Докажите что точка пересечения биссектрис углов прилежащих к боковой стороне трапеции

Биссектрисы углов при боковой стороне трапеции

Рассмотрим два полезных свойства, которыми обладают биссектрисы углов при боковой стороне трапеции.

Биссектрисы углов при боковой стороне трапеции пересекаются под прямым углом.

Дано: ABCD — трапеция, AD ∥ BC,

CO — биссектриса ∠BCD,

DO — биссектриса ∠ADC.

∠ADC+∠BCD=180º (как внутренние односторонние углы при AD ∥ BC и секущей CD).

Так как CO — биссектриса ∠BCD, то

Так как DO — биссектриса ∠ADC,

По теореме о сумме углов треугольника

Отсюда,

Что и требовалось доказать.

Биссектрисы углов при боковых сторонах трапеции пересекаются в точке, лежащей на средней линии трапеции.

Дано: ABCD — трапеция, AD ∥ BC,

CO — биссектриса ∠BCD,

DO — биссектриса ∠ADC,

MN — средняя линия трапеции.

1) Рассмотрим треугольник COD — прямоугольный (по доказанному утверждению 1).

Проведем из вершины прямого угла COD медиану ON.

2) Так как ON=CN, треугольник OCN — равнобедренный с основанием OC.

(как углы при основании равнобедренного треугольника).

Так как CO — биссектриса ∠BCD,

А так как эти углы — внутренние накрест лежащие при ON и BC и секущей OC, то ON ∥ BC (по признаку параллельности прямых).

Имеем: прямая ON параллельна основанию трапеции BC и проходит через середину боковой стороны CD. Следовательно, эта прямая содержит среднюю линию трапеции. Таким образом, точка O лежит на средней линии трапеции.

Источник

Узнать ещё

Знание — сила. Познавательная информация

Биссектрисы трапеции

Рассмотрим некоторые задачи, в которых биссектрисы углов трапеции пересекаются.

I. Биссектрисы углов при боковой стороне трапеции пересекаются.

1)∠ ABC+ ∠ BAD=180 º (как внутренние односторонние при AD ∥ BC и секущей AB).

2) ∠ ABK+ ∠ KAB=( ∠ ABC+ ∠ BAD):2=90 º (так как биссектрисы делят углы пополам).

Биссектрисы углов при боковой стороне трапеции пересекаются под прямым углом.

Это утверждение, в частности, применяется при решении базовой задачи на трапецию, в которую вписана окружность.

Пусть биссектриса угла ABC пересекает сторону AD в точке S. Тогда треугольник ABS — равнобедренный с основанием BS (доказательство можно посмотреть здесь). Значит, его биссектриса AK является также медианой, то есть точка K — середина BS.

Если M и N — середины боковых сторон трапеции, то MN — средняя линия трапеции и MN ∥ AD.

Так как M и K — середины AB и BS, то MK — средняя линия треугольника ABS и MK ∥ AS.

Поскольку через точку M можно провести лишь одну прямую, параллельную данной, точка K лежит на средней линии трапеции.

Точка пересечения биссектрис трапеции, прилежащих к боковой стороне, лежит на средней линии трапеции.

II. Точка пересечения биссектрис острых углов при основании трапеции принадлежит другому основанию.

В этом случае треугольники ABK и DCK — равнобедренные с основаниями AK и DK соответственно.

Таким образом, BC=BK+KC=AB+CD.

Если биссектрисы острых углов трапеции пересекаются в точке, принадлежащей меньшему основанию, то меньшее основание равно сумме боковых сторон трапеции.

В частности, у равнобедренной трапеции в этом случае меньшее основание в два раза больше боковой стороны.

III.Точка пересечения биссектрис тупых углов при основании трапеции принадлежит другому основанию.

В этом случае треугольники ABF и DCF — равнобедренные с основаниями BF и CF соответственно.

Если биссектрисы тупых углов трапеции пересекаются в точке, принадлежащей большему основанию, то большее основание равно сумме боковых сторон трапеции.

У равнобедренной трапеции в этом случае большее основание в два раза больше боковой стороны.

Источник