания трапеции пополам.
Дано:
ABCD- трапеция, AD||BC,
Доказать: K- середина AD,
Рассмотрим треугольники AOK и COP.
∠OAK=∠OCP (как внутренние накрест лежащие при AD||BC и секущей AC).
Значит, треугольники AOK и COP подобны (по двум углам).
Аналогично, треугольники DOK и BOP подобны и
Так как правые части этих равенств равны, то левые также равны:
Рассмотрим треугольники AFK и BFP.
∠KAF=∠PBF (как соответственные при AD||BC и секущей AF).
Следовательно, треугольники AFK и BFP подобны (по двум углам).
Аналогично, треугольники DFK и CFP подобны и
Правые части равенств равны, приравниваем левые части:
а значит, CP=BP, то есть P — середина BC.
AK=DK, K — середина AD.
Что и требовалось доказать.
В нашем случае докажем, что точки O и P лежат на прямой FK.
FK — медиана треугольника AFD.
Проведём через точку O пересечения диагоналей трапеции отрезок QL с концами на боковых сторонах трапеции.
BC||AD (как основания трапеции), QL||AD (по построению).
Так как медиана, проведённая к стороне треугольника, делит пополам любой отрезок, параллельный этой стороне, с концами на двух других сторонах треугольника, то точки P и O лежат прямой FK.
Поскольку медиана FK, проведённая к AD, делит пополам любой отрезок, параллельный AD, с концами на сторонах AF и DF, то среднюю линию трапеции она также делит пополам. Таким образом, замечательное свойство трапеции можно дополнить:
Точка пересечения диагоналей трапеции, точка пересечения продолжения боковых сторон трапеции, середины оснований трапеции и середина средней линии трапеции лежат на одной прямой.
Треугольники FCG также FDH подобны, их высоты относятся как 
Поскольку указанные пары треугольников имеют равные высоты, получаем: 
откуда
Отсюда
откуда
, поэтому 
). Квадрат высоты OF1, проведенной из прямого угла, равен:
Дано:
Рассмотрим треугольники AOK и COP.
Рассмотрим треугольники AFK и BFP.
В нашем случае докажем, что точки O и P лежат на прямой FK.