Докажите что площадь боковой поверхности наклонной призмы равна произведению периметра основания

Стереометрия. Страница 5

Главная > Учебные материалы > Математика: Стереометрия. Страница 5

1.Двугранный, трехгранный углы. 2.Призма и построение ее сечений. 3.Параллелепипед. 4.Прямоугольный параллелепипед. 5.Пирамида. 6.Усеченная пирамида. 7.Правильные многогранники. 8.Примеры.

1. Двугранный, трехгранный углы

Если провести плоскость, перпендикулярную ребру двугранного угла, то она пересечет его грани по двум полупрямым. Угол, образованный между двумя этими полупрямыми, называется линейным углом двугранного угла.

Градусная мера двугранного угла равна градусной мере линейного угла. Величина двугранного угла не зависит от выбора линейного угла, т.е. плоскости, перпендикулярной ребру двугранного угла.

Рис. 1 Двугранный угол.

Трехгранный углы

Понятие многогранного угла можно определить аналогичным образом.

Рис. 1.1 Трехгранный угол.

2.Призма и построение ее сечений

Прямая призма

Призмой называется многогранник, у которого две стороны являются плоскими многоугольниками, лежащими в параллельных плоскостях и совмещаемых параллельным переносом, а боковые грани состоят из всех отрезков, соединяющих соответствующие точки этих многоугольников (Рис.2). Многоугольники называются основаниями призмы, а отрезки, соединяющие соответствующие точки оснований, ее ребрами.

Высотой призмы называется расстояние между ее основаниями.

Если боковые ребра призмы перпендикулярны основанию, то такая призма называется прямой. В противном случае призма называется наклонной. Боковые ребра у призмы параллельны и равны.

Боковые грани прямой призмы являются прямоугольниками. Если в основании призмы лежит правильный многоугольник, то такая призма называется правильной.

Теорема: площадь боковой поверхности прямой призмы равна произведению периметра основания призмы на ее высоту.

В основании призмы лежит правильный многоугольник. Боковые ребра призмы находятся под прямым углом к основанию и являются высотами. Боковые грани представляют собой прямоугольники. Отсюда следует, что площадь боковой поверхности призмы равна:

Полная площадь призмы равна сумме площадей двух оснований и боковой поверхности.

Рис.2 Прямая призма

Наклонная призма

Если боковые ребра призмы находятся под некоторым углом к основанию, то призма является наклонной (Рис.2.1).

Используя правила параллельного проектирования, изображение призмы можно построить следующим образом. Сначала строится одно из оснований, т.е. многоугольник, а затем проводят боковые ребра из каждой вершины основания, которые параллельны и равны между собой. Затем концы этих отрезков соединяются и строится другое основание призмы.

Для того, чтобы построить сечение призмы плоскостью, сначала задают прямую g в плоскости одного из оснований, которая называется следом. Затем проводят через заданную точку В прямую, которая находится в плоскости грани, и соединяют ее с заданным следом в точке Е. Отрезок АС на рассматриваемой грани есть пересечение этой грани с секущей плоскостью.

Если грань, которая содержит точку В, параллельна следу, то секущая плоскость пересекает эту грань по отрезку, параллельному заданному следу и проходящему через точку В.

Таким образом, можно провести отрезки на всех гранях призмы и получить сечение плоскостью с заданным следом.

Рис.2.1 Наклонная призма

3. Параллелепипед

Призма, у которой основание есть параллелограмм, называется параллелепипедом.

Теорема. Противолежащие грани параллелепипеда параллельны и равны.

Доказательство. Пусть дан параллелепипед ABCDA’B’C’D’ (Рис.3). Рассмотрим грани параллелепипеда AA’D’D и BB’C’C. Так как основания параллелепипеда параллелограммы, то сторона AD параллельна и равна стороне ВС, а сторона A’D’ параллельна и равна стороне B’C’. Сторона AB параллельна и равна стороне DС, а сторона A’B’ параллельна и равна стороне D’C’. Отсюда можно сделать вывод, что грани AA’D’D и BB’C’C лежат в параллельных плоскостях. Таким образом, грань AA’D’D совмещается параллельным переносом с гранью BB’C’C. Следовательно эти грани равны.

Аналогично можно доказать параллельность и равенство граней DD’C’C и AA’B’B.

Центральная симметрия параллелепипеда

Теорема. Диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке, которая делит их пополам.

Отсюда следует, что точка пересечения диагоналей параллелепипеда является его центром симметрии.

Рис. 3 Наклонный параллелепипед.

4.Прямоугольный параллелепипед

Прямой параллелепипед, у которого основание является прямоугольником, называется прямоугольным.

Длины не параллельных ребер параллелепипеда называются его линейными размерами.

Теорема. В прямоугольном параллелепипеде квадрат диагонали равен сумме квадратов трех его измерений.

Доказательство. Пусть дан параллелепипед ABCDA’B’C’D’ (Рис.4). Рассмотрим прямоугольный треугольник ACC’. Cторонами данного треугольника являются диагональ параллелепипеда AC’, диагональ основания AC и ребро боковой грани CC’. Тогда по теореме Пифагора находим:

Рис. 4 Прямоугольный параллелепипед.

AC 2 = AD 2 + DC 2 Следовательно:

AC’ 2 = AD 2 + DC 2 + CC’ 2

Стороны AD, DC, CC’ являются линейными размерами параллелепипеда.

Симметрия прямоугольного параллелепипеда

Прямоугольный параллелепипед имеет центр симметрии. Если все три измерения параллелепипеда разные, то он имеет три плоскости симметрии, которые проходят через центры граний (Рис.4.1)

Если параллелепипед имеет два равных измерения, то у него есть еще две плоскости симметрии, которые проходят через диагональные сечения.

Если у параллелепипеда все три линейные размера равны, то он является кубом. И у него девять плоскостей симметрии.

Рис. 4.1 Симметрия прямоугольного параллелепипеда.

5. Пирамида

Пирамидой называется многогранник, который состоит из многоугольника в основании, точки, не лежащей в плоскости основания, и всех отрезков, соединяющих вершины многоугольника и данную точку (Рис.5).

Точка, не лежащая в плоскости основания, называется вершиной пирамиды.

Отрезки, соединяющие вершины основания с вершиной пирамиды, называются боковыми ребрами.

Перпендикуляр, опущенный из вершины пирамиды на плоскость основания, называется высотой пирамиды.

На рисунке 5 изображена пирамида, в основании которой лежит правильный шестиугольник. A₁A₂A₃A₄A₅A₆

Построение пирамиды и ее плоских сечений

Если точка В лежит на грани, параллельной следу g (Рис.5.1), то секущая плоскость пересекает эту грань по отрезку BC, параллельному следу g. Концы отрезка также соединяют со следом по прямой ED в плоскости α другой грани и получают прямую пересечения этой грани с плоскостью сечения и т.д. Таким образом можно построить линии пересечения плоскости сечения со всеми гранями пирамиды.

Рис. 5.1 Построение пирамиды и ее плоских сечений.

6. Усеченная пирамида

Теорема. Плоскость, пересекающая пирамиду и параллельная ее основанию, отсекает подобную пирамиду.

Правильная пирамида

Если основание пирамиды есть правильный многоугольник, а основание высоты совпадает с центром этого многоугольника, то такая пирамида называется правильной.

Высота боковой грани правильной пирамиды, проведенная из ее вершины, называется апофемой.

Теорема. Боковая поверхность правильной пирамиды равна произведению полупериметра основания на апофему.

Рис. 6 Усеченная пирамида.

7. Правильные многогранники

Если выпуклый многогранник имеет все грани правильные многоугольники с равным числом сторон и в каждой вершине многоугольника сходится одно и то же число ребер, то такой многогранник называется правильным.

Существует пять типов правильных выпуклых многогранников: правильный тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр, икосаэдр.

Тетраэдр это многогранник, у которого грани правильные треугольники.

Додекаэдр это многогранник, у которого грани правильные пятиугольники. В каждой вершине сходится по три ребра.

Икосаэдр это многогранник, у которого грани правильные треугольники. В каждой вершине сходится по пять ребер.

Рис. 6 Правильные многогранники.

8. Пример 1

Докажите, что сечение призмы, параллельное основаниям, равно основаниям.

Доказательство:

Пусть дана призма АВСA’B’C’ (Рис.7). Основания призмы равны и являются треугольниками. Они лежат в параллельных плоскостях и совмещаются параллельным переносом. Отсюда следует, что боковые ребра параллельны и равны.

Отсюда следует, что A»C» = AC, A»B» = AB, B»C» = BC. Таким образом, треугольник A»B»C» равен треугольнику АВС и A’B’C’ соответственно. Отсюда можно сделать и общий вывод: если в основании призмы будет лежать како-либо многоугольник, то в сечении, параллельном основаниям, получится такой же многоугольник.

Рис.7 Задача. Докажите, что сечение призмы.

Пример 2

Боковое ребро наклонной призмы равно 16 м. Оно наклонено к плоскости основания под углом 30°. Найдите высоту призмы.

Решение:

Рассмотрим треугольник AA’P. Угол A’AP равен 30° по условию задачи. Опустим высоту A’O. В прямоугольном треугольнике AA’O найдем A’O.

A’O = AA’ sin 30° = 16 / 2 = 8 м.

Рис.8 Задача. Боковое ребро наклонной призмы равно 15 м.

Пример 3

В правильной четырехугольной призме через середины двух смежных сторон основания проведена плоскость, пересекающая три боковые ребра и наклоненная к плоскости основания под углом 60°. Сторона основания равна 8 м. Найдите площадь полученного сечения.

Решение:

Пусть дана правильна четырехугольная призма АВСDA’B’C’D’ (Рис. 9). Заметим, что многоугольник PBCDF является проекцией многоугольника PKHSF на плоскость основания, площадь которого необходимо найти. Следовательно, найдем площадь многоугольника PBCDF.

Теперь найдем площадь многоугольника PKHSF из формулы:

S_PKHSF = S_PBCDF / cos 60° = 56 / 1 / 2 = 112 м 2

Рис.9 Задача. В правильной четырехугольной призме.

Пример 4

Решение:

Пусть дана правильная четырехугольная призма АВСDA’B’C’D’ (Рис. 10). Так как призма имеет четыре боковые грани, то площадь одной боковой грани составляет 1/4 часть боковой поверхности.

S_AA’D’D = S_бок / 4 = 12 / 4 = 3 м 2

Площадь основания призмы равна половине разности площадей между полной поверхностью призмы и ее боковой поверхностью.

Следовательно, высота призмы составляет 3 / 2 м.

Рис.10 Задача. Боковая поверхность правильной четырехугольной призмы.

Пример 5

Решение:

По теореме Пифагора найдем боковые ребра SA и SD:

SA 2 = AO 2 + SO 2 = 4 2 + 7 2 = 65

SD 2 = OD 2 + SO 2 = 3 2 + 7 2 = 58

SA = , SD =

Теперь найдем сторону ромба AD:

Теперь по теореме косинусов найдем косинус угла α между боковыми ребрами:

Отсюда, cos α = 49 / , sin α = 1369 /

Теперь найдем площадь боковой грани S_ASD:

S_ASD = SA SD sin α / 2 = 1369 / / 2 = 18.5 м 2

Отсюда, S_бок = 4 S_ASD = 4 * 18.5 = 74 м 2

Источник

Докажите что площадь боковой поверхности наклонной призмы равна произведению периметра основания

Призма называется прямой, если ее боковые ребра перпендикулярны основаниям. В противном случае призма называется наклонной.

У прямой призмы боковые грани являются прямоугольниками. При изображении прямой призмы на рисунке боковые ребра обычно проводят вертикально (рис. 410).

Прямая призма называется правильной, если ее основания являются правильными многоугольниками.

Боковой поверхностью призмы (точнее, площадью боковой поверхности) называется сумма площадей боковых граней. Полная поверхность призмы равна сумме боковой поверхности и площадей оснований.

Теорема 19.1. Боковая поверхность прямой призмы равна произведению периметра основания на высоту призмы, т. е. на длину бокового ребра.

Доказательство. Боковые грани прямой призмы — прямоугольники. Основания этих прямоугольников являются сторонами многоугольника, лежащего в основании призмы, а высоты равны длине боковых ребер. Отсюда следует, что боковая поверхность призмы равна

где a₁,а_n — длины ребер основания, р — периметр основания призмы, а I — длина боковых ребер. Теорема доказана.

Практическое задание

Задача (22). В наклонной призме проведено сечение, перпендикулярное боковым ребрам и пересекающее все боковые ребра. Найдите боковую поверхность призмы, если периметр сечения равен р, а боковые ребра равны l.

Решение. Плоскость проведенного сечения разбивает призму на две части (рис. 411). Подвергнем одну из них параллельному переносу, совмещающему основания призмы. При этом получим прямую призму, у которой основанием служит сечение исходной призмы, а боковые ребра равны l. Эта призма имеет ту же боковую поверхность, что и исходная. Таким образом, боковая поверхность исходной призмы равна рl.

Обобщение пройденной темы

А теперь давайте попробуем с вами подвести итоги пройденной темы о призме и вспомним, какими свойствами обладает призма.

• Во-первых, у призмы все ее основания являются равными многоугольниками;
• Во-вторых, у призмы все ее боковые грани являются параллелограммами;
• В-третьих, у такой многогранной фигуры, как призма, все боковые ребра равны;

Также, следует вспомнить, что такие многогранники, как призмы могут быть прямыми и наклонными.

Какая призма называется прямой?

Если же у призмы боковое ребро расположено перпендикулярно плоскости ее основания, то такая призма носит название прямой.

Не будет лишним напомнить, что боковые грани прямой призмы являются прямоугольниками.

Какую призму называют наклонной?

А вот если же у призмы боковое ребро не расположено перпендикулярно плоскости ее основания, то можно смело утверждать, что это наклонная призма.

Какую призму называют правильной?

Если у основания прямой призмы лежит правильный многоугольник, то такая призма является правильной.

Теперь вспомним свойства, которыми обладает правильная призма.

Свойства правильной призмы

• Во-первых, всегда основаниями правильной призмы служат правильные многоугольники;
• Во-вторых, если рассматривать у правильной призмы боковые грани, то они всегда бывают равными прямоугольниками;
• В-третьих, если сравнивать размеры боковых ребер, то в правильной призме они всегда равны.
• В-четвертых, правильная призма всегда прямая;
• В-пятых, если же в правильной призмы боковые грани имеют форму квадратов, то такую фигуру, как правило, называют полуправильным многоугольником.

Сечение призмы

А теперь давайте рассмотрим сечение призмы:

Домашнее задание

А теперь давайте попробуем закрепить изученную тему с помощью решения задач.

Давайте нарисуем наклонную треугольную призму, у которой расстояние между ее ребрами будет равно: 3 см, 4 см и 5 см, а боковая поверхность этой призмы будет равна 60 см2. Имея такие параметры, найдите боковое ребро данной призмы.

Интересно знать

А вы знаете, что геометрические фигуры постоянно окружают нас не только на уроках геометрии, но и в повседневной жизни встречаются предметы, которые напоминают ту или иную геометрическую фигуру.

У каждого дома, в школе или на работе имеется компьютер, системный блок которого имеет форму прямой призмы.

Если вы возьмете в руки простой карандаш, то вы увидите, что основной частью карандаша, является призма.

Идя по центральной улице города, мы видим, что у нас под ногами лежит плитка, которая имеет форму шестиугольной призмы.

А. В. Погорелов, Геометрия для 7-11 классов, Учебник для общеобразовательных учреждений

Источник

Инструменты пользователя

Инструменты сайта

Боковая панель

Стереометрия:

Контакты

Призма

Призма — многогранник, две параллельные грани которого ( основания ) n−угольники, а остальные n граней ( боковые ) — параллелограммы. Очевидно, что все боковые ребра призмы равны, и в основаниях — равные n−угольники с соответственно параллельными сторонами.

Боковыми ребрами называются отрезки, соединяющие соответствующие вершины оснований.

Высотой призмы называется расстояние между плоскостями ее оснований.

Призма называется прямой, если ее боковое ребро перпендикулярно плоскости основания. См.Рис.1

Призма называется наклонной, если боковое ребро призмы не перпендикулярно плоскости основания. См.Рис.2

Правильная призма — прямая призма, основания которой являютя правильными многоугольниками.

Площадь боковой поверхности призмы ( S_бок ) — сумма площадей её боковых граней.

Теорема о площади боковой поверхности прямой призмы. Площадь боковой поверхности прямой призмы равна произведению периметра основания на высоту призмы.

Сечение, образованное плоскостью, перпендикулярной к боковому ребру призмы, называется нормальным (ортогональным) сечением призмы.

Призма называется параллелепипедом, если её основания — параллелограммы.

Источник

Призма

Вы будете перенаправлены на Автор24

Понятие призмы

Виды призм

В зависимости от количества углов в основании призмы ее можно назвать треугольной, четырехугольной и так далее (рис. 2).

Отметим, что параллелепипед является частным случаем четырехугольной призмы.

Рисунок 3. Прямая призма

Площадь призмы

Полная площадь призмы определяется следующим образом

Рассмотрим и докажем следующую теорему.

Площадь боковой поверхности прямой призмы определяется как произведение периметра основания данной призмы на ее высоту.

Готовые работы на аналогичную тему

Доказательство.

Теорема доказана.

Объем призмы

Объем прямой призмы с прямым треугольником при основании определяется как произведение площади его основания на высоту.

Доказательство.

Теорема доказана.

Объем прямой призмы определяется как произведение площади его основания на высоту.

Доказательство.

По теореме 2, получим

Любую призму мы всегда может разделять на несколько прямоугольных призм, следовательно эта формула верна для произвольно размерной прямой призмы.

Теорема доказана.

Пример задачи

Решение.

\[S_<осн>=\frac<1><2>\cdot 4\cdot 4\cdot sin<30>^0=8\cdot \frac<1><2>=4\]

По теореме 3, получим

Получи деньги за свои студенческие работы

Курсовые, рефераты или другие работы

Автор этой статьи Дата последнего обновления статьи: 19 04 2021

Источник

Призма

Урок 26. Геометрия 10 класс ФГОС

В данный момент вы не можете посмотреть или раздать видеоурок ученикам

Чтобы получить доступ к этому и другим видеоурокам комплекта, вам нужно добавить его в личный кабинет, приобрев в каталоге.

Получите невероятные возможности

Конспект урока «Призма»

Мы уже знакомились с призмами. Сегодня мы повторим основные понятия, которые связаны с ними.

Давайте вспомним, какой многогранник мы назвали призмой.

Рассмотрим два равных многоугольника A₁A₂…A_n и B₁B₂…B_n, расположенные в параллельных плоскостях. Причем расположены эти многоугольники так, чтобы равные стороны этих многоугольников, т.е. A₁A₂ и B₁B₂, A₂A₃ и B₂B₃ … A_nA₁ и BnB₁, были параллельными.

Указанные четырехугольники являются параллелограммами. Рассмотрим например, четырехугольник A₁B₁B₂A₂. Его противоположные стороны A₁A₂ и B₁B₂ равны и параллельны по построению. Следовательно, и стороны A₁B₁ и A₂B₂ тоже равны и параллельны. Напомню, что четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны, называется параллелограммом. Значит, рассматриваемый нами четырехугольник A₁B₁B₂A₂ – параллелограмм.

Равные n-угольники называются основаниями призмы. Параллелограммы – боковыми гранями призмы. А стороны боковых граней, не являющиеся сторонами оснований призмы, называются боковыми ребрами призмы.

Отрезок, соединяющий две вершины призмы, не принадлежащие одной грани, например, B₁A₃, называется диагональю призмы.

Призма в зависимости от того какой многоугольник лежит в основании имеет свое название. Если в основании лежит треугольник, то призма называется треугольной. Если четырехугольник – то четырехугольной призмой. А если n-угольник, то n-угольной призмой.

Теперь узнаем, что называют высотой призмы. Выберем произвольную точку А одного из оснований и проведем через нее прямую, перпендикулярную к плоскости другого основания и пересекающую ее в точке B. Отрезок, AB называется высотой призмы.

В зависимости от того перпендикулярны ли ребра основанию, призмы можно подразделить на прямые и наклонные.

Если все боковые ребра призмы перпендикулярны к плоскостям ее оснований, то призма называется прямой. Если же боковые ребра не перпендикулярны основанию, то призма называется наклонной. На рисунке изображены примеры прямой и наклонной призм.

Обратите внимание, у прямой призмы боковые грани являются прямоугольниками, а у наклонной призмы – параллелограммы.

Прямая призма, основаниями которой являются правильные многоугольники, называется правильной.

Объединение боковых граней называется боковой поверхностью призмы, а объединение всех граней называется полной поверхностью призмы. Тогда площадью боковой поверхности призмы называется сумма площадей ее боковых граней.

А площадью полной поверхности призмы называется сумма площадей всех ее граней.

Это все нам известно с курса геометрии базовой школы.

Сегодня мы выведем новую формулу для вычисления площади боковой поверхности прямой призмы.

Сформулируем и докажем теорему. Площадь боковой поверхности прямой призмы равна произведению периметра основания на высоту призмы.

Выше мы уже вспоминали, что все боковые грани прямой призмы – прямоугольники. Основания этих прямоугольников – стороны основания призмы. А высоты этих прямоугольников равны высоте призмы. Мы знаем, что площадь боковой поверхности призмы равна сумме площадей каждой из боковых граней, то есть в случае прямой призмы это будет сумма произведений сторон основания на высоту призмы.

Вынесем множитель р за скобки, тогда в скобках получим сумму сторон основания призмы, другими словами – в скобках мы получим периметр основания.

Тогда можно записать, что площадь боковой поверхности прямой призмы равна произведению высоты на периметр основания.

Решим несколько задач.

Задача. Основанием прямой призмы является равнобедренная трапеция с основаниями, которые равны и . Высота призмы равна . Найти площадь боковой поверхности, если боковое ребро равно .

Поскольку призма прямая, то воспользуемся только что доказанной формулой.

Решим еще одну задачу.

Задача. В правильной треугольной призме сторона основания равна , а высота призмы равна . Вычислить площадь боковой и полной поверхности призмы.

Поскольку по условию призма правильная, значит, она прямая. Применим только что доказанную формулу.

Запишем формулу для вычисления площади полной поверхности призмы.

Решим еще одну задачу.

Задача. Доказать, что площадь боковой поверхности наклонной призмы равна произведению периметра перпендикулярного сечения на боковое ребро.

В качестве примера, мы возьмем треугольную призму, для других призм это утверждение доказывается аналогично.

Перпендикулярным сечением называется пересечение призмы и плоскости, перпендикулярной ее боковому ребру.

Для построения перпендикулярного сечения выберем, например, на ребре BB₁ произвольно точку К. В плоскости грани AA₁B₁B через точку К проведем прямую KL перпендикулярную к ребру BB₁. Эта прямая будет перпендикулярна к ребру AA₁, поскольку ребра AA₁ и BB₁ параллельны.

Теперь через точку К в плоскости грани BB₁C₁C проведем прямую КМ перпендикулярную ребру BB₁. Тогда из того, что BB₁ перпендикулярно пересекающимся прямым KL и КМ плоскости KLM следует, что BB₁ перпендикулярно плоскости KLM.

То есть построенное сечение KLM перпендикулярно боковому ребру. А значит, это и есть перпендикулярное сечение призмы.

Тогда надо доказать, что площадь боковой поверхности призмы равна произведению периметру треугольника KLM и бокового ребра BB₁.

Любая боковая грань призмы – это параллелограмм. Рассмотрим грань ABB₁A₁. КL – это высота параллелограмма ABB₁A₁. Поэтому для нахождения площади этой грани можно применить формулу:

В качестве основания мы берем сторону BB₁, так как высота проводилась к этой стороне.

Аналогично можно записать:

Запишем формулу для вычисления площади боковой поверхности. Заменим площадь каждой грани полученной формулой.

Решим еще одну задачу.

Задача. Боковое ребро наклонной четырехугольной призмы равно . Перпендикулярным сечением является ромб со стороной . Найти площадь боковой поверхности.

Воспользуемся только что доказанным утверждением.

Решим еще одну задачу.

Задача. Основанием прямой призмы является равнобедренная трапеция с основаниями , и высотой . Найти двугранные углы при боковых ребрах призмы.

Для определения двугранных углов, нам необходимо найти соответствующие линейные углы.

Подведем итоги урока.

Сегодня на уроке мы вспомнили, какая фигура называется призмой, основные элементы призмы. Виды призм. Вывели формулы для вычисления площади боковой поверхности прямой и наклонных призм. Решили несколько конкретных задач.

Источник