Докажите что все вершины четырехугольника abcd лежат в одной плоскости

Доказать что все вершины четырехугольника ABCD лежат в одной плоскости, если его диагонали ac и bd пересекаются. AС=10 BD= 12

Но до этого было еще далеко. А пока молодой жене пришлось свыкнуться с новой жизнью в составе огромного клана Кеннеди. Воспитанная, образованная, начитанная, она была совсем не похожа на сестер Джона — и никак не могла влиться в их компанию.

Тем не менее, роль хозяйки дома и супруги политика Джеки играла с достоинством. Она мирилась с частыми изменами любвеобильного супруга и мечтала о большой семье. Через три года после свадьбы Джеки, наконец, забеременела — и вскоре пережила первую большую потерю. Дочь Арабелла появилась на свет мертворожденной.

Они продали дом, в котором жили, переехали в другой город и решили попробовать еще раз. Керолайн Бувье Кеннеди появилась на свет в большой американский праздник — День благодарения 1957 года. Жаклин была счастлива: мечта о семье начинала сбываться.

Белый дом и его фея

Через три года Джон Кеннеди объявил о выдвижении своей кандидатуры на пост президента США. Преданная мужу во всем, Жаклин была намерена активно участвовать в его предвыборной кампании. Но когда пара поняла, что у них родится второй ребенок, планы пришлось изменить.

Беспокоясь за супругу, Джон последовал совету врача и запретил ей покидать дом без лишней необходимости. Но Жаклин не была бы собой, оставшись в стороне.

И она стала участвовать в президентской гонке, не покидая дома: отвечала на письма избирателей, давала интервью, записывала рекламные ролики и даже вела свою газетную колонку.

Кеннеди победил. Страна получила первую леди, о которой позднее скажут: она дала Америке то, чего ей так недоставало — аристократичности.

Впервые попав в Белый дом после победы на выборах, Джеки была разочарована. Особняк, в котором творилась история, выглядел как обычный дом рядового американца с хорошим доходом: большие комнаты, современная мебель, казенные кабинеты.

И она взялась за дело: создала Комитет по изящным искусствам и стала закупать антикварную мебель, посуду и другие вещи, значимые для истории Америки. В президентском особняке появились красивые спальни и детские комнаты, а все имущество официально перешло в собственность Смитсоновского института, а не бывших президентов.

Результат своих трудов Джеки с гордостью представила всей Америке, проведя экскурсию по Белому дому для телевидения. Люди с жадным любопытством следили за тем, как живут президент и первая леди — и влюблялись в них все больше.

Народная любовь к Джеки по всему миру достигла того, что во время официального визита четы Кеннеди во Францию газеты опубликовали их снимок с подписью: «Жаклин Кеннеди в сопровождении спутника».

«Я — человек, который сопровождал Жаклин Кеннеди в Париж — и я наслаждаюсь этим!» — шутил сам Кеннеди. Президент понимал, что своей популярностью он обязан в том числе и своей жене.

Понимал — но продолжал изменять. Самым громким скандалом того времени стали слухи о романе Джона Кеннеди и Мерилин Монро. По слухам, она даже звонила в Белый дом, чтобы сообщить первой леди об их связи.

В ноябре 1963 года Кеннеди начал предвыборную борьбу за второй президентский срок. В Техас они приехали с рабочим визитом: Джон должен был выступить перед избирателями. В Далласе их встретил губернатор с супругой, и они вместе поехали по улицам города в открытом автомобиле.

Когда раздался выстрел, Джеки подумала, что это выхлоп мотоцикла, но затем услышала крик губернатора и склонилась к мужу. Последняя пуля попала в голову Джона Кеннеди. Сидевшая рядом с ним на заднем сиденье Джеки вся оказалась запачкана его кровью.

В состоянии полнейшего шока она прямо на ходу попыталась выползти из машины через багажник, но автомобиль немедленно увеличил скорость и поехал в госпиталь.

В больнице Кеннеди был еще жив. Жаклин отказалась находиться в комнате для посетителей и потребовала, чтобы ее пропустили в палату. Он умер у нее на руках.

…Те, кто был рядом с ней в те дни, вспоминают, что она была буквально раздавлена всем происходящим. Но интуитивно вела себя правильно, показав всей стране пример безграничной скорби и достоинства.

Источник

Решение задач на применение аксиом стереометрии и их следствий

ТЕМА УРОКА: решение задач на применение аксиом стереометрии и их следствий

Сформировать навык применения аксиом стереометрии и их следствий при решении задач.

1. Организационный момент.

2. Актуализация знаний учащихся

Проверяется домашнее задание. Учитель отвечает на вопросы учащихся по домашней работе.

Двое учащихся готовят у доски доказательство следствий из аксиом.

Двое учащихся работают по карточкам индивидуального опроса.

Карточка 1 (1 уровень)

В пересекающихся плоскостях взяты соответственно точки А и В, которые не лежат на линии их пересечения (прямой с). Точка М лежит на прямой с.

· Построить линию пересечения плоскостей: а) и МАВ; б) и МАВ.

· Найти общую точку плоскостей и АМВ.

Запишите символически и выполните рисунок: Прямая АВ пересекает плоскость в точке О, а прямая CD лежит в плоскости .

Карточка 2 (2 уровень)

Через сторону АВ ромба ABCD проведена плоскость . Точки E, и F – середины сторон AD и DC.

Постройте точку пересечения прямой EF с плоскостью . Вычислите расстояние от этой точки до точек А и В, если ВС=12 см.

Выполните рисунок: .

Остальные учащиеся работают по готовому чертежу и отвечают на вопросы (фронтальная работа).

Дан куб ABCDA1B1C1D1.

· несколько точек, которые лежат в плоскости

· несколько точек, которые не в плоскости

· несколько прямых, которые лежат плоскости

· несколько прямых, которые не лежат в плоскости

· несколько прямых, которые пересекают прямую ВС

· несколько прямых, которые пересекают прямую ВС

Заполните пропуски, чтобы получилось верное утверждение:

· если

· если

· если

· если

Дано: .

Доказать: 1) 2) Лежат ли в одной плоскости все прямые, проходящие через точку М?

Решение 1. Согласно второму следствию, пересекающиеся прямые а и b принадлежат плоскости ; (аксиома А2).

Решение 2. Все прямые, проходящие через точку М, не обязательно лежат в одной плоскости Проиллюстрировать это утверждение на примере куба (рисунок выше). Например АА1, АВ, АD проходят через точку А, но очевидно не лежат в одной плоскости

Решение 1. Все прямые a, b,c, лежат в одной плоскости. В этом случае, по следствию 2 можно провести плоскости, и через 3 прямые проходит одна плоскость.

Решение 2. Одна из трех прямых (с) не лежит в плоскости , определяемой другими прямыми a, b. В этом случае через три заданные прямые проходят три различные плоскости, определяемые парами прямых а и b, а и с, b и с.

Задача №10.

a) Аналогично задаче №7 – решить самостоятельно. (Взять выборочно тетради на проверку)

b) Нет. Если

Задача

Дан куб ABCDA1B1C1D1. Точка М лежит на ребре СС1 и точка К лежит на ребре DD1.

a) Назовите плоскости, в которых лежат точки М и N.

b) Найдите точку F – точку пересечения прямых MN и ВС. Каким свойством обладает точка F?

c) Найдите точку пересечения прямой KN и плоскости АВС.

d) Найдите линию пересечения плоскостей MNK и АВС.

Решение: При построении учащиеся проговаривают аксиомы, результат построения записывают с помощью символики. При решении данной задачи применяются аксиомы А2 и А3.

a)

b) 1.

2.

c)

d)

1)

2)

Дополнительная задача

a) докажите, что все вершины четырехугольника ABCD лежат в одной плоскости, если диагонали АС и BD пересекаются

b) вычислите площадь четырехугольника, если , АС=10 см, CD=12 см.

a) Согласно второму следствию из аксиом, пересекающиеся прямые АС и BD определяют некоторую плоскость . Прямая АС лежит в плоскости , следовательно, все точки, в том числе А и С, принадлежат этой плоскости. Аналогично доказывается, что точки B и D принадлежат плоскости .

1.

2.

3.

b) Воспользуемся формулой , где d1 и d2 – диагонали четырехугольника, а — угол между ними.

Подведение итогов (выставление оценок за урок) Домашнее задание

Источник

Доказать что все вершины четырехугольника ABCD лежат в одной плоскости, если его диагонали ac и bd пересекаются?

Доказать что все вершины четырехугольника ABCD лежат в одной плоскости, если его диагонали ac и bd пересекаются.

Только зачем длины диагоналей даны?

Диагонали четырехугольника ABCD пересекаются в точке M, причем AM = MC = BM = MD?

Диагонали четырехугольника ABCD пересекаются в точке M, причем AM = MC = BM = MD.

Определите тип четырехугольника.

Диагонали четырехугольника ABCD пересекаются в точке о известно что треугольники AOB = COD?

Диагонали четырехугольника ABCD пересекаются в точке о известно что треугольники AOB = COD.

Докажите что данный четырехугольник параллелограмм.

Она лежит в этой плоскости, но нужно это как то доказать.

Точки А, B и прямая MN не лежат в одной плоскости?

Точки А, B и прямая MN не лежат в одной плоскости.

Доказать, что прямые АВ и MN не пересекаются.

Вершины четырехугольника ABCDявляются серединами сторончетырехугольника, диагоналикоторого равны 6 дм ипересекаются под углом 60°?

Вершины четырехугольника ABCD

являются серединами сторон

которого равны 6 дм и

пересекаются под углом 60°.

Две соседние вершины и точка пересечения диагоналей квадрата лежат в плоскости альфа доказать что две другие вершины квадрата лежат в той же плоскости?

Две соседние вершины и точка пересечения диагоналей квадрата лежат в плоскости альфа доказать что две другие вершины квадрата лежат в той же плоскости.

Доказать, что все прямые, пересекающие данную прямую и проходящую через точку вне прямой лежат в одной плоскости?

Доказать, что все прямые, пересекающие данную прямую и проходящую через точку вне прямой лежат в одной плоскости.

Какие вершины четырехугольника лежат в одной плоскости?

Какие вершины четырехугольника лежат в одной плоскости.

Помогите пожалуйста?

Докажите что : 1) если все вершины четырехугольника ABCD лежат в одной плоскости, если его диагонали ac и bd пересекаются 2) вычислите площадь четырехугольника если ас перпендикулярна вd, ас = 10 см, вd = 12 см.

Помогите, пожалуйста?

В четырехугольнике ABCD диагонали AC и BD являются биссектрисами его углов.

Источник

Докажите, что все вершины четырехугольника АВСД лежат в одной плоскости, если его диагонали АС и ВД пересекаются?

Докажите, что все вершины четырехугольника АВСД лежат в одной плоскости, если его диагонали АС и ВД пересекаются.

Вычислите площадь четырехугольника, если АС перпендикулярна ВД.

ПОМОГИТЕ, ПОЖАЛУЙСТА, СРОЧНО НАДО!

диагоналях⇒все вершины лежат на этой плоскости.

При перпендикулярных диагоналях S = d1 * d2 / 2 = 10 * 12 / 2 = 60 cм².

Найдите площадь четырехугольника, изображенного на рисунке?

Найдите площадь четырехугольника, изображенного на рисунке.

Диагонали четырехугольника перпендикулярны.

Диагонали ас и вд четырехугольника авсд пересекаются в точке м так, что ам = мс, вм : мд = 2 : 5?

Диагонали ас и вд четырехугольника авсд пересекаются в точке м так, что ам = мс, вм : мд = 2 : 5.

Найти площадь четырехугольника авсд, если площадь треугольника авм равна 8 см *.

Докажите, что если диагонали четырёхугольника пересекаются, то его вершины лежат в одной плоскости?

Докажите, что если диагонали четырёхугольника пересекаются, то его вершины лежат в одной плоскости.

Диагонали четырехугольника АBCD взаимно перепендикулярны, АС = 12, BD = 15?

Диагонали четырехугольника АBCD взаимно перепендикулярны, АС = 12, BD = 15.

Найдите площадь четырехугольника, вершинами которого являются середины сторон данного четырехугольника.

Докажите, что если диагонали четырехугольника перпендикулярны, то середины его сторон являются вершинами ромба?

Докажите, что если диагонали четырехугольника перпендикулярны, то середины его сторон являются вершинами ромба.

Докажите что если диагонали четырехугольника пересекаются, то его вершины лежат в одной плоскости?

Докажите что если диагонали четырехугольника пересекаются, то его вершины лежат в одной плоскости.

Диагонали АС и ВД четырехугольника пересекаются в точке О, АО = 18 см, ОВ = 15 см, ОС = 12см, ОД = 10см?

Диагонали АС и ВД четырехугольника пересекаются в точке О, АО = 18 см, ОВ = 15 см, ОС = 12см, ОД = 10см.

Все 4 точки лежат в одной плоскости Все четыре точки лежат в одной плоскости Докажите что вершина четырех угольника лежат в одной плоскости если его диагонали АС и ВД пересекаются?

Все 4 точки лежат в одной плоскости Все четыре точки лежат в одной плоскости Докажите что вершина четырех угольника лежат в одной плоскости если его диагонали АС и ВД пересекаются.

1Даны четыре точки, из которых три лежат на одной прямой?

1Даны четыре точки, из которых три лежат на одной прямой.

Верно ли утверждение, что все четыре точки лежат в одной плоскости?

2 а)Докажите, что все вершины четырехугольника АВСD лежат в одной плоскости, если его диагонали АС и ВD пересекаются.

Б)Вычислите площадь четырехугольника, если AC перпендикулярен BD, АС = 10см, BD = 12см.

Вершины четырехугольника ABCD являются серединами сторон четырехугольника, диагонали которого равны 6 дм и пересекаются под углом 60°?

Вершины четырехугольника ABCD являются серединами сторон четырехугольника, диагонали которого равны 6 дм и пересекаются под углом 60°.

Вычислите площадь четырехугольника ABCD.

Желательно приложить рисунок.

Источник

Аксиомы стереометрии и их следствия

Аксиома 1. Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна.

Замечание: если взять не три, а четыре произвольные точки, то через них может не проходить ни одна плоскость, то есть четыре точки могут не лежать в одной плоскости. Аксиома 2. Если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки прямой лежат в этой плоскости. (Прямая лежит на плоскости или плоскость проходит через прямую).

Замечание: Из аксиомы 2 следует, что если прямая не лежит в данной плоскости, то она имеет с ней не более одной общей точки. Если прямая и плоскость имеют одну общую точку, то говорят, что они пересекаются.

Аксиома 3. Если две различные плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей. В таком случае говорят, плоскости пересекаются по прямой. Пример: пересечение двух смежных стен, стены и потолка комнаты.

Теорема 1. (первое следствие из аксиом) Через прямую a и не лежащую на ней точку А проходит плоскость, и притом только одна.

Теорема 2.(второе следствие из аксиом) Через две пересекающиеся прямые a и b проходит плоскость, и при том только одна.

Верно ли утверждение: если две точки окружности лежат в плоскости, то и вся окружность лежит в плоскости?

Утверждение неверно. Достаточно привести контрпример. Пусть окружность с диаметром AB лежит в плоскости , которая пересекается с плоскостью по прямой AB. Тогда точки A и B окружности лежат в плоскости , но вся окружность не лежит в этой плоскости.

Даны четыре точки, из которых три лежат на одной прямой. Верно ли утверждение, что все четыре точки лежат в одной плоскости? Ответ обосновать.

Утверждение верно. Действительно, пусть Согласно первому следствию из аксиом через прямую и точку D проходит единственная плоскость . Все четыре точки лежат в плоскости .

Докажите, что все вершины четырехугольника ABCD лежат в одной плоскости, если его диагонали AC и BD пересекаются. Вычислите площадь четырехугольника, если AC BD, AC = 10 см, BD = 12 см.

Согласно второму следствию из аксиом, пересекающиеся прямые AC и BD определяют некоторую плоскость . Прямая АС лежит в плоскости , следовательно все ее точки, в том числе А и С, принадлежат этой плоскости: Аналогично имеем: так как то

Воспользуемся формулой , где — диагонали четырехугольника, а — угол между ними: .

Ответ: .

· Каждая ли точка дуги окружности принадлежит плоскости, если известно, что этой плоскости принадлежит:
a. Две различные точки дуги.
b. Три различные точки дуги.

· Сколько различных плоскостей можно провести:
a. Через одну точку.
b. Через две различные точки.
c. Через три различные точки.
d. Через четыре точки, никакие три из которые не принадлежат одной прямой?

· Даны две пересекающиеся прямые. Верно ли утверждение, что любая прямая, пересекающая обе данные прямые, лежит с ними в одной плоскости?

· Может ли пересечение сторон угла с плоскостью быть одной точкой, двумя различными точками, тремя различными точками?

· Столяр с помощью двух нитей проверяет будит ли устойчиво стоять на полу изготовленный стол, имеющий четыре ножки. Как он это делает.

Контрольные вопросы и задания:

Верно ли утверждение: если три точки окружности лежат в плоскости, то и вся окружность лежит в этой плоскости?

Даны две пересекающиеся прямые. Верно ли утверждение, что все прямые, пересекающие данные, лежат в одной плоскости? Ответ обоснуйте.

Дан прямоугольник ABCD, О – точка пересечения его диагоналей. Известно, что точки A, B, O лежат в плоскости .

Вычислите площадь прямоугольника, если AC = 8 см, .

Источник