Главная > Учебные материалы > Математика: Стереометрия. Страница 1
1. Основные фигуры стереометрии
Аксиомы планиметрии описывают свойства простейших геометрических фигур на плоскости. Так как стереометрия изучает фигуры в пространстве и в пространстве может быть великое множество плоскостей, то аксиомы стереометрии состоят из аксиом планиметрии с уточнением «на» или «в заданной плоскости» и 3-х дополнительных аксиом.
2. Группа дополнительных аксиом стереометрии
1. Для любой плоскости в пространстве, существуют точки принадлежащие данной плоскости и точки не принадлежащие ей.
2. Две различные плоскости, имеющие одну общую точку, пересекаются по прямой, проходящей через эту точку.
3. Через две различные прямые, имеющие общую точку, можно провести только одну плоскость.
Рис. 1. Аксиомы стереометрии.
Пример
Даны три попарно пересекающиеся плоскости. Две прямые пересечения из них пересекаются. Доказать, что три прямые пересечения этих плоскостей пересекаются в одной точке.
Пусть даны три попарно пересекающиеся плоскости α, β и γ. Плоскость α пересекает плоскость β по прямой а. А плоскость β пересекает плоскость γ по прямой с (Рис. 2 а).
точка Е ∈ а,с (прямые пересекаются в точке Е по условию задачи)
Тогда плоскости α и γ пересекаются по прямой b.
Отсюда следует, что, т.к. прямые b,с ∈ γ, то они либо параллельны, либо пересекаются в какой-то точке Е1.
Если они параллельны, то у них нет общих точек, а следовательно, плоскости α и β пересекаются по прямой а, параллельной b и с (Рис. 2 б). А это противоречит условию задачи. Следовательно, прямые b и с пересекаются в какой-то точке Е1.
Отсюда можно сделать вывод, что точка Е1 принадлежит трем плоскостям α,β,γ и, следовательно, она лежит одновременно на трех прямых а, b и с. А это возможно только, если три прямые пересекаются в одной точке. И, следовательно, прямая b пересекает прямую с в точке Е1, которая является точкой пересечения прямых а и с. Таким образом, точки Е и Е1 совпадают.
Рис.2. Даны три попарно пересекающиеся плоскости.
3. Плоскость, проходящая через данную прямую и точку
Теорема: Через прямую и не лежащую на ней точку можно провести только одну плоскость.
Доказательство.
Пусть АВ данная прямая и Е не принадлежащая ей точка. (Рис.3) Проведем через точки А и Е прямую. Тогда прямые АВ и АЕ пересекаются в точке А. Согласно аксиоме: через две пересекающиеся прямые можно провести только одну плоскость, плоскость α, проведенная через эти прямые, единственная. Т.к. точка Е принадлежит прямой АЕ, то она принадлежит плоскости α.
Если допустить, что существует еще одна плоскость α’, проходящая через прямую АВ и точку Е, то эта плоскость пересекает плоскость α по прямой, на которой лежат точки А, В, и Е согласно аксиоме 2. А это противоречит условию, т.к. точки А, В, и Е не лежат на одной прямой. Следовательно, плоскость α единственная.
Рис. 3 Плоскость, проходящая через данную прямую и точку.
4. Пересечение прямой с плоскостью
Теорема: Если две точки прямой принадлежат плоскости, то и вся прямая принадлежит данной плоскости.
Доказательство.
Проведем через прямую а и точку С плоскость β. Тогда, если плоскости α и β совпадают, то прямая а принадлежит плоскости α, что и утверждает данная теорема. Если плоскости α и β не совпадают, то они пересекаются по прямой а’. Таким образом, имеем:
точки А и В ∈ а, α прямая а ∈ β следовательно, точки А и В ∈β
Отсюда следует, что две точки А и В принадлежат двум плоскостям: α и β. И, согласно аксиоме, они могут лежать только на прямой а’, которая является прямой пересечения этих плоскостей. Т.к. через две точки можно провести только одну прямую, и по условию теоремы эта прямая есть а, то следовательно, она и является прямой пересечения двух плоскостей. Т.е. прямые а и а’ совпадают. А следовательно, прямая а принадлежит плоскости α.
Из данной теоремы следует, что плоскость и не принадлежащая ей прямая, либо не пересекаются, либо пересекаются в одной точке.
Рис. 4 Пересечение прямой с плоскостью.
5. Существование плоскости, проходящей через три данные точки
Теорема. Через три точки, не лежащие на данной прямой, можно провести только одну плоскость. Рис.5
Доказательство. Пусть А, В, С три точки, не лежащие на одной прямой. Проведем через точки А,С и В,С прямые. Тогда они пересекаются в точке С. Согласно аксиоме: через две пересекающиеся прямые можно провести только одну плоскость, плоскость, проведенная через эти прямые, единственная. По теореме о пересечении прямой с плоскостью, обе прямые целиком принадлежат данной плоскости.
Рис. 5 Существование плоскости, проходящей через три данные точки.
6.Пример 1
Докажите, что все прямые, пересекающие данную прямую и проходящие через данную точку вне прямой, лежат в одной плоскости.
Доказательство:
Пусть дана данная прямая а и точка О, не принадлежащая прямой а. И даны пересекающие ее прямые b, c, d в точках B, C, D, которые пересекаются в точке О. Проведем через прямую а и точку О плоскость α (Рис.6).
По теореме о пересечении прямой и плоскости, если провести прямую b, проходящую через точку О и точку В прямой а, то она целиком будет принадлежать плоскости α, так как две точки прямой b принадлежат плоскости α.
Если допустить, что прямая b не принадлежит плоскости α, то в этом случае мы можем провести плоскость α’, проходящую через точки В и О. Тогда плоскости α и α’ пересекаются по прямой b’, проходящей через точки В и О. А так как через две точки можно провести только одну прямую, то прямые b и b’ совпадают. Следовательно, прямая b целиком принадлежит плоскости α.
Точно так же доказывается, что прямые с и d принадлежат плоскости α. Отсюда можно сделать вывод, что все прямые, пересекающие данную прямую и проходящие через данную точку вне прямой, лежат в одной плоскости.
Рис.6 Задача. Докажите, что все прямые, пересекающие данную прямую.
Пример 2
Даны две непересекающиеся плоскости. Докажите, что прямая, пересекающая одну из этих плоскостей, пересекает и другую.
Доказательство:
Пусть даны две непересекающиеся плоскости α и α’. И прямая а, которая пересекает плоскость α в точке В (Рис.7). Необходимо доказать, что прямая а пересекает плоскость α’ в точке В’.
Возьмем на плоскости α’ точку А и проведем через нее и прямую а плоскость β. Тогда плоскость β будет пересекать плоскости α и α’ по параллельным прямым b и b’. Точка В принадлежит прямой b, так как она принадлежит плоскости α и лежит на прямой а. И следовательно, она принадлежит двум плоскостям α и β.
Таким образом получается, что на плоскости β лежат две параллельные прямые b и b’. Одну из них пересекает прямая а в точке В. Следовательно, прямая а пересекает и вторую прямую b’. Так как согласно аксеоме, через точку В, не лежащей на данной прямой b’, можно провести только одну, параллельную прямой b’, прямую b. Отсюда следует, что прямая а не параллельна прямой b’, она ее пересекает в точке B’.
Рис.7 Задача. Даны две непересекающиеся плоскости.
Пример 3
Даны две плоскости, пересекающиеся по прямой а. И прямая b, которая лежит в одной из этих плоскостей и пересекает другую. Докажите, что прямые а и b пересекаются.
Доказательство:
Пусть даны две пересекающиеся плоскости α и β. Прямая а, является их прямой пересечения. Прямая b лежит в плоскости β и пересекает плоскость α в точке А (Рис.8). Необходимо доказать, что прямая b пересекает прямую а.
По условию задачи, прямая b лежит в плоскости β и пересекает плоскость α в точке А. Следовательно, точка А принадлежит двум плоскостям α и β.
Согласно аксиоме стереометрии, если две плоскости имеют одну общую точку, то они пересекаются по прямой, проходящей через эту точку. Отсюда следует, что, так как точка А принадлежит двум плоскостям, то она лежит на прямой а, потому что прямая а является прямой пересечения двух плоскостей α и β.
Таким образом, точка А принадлежит двум прямым а и b. А следовательно, эти прямые пересекаются.
Рис.8 Задача. Даны две плоскости, пересекающиеся по прямой а.
Пример 4
Точки А, В, С лежат в каждой из двух различных плоскостей. Докажите, что эти точки лежат на одной прямой.
Доказательство:
Пусть даны две пересекающиеся плоскости α и β. Прямая а, является их прямой пересечения. Точки А, В, С одновременно принадлежат двум плоскостям α и β (Рис.9). Необходимо доказать, что все три точки принадлежат прямой а.
Согласно аксиоме стереометрии, если две плоскости имеют одну общую точку, то они пересекаются по прямой, проходящей через эту точку. Отсюда следует, что все три точки А, В и С лежат на прямой пересечения двух плоскостей, т.е. прямой а, так как они принадлежат обоим плоскостям α и β.
Пусть дана точка D, принадлежащая только плоскости β. Тогда она не может лежать на прямой а, так как она не принадлежит плоскости α. Точно так же точка Е не может принадлежать прямой а, так как она принадлежит только плоскости α. Точка F не принадлежит плоскостям α и β, а следовательно, и прямой а.
Рис.9 Задача. Точки А, В, С лежат в каждой из двух различных плоскостей.
Пример 5
Даны четыре точки. Известно, что прямая, проходящая через любые две из этих точек, не пересекается с прямой, проходящей через другие две точки. Докажите, что данные четыре точки не лежат в одной плоскости.
Доказательство:
Пусть даны четыре точки А, В, С, D. Допустим, что все четыре точки лежат в одной плоскости α.
Прямая АВ не пересекается с прямой CD. Прямая АС также не пересекается с прямой BD. Если провести прямую AD, то точки В и С окажутся в разных полуплоскостях. Следовательно, прямая AD пересекается с прямой ВС в точке О (Рис.10 а).
Допустим, что прямая AB не пересекает прямую DС (Рис.10 б). АD не пересекает прямую BC. Тогда, если провести прямую АС, то точки B и D окажутся в разных полуплоскостях. И прямая АС будет пересекать прямую BD в точке О.
Теперь допустим, что прямая AC не пересекает прямую ВD (Рис.10 в). АD не пересекает прямую ВC. Тогда, если провести прямую АВ, то точки D и C окажутся в разны полуплоскостях. А следовательно, прямая АВ будет пересекать прямую СD в точке О.
Отсюда можно сделать вывод, для того, чтобы выполнялось условие, при котором прямые АВ, АС, АD, одновременно не пересекали бы прямые CD, BD, BC, необходимо чтобы четыре точки А, В, С и D лежали в разных плоскостях.
Рис.10 Задача. Даны четыре точки. Известно, что прямая.
33. Докажите, что если три плоскости, не проходящие через одну прямую, попарно пересекаются, то прямые, по которым они пересекаются, либо параллельны, либо имеют общую точку.
Пусть а не параллельна b, тогда а пересекается с b в некоторой точке K.
Тогда плоскость γ пересекается с плоскостью α не только по прямой с, но еще по второй прямой, проходящей через т. К.
Получили, что либо плоскости имеют общую точку K
либо наше допущение неверно, то есть
не пересекается с с, но лежит с ней в одной плоскости γ. Тогда по определению
В случае, когда плоскости имеют общую точку, они попарно пересекаются, образуя фигуру, называемую трехгранным углом.
Урок №5. Взаимное расположение прямых в пространстве
Перечень вопросов, рассматриваемых в теме
Две прямые в пространстве называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются.
Скрещивающиеся прямые — прямые, которые не лежат в одной плоскости.
Два отрезка называются параллельными, если они лежат на паралельных прямых.
Открытый электронный ресурс:
Теоретический материал для самостоятельного изучения
Мы уже знаем, что прямы в пространстве могут располагаться параллельно или пересекаться. Существует еще один вид- скрещивающиеся прямые. С ним мы мимолетно познакомились на предыдущем уроке. А сегодня нам предстоит разобраться с этой темой более подробно.
Определение. Скрещивающиеся прямые — прямые, которые не лежат в одной плоскости. (рис. 1)
Рисунок 1 – скрещивающиеся прямые
На прошлом уроке в качестве наглядного примера нами был приведен куб.
Сегодня предлагаем вам обратить внимание на окружающую вас обстановку и найти в ней скрещивающиеся прямые.
Примеры скрещивающихся прямых вокруг нас:
Одна дорога проходит по эстакаде, а другая под эстакадой
Горизонтальные линии крыши и вертикальные линии стен
Разберем и докажем теорему, которая выражает признак скрещивающихся прямых.
Теорема. Если одна из двух прямых лежит в некоторой плоскости, а другая прямая пересекает эту плоскость в точке, не лежащей на первой прямой, то эти прямые скрещивающиеся (не лежат в одной плоскости).
Доказательство. Рассмотрим прямую AB лежащую в плоскости и прямую CD, которая пересекает плоскoсть в точке D, не лежащей на прямой AB (рис. 2).
Рисунок 2 – скрещивающиеся прямые АВ и СD
Итак, возможны три случая расположения прямых в пространстве:
Разберем и докажем еще одну теорему о скрещивающихся прямых.
Теорема. Через каждую из двух скрещивающихся прямых проходит плоскость, параллельная другой прямой, и притом только одна.
Доказательство Рассмотрим скрещивающиеся прямые AB и CD.(рис. 3)
1. Через точку D можно провести прямую DE параллельную AB. 2. Через пересекающиеся прямые CD и DE можно провести плоскость α 3. Так как прямая АB не лежит в этой плоскости и параллельна прямой DE, то она параллельна плоскости.
4. Эта плоскость единственная, так как любая другая плоскость, проходящая через CD, будет пересекаться с DE и AB, которая ей параллельна. Теорема доказана.
Рисунок 3 – прямые АВ, СD, DЕ
Любая прямая, например ОО1, рассекает плоскость на две полуплоскости. Если лучи ОА и О1А1 параллельны и лежат в одной полуплоскости, то они называются сонаправленными.
Лучи О1А1 и ОА не являются сонаправленными. Они параллельны, но не лежат в одной полуплоскости. (рис. 4)
Рисунок 4 – сонаправленные лучи
Теорема.Если стороны двух углов соответственно сонаправленны, то такие углы равны. (рис. 5)
Доказательство:
при доказательстве ограничимся случаем, когда углы лежат в разных плоскостях.
Отметим на сторонах угла O произвольные точки A и B.
На соответствующих сторонах угла O1 отложим отрезки OA1 и O₁B₁ равные соответственно ОA и OB.
2. В плоскости рассмотрим четырехугольник OAA1O1.
Так как противолежащие стороны OA и O1A1 этого четырехугольника равны и параллельны по условию, то этот четырехугольник– параллелограмм и, следовательно, равны и параллельны стороны AA1 и OO1.
3. В плоскости, аналогично можно доказать, что OBB1O1 параллелограмм, поэтому равны и параллельны стороны ВВ1 и OO1.
4. Если две отрезка AA1 и BB1 равны параллельны третьему отрезку OO1, значит, они равны и параллельны, т. е. АА1||BB1 и AA1 = BB1.
По определению четырехугольник АВВ1А1 – параллелограмм и из этого получаем АВ=А1В1.
5.Из выше построенного и доказанного АВ=А1В1, ОA =O1A1 и OB =O1B1 следует, что треугольники AOB и A1 O1 B1. равны по трем сторонам, и поэтому О= О1.
Рисунок 5 – равные углы с сонаправленными сторонами
На плоскости даны три попарно пересекающиеся окружности, центры которых не лежат на одной прямой. Докажите, что прямые, содержащие три общие хорды каждой пары этих окружностей пересекаются в одной точке.
Пусть окружности S1 и S2 пересекаются в точках A и B, окружности S1 и S3 — в точках C и D, окружности S2 и S3 — в точках E и F. Рассмотрим случай, когда попарно пересекаются отрезки AB, CD и EF.
Если M — точка пересечения отрезков CD и EF, то по теореме о произведениях отрезков пересекающихся хорд
Через точки A и M проведём прямую, вторично пересекающую окружность S2 в точке B1. Тогда хорды AB1 и EF окружности S2 пересекаются в точке M, поэтому
Значит точки A, B1, C и D лежат на одной окружности, а т.к. через точки A, C и D проходит единственная окружность S1, то точка B1 лежит на окружности S1. Таким образом, точка B1 является общей точкой окружностей S1 и S2, отличной от точки A. Значит, точка B1 совпадает с точкой B. Следовательно, хорда AB проходит через точку пересечения хорд CD и EF.
Аналогично для случая когда пересекаются продолжения отрезков AB, CD и EF.
Пусть окружности S1 и S2 пересекаются в точках A и B, окружности S1 и S3 — в точках C и D, окружности S2 и S3 — в точках E и F. Рассмотрим случай, когда попарно пересекаются отрезки AB, CD и EF.
Если M — точка пересечения отрезков CD и EF, то по теореме о произведениях отрезков пересекающихся хорд
Через точки A и M проведём прямую, вторично пересекающую окружность S2 в точке B1. Тогда хорды AB1 и EF окружности S2 пересекаются в точке M, поэтому
Значит точки A, B1, C и D лежат на одной окружности, а т.к. через точки A, C и D проходит единственная окружность S1, то точка B1 лежит на окружности S1. Таким образом, точка B1 является общей точкой окружностей S1 и S2, отличной от точки A. Значит, точка B1 совпадает с точкой B. Следовательно, хорда AB проходит через точку пересечения хорд CD и EF.
Аналогично для случая когда пересекаются продолжения отрезков AB, CD и EF.
Пусть окружности S1 и S2 пересекаются в точках A и B, окружности S1 и S3 — в точках C и D, окружности S2 и S3 — в точках E и F. Рассмотрим случай, когда попарно пересекаются отрезки AB, CD и EF.
Если M — точка пересечения отрезков CD и EF, то по теореме о произведениях отрезков пересекающихся хорд
Через точки A и M проведём прямую, вторично пересекающую окружность S2 в точке B1. Тогда хорды AB1 и EF окружности S2 пересекаются в точке M, поэтому
Значит точки A, B1, C и D лежат на одной окружности, а т.к. через точки A, C и D проходит единственная окружность S1, то точка B1 лежит на окружности S1. Таким образом, точка B1 является общей точкой окружностей S1 и S2, отличной от точки A. Значит, точка B1 совпадает с точкой B. Следовательно, хорда AB проходит через точку пересечения хорд CD и EF.
Аналогично для случая когда пересекаются продолжения отрезков AB, CD и EF.
