Докажите что параллелограмм выпуклый четырехугольник
Параллелограмм, его свойства и признаки с примерами решения
Параллелограммом называют четырехугольник, у которого противолежащие стороны попарно параллельны.
На рисунке 16 изображен параллелограмм 
Рассмотрим свойства параллелограмма.
1. Сумма двух любых соседних углов параллелограмма равна 180°.
Действительно, углы 
и 
параллелограмма 
(рис. 16) являются внутренними односторонними углами для параллельных прямых 
и 
и секущей 
Поэтому 
Аналогично это свойство можно доказать для любой другой пары соседних углов параллелограмма.
2. Параллелограмм является выпуклым четырехугольником.
3. В параллелограмме противолежащие стороны равны и противолежащие углы равны.
Доказательство:
Диагональ 
разбивает параллелограмм 
на два треугольника 
и 
(рис. 17). 
-их общая сторона, 
и 
(как внутренние накрест лежащие углы для каждой из пар параллельных прямых 
и 
и 
и секущей 
Тогда 
(по стороне и двум прилежащим углам). Откуда, 
и 
(как соответственные элементы равных треугольников). Так как 
то 
4. Периметр параллелограмма 
5. Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.
Доказательство:
Пусть 
— точка пересечения диагоналей 
и 
параллелограмма 
(рис. 18). 
(как противолежащие стороны параллелограмма), 
(как внутренние накрест лежащие углы для параллельных прямых 
и 
и секущих 
и 
соответственно). Следовательно, 
(по стороне и двум прилежащим углам). Тогда 
(как соответственные стороны равных треугольников).
Пример:
Дано: 
параллелограмм, 
— биссектриса угла 
(рис. 19). Найдите: 
Решение:
1) 
2) 
(как внутренние накрест лежащие углы для параллельных прямых 
и 
и секущей 
3) 
(по условию), тогда 
Тогда 
— равнобедренный (по признаку равнобедренного треугольника), 
4) 
Высотой параллелограмма называют перпендикуляр, проведенный из любой точки стороны параллелограмма к прямой, содержащей противолежащую сторону.
На рисунке 20 
— высота параллелограмма, 
Из каждой вершины параллелограмма можно провести две высоты. Например, на рисунке 21 
и 
— высоты параллелограмма, проведенные соответственно к сторонам 
и 
Рассмотрим признаки параллелограмма.
Теорема (признаки параллелограмма). Если в четырехугольнике: 1) две стороны параллельны и равны, или 2) противолежащие стороны попарно равны, или 3) диагонали точкой пересечения делятся пополам, или 4) противолежащие углы попарно равны, — то четырехугольник является параллелограммом.
Доказательство:
1) Пусть в четырехугольнике 
и 
(рис. 22). Проведем диагональ 
Рассмотрим 
и 
(как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых 
и 
и секущей 
— общая сторона, 
(по условию). Следовательно, 
(по двум сторонам и углу между ними). Тогда 
(как соответственные). Но это накрест лежащие углы при пересечении прямых 
и 
секущей 
Поэтому 
(по признаку параллельности прямых). Следовательно, в четырехугольнике 
противолежащие стороны попарно параллельны. Поэтому 
-параллелограмм.
2) Пусть в четырехугольнике 
и 
(рис. 22). Проведем диагональ 
Тогда 
(по трем сторонам). Поэтому 
и следовательно, 
(по признаку параллельности прямых). Аналогично доказываем, что 
Следовательно, 
— параллелограмм.
3) Пусть в четырехугольнике 
диагонали 
и 
пересекаются в точке 
и 
(рис. 23). 
(как вертикальные). Поэтому 
(по двум сторонам и углу между ними). Отсюда 
Аналогично доказываем, что 
Принимая во внимание п. 2) этой теоремы, приходим к выводу, что 
— параллелограмм.
4) Пусть в параллелограмме 
(рис. 16). Так как 
то 
т. е. 
откуда 
Но 
и 
— внутренние накрест лежащие углы для прямых 
и 
и секущей 
Поэтому 
по признаку параллельности прямых). Аналогично доказываем, что 
Следовательно, 
— параллелограмм.
Пример:
В четырехугольнике 
Докажите, что 
— параллелограмм.
Доказательство:
Пусть 
— данный четырехугольник (рис. 22). Рассмотрим 
и 
— их общая сторона, 
(по условию). Тогда, 
(по двум сторонам и углу между ними). Следовательно, 
Но тогда в четырехугольнике 
противолежащие стороны попарно равны, поэтому он является параллелограммом.
О некоторых видах четырехугольников (квадраты, прямоугольники, равнобокие и прямоугольные трапеции) знали еще древнеегипетские и вавилонские математики.
Термин «параллелограмм» греческого происхождения, считают, что он был введен Евклидом (около 300 г. до н. э.). Также известно, что еще раньше о параллелограмме и некоторых его свойствах уже знали ученики школы Пифагора («пифагорейцы»).
В «Началах» Евклида доказана следующая теорема: в параллелограмме противолежащие стороны равны и противолежащие углы равны, а диагональ делит его пополам, но не упоминается о том, что точка пересечения диагоналей параллелограмма делит каждую из них пополам.
Евклид также не упоминает ни о прямоугольнике, ни о ромбе.
Полная теория параллелограммов была разработана лишь в конце Средневековья, а в учебниках она появилась в XVII в. Все теоремы и свойства параллелограмма в этих учебниках основывались на аксиоме параллельности Евклида.
При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org
Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи
Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей
Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.
Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.
Параллелограмм
Параллелограмм — это выпуклый четырехугольник, у которого
две любые стороны равны и параллельны.
На рисунке 1 изображен выпуклый четырехугольник MNPQ, со сторонами MN, PQ, MQ, NP. Чтобы доказать, что это параллелограмм, посмотрим
какие у него стороны. Итак, по рисунку 1 видно, что у этого выпуклого четырехугольника в первую очередь противоположные стороны равны: MN = PQ и NP = MQ.
Но нам этого еще недостаточно,так как равные противоположные стороны могут быть и у прямоугольника. Для того, чтобы можно было окончательно сказать,
что этот выпуклый четырехугольник — параллелограмм, надо во вторую очередь посмотреть параллельны, ли эти стороны. Сторона MN параллельна стороне PQ,
а сторона NP параллельна стороне MQ. Следовательно, у этого выпуклого четырехугольника две стороны равны и параллельны,а это значит, что это параллелограмм.
Докажем признак, который мы использовали для доказательства — о том, что если в четырехугольнике
две любые стороны равны и параллельны, то это параллелограмм.
На рисунке 2 изобразим выпуклый четырехугольник CPED. По условию CP = ED, CP || ED. Докажем, что CPED — параллелограмм.
5) PE || CD, CP || ED и PE = CD, CP = ED, следовательно CPED — параллелограмм, ч.т.д.
Признак доказан.
Кроме признака параллелограмма, который мы сейчас доказали, существует еще несколько признаков,
которые мы рассмотрим и докажем в следующих статьях.
Урок геометрии по теме «Теорема Вариньона. Решение задач». 8-й класс
Класс: 8
Презентация к уроку
Цель: изучить теорему Вариньона и научиться применять ее на практике с наименьшими временными затратами.
Задачи:
Ход урока
Введение
В 21 век, в век информационных технологий, главным ресурсом является время. Тысячи людей желают посещать тренинги, семинары и лекции по тайм-менеджменту, где бы их научили, как рационально, с минимальными потерями и максимальной пользой использовать свое время. Большую часть времени у ученика занимает обучение в школе и приготовление домашнего задания. Одним из самых сложных предметов в школе является геометрия. В частности, задачи на доказательство требуют значительной траты времени, поэтому у многих отсутствует интерес к решению подобных заданий. В теме «Четырехугольники» эту проблему может решить использование теоремы Вариньона.
Пьер Вариньон – французский математик и механик 18 века, который первым доказал, что середины сторон выпуклого четырехугольника являются вершинами параллелограмма. Эта теорема вызвала интерес у отечественных ученых лишь в 20 веке. Подробно ее применение показал украинский геометр – Г.Б.Филипповский и кандидат физико-математических наук, доцент МГУ В.В. Вавилов. В школе теорема Вариньона не входит в курс программы, но считаю изучение её необходимым.
1. Теоретическая часть
Вариньон Пьер [1] (1654–1722)
Пьер Вариньон родился во Франции в 1654 году. Обучался в иезуитском коллеже и университете в Кане, где стал магистром в 1682 году. Вариньон готовился к религиозной деятельности, но, изучая сочинения Эвклида и Декарта, увлекся математикой и механикой. Труды Вариньона посвящены теоретической механике, анализу бесконечно малых, геометрии, гидромеханике и физике. Вариньон был одним из первых ученых, ознакомивших Францию с анализом бесконечно малых. В конце 17 и начале 18 в. Вариньон руководил «Журналом ученых», в котором помещали свои работы по исчислению бесконечно малых братья Бернулли. В геометрии Вариньон изучал различные специальные кривые, в частности ввел термин «логарифмическая спираль». Главные заслуги Вариньона относятся к теоретической механике, а именно к геометрической статике. В 1687 Вариньон представил в Парижскую АН сочинение «Проект новой механики. », в котором сформулировал закон параллелограмма сил. В 1725 в Париже был издан трактат Вариньона «Новая механика или статика», представляющий собой систематическое изложение учения о сложении и разложении сил, о моментах сил и правилах оперирования ими, почти без изменений сохранившееся в учебниках статики до нашего времени. Написал учебник по элементарной геометрии (издан в 1731).
Теорема Вариньона [2]
Четырехугольник, образованный путем последовательного соединения середин сторон выпуклого четырехугольника, является параллелограммом, и его площадь равна половине площади данного четырехугольника.
