Две плоскости пересекаются это значит что

Пересекающиеся плоскости

Плоскость — это одно из основных понятий геометрии. При систематическом изложении геометрии понятие плоскости обычно принимается за одно из исходных понятий, которое лишь косвенным образом определяется аксиомами геометрии.

Линия пересечения двух плоскостей — это прямая, для построения которой достаточно определить две её точки, общие обеим плоскостям, либо одну точку и направление линии пересечения плоскостей.

Содержание:

Понятие пересекающихся плоскостей

Определение. Плоскости, которые имеют хотя бы одну общую точку, называют пересекающимися.

Аксиома 5. Если две различные плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой.

При этом если какая-либо точка принадлежит обеим плоскостям, то она принадлежит прямой . Плоскости и в этом случае являются пересекающимися по прямой (рис. 2.379).

Пример:

Дана плоскость . Доказать, что существует другая плоскость (3, пересекающая .

Решение:

Из условия задачи имеем:

1. Плоскость (дано) (рис. 2.380).

2. Нужно доказать, что существует другая плоскость , пересекающая .

Мы знаем, что на основании аксиомы 3 (аксиомы плоскости) три точки определяют единственную плоскость.

3. Возьмем точки А и В, принадлежащие плоскости , и точку С, не лежащую на прямой АВ и не принадлежащую (построение) (рис. 2.381).

4. Точки А, В и С не лежат на одной прямой. Через них можно провести плоскость , и притом только одну (3, аксиома 3).

5. Плоскости и имеют общую точку (1, 3, 4).

6. Плоскости и пересекаются по прямой АВ (5, аксиома 5) (рис. 2.382).

7. Мы доказали, что существует плоскость Р, пересекающая . (6)

Замечание. Если допустить, что точка С лежит на прямой АВ, то она будет лежать и в плоскости , что противоречит выбору точки С.

Двугранные углы

При пересечении плоскостей образуются двугранные углы.

Определение. Фигуру, образованную двумя полуплоскостями, исходящими из одной прямой, называют двугранным углом. Прямую называют ребром, а полуплоскости — сторонами или гранями двугранного угла.

На рисунке 2.383 изображен двугранный угол с ребром АВ.

Этот угол можно обозначать двумя буквами, поставленными у его ребра (двугранный угол АВ). Но если при одном ребре лежит несколько двугранных углов, то каждый из них обозначают четырьмя буквами, из которых две средние стоят при ребре, одна крайняя — у одной грани, другая — у другой (рис. 2.384).

Определение. Если через произвольную точку ребра двугранного угла провести плоскость, перпендикулярную ребру, то в пересечении этой плоскости с двугранным углом образуется угол, который называют линейным углом двугранного угла.

На рисунке 2.385 изображен линейный угол АОВ двугранного угла АОСВ. Вершиной линейного угла служит точка О, лежащая на ребре ос двугранного угла, а сторонами — лучи граней, исходящие из точки о и перпендикулярные ребру двугранного угла.

Двугранный угол имеет бесконечное множество линейных углов (рис. 2.386).

Определение. Градусной мерой двугранного угла называют градусную меру любого из его линейных углов.

Определение. Двугранный угол называется прямым (острым, тупым), если его градусная мера равна 90° (меньше 90°, больше 90°).

Можно доказать следующее утверждение.

Теорема 1. Все линейные углы двугранного угла равны друг другу.

Для двугранных углов так же, как и для плоских, вводится понятие его градусной меры — величины.

Определение. Два двугранных угла называют равными, если они имеют одну и ту же градусную меру.

Если градусная мера одного из двугранных углов больше градусной меры другого, то говорят, что первый двугранный угол больше второго, а второй меньше первого. На рисунке 2.387 изображены три двугранных угла с общим ребром АВ. Двугранные углы CABD и DABE равны, так как их градусные меры равны 30°. Двугранный угол САВЕ больше двугранного угла CABD.

Подобно плоским углам, двугранные углы могут быть смежные, вертикальные и пр.

Если два смежных двугранных угла равны между собой, то каждый из них называется прямым двугранным углом.

Все сказанное можно сформулировать в виде теорем.

Теорема 2. 1. Равным двугранным углам соответствуют равные линейные углы.

2. Большему двугранному углу соответствует больший линейный угол.

Верна и обратная теорема.

Теорема 3. 1. Равным линейным углам соответствуют равные двугранные углы.

2. Большему линейному углу соответствует больший двугранный угол.

Из теорем 2 и 3 легко получить три следствия.

Следствие 1. Прямому двугранному углу соответствует прямой линейный угол, и обратно.

Следствие 2. Все прямые двугранные углы равны, потому что у них равны линейные углы.

Следствие 3. Вертикальные двугранные углы равны.

Пример:

Из условия теоремы имеем:

1. PABQ и — два данных двугранных угла (рис. 2.388).

2. Вложим угол в угол АВ так, чтобы ребро совпало с ребром АВ, а грань — с гранью Р (построение) (рис. 2.389).

3. Если эти двугранные углы равны, то грань совпадает с Q; если же двугранные углы не равны, то грань займет некоторое положение, не совпадающее с Q, например положение (1, 2).

4. Возьмем на общем ребре какую-нибудь точку В и проведем через нее плоскость , перпендикулярную ребру АВ (построение) (рис. 2.390).

5. От пересечения этой плоскости с гранями двугранных углов получатся линейные углы.

Ясно, что если двугранные углы совпадут, то у них окажется один и тот же линейный угол cbd; если же двугранные углы не совпадут (если, например, грань займет положение то у большего двугранного угла окажется больший линейный угол (именно ) (3, 4).

Эта лекция взята со страницы полного курса лекций по изучению предмета «Математика»:

Смотрите также дополнительные лекции по предмету «Математика»:

Источник

Взаимное расположение двух плоскостей.

Две различные плоскости в пространстве либо параллельны, либо пересекаются.

Параллельность двух плоскостей

Определение. Две плоскости в пространстве называются параллельными, если они не пересекаются.

Признак параллельности плоскостей. Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум прямым другой плоскости, то такие плоскости параллельны.

Основные свойства параллельности плоскостей.

Пересечение двух плоскостей

Две плоскости пересекаются по прямой. Общая прямая двух плоскостей называется ребром двугранного угла, образованного при пересечении данных плоскостей. При пересечении двух плоскостей образуются четыре двугранных угла. Если все они равны, то плоскости называются перпендикулярными.

Признак перпендикулярности плоскостей. Если одна из двух плоскостей проходит через прямую, перпендикулярную к другой плоскости, то такие плоскости перпендикулярны.

Из признака перпендикулярности плоскостей следует, что плоскость, перпендикулярная к прямой, по которой пересекаются две данные плоскости, перпендикулярна к каждой из этих плоскостей.

Угол между плоскостями — наименьший из двугранных углов, образованных при пересечении плоскостей.

Угловая величина двугранного угла — это величина линейного угла данного двугранного угла.

Чтобы найти линейный угол двугранного угла надо из произвольной точки на ребре двугранного угла провести в каждой плоскости по перпендикуляру к этому ребру. Все линейные углы двугранного угла равны друг другу.

Тренировочные задания

Дан куб . Найдите угол между плоскостями и .

Дан куб . Точка — середина ребра . Найдите угол между плоскостями и .

В кубе все рёбра равны . На его ребре отмечена точка так, что . Через точки и построена плоскость , параллельная прямой . Найдите угол наклона плоскости к плоскости грани .

Дана правильная треугольная призма , у которой сторона основания равна , а боковое ребро равно . Через точки , и середину ребра проведена плоскость. Найдите угол между плоскостью сечения и плоскостью ABC.

Все рёбра правильной треугольной призмы имеют длину . Точки и — середины рёбер и соответственно. Найдите угол между плоскостями и .

Основанием пирамиды является прямоугольник , в котором . Диагонали прямоугольника пересекаются в точке . Отрезок является высотой пирамиды . Из вершин и опущены перпендикуляры и на ребро . Найдите двугранный угол пирамиды при ребре , если .

В основании прямой призмы лежит квадрат со стороной , а высота призмы равна . Точка лежит на диагонали , причём . Найдите угол между плоскостью и плоскостью .

Источник

Когда две плоскости пересекаются друг с другом, что лучше всего описывает пересечение?

Когда две плоскости пересекаются, они образуют линию.

Тогда, может ли пересечение двух плоскостей быть точкой?

If две плоскости пересекаются, Они пересекаться в строке. Две плоскости это не пересекаться называются параллельными. Линия и самолет пересекаться в одном точка. Линия и плоскость не пересекаются.

Учитывая это, почему две плоскости пересекаются на одной линии? Если векторы нормалей параллельны, два самолета либо идентичны, либо параллельны. Если векторы нормалей не параллельны, то два самолета встретиться и сделать линия of пересечение, который представляет собой набор точек, которые находятся на обоих самолеты.

Что происходит, когда пересекаются 3 плоскости?

Сформируйте систему с уравнениями самолеты и подсчитайте ранги. Каждая плоскость разрезает две другие по прямой, и они образуют призматическую поверхность. Второй и третий самолеты совпадают, и первый их режет, поэтому три плоскости пересекаются в строке.

Сколько точек в линии?

Что представляет собой фигура из 3-х плоскостей, которые встречаются в точке?

2. Каждый план пересекается точка. 3. Второй и третьи самолеты совпадают, и первый их режет, поэтому три самолета пересекаются по прямой.

Что есть особенный момент?

Две отдельные точки определить ровно одну строку. Если два пунктов линии лежат на плоскости, вся линия лежит на плоскости. Именно это свойство делает самолет «плоским». Два отчетливый линии пересекаются не более чем в одном точка; два отчетливый плоскости пересекаются не более чем по одной линии.

Что является пересечением двух различных непараллельных прямых?

Сколько точек в линии?

Три пунктов, линия (прямой линия) можно рассматривать как связное множество бесконечно много очков. Он распространяется бесконечно далеко в двух противоположных направлениях. А линия имеет бесконечную длину, нулевую ширину и нулевую высоту.

Как вы думаете, как выглядит пересечение двух плоскостей?

Очевидно, что пересечение двух плоскостей ЛИНИЯ. В самолет, три точки Он коллинеарен. Если два из точек Он на одной линии, разве они не линейны?

Две линии пересекаются когда они пересекаются. Они образуют вертикально противоположные углы, о которых мы узнаем позже. Точка, где линии пересекаются is под названием точка пересечение. Если полученные углы являются прямыми, линий Он под названием перпендикуляр линий.

Компланарны ли параллельные линии?

Две линии параллельные линии если они копланарный и не пересекаются. Линии которые не являются копланарный и не пересекаются, называются перекосом линий. Две плоскости, которые не пересекаются, называются параллельно самолеты.

Какое наименьшее количество различных точек может определять плоскость?

Каковы все точки между двумя заданными точками, включая две точки?

В самолете всего 3 точки?

Что такое постулат двух точек?

Компланарны ли три точки?

Копланарные точки Он три или больше пунктов которые все лежат в одной плоскости. Любой набор три очка в космосе копланарный. Набор из четырех пунктов может быть копланарный а может и нет копланарный.

Какое минимальное количество точек необходимо для определения двух различных плоскостей?

минимальное количество точек, необходимых для определения двух различных плоскостей является 4 пунктов.

Могут ли три плоскости пересекаться в одной точке?

Две самолеты пересекаются, Треть пересекается наклонно и три пересекаются в точка. Каждая пара самолеты пересекаются в строке. В три линии не компланарны и не параллельны, а три линий пересекаться на точка где три самолета делать.

Когда две плоскости пересекаются, их пересечение всегда происходит ровно в одной точке?

Постулат: если две плоскости пересекаются, затем их пересечение это линия. Смысл Q лежит на прямой m и прямой l. Постулат: если два линий пересекаться, затем их пересечение is ровно один балл.

Сколько точек находится на пересечении двух различных линий?

Что такое перпендикулярная линия?

Важно знать о параллельные линии потому что вы собираетесь использовать это через все части геометрии. Технически параллельные линии два копланарный это означает, что они находятся в одной плоскости или находятся в одной плоскости, которая никогда не пересекается. И вы можете определить параллельные линии с одинаковым количеством стрелок.

Что является пересечением двух различных непараллельных прямых?

Находятся ли 4 точки в одной плоскости?

4 балов Он копланарный если объем, созданный пунктов равно 0. Если любые три пунктов определить самолет, затем дополнительные пунктов можно проверить для компланарность путем измерения расстояния до пунктов от плоскости, если расстояние равно 0, то точка is копланарный.

Как найти линию пересечения?

Как найти линию пересечения?

Почему две плоскости пересекаются на одной линии?

Если векторы нормалей параллельны, два самолета либо идентичны, либо параллельны. Если векторы нормалей не параллельны, то два самолета встретиться и сделать линия of пересечение, который представляет собой набор точек, которые находятся на обоих самолеты.

Сколько линий определяется двумя точками?

Поскольку мы дали две точки. И мы знаем определение линии, в котором говорится, что «линия образована две точки и его можно удлинить с обеих сторон ». Итак, От две точки, должна быть 1 строка. Следовательно, одна строка определяется двумя точками.

Что такое пересечение двух линий?

Теперь, где две линии крест называется их точкой пересечение. Конечно, эта точка имеет координаты (x, y). Это одна и та же точка для линии 1 и для линии 2. Итак, в точке пересечение координаты (x, y) для строки 1 равны координатам (x, y) для строки 2.

Источник