Докажите что среднее арифметическое больше среднего геометрического

Докажите что среднее арифметическое больше среднего геометрического

Зачастую в средних класах мы пользуемся известным выражением о том, что среднее арифметическое двух неотрицательных чисел больше чем среднее геометрические их значение:

Доказывается неравенство достаточно просто. Умнажаем обе части на 2 и переносим правую честь влево:

Что и требовалось доказать.

Для двух положительных чисел оно имеет следующий вид (общий случай для n чисел):

Пусть a, b ∈ R, тогда иммет место неравенство:

Докажем его. Покажем, что среднее геометрическое больше, чем среднее гармоническое.

Что и требовалось доказать.

Соотношение между средним арифметическим и средним геометрическим рассматривалось выше. Докажем, что среднее квадратическое больше среднего арифметического:

√ (a 2 + b 2 ) / 2 ≥ (a + b) / 2; так как справа положительное число, подносим в квадрат обе части:

(a 2 + b 2 ) / 2 ≥ (a 2 + 2ab + b 2 ) / 4; переносим все в левую часть, умножаем на 4:

Что и требовалось доказать.

Неравенство имеет место для n чисел и звучит так:

— среднее квадратическое.

На данный момент в базе присутствует информация о 1847 великих математиках.

Для ознакомления доступны 48 книг.

Добавлен материал «Показательные уравнения и неравенства», в котором заполнены разделы «Теория» и «Методы решений». В ближайшее время ожидайте задачи по этому материалу.

Источник

Неравенство о среднем арифметическом и среднем геометрическом

Неравенство о среднем арифметическом и среднем геометрическом (неравенство Коши)

Среднее арифметическое n положительных чисел не меньше их среднего геометрического:

причём равенство достигается тогда и только тогда, когда

Частный случай этого неравенства, связывающий среднее арифметическое и среднее геометрическое двух положительных чисел, известен с древних времён. Чаще всего его доказывают, используя геометрическую интерпретацию.

Пусть AD=a, BD=b.

Построим окружность с диаметром AB=a+b.

Из произвольной точки C окружности проведём к диаметру перпендикуляр CD.

По свойству прямоугольного треугольника, высота, проведённая к гипотенузе, равна среднему геометрическому между проекциями катетов на гипотенузу:

Соединим точку C с центром окружности, точкой O. CO — радиус, значит, он равен половине диаметра:

то есть длина CO равна среднему арифметическому a и b.

В прямоугольном треугольнике COD CD — катет, CO — гипотенуза.

Так как гипотенуза всегда больше катета, CO>CD, следовательно, среднее арифметическое a и b больше их среднего геометрического.

D совпадает с точкой O,

если AO=BO, то есть a=b.

(так как a>0), и и ф этом случае среднее арифметическое a и b равно их среднему геометрическому.

Таким образом, среднее арифметическое положительных чисел a и b не меньше их среднего геометрического.

В общем случае неравенство было доказано Коши.

Источник

Докажите что среднее арифметическое больше среднего геометрического

ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА I

§ 16 Теорема о среднем арифметическом и среднем геометрическом

Например, для чисел 2 и 8 средним арифметическим будет число , а средним геометрическим — число √ 2 •8 = 4. Среднее арифметическое чисел 10, 10 и 80 равно а среднее геометрическое 3 √ 10 •10 • 80 = 3 √ 8000 =20

Для чисел 5, 5 и 5 средним арифметическим будет число, а средним геометрическим 3 √ 5 •5 • 5 = 5.

Заметим, что во всех трех случаях среднее арифметическое оказалось не меньше их среднего геометрического, причем равными они получились лишь в третьем примере, где все рассматриваемые числа равны друг другу. И это не случайно. Имеет место следующая общая теорема.

Теорема. Среднее арифметическое п положительных чисел не меньше их среднего геометрического:

В предыдущем параграфе было показано, что для любых двух положительных чисел а и b справедливо неравенство

причем знак равенства имеет место тогда и только тогда, когда а = b. Тем самым была доказана теорема о среднем арифметическом и среднем геометрическом двух положительных чисел. В общем случае доказательство этой теоремы довольно грoмоздко и поэтому здесь не приводится.

верное для любых положительных чисел а и b, было известно еще в древние времена. Рисунок 22 приведен нами для геометрической интерпретации этого неравенства На рисунке

Обобщение данного неравенства на случай произвольного числа положительных чисел (теорема о среднем арифметическом и среднем геометрическом) было получено французским математиком К о ш и (1789—1857). С именем этoro выдающегося ученого связаны и некоторые другие замечательные неравенства, изучение которых, однако, выходит за пределы нашей программы

Пример 1. Доказать, что для любых чисел a, b и с, имеющих одинаковые знаки,

Действительно, по теореме о среднем арифметическом и среднем геометрическом

откуда и вытекает требуемое соотношение.

Пример 2. Доказать, что для произвольного положительного числа а справедливо неравенство

причем знак равенства имеет место только при а = 1.

Применяя теорему о среднем арифметическом и среднем геометрическом к 100 числам получаем

откуда вытекает требуемое соотношение. Знак равенства имеет место лишь в том случае, когда все 100 чисел равны между собой, то есть при а = 1.

Из теоремы о среднем арифметическом и среднем геометрическом вытекает следующее важное следствие.

откуда и получается неравенство (1).

На практике соотношение (1) особенно часто используется при п = 2. Сумма двух взаимно обратных положительных чисел не меньше 2:

Доказать неравенства (№ 121—129):

132*. Доказать, что при любом натуральном значении п

Источник

Среднее геометрическое против среднего арифметического

Разница между средним геометрическим и средним арифметическим

Среднее арифметическое и среднее геометрическое являются инструментами, широко используемыми для расчета доходности инвестиций для инвестиционных портфелей в мире финансов. Люди используют среднее арифметическое, чтобы сообщать о более высокой прибыли, которая не является правильной мерой расчета прибыли на инвестиции. Поскольку окупаемость инвестиций в портфель по годам зависит от доходности в предыдущие годы, среднее геометрическое является правильным способом расчета окупаемости инвестиций за определенный период времени. Среднее арифметическое лучше подходит в ситуации, когда переменные, используемые для расчета среднего значения, не зависят друг от друга.

Пример: использование пригодности среднего геометрического и среднего арифметического

Что создает неправильное впечатление, что инвестор безубыточен на своих инвестициях и нет никаких потерь или прибыли. Однако более тщательный анализ дает совершенно иную картину сценария.

Среднее геометрическое возвращений

Это означает, что годовая доходность портфеля была отрицательной 13, 40%. Инвестиционная позиция после двух лет выглядит следующим образом:

2. Когда нужно вычислить среднее значение переменных, которые не зависят друг от друга, арифметика означает подходящий инструмент для вычисления среднего. Среднее количество баллов студента по 5 предметам может быть рассчитано по среднему арифметическому, так как баллы студента по различным предметам не зависят друг от друга.

Сравнение геометрического среднего с средним арифметическим (инфографика)

Ниже приведена верхняя 8 разница между средним геометрическим и средним арифметическим

Ключевые различия между средним геометрическим и средним арифметическим

Давайте обсудим некоторые основные различия между средним геометрическим и средним арифметическим:

Среднее геометрическое и среднее арифметическое Сравнительная таблица

Давайте посмотрим на 8 лучших Сравнение среднего геометрического и среднего арифметического

Среднее арифметическое

Среднее геометрическое

Среднее геометрическое и среднее арифметическое находят свое применение в экономике, финансах, статистике и т. Д. В зависимости от их пригодности. Среднее геометрическое больше подходит для расчета среднего и дает точные результаты, когда переменные являются зависимыми и широко искажены. Тем не менее, среднее арифметическое значение используется для расчета среднего значения, когда переменные не являются взаимозависимыми. Поэтому, эти два должны использоваться в соответствующем контексте, чтобы получить лучшие результаты.

Рекомендуемые статьи

Это было руководством к разнице между средним геометрическим и средним арифметическим. Здесь мы также обсудим ключевые различия между средним геометрическим и арифметическим средними значениями с помощью инфографики и сравнительной таблицы. Вы также можете взглянуть на следующие статьи, чтобы узнать больше.

Источник

Различные средние положительных. Неравенство Коши

Главная > Документ

Соотношение между средними величинами.

Сравнение среднего арифметического и среднего геометрического.

Применим формулу «квадрат разности»:

Прибавим к обеим частям неравенства 4ав :

Применим формулу «квадрат суммы»:

Разделим обе части неравенства на 4 :

;

Так как а и в – положительные по условию, то извлечём из обеих частей неравенства квадратный корень:

Получили искомое выражение.

Сравнение среднего арифметического и среднего квадратичного.

Для доказательства рассмотрим разность

Сравнение среднего гармонического и среднего геометрического.

Докажем, что среднее гармоническое не больше среднего геометрического, то есть . Рассмотрим разность

Таким образом мы доказали одно из важнейших неравенств, связанных со средними:

.

Дано: окр. (О;ОА); AD = a ; BD = b

Доказать:

АВ – диаметр, АВ = a + b и , следовательно, .

угол АСВ – вписанный

дуга АКВ = 180° значит, угол АСВ = 90 ° (по свойству вписанного угла)

Таким образом, ∆АСВ – прямоугольный,

(по общему острому углу)

2) ∆АВС подобен ∆ CBD

4) , следовательно,

, следовательно,

, следовательно, , значит, , то есть .

Поэтому , что и требовалось доказать.

Это неравенство можно доказать и другим способом.

Дано: ABCD – прямоугольный, AD = a, AB = b, AK – биссектриса угла ВАD.

Доказать:

АК – биссектриса, следовательно, ВАL = LAD. LAD и BLA – внутренние накрест лежащие углы при параллельных ВС и AD и секущей AL, то есть BLA = LAD.

В = 90°, следовательно, BAL = LAD = 45°, но BLA = LAD, значит, ∆ АВL – равнобедренный, BL = AB = b.

∆ AKD – равнобедренный, так как KD ┴ AD, DAL = 45°, значит AD = KD = a.

4)

Очевидно, что , равенство достигается при

; ,

или ,

то есть среднее геометрическое не больше среднего арифметического.

Сравнение среднего квадратичного и среднего арифметического.

Средние величины можно находить для любого количества положительных чисел . Определения этих средних даны выше. Для любых положительных чисел среднее арифметическое, среднее геометрическое, среднее гармоническое, среднее квадратичное удовлетворят неравенствам:

,

в каждом из которых знак равенства достигается лишь в случае, когда .

Самым важным и значимым из этих неравенств является неравенство о среднем арифметическом и среднем геометрическом, которое носит название неравенства Коши.

Замечательные пределы, порождаемые классическими средними.

Например, взяв среднее геометрическое и среднее арифметическое и отправляясь от чисел 1 и 3, получаем

В этом примере последовательности и очень быстро сближаются. Всегда ли так будет? Оказывается, подобные последовательности всегда имеют общий предел.

Арифметико – гармоническое среднее.

Пусть выбранная пара средних – это среднее гармоническое и среднее арифметическое; таким образом, члены последовательностей и определяются формулами

, , , .

Рассмотрим среднее гармоническое, среднее геометрическое и среднее арифметическое

.

Отсюда следует, что

.

То есть последовательность возрастает «навстречу» убывающей последовательности .

Таким образом, обе последовательности монотонны и ограничены, следовательно, они имеют пределы. Пусть , . Вычислим предел

Так как и , где n =0, 1, 2, 3,… ; ; , то

, поэтому

Поэтому .

Арифметико – гармоническое среднее совпадает со средним геометрическим.

; .

и далее все знаки стабилизируются:

.

Арифметико – геометрическое среднее.

Четырнадцатилетний карл Фридрих Гаусс обнаружил на числовых примерах, что при вычислении последовательностей и с помощью арифметических и геометрических средних:

, ,

эти последовательности очень быстро сближаются.

Их общий предел называется арифметико – геометрическим средним чисел a и b и обозначается через . Найти явное выражение через a и b очень не просто. Впервые оно было получено Гауссом в результате необычайно остроумных и виртуозных рассуждений и преобразований, использующих свойства так называемых эллиптических интегралов.

Геометрическо – гармоническое среднее.

Если строить последовательности и с помощью средних гармонических и средних геометрических:

; ,

то в этом случае они сходятся к общему пределу. Назовём его геометрическо – гармоническим средним a и b и обозначим его через . Однако ничего существенно нового по сравнению с предыдущими последовательностями здесь нет, так как

; .

.

Источник