Докажите что треугольники abc и a1b1c1 равны если ab a1b1 ac a1c1

Признаки равенства треугольников

Первый признак равенства треугольников

Конечно, равенство треугольников всегда можно доказать наложением одного треугольника на другой. Но, согласитесь, — это несерьезно. Какое может быть наложение, когда есть три теоремы и можно их доказать.

Давайте рассмотрим три признака равенства треугольников.

Теорема 1. Равенство треугольников по двум сторонам и углу между ними.

Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

При наложении △A₁B₁C₁ на △ABC вершина A₁ совмещается с вершиной A, и сторона A₁B₁ накладывается на сторону AB, AC — на сторону A₁C₁.

Сторона A₁B₁ совмещается со стороной AB, вершина B совпадает с вершиной B₁, сторона A₁С₁ совмещается со стороной AС, вершина C совпадает с вершиной C₁.

Значит, происходит совмещение вершин В и В₁, С и С₁.

Второй признак равенства треугольников

Теорема 2. Равенство треугольников по стороне и двум прилежащим к ней углам.

Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Путем наложения △ABC на △A₁B₁C₁, совмещаем вершину А с вершиной A₁, вершины В и В₁ лежат по одну сторону от А₁С₁.

Тогда АС совмещается с A₁C₁, вершина C совпадает с C₁, поскольку мы знаем, что АС = A₁C₁.

AB накладывается на A₁B₁, поскольку мы знаем, что ∠A = ∠A₁.

CB накладывается на C₁B₁, поскольку мы знаем, что ∠C = ∠C₁.

Вершина B совпадает с вершиной B₁.

Третий признак равенства треугольников

Теорема 3. Равенство треугольников по трем сторонам.

Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Доказательство 3 признака равенства треугольников:

Приложим △ABC к △A₁B₁C₁ таким образом, чтобы вершина A совпала с вершиной A₁, вершина B — с вершиной B₁, вершина C и вершина C₁ лежат по разные стороны от прямой А₁В₁.

Кроме трех основных теорем, запомните еще несколько признаков равенства треугольников.

Равны ли треугольники, можно определить не только по сторонам и углам, но и по высоте, медиане и биссектрисе.

Как видите, доказать равенство треугольников можно по множеству признаков и десятком способов. Три признака равенства треугольников — основные. Все остальные способы также стоит запомнить, ведь треугольник — только с виду простая фигура.

Источник

Презентация была опубликована 8 лет назад пользователемОксана Спирина

Похожие презентации

Презентация на тему: » Докажите, что если в треугольниках ABC и A 1 B 1 C 1 AB = A 1 B 1, AC = A 1 C 1, медиана СM равна медиане С 1 M 1, то треугольники ABC и A 1 B 1 C 1 равны.» — Транскрипт:

1 Докажите, что если в треугольниках ABC и A 1 B 1 C 1 AB = A 1 B 1, AC = A 1 C 1, медиана СM равна медиане С 1 M 1, то треугольники ABC и A 1 B 1 C 1 равны. Доказательство. Треугольники ACM и A 1 C 1 M 1 равны по трем сторонам. Значит, углы A и A 1 равны. Таким образом, в треугольниках ABC и A 1 B 1 C 1 AB = A 1 B 1, AС = A 1 С 1, угол A равен углу A 1. Следовательно, эти треугольники равны по двум сторонам и углу между ними.

2 Докажите, что если треугольниках ABC и A 1 B 1 C 1 угол A равен углу A 1, AB = A 1 B 1, биссектриса AD равна биссектрисе A 1 D 1, то треугольники ABC и A 1 B 1 C 1 равны. Доказательство. Треугольники ABD и A 1 B 1 D 1 равны по двум сторонам и углу между ними. Значит, угол B равен углу B 1. Таким образом, треугольники ABC и A 1 B 1 C 1 равны по стороне и двум прилежащим к ней углам.

3 Докажите, что если в треугольниках ABC и A 1 B 1 C 1 AC = A 1 C 1, BC = B 1 C 1, медиана СM равна медиане С 1 M 1, то треугольники ABC и A 1 B 1 C 1 равны. Следовательно, ACD = A 1 C 1 D 1. Аналогично, треугольники BCD и B 1 C 1 D 1 равны по трем сторонам. Следовательно, угол BCD равен углу B 1 C 1 D 1. Значит, угол С равен углу С 1 и треугольники ABC и A 1 B 1 C 1 равны по двум сторонам и углу между ними. Доказательство. Продолжим медианы и отложим отрезки MD=CM и M 1 D 1 =C 1 M 1. Тогда четырехугольники ACBD и A 1 С 1 B 1 D 1 – параллелограммы. Треугольники ACD и A 1 C 1 D 1 равны по трем сторонам.

4 Докажите, что если равнобедренных треугольниках ABC и A 1 B 1 C 1 равны основания AB, A 1 B 1 и высоты CH, C 1 H 1, то треугольники ABC и A 1 B 1 C 1 равны. Доказательство. П рямоугольные треугольники ACH и A 1 C 1 H 1 равны по двум катетам. Значит, AC = A 1 C 1. Таким образом, треугольники ABC и A 1 B 1 C 1 равны по трем сторонам.

5 Докажите, что если в равнобедренных треугольниках ABC и A 1 B 1 C 1 равны основания AB, A 1 B 1 и высоты AH, A 1 H 1, то треугольники ABC и A 1 B 1 C 1 равны. Доказательство. П рямоугольные треугольники ABH и A 1 B 1 H 1 равны по катету и гипотенузе. Значит, угол B равен углу B 1. Таким образом, треугольники ABC и A 1 B 1 C 1 равны по стороне и двум прилежащим к ней углам.

6 Докажите, что если в остроугольных треугольниках ABC и A 1 B 1 C 1 AB = A 1 B 1, угол A равен углу A 1, высота AH равна высоте A 1 H 1, то треугольники ABC и A 1 B 1 C 1 равны. Доказательство. П рямоугольные треугольники ABH и A 1 B 1 H 1 равны по катету и гипотенузе. Значит, угол B равен углу B 1. Таким образом, в треугольниках ABC и A 1 B 1 C 1 AB = A 1 B 1, угол A равен углу A 1, угол B равен углу B 1. Следовательно, эти треугольники равны по стороне и двум прилежащим к ней углам.

7 Докажите, что если биссектриса треугольника является его высотой, то треугольник равнобедренный. Доказательство. Пусть биссектриса CD треугольника ABC является его высотой. Тогда треугольники ADC и BDC равны по стороне и двум прилежащим к ней углам. Следовательно, равны их соответствующие стороны AC и BC, т.е. треугольник ABC – равнобедренный.

8 Докажите, что если медиана треугольника является его высотой, то треугольник равнобедренный. Доказательство. Пусть в медиана CD треугольника ABC является его высотой. Тогда треугольники ADC и BDC равны по двум сторонам и углу между ними. Следовательно, равны их соответствующие стороны AC и BC, т.е. треугольник ABC – равнобедренный.

9 Докажите, что медианы равнобедренного треугольника, проведенные к боковым сторонам, равны. Доказательство. Пусть в равнобедренном треугольнике ABC AA 1 и BB 1 – медианы, проведенные к боковым сторонам. В треугольниках AA 1 C и BB 1 C угол C – общий, AC = BC, A 1 C = B 1 C. Следовательно, эти треугольники равны по двум сторонам и углу между ними. Значит, AA 1 = BB 1.

10 Докажите, что биссектрисы равнобедренного треугольника, проведенные к боковым сторонам, равны. Доказательство. Пусть в равнобедренном треугольнике ABC AA 1 и BB 1 – биссектрисы, проведенные к боковым сторонам. В треугольниках ABB 1 и BAA 1 сторона AB – общая, угол A равен углу B, ABB 1 = BAA 1. Следовательно, эти треугольники равны по стороне и двум прилежащим к ней углам. Значит, AA 1 = BB 1.

11 Докажите, что высоты равнобедренного треугольника, проведенные к боковым сторонам, равны. Доказательство. Пусть в равнобедренном треугольнике ABC, AA 1 и BB 1 – высоты, проведенные к боковым сторонам соответственно AC и BC. Прямоугольные треугольники ABB 1 и BAA 1 равны по гипотенузе и острому углу. Следовательно, катет AA 1 равен катету BB 1.

12 Докажите, что если две высоты остроугольного треугольника равны, то этот треугольник – равнобедренный. Доказательство. Пусть в треугольнике ABC равны высоты AA 1 и BB 1. Прямоугольные треугольники ABB 1 и BAA 1 равны по гипотенузе и катету. Следовательно, угол A равен углу B, значит, треугольник ABC – равнобедренный.

13 Докажите, что если в остроугольных треугольниках ABC и A 1 B 1 C 1 AB = A 1 B 1, высота AH равна высоте A 1 H 1, высота BG равна высоте B 1 G 1, то треугольники ABC и A 1 B 1 C 1 равны. Доказательство. Прямоугольные треугольники ABG и A 1 B 1 G 1 равны по катету и гипотенузе. Значит, угол A равен углу A 1. Аналогично, из равенства треугольников ABH и A 1 B 1 H 1 следует, что угол B равен углу B 1. Таким образом, в треугольниках ABC и A 1 B 1 C 1 AB = A 1 B 1, угол A равен углу A 1, угол B равен углу B 1. Следовательно, эти треугольники равны по стороне и двум прилежащим к ней углам.

14 Два треугольника равны, если две стороны и угол одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу другого треугольника. Ответ. Нет. Рассмотрим окружность и ее хорду AB. С центром в точке A проведем другую окружность, пересекающую первую окружность в некоторых точках C и C 1. Тогда в треугольниках ABC и ABC 1 AB – общая сторона, AC = A 1 C 1, С = С 1, однако треугольники ABC и ABC 1 не равны. Выясните, верно ли следующее утверждение

15 Два треугольника равны, если две стороны и высота, опущенная на одну из них, одного треугольника соответственно равны двум сторонам и высоте другого треугольника. Ответ. Да. Прямоугольные треугольники ACH и A 1 C 1 H 1 равны по катету и гипотенузе. Значит, A = A 1. Таким образом, в треугольниках ABC и A 1 B 1 C 1 AB = A 1 B 1, AС = A 1 С 1, A = A 1. Следовательно, эти треугольники равны по двум сторонам и углу между ними. Выясните, верно ли следующее утверждение

16 Два треугольника равны, если две стороны и высота, опущенная на третью сторону, одного треугольника соответственно равны двум сторонам и высоте другого треугольника. Ответ. Да. Прямоугольные треугольники ACH и A 1 C 1 H 1 равны по катету и гипотенузе. Значит, ACH = A 1 C 1 H 1. Аналогично, из равенства треугольников BCH и B 1 C 1 H 1 следует, что BCH = B 1 C 1 H 1. Таким образом, C = C 1 и, следовательно, треугольники ABC и A 1 B 1 C 1 равны по двум сторонам и углу между ними. Выясните, верно ли следующее утверждение

17 Если угол, сторона, прилежащая к этому углу, и высота, опущенная на эту сторону, одного треугольника соответственно равны углу, стороне и высоте другого треугольника, то эти треугольники равны. Ответ. Да. Прямоугольные треугольники ACH и A 1 C 1 H 1 равны по катету и острому углу. Значит, AC = A 1 C 1. Таким образом, в треугольниках ABC и A 1 B 1 C 1 AB = A 1 B 1, AС = A 1 С 1, A = A 1. Следовательно, эти треугольники равны по двум сторонам и углу между ними. Выясните, верно ли следующее утверждение

18 Если угол, сторона, прилежащая к этому углу, и высота, опущенная на сторону, противоположную данному углу, одного треугольника соответственно равны углу, стороне и высоте другого треугольника, то эти треугольники равны. Ответ. Да. Прямоугольные треугольники ABH и A 1 B 1 H 1 равны по катету и гипотенузе. Значит, B = B 1. Таким образом, в треугольниках ABC и A 1 B 1 C 1 AB = A 1 B 1, A = A 1, B = B 1. Следовательно, эти треугольники равны по стороне и двум прилежащим к ней углам. Выясните, верно ли следующее утверждение

19 Если угол, сторона, противолежащая этому углу, и высота, опущенная на другую сторону, одного треугольника соответственно равны углу, стороне и высоте другого треугольника, то эти треугольники равны. Ответ. Да. Прямоугольные треугольники ABH и A 1 B 1 H 1 равны по катету и гипотенузе. Значит, B = B 1, откуда A = A 1. Таким образом, в треугольниках ABC и A 1 B 1 C 1 AB = A 1 B 1, A = A 1, B = B 1. Следовательно, эти треугольники равны по стороне и двум прилежащим к ней углам. Выясните, верно ли следующее утверждение

20 Если угол, сторона, прилежащая к этому углу, и высота, опущенная на другую сторону, прилежащую к данному углу, одного треугольника соответственно равны углу, стороне и высоте другого треугольника, то эти треугольники равны. Ответ. Нет. Рассмотрим прямоугольные треугольники ABH и A 1 B 1 H 1, в которых H = H 1 = 90 o, AH = A 1 H 1, AB = A 1 B 1. На продолжениях сторон BH и B 1 H 1 отложим неравные отрезки соответственно HC и H 1 C 1. Тогда в треугольниках ABC и A 1 B 1 C 1 AB = A 1 B 1, B = B 1, высоты AH и A 1 H 1 равны, однако сами треугольники не равны. Выясните, верно ли следующее утверждение

21 Два треугольника равны, если два угла и высота, проведенная из вершины одного из них, соответственно равны двум углам и высоте другого треугольника. Ответ. Да. Прямоугольные треугольники ABH и A 1 B 1 H 1 равны по катету и острому углу. Значит, AB = A 1 B 1. Таким образом, в треугольниках ABC и A 1 B 1 C 1 AB = A 1 B 1, A = A 1, B = B 1. Следовательно, эти треугольники равны по стороне и двум прилежащим к ней углам. Выясните, верно ли следующее утверждение

22 Два треугольника равны, если два угла и высота, проведенная из вершины третьего угла, соответственно равны двум углам и высоте другого треугольника. Ответ. Да. прямоугольные треугольники ACH и A 1 C 1 H 1 равны по катету и острому углу. Значит, AC = A 1 C 1. Кроме того, из равенства углов A и A 1, B и B 1 следует равенство углов C и C 1. Таким образом, в треугольниках ABC и A 1 B 1 C 1 AC = A 1 C 1, A = A 1, C = C 1. Следовательно, эти треугольники равны по стороне и двум прилежащим к ней углам. Выясните, верно ли следующее утверждение

23 Если сторона и две высоты, опущенные на две другие стороны, одного треугольника соответственно равны стороне и двум высотам другого треугольника, то такие треугольники равны. Ответ. Да. Прямоугольные треугольники ABG и A 1 B 1 G 1 равны по катету и гипотенузе. Значит, A = A 1. Аналогично, из равенства треугольников ABH и A 1 B 1 H 1 следует, что B = B 1. Таким образом, в треугольниках ABC и A 1 B 1 C 1 AB = A 1 B 1, A = A 1, B = B 1. Следовательно, эти треугольники равны по стороне и двум прилежащим к ней углам. Выясните, верно ли следующее утверждение

24 Если угол, сторона, прилежащая к этому углу, и медиана, проведенная к этой стороне, одного треугольника соответственно равны углу, стороне и медиане другого треугольника, то эти треугольники равны. Ответ. Нет. Рассмотрим окружность с центром в точке M. Проведем два диаметра AB и A 1 B 1. Через точки A, A 1, M проведем еще одну окружность и выберем на ней точку C, как показано на рисунке. В треугольниках ABC и A 1 B 1 C AB = A 1 B 1, A = A 1, медиана СM общая. Однако треугольники ABC и A 1 B 1 C не равны. Выясните, верно ли следующее утверждение

25 Если у треугольников ABC и A 1 B 1 C 1 AC = A 1 C 1, BC = B 1 C 1, высота CH равна высоте C 1 H 1, то эти треугольники равны. Найдите ошибку в доказательстве следующего утверждения Доказательство. Прямоугольные треугольники ACH и A 1 C 1 H 1 равны по катету и гипотенузе. Значит, AH = A 1 H 1. Прямоугольные треугольники BCH и B 1 C 1 H 1 равны по катету и гипотенузе. Значит, BH = B 1 H 1. Следовательно, AB = A 1 B 1. Таким образом, треугольники ABC и A 1 B 1 C 1 равны по трем сторонам. Решение. Из равенства отрезков AH и A 1 H 1, BH и B 1 H 1 не следует равенство сторон AB и A 1 B 1 данных треугольников.

26 Если у треугольников ABC и A 1 B 1 C 1 AB = A 1 B 1, AC = A 1 C 1, высота CH равна высоте C 1 H 1, то эти треугольники равны. Найдите ошибку в доказательстве следующего утверждения Доказательство. Прямоугольные треугольники ACH и A 1 C 1 H 1 равны по катету и гипотенузе. Значит, угол A равен углу A 1. Таким образом, в треугольниках ABC и A 1 B 1 C 1 AB = A 1 B 1, AС = A 1 С 1, угол A равен углу A 1. Следовательно, эти треугольники равны по двум сторонам и углу между ними. Решение. Из равенства углов ACH и A 1 C 1 H 1 не следует равенство углов A и A 1 данных треугольников.

Источник