Докажите что сечение призмы параллельное основаниям равно основаниям

имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки

при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки,

Источник

Докажите что сечение призмы параллельное основаниям равно основаниям

Основание прямой четырехугольной призмы ABCDA₁B₁C₁D₁ — прямоугольник ABCD, в котором AB = 5,

а) Докажите, что расстояние между прямыми AC и B₁D₁ равно расстоянию между прямыми и .

б) Найдите угол между плоскостью основания призмы и плоскостью, проходящей через середину ребра AD перпендикулярно прямой BD₁, если расстояние между прямыми AC и B₁D₁ равно

а) Основания любой призмы лежат в параллельных плоскостях. Поэтому расстояние между прямыми, одна из которых лежит на плоскости одного основания, а другая на плоскости другого основания, равно расстоянию между основаниями, то есть высоте призмы. Поэтому требуемые расстояния равны.

б) Из пункта а) следует, что высота призмы равна Угол между плоскостями равен углу между прямыми, перпендикулярными этим плоскостям. Следовательно, искомый угол равен углу между ребром и прямой

Рассмотрим треугольник Его катеты равны Поэтому

Ответ: 60

Аналоги к заданию № 485981: 485997 511327 Все

В чертеже никак не фигурирует середина ребра AD, в решении она так же не участвует.

тогда в чем фишка условия середина ребра AD

1. Фишка в том, чтобы из всех плоскостей перпендикулярных , выбрать одну конкретную, хотя угол с основанием у всех этих плоскостей одинаков.

2. Фишка в том, чтобы решающий задумался над вопросом «В чём фишка?»

В правильной восьмиугольной призме ABCDEFGHA₁B₁C₁D₁E₁F₁G₁H₁ сторона основания AB равна а боковое ребро AA₁ равно 6. Ha pe6pe CC₁ отмечена точка M так, что Плоскость параллельна прямой H₁E₁ и проходит через точки M и A.

а) Докажите, что сечение данной призмы плоскостью α — равнобедренная трапеция.

б) Найдите объем пирамиды, вершиной которой является точка F₁, а основанием — сечение данной призмы плоскостью α.

а) Рассмотрим ребра фигуры: E₁H₁, F₁G₁, FG и AD₁ параллельны, значит, AD принадлежит плоскости Точка N принадлежит ребру BB₁, поэтому

значит стороны MN, CB, FG и EH₁ параллельны. Таким образом, MN принадлежит плоскости

Соединим точки AMND — точки сечения призмы — плоскостью

Плоскость ADMN параллельна E₁H₁, следовательно, стороны плоскости AD и MN также параллельны.

Треугольники MCD и NBA равны, так как стороны CD и AB, MC и NB одинаковы, как и углы MCD и NBA. Тогда стороны плоскости MD и AN равны, а значит сама плоскость ANMD является равнобедренной трапецией.

б) Найдем объем пирамиды:

Точка P лежит на пересечении прямых AD и CF, отсюда следует, что CFF₁ пересекает плоскость

причем MP — место пересечения данных плоскостей.

Плоскости CFF₁ и ABC перпендикулярны, так как по условию ребро FF₁ перпендикулярно к основанию правильной призмы. Отрезки FC и AD, AD и FF₁ перпендикулярны, следовательно, AD перпендикулярен к плоскости CFF₁, таким образом, перпендикулярна к плоскости CFF₁.

Отрезок AD лежит в плоскости основания, все боковые ребра перпендикулярны к основанию. Высота из точки F₁ на попадает на отрезок MP. Так как CD перпендикулярно к AD, то MP также перпендикулярно к AD по правилу о трех перпендикулярах.

Рассмотрим сечение призмы плоскостью CC₁F₁F:

Сторона Площадь треугольника MF₁P будет равна:

Выразим площадь MF₁P через другие площади и найдем её значение:

Посчитаем значение площади трапеции AMND:

Вычислим объем пирамиды F₁AMND:

Ответ:

В правильной четырёхугольной призме ABCDA₁B₁C₁D₁ сторона основания AB равна 3, а боковое ребро На рёбрах AB, A₁D₁ и C₁D₁ отмечены точки M, N и K соответственно, причём AM = A₁N = C₁K = 1.

а) Пусть L — точка пересечения плоскости MNK с ребром BC. Докажите, что MNKL — квадрат.

б) Найдите площадь сечения призмы плоскостью MNK.

а) Плоскость MNK пересекает плоскости оснований ABCD и A₁B₁C₁D₁ по параллельным прямым, следовательно, прямые NK и ML параллельны.

Отрезки NK и ML не только параллельны, но и равны, поскольку равны треугольники ND₁K и MBL. Поэтому четырёхугольник NKLM — параллелограмм. Покажем, что его стороны перпендикулярны.

Пусть P — проекция точки N на плоскость нижнего основания, тогда прямоугольные треугольники PAM и MBL равнобедренные, углы PMA и BML равны по 45°, а значит, то есть прямые PM и ML перпендикулярны. Но PM является проекцией наклонной NM, поэтому стороны параллелограмма NM и ML перпендикулярны по теореме о трех перпендикулярах. Вычисления показывают, что

Тем самым, MNKL — квадрат.

б) Заметим, что косинус угла между плоскостью основания и плоскостью сечения равен Площадь сечения связана с площадью проекции сечения на плоскость основания формулой Площадь проекции равна разности площади лежащего в основании квадрата и двух равнобедренных прямоугольных треугольников с катетами 2. Тем самым, площадь проекции равна 9 − 4 = 5, а площадь сечения равна 10.

Ответ: а) доказано; б) 10.

Приведём другое решение.

а) Покажем, что стороны четырёхугольника MNKL равны и диагонали равны:

Поэтому MNKL — квадрат.

б) Пусть W — точка пересечения прямых NK и A₁B₁. Тогда WA₁ = NA₁ как катеты равнобедренного прямоугольного треугольника. Пусть E — точка пересечения прямой WM с ребром AA₁. Прямоугольные треугольники WA₁Е и EAM подобны, а их катеты MA и WA₁равны. Поэтому равны и другие катеты, а значит, Е — середина AA₁. Аналогично, плоскость MNK пересекает ребро CC₁ в его середине F. В прямоугольнике AEFC противоположные стороны равны, поэтому

Сечение — шестиугольник MENKFL — состоит из двух равных трапеций ENKF и EMLF, причём прямая MN перпендикулярна их основаниям. Поэтому искомая площадь сечения равна

Приведём другое вычисление.

Площадь сечения состоит является суммой площади квадрата со стороной и двух площадей равных равнобедренных треугольников с основанием и боковыми сторонами Площадь квадрата равна 8, площади треугольников находим как половину произведения высоты на основание Поэтому искомая площадь сечения равна 10.

Приведём другое решение.

а) Покажем, что стороны четырёхугольника MNKL равны и диагонали равны:

Поэтому MNKL — квадрат.

б) Пусть W — точка пересечения прямых NK и A₁B₁. Тогда WA₁ = NA₁ как катеты равнобедренного прямоугольного треугольника. Пусть E — точка пересечения прямой WM с ребром AA₁. Прямоугольные треугольники WA₁Е и EAM подобны, а их катеты MA и WA₁равны. Поэтому равны и другие катеты, а значит, Е — середина AA₁. Аналогично, плоскость MNK пересекает ребро CC₁ в его середине F. В прямоугольнике AEFC противоположные стороны равны, поэтому

Сечение — шестиугольник MENKFL — состоит из двух равных трапеций ENKF и EMLF, причём прямая MN перпендикулярна их основаниям. Поэтому искомая площадь сечения равна

Приведём другое вычисление.

Площадь сечения состоит является суммой площади квадрата со стороной и двух площадей равных равнобедренных треугольников с основанием и боковыми сторонами Площадь квадрата равна 8, площади треугольников находим как половину произведения высоты на основание Поэтому искомая площадь сечения равна 10.

а) Докажите, что прямые A₁C и BD перпендикулярны.

б) Найдите объем призмы, если A₁C = BD = 2.

а) Поскольку ABCDA₁B₁C₁D₁ — прямая призма, прямая AA₁ перпендикулярна плоскости ABC, то есть AC — проекция A₁C на плоскость ABC. Так как ABCD — ромб, прямые AC и BD перпендикулярны. Тогда по теореме о трех перпендикулярах прямая A₁C перпендикулярна прямой BD.

По теореме Пифагора в треугольнике DOC имеем:

Тогда AC равно: Отсюда объём призмы равен:

Ответ: б)

Основанием прямой треугольной призмы служит прямоугольный треугольник с катетами 6 и 8, высота призмы равна 10. Найдите площадь ее поверхности.

Третья сторона треугольника в основании равна 10 и его площадь Площадь боковой поверхности призмы с периметром основания P равна

Полная площадь поверхности:

по вопросу надо найти площадь ее поверхности.

Площадь поверхности призмы и площадь полной поверхности призмы — это одно и то же.

Основанием прямой треугольной призмы служит прямоугольный треугольник с катетами 5 и 12, высота призмы равна 8. Найдите площадь ее поверхности.

Третья сторона треугольника в основании равна 13 и его площадь Площадь боковой поверхности призмы с периметром основания равна

Полная площадь поверхности:

Найдите площадь поверхности прямой призмы, в основании которой лежит ромб с диагоналями, равными 9 и 12, и боковым ребром, равным 5.

Из диагоналей ромба по теореме Пифагора находим сторону ромба: Площадь ромба: Площадь боковых граней: Площадь поверхности прямой призмы состоит из двух площадей оснований и 4 площадей боковых граней:

а) Докажите, что прямые AC₁ и BE перпендикулярны.

б) Найдите расстояние между прямыми AC₁ и BE.

Поместим заданную призму в декартову систему координат, как показано на рисунке.

Будем иметь в виду, что правильный шестиугольник, что лежит в основании призмы, отрезками AD,BE, FC, которые пересекаются в точке О, разбивается на 6 правильных треугольников, высоты которых равны (использована известная формула ; в нашем случае a = 2).

В соответствии со сказанным укажем координаты нужных точек:

Итак, А это значит, что прямые AC₁ и BE перпендикулярны.

б) Найдем координаты вектора перпендикулярного как к вектору так и к вектору Пусть его координаты будут равны Поскольку скалярное произведение двух перпендикулярных векторов равно нулю,

Итак, Заменим этот вектор ему коллинеарным, поделив полученные координаты на

Составим уравнение плоскости, перпендикулярной вектору и проходящей через точку любую точку прямой AC₁. Искомое уравнение будет иметь вид: где a, b, c — соответствующие координаты вектора — координаты любой точки прямой AC₁. Пусть такой точкой будет А. Тогда:

Расстояние ρ между скрещивающимися прямыми AC₁ и BE найдем как расстояние между любой точкой прямой BE до найденной плоскости. В качестве такой точки выберем B.

Ответ: б)

В правильной треугольной призме АВСА₁В₁С₁ сторона АВ основания равна 8, а боковое ребро АА₁ равно 7. На ребре СС₁ отмечена точка М, причем СМ = 1.

а) Точки О и О₁ — центры окружностей, описанных около треугольников АВС и А₁В₁С₁ соответственно. Докажите, что прямая ОО₁ содержит точку пересечения медиан треугольника АВМ.

б) Найдите расстояние от точки А₁ до плоскости АВМ.

а) Пусть точка K — середина ребра AB, а Q — такая точка на MK, что MQ : QK = 2 : 1. Тогда Q — точка пересечения медиан треугольника ABM, так как делит его медиану MK в отношении 2 : 1, считая от вершины. Очевидно, что проекцией отрезка MK на плоскость ABC будет отрезок CK, поэтому, так как О является точкой пересечения медиан треугольника ABC и делит CK в отношении 2 : 1, точка Q будет проектироваться в эту точку. Прямая OO₁ и плоскость ABC перпендикулярны, следовательно, Что и требовалось доказать.

б) Пусть точка T — середина A₁B₁. Поскольку прямые A₁B₁ и AB параллельны, то прямая A₁B₁ и плоскость ABM также параллельны. Заметим, что расстояние от точки A₁ до плоскости ABM равно расстоянию от точки T до плоскости ABM. Опустим из точки T перпендикуляр TS на прямую KM. Докажем, что TS — искомое расстояние. Прямые TS и KM перпендикулярны по построению. Кроме того, прямая TS лежит в плоскости KTC₁C, а поскольку прямые AB и KC перпендикулярны и прямые AB и CC₁ перпендикулярны, прямая AB и плоскость KTC₁C также перпендикулярны. Следовательно, прямая AB перпендикулярна любой прямой в плоскости KTC₁C, в частности, прямые TS и AB перпендикулярны. Таким образом, прямая TS перпендикулярна двум пересекающимся прямым в плоскости ABM и потому является перпендикуляром к плоскости.

Рассмотрим треугольник TKM, в котором TK = AA₁ = 7. Вычислим:

Таким образом, треугольник TKM — равнобедренный. Следовательно,

Ответ: б)

Основание прямой четырехугольной призмы ABCDA₁B₁C₁D₁ — прямоугольник ABCD, в котором AB = 12, AD = 5.

а) Докажите, что расстояние между прямыми AC и B₁D₁ равно расстоянию между прямыми и BD.

б) Найдите угол между плоскостью основания призмы и плоскостью, проходящей через середину ребра AD перпендикулярно прямой BD₁, если расстояние между прямыми AC и B₁D₁ равно 13.

а) Основания призмы параллельны, поэтому расстояние между прямыми и равно расстоянию между основаниями, то есть высоте призмы. Этой же высоте равно расстояние между прямыми и BD.

б) Из пункта а) высота призмы равна 13. Угол между плоскостями равен углу между прямыми, перпендикулярными этим плоскостям. Поэтому искомый угол равен углу между ребром и прямой Рассмотрим прямоугольный треугольник Его катеты равны Значит,

Ответ:

Нужно найти угол между плоскостью основания и плос­ко­стью, про­хо­дя­щей через се­ре­ди­ну ребра АD пер­пен­ди­ку­ляр­но пря­мой BD1. ( Условие не соответствует решению)

Вчитайтесь в решение, и увидите, что всё соответствует

Угол между плос­ко­стя­ми равен углу между пря­мы­ми, пер­пен­ди­ку­ляр­ны­ми линии пересечения плоскостей (а не прямыми, перпендикулярными плоскостям).

Вы, действительно, так искренне думаете?

Найдите угол между плоскостью ос­но­ва­ния приз­мы и плос­ко­стью, про­хо­дя­щей через се­ре­ди­ну ребра AD пер­пен­ди­ку­ляр­но пря­мой BD1.

На картинке даже не обозначена середина ребра, нет плоскости перпендикулярной другому ребру. В пояснениях совершенно ничего не говорится о том, как именно появилась плоскость, изображенная на картинке, хотя она совершенно не соответствует условию.

В пояснении, действительно, нет указанной плоскости. Это не требуется, построить ее гораздо сложнее, чем ответить на вопрос задачи. На картинке нет вообще никаких плоскостей, кроме граней призмы.

Браво! Целый час пытался высчитать, как пройдет искомая плоскость, пока не запутался в корнях из шестизначных чисел. Потом открыл решение и ещё четверть часа вникал. И тупил: а где же искомая плоскость…?

Но право же: не имеет значения, через какую точку пройдет плоскость, перпендикулярная прямой BD1: таких плоскостей бесконечно много, а угол с основанием параллелограмма у всех таких плоскостей будет один и тот же!

И действительно, прямая DD1 перпендикулярна плоскости основания, а прямая BD1 перпендикулярна той самой искомой плоскости!

И как справедливо указано выше, угол между плоскостями будет равен углу между прямыми, перпендикулярными данным плоскостям – по аналогии с углами в планиметрии, лучи которых взаимно перпендикулярны. Правда, в планиметрии такие углы могут составлять в сумме 180 градусов, но углом между плоскостями по определению является наименьший из двух углов, то есть всегда не более 90 градусов.

Пример задачи, которая решается не «техникой», а внимательностью и остроумием. Нам всем не следует забывать об этом! И учить этому своих юных математиков)))

В правильной треугольной призме ABCA₁B₁C₁ сторона AB основания равна 6, а боковое ребро AA₁ равно 3. На ребрах AB и B₁C₁ отмечены точки K и L соответственно, причём AK = B₁L = 2. Точка M — середина ребра A₁C₁. Плоскость γ параллельна прямой AC и содержит точки K и L.

а) Докажите, что прямая BM перпендикулярна плоскости γ.

б) Найдите объём пирамиды, вершина которой — точка M, а основание — сечение данной призмы плоскостью γ.

а) Так как плоскость γ параллельна прямой AC, она пересекает основание трапеции по прямым, параллельным AC. Пусть Прямые и AC параллельны. Сечением будет являться равнобедренная трапеция

Рассмотрим сечение призмы плоскостью, проходящей через медиану перпендикулярно основаниям трапеции. Оно будет являться прямоугольником где — середина AC. Пусть это сечение пересекает плоскость γ по прямой ST, где S — середина а T — середина Точка O — точка пересечения прямых BM и ST. Заметим, что как медианы равностороннего треугольника. Так как треугольники и ABC подобны, Пусть — проекция T на а — проекция S на отсюда очевидно, что O — середина BM и середина ST. Далее:

То есть для треугольника BOT выполнена теорема, обратная теореме Пифагора. Следовательно, прямая BM перпендикулярна прямой ST. Кроме этого, BM перпендикулярна прямой следовательно, BM перпендикулярна плоскости γ, что и требовалось доказать.

б) Поскольку, из пункта а, прямая BM перпендикулярна плоскости γ, прямая — высота пирамиды. Основанием является равнобедренная трапеция с высотой и основанием и отсюда:

Ответ:

Основанием прямой треугольной призмы является прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C. Диагонали боковых граней и равны 15 и 9 соответственно,

а) Докажите, что треугольник прямоугольный.

б) Найдите объём пирамиды

а) Прямая перпендикулярна плоскости поскольку она перпендикулярна прямым и Значит, прямые и перпендикулярны.

б) Пусть V — объём призмы Тогда объём треугольной пирамиды равен поскольку её высота и основание ABC совпадают с высотой и основанием призмы соответственно. Аналогично объём треугольной пирамиды равен Призма составлена из трёх пирамид: и Значит, объём пирамиды равен

В призме

Таким образом, объём пирамиды равен

Ответ: б)

Основание прямой четырехугольной призмы — прямоугольник в котором Найдите угол между плоскостью основания призмы и плоскостью, проходящей через середину ребра перпендикулярно прямой если расстояние между прямыми и равно

Расстояние между прямыми и равно расстоянию между основаниями, то есть высоте призмы. Значит, высота призмы равна

Угол между плоскостями равен углу между прямыми, перпендикулярными этим плоскостям. Поэтому искомый угол равен углу между ребром и прямой Рассмотрим прямоугольный треугольник Его катеты равны

Значит,

Ответ:

Аналоги к заданию № 485981: 485997 511327 Все

В правильной треугольной призме сторона основания AB равна 6, а боковое ребро равно 3. На ребре отмечена точка L так, что Точки K и M — середины ребер AB и соответственно. Плоскость γ параллельна прямой АС и содержит точки K и L.

а) Докажите, что прямая BM перпендикулярна плоскости γ.

б) Найдите объем пирамиды, вершина которой — точка M, а основание — сечение данной призмы плоскостью γ.

а) Пусть T — точка на такая, что N — середина отрезка BC. Тогда KNLT — сечение. Сразу отметим, что прямая BM перпендикулярна прямой KN по теореме о трех перпеникулярах, поскольку проекция BM на плоскость нижнего основания — высота треугольника BAC, а прямая KN параллельна прямой AC.

Рассмотрим теперь сечение призмы плоскостью Это прямоугольник со сторонами 3 и Отметим на его сторонах точки и пересечения с LT и KN соответственно (они делят его стороны в отношениях и соответственно). Докажем, что прямая BM перпендикулярна прямой Обозначим за O их точку пересечения и за проекцию на (она же середина ). Далее:

откуда Далее:

поэтому Значит,

что и требовалось доказать.

Итак, BM перпендикулярна двум пересекающимся прямым в плоскости KNLT, поэтому прямая BM перпендикулярна плоскости KNLT.

Это по пункту а) высота пирамиды. Ее основание — трапеция, высота которой — (поскольку проекция этого отрезка на плоскость верхнего основания — высота треугольника и перпендикулярна прямой LT, которая параллельна прямой то и сам отрезок по теореме о трех перпендикулярах перпендикулярен основанию трапеции). Значит,

Ответ:

В правильной треугольной призме ABCA₁B₁C₁ все ребра равны между собой. Через центр верхнего основания призмы и середины двух ребер нижнего основания проведена плоскость β.

а) Найдите угол, который образует плоскость β с плоскостью ABC.

б) Найдите площадь сечения призмы ABCA₁B₁C₁ плоскостью β, если известно, что ребро призмы равно 6.

а) Пусть M — середина AB, N — середина BC, O — центр нижнего основания призмы, O₁ — центр верхнего основания, D — середина АС, D₁ — середина A₁C₁. Соединим отрезком точки: M и N. И пусть K — точка пересечения MN и BD. Соединим K и O₁, и O₁ отрезками.

Проведем через O₁ прямую, параллельную AC₁, точки пересечения этой прямой с A₁B₁ и B₁C₁ обозначим P и Q соответственно. Соединим отрезками точки: P и Q, P и M, N и Q.

Докажем, что точки P, Q, M, N лежат в одной плоскости.

PQ || A₁C₁ по построению, A₁C₁ || AC по условию, AC || MN, поскольку MN — средняя линия ΔABC по условию. Следовательно, PQ || MN. А через две параллельные прямые проходит одна и только одна плоскость. Значит, эта плоскость и есть плоскость β, о которой говорится в условии задачи.

Заметим, что ∠OKO₁ — угол между плоскостью нижнего основания призмы и секущей плоскостью β.

Пусть ребра заданной призмы равны а. Тогда:

б) Пусть точки P₁, Q₁ — проекции точек P и Q на AB и BC соответственно. Тогда P₁MNQ₁ — проекция четырехугольника (фактически трапеции) PMNQ. Следовательно, P₁MNQ₁ — также трапеция с основаниями P₁Q₁, MN и высотой OK. Значит:

Ответ: а) б)

б) Найдите площадь сечения призмы плоскостью, проходящей через вершины C, A₁ и F₁.

а) Поскольку ABCDEFA₁B₁C₁D₁E₁F₁ — правильная шестиугольная призма, то ABCDEF — правильный шестиугольник. Тогда ∠CBA = 120°. По теореме косинусов имеем

Поскольку ABCDEF — правильный шестиугольник, DA = 2AB = 10. Тогда По теореме, обратной теореме Пифагора, треугольник CA₁D — прямоугольный. Тогда CD ⊥ CA₁. Поскольку С₁D₁ || CD, имеем C₁D₁ ⊥ CA₁.

б) Поскольку ABCDEF — правильный шестиугольник, AC ⊥ CD, поэтому угол A₁CA равен углу между искомым сечением и плоскостью ABCDEF. Так как A₁A ⊥ CA,

Площадь шестиугольника равна Тогда, по теореме о площади проекции, площадь искомого сечения

Примечание. Пункт а), конечно, можно доказать и проще, сославшись на теорему о трех перпендикулярах. Проекцией прямой CA₁ на плоскость верхнего основания является прямая C₁A₁, перпендикулярная прямой C₁D₁.

Основание прямой четырёхугольной призмы ABCDA₁B₁C₁D₁ — прямоугольник ABCD, в котором Расстояние между прямыми AC и B₁D₁ равно 5.

а) Докажите, что плоскость, проходящая через точку D перпендикулярно прямой BD₁, делит отрезок BD₁ в отношении 1 : 7, считая от вершины D₁.

б) Найдите косинус угла между плоскостью, проходящей через точку D перпендикулярно прямой BD₁, и плоскостью основания призмы.

Сразу отметим, что данное в условии расстояние — высота призмы.

а) Введем координаты с началом в точке A и осями, направленными по ребрам Тогда координаты вершин будут Значит, прямая имеет уравнение а перпендикулярная ей плоскость — уравнение Для того, чтобы плоскость проходила через точку нужно взять

Точка, делящая в отношении имеет координаты Подставляя ее в уравнение плоскости, получаем то есть эта точка лежит и в плоскости, что и требовалось.

б) Уравнение плоскости основания призмы По формуле найдем косинус угла

Ответ:

а) Докажите, что сечение проходит через середину ребра D₁E₁.

б) Найдите площадь этого сечения.

а) Пусть сечение пересекает плоскость верхнего основания по отрезку MN Так как основания параллельны, то прямая при этом М — середина значит, MN — средняя линия треугольника следовательно, N — середина

б) Построим сечение. Пусть Q и R — точки пересечения сечения с прямыми и соответственно. Тогда они лежат на прямой MN. Пусть теперь L и P — точки пересечения прямых AQ и CR (то есть сечения) с ребрами и соответственно. Таким образом, сечение — шестиугольник ALMNPC получаемый из прямоугольника AQRC отрезанием от него двух равных прямоугольных треугольников LMQ и NPR.

Так как основания призмы правильные шестиугольники со стороной то а Таким образом, Кроме того, Тогда,

Ответ:

Основание ABCD призмы — трапеция с основаниями AB = 2CD.

а) Докажите проходит через середину бокового ребра

б) Найдите угол между боковым ребром и этой плоскостью, если призма прямая, трапеция ABCD прямоугольная с прямым углом при вершине B, а BC = CD и

а) Пусть плоскость пересекает ребро в точке K. Так как параллельные плоскости пересекаются третьей по параллельным прямым, то параллельные грани и сечение пересекает по параллельным прямы и

Следовательно, углы и равны и треугольники и подобны и коэффициент подобия то есть и K — середина

б) Пусть L — точка пересечения и СD, тогда BL — прямая пересечения плоскостей и опустим из K и С перпендикуляры KH и CH на BL. Они попадут в одну точку по теореме о трех перпендикулярах BL параллельно и параллельно Следовательно, ABLD — параллелограмм. Тогда CL = CD = BC и треугольник BCL — прямоугольный и равнобедренный и его высота равна при этом Следовательно,

Тогда и равен углу между плоскостью и плоскостью основания. перпендикулярно ABCD, следовательно, угол между и равен

Источник

• Популярная книга Круть доступна для чтения прямо сейчас на нашем сайте boochi.ru. Скачать книгу в формате FB2, TXT, PDF, EPUB бесплатно без регистрации. →