Докажите что середины сторон любого выпуклого четырехугольника являются вершинами параллелограмма
Теорема Вариньона
В школьном курсе теорема Вариньона часто фигурирует в качестве обычной задачи, в которой требуется доказать, что середины сторон четырёхугольника являются вершинами параллелограмма.
Её доказательство основано на свойствах средней линии треугольника.
Середины сторон четырёхугольника являются вершинами параллелограмма.
Дано: ABCD — четырёхугольник,
M, N, K, F — середины его сторон.
Доказать : MNKF — параллелограмм.
1) Проведём диагональ AC.
2) Рассмотрим треугольник ABC.
Так как точки M и N — середины сторон AB и BC, отрезок MN — средняя линия треугольника ABC.
3) Аналогично, FK — средняя линия треугольника ADC и
4) По признаку параллельности прямых, две прямые, параллельные третьей прямой, параллельны между собой:
5) В четырёхугольнике MKNF противоположные стороны параллельны и равны. Следовательно, MKNF — параллелограмм (по признаку).
Что и требовалось доказать.
Поскольку в школьном курсе геометрии рассматриваются только выпуклые четырёхугольники, доказательство приведено только для этого случая. Но и для невыпуклых четырёхугольников (в том числе, и для самопересекающихся), теорема также верна (доказывается аналогично).
Параллелограмм, образованный серединами сторон четырёхугольника, называется параллелограммом Вариньона (вариньоновским, вариньоновым).
Периметр параллелограмма Вариньона равен сумме диагоналей исходного параллелограмма:
(так как стороны MNKF равны половине диагонали AC или BD).
Площадь параллелограмма Вариньона равна половине площади исходного параллелограмма:
углы COD и NMF равны (как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых AC и MN и секущей BD),