Erf это что в математике

Что такое erf в системе Mathematica?

Впоследствии, что такое калькулятор erf?

Кроме того, почему это называется функцией ошибок?

Так как На компьютере очень много ошибок, и сделать нулевое количество ошибок практически невозможно или очень сложно потому что в природе всегда есть силы сопротивления. Функции ошибок пытаются минимизировать значения ошибок и, следовательно, название.

Во-вторых, что такое erf в Python? Определение и использование

Какая доля образца?

Доля выборки составляет доля успешных образцов, так. (1) Для больших имеет приблизительно нормальное распределение.

Что такое ERF в теплопередаче?

An функция ошибки определяется интегралом. и это часто встречается в инженерных задачах; например, в задачах теплопроводности. Функция ошибок представляет собой площадь под функцией Гаусса от t = 0 до t = x, так что erf ∞ = 1.

Что является обратным ERFC?

Как рассчитать погрешность в Excel?

Чтобы формулы отображали результаты, выберите их,

нажмите F2

и нажмите клавишу ВВОД.

Можете ли вы интегрировать нормальное распределение?

рефлексологии имеет широкий спектр применения. Например, при небольшом изменении переменных он используется для вычисления нормирующей константы нормального распределения. Один и тот же интеграл с конечными пределами тесно связан как с функцией ошибок, так и с кумулятивной функцией распределения нормального распределения.

Какая польза от функции ошибки IS?

Что такое функция AQ?

В статистике Q-функция хвостовая функция стандартного нормального распределения. Другими словами, это вероятность того, что нормальная (гауссова) случайная величина получит значение, превышающее стандартные отклонения.

Как извлечь квадратный корень из числа в Python?

Как вы делаете экспоненты в Python?

Давайте посмотрим, как это можно использовать в следующем коде:

Как вы находите нормальное распределение в Python?

Что такое формула p Hat?

Уравнение для p-шляпы: р-шляпа = X / n. На словах: вы найдете p-hat, разделив количество появлений желаемого события на размер выборки.

Какая формула пропорции?

Формула процентной доли: Частей / целого = процентов / 100. Эту формулу можно использовать для определения процента заданного отношения и для нахождения недостающего значения части или целого.

Что такое формула p-значения?

Есть ли обратный erf?

Что такое erfc Matlab?

Как проверить, пуст ли Excel?

использование функция ISBLANK чтобы проверить, пуста ли ячейка. Например, = ISBLANK (A1) вернет TRUE, если A1 пуст, и FALSE, если A1 содержит текст формулу (даже если формула возвращает пустую строку «»).

Ошибка в Excel?

Что такое erf в Excel?

Функция Excel Erf вычисляет функцию ошибки, интегрированную между двумя предоставленными пределами. … Функция Erf была улучшена в Excel 2010: теперь она может принимать отрицательные аргументы функции. В Excel 2007 или более ранней версии, если вы введете отрицательное значение для верхнего или нижнего предела, функция вернет ошибку.

Как рассчитывается нормальное распределение?

первый вычесть среднее значение, затем разделите на стандартное отклонение.

Кто открыл нормальную кривую?

Формула нормальной кривой впервые появилась в статье DeMoivre в 1733 году. Он жил в Англии, уехав из Франции, когда ему было около 20 лет.

В чем состоит интеграл E 2x?

Ответ: интеграция e 2x is [(e 2x ) / 2] + c, используя метод подстановки для интегрирования. Решим это пошагово.

Источник

Функция ошибки

и функция мнимой ошибки ( erfi ), определяемая как

СОДЕРЖАНИЕ

Имя [ редактировать ]

Название «функция ошибок» и его сокращение erf были предложены Дж. В. Л. Глейшером в 1871 г. в связи с его связью с «теорией вероятности, и особенно теорией ошибок ». [2] Дополнение к функции ошибок также обсуждалось Глейшером в отдельной публикации в том же году. [3] Для «закона легкости» ошибок, плотность которых определяется как

Приложения [ править ]

Pr [ X ≤ L ] = 1 2 + 1 2 erf ⁡ ( L − μ 2 σ ) ≈ A exp ⁡ ( − B ( L − μ σ ) 2 ) <\displaystyle \Pr[X\leq L]=<\frac <1><2>>+<\frac <1><2>>\operatorname \left(<\frac <<\sqrt <2>>\sigma >>\right)\approx A\exp \left(-B\left(<\frac <\sigma >>\right)^<2>\right)>

Pr [ X ≤ L ] ≤ A exp ⁡ ( − B ln ⁡ k ) = A k B <\displaystyle \Pr[X\leq L]\leq A\exp(-B\ln )=<\frac >>>

Свойства [ править ]

Подынтегральное выражение f = exp (- z 2 ) и f = erf ( z ) показано на комплексной плоскости z на рисунках 2 и 3. Уровень Im ( f ) = 0 показан жирной зеленой линией. Отрицательные целые значения Im ( f ) показаны толстыми красными линиями. Положительные целые значения Im ( f ) показаны толстыми синими линиями. Промежуточные уровни Im ( f ) = constant показаны тонкими зелеными линиями. Промежуточные уровни Re ( f ) = constant показаны тонкими красными линиями для отрицательных значений и тонкими синими линиями для положительных значений.

Функция ошибок при + ∞ равна 1 (см. Интеграл Гаусса ). На действительной оси erf ( z ) стремится к единице при z → + ∞ и к −1 при z → −∞. На мнимой оси он стремится к ± i ∞.

Серия Тейлор [ править ]

Для итеративного расчета вышеуказанного ряда может быть полезна следующая альтернативная формулировка:

Функция мнимой ошибки имеет очень похожий ряд Маклорена, а именно:

Производные и интегральные [ править ]

Производная функции ошибок сразу следует из ее определения:

Отсюда немедленно вычисляется производная мнимой функции ошибок:

Первообразной функции мнимой ошибки, которую также можно получить интегрированием по частям, является

Производные высшего порядка даются формулами

Серия Bürmann [ править ]

Обратные функции [ править ]

Функция обратной ошибки обычно определяется с помощью области (-1,1), и она ограничена этой областью во многих системах компьютерной алгебры. Однако его можно распространить на диск | z | комплексной плоскости, используя ряд Маклорена

Итак, у нас есть расширение в ряд (общие множители из числителей и знаменателей удалены):

Обратная дополнительная функция ошибок определяются как

где c _k определено, как указано выше.

Асимптотическое разложение [ править ]

Полезное асимптотическое разложение дополнительной функции ошибок (и, следовательно, также функции ошибок) для больших вещественных x :

R N ( x ) = O ( x 1 − 2 N e − x 2 ) <\displaystyle R_(x)=O\left(x^<1-2N>e^<-x^<2>>\right)>

Действительно, точное значение остатка равно

что легко следует по индукции, записывая

e − t 2 = − ( 2 t ) − 1 ( e − t 2 ) ′ <\displaystyle e^<-t^<2>>=-(2t)^<-1>\left(e^<-t^<2>>\right)’>

и интеграция по частям.

Продолжение дроби [ править ]

Цепная дробь расширение дополнительной функции ошибок является следующим : [9]

Интеграл функции ошибок с функцией плотности Гаусса [ править ]

Из Нг и Геллера, формула 13 в разделе 4.3. [10]

Факториальный ряд [ править ]

Численные приближения [ править ]

Аппроксимация с элементарными функциями [ править ]

Полином [ править ]

Приближение с максимальной ошибкой для любого действительного аргумента: [22] 1.2 × 10 − 7 <\displaystyle 1.2\times 10^<-7>>

τ = t ⋅ exp ⁡ ( − x 2 − 1.26551223 + 1.00002368 t + 0.37409196 t 2 + 0.09678418 t 3 − 0.18628806 t 4 + 0.27886807 t 5 − 1.13520398 t 6 + 1.48851587 t 7 − 0.82215223 t 8 + 0.17087277 t 9 ) <\displaystyle <\begin\tau &=t\cdot \exp \left(-x^<2>-1.26551223+1.00002368t+0.37409196t^<2>+0.09678418t^<3>-0.18628806t^<4>\right.\\&\left.\qquad \qquad \qquad +0.27886807t^<5>-1.13520398t^<6>+1.48851587t^<7>-0.82215223t^<8>+0.17087277t^<9>\right)\end>>

Таблица значений [ править ]

Связанные функции [ править ]

Дополнительная функция ошибки [ править ]

Функция мнимой ошибки [ править ]

Кумулятивная функция распределения [ править ]

Φ ( x ) = 1 2 π ∫ − ∞ x e − t 2 2 d t = 1 2 [ 1 + erf ⁡ ( x 2 ) ] = 1 2 erfc ⁡ ( − x 2 ) <\displaystyle \Phi (x)=<\frac <1><\sqrt <2\pi >>>\int _<-\infty >^e^<\tfrac <-t^<2>><2>>\,dt=<\frac <1><2>>\left[1+\operatorname \left(<\frac <\sqrt <2>>>\right)\right]=<\frac <1><2>>\operatorname \left(-<\frac <\sqrt <2>>>\right)>

или переставил для erf и erfc:

Стандартный нормальный cdf чаще используется в вероятностях и статистике, а функция ошибок чаще используется в других разделах математики.

Функция ошибок является частным случаем функции Миттаг-Леффлера и также может быть выражена как конфлюэнтная гипергеометрическая функция ( функция Куммера):

Обобщенные функции ошибок [ править ]

Некоторые авторы обсуждают более общие функции: [ необходима цитата ]

Эти обобщенные функции могут быть эквивалентно выражены для x > 0 с использованием гамма-функции и неполной гамма-функции :

Следовательно, мы можем определить функцию ошибок в терминах неполной гамма-функции:

Итерированные интегралы дополнительной функции ошибок [ править ]

Повторные интегралы дополнительной функции ошибок определены в [27]

Общая рекуррентная формула

У них есть степенной ряд

откуда следуют свойства симметрии

Источник

и функция мнимой ошибки ( erfi ), определяемая как

СОДЕРЖАНИЕ

Название «функция ошибок» и его сокращение erf были предложены Дж. В. Л. Глейшером в 1871 г. в связи с его связью с «теорией вероятности, и особенно теорией ошибок ». Дополнение к функции ошибок также обсуждалось Глейшером в отдельной публикации в том же году. Для «закона удобства» ошибок, плотность которых определяется как

( нормальное распределение ), Глейшер вычисляет вероятность ошибки, лежащей между p и q, как:

Приложения

Функция ошибок и ее приближения могут использоваться для оценки результатов, которые имеют высокую или низкую вероятность. Дана случайная величина X

Характеристики

Подынтегральное выражение f = exp (- z 2 ) и f = erf z показано на комплексной плоскости z на рисунках справа. Уровень Im ( f ) = 0 показан жирной зеленой линией. Отрицательные целые значения Im ( f ) показаны толстыми красными линиями. Положительные целые значения Im ( f ) показаны толстыми синими линиями. Промежуточные уровни Im ( f ) = constant показаны тонкими зелеными линиями. Промежуточные уровни Re ( f ) = constant показаны тонкими красными линиями для отрицательных значений и тонкими синими линиями для положительных значений.

Серия Тейлора

Для итеративного расчета вышеуказанного ряда может быть полезна следующая альтернативная формулировка:

Функция мнимой ошибки имеет очень похожий ряд Маклорена, а именно:

Производная и интеграл

Производная функции ошибок сразу следует из ее определения:

Отсюда немедленно вычисляется производная мнимой функции ошибок:

Первообразной функции мнимой ошибки, которую также можно получить интегрированием по частям, является

Производные высшего порядка даются формулами

Серия Bürmann

Разложение, которое сходится быстрее для всех действительных значений x, чем разложение Тейлора, получается с помощью теоремы Ганса Генриха Бюрмана :

Обратные функции

Итак, у нас есть расширение в ряд (общие множители из числителей и знаменателей удалены):

Обратная дополнительная функция ошибок определяются как

где c _k определено, как указано выше.

Асимптотическое разложение

Полезное асимптотическое разложение дополнительной функции ошибок (и, следовательно, также функции ошибок) для больших действительных x :

Действительно, точное значение остатка равно

что легко следует по индукции, записывая

и интеграция по частям.

Для достаточно больших значений x необходимы только первые несколько членов этого асимптотического разложения, чтобы получить хорошее приближение erfc x (в то время как для не слишком больших значений x приведенное выше разложение Тейлора при 0 обеспечивает очень быструю сходимость).

Непрерывное расширение фракции

Цепная дробь расширение дополнительной функции ошибок является:

Интеграл функции ошибок с функцией плотности Гаусса

которая, по-видимому, связана с Нг и Геллером, формула 13 в разделе 4.3 с заменой переменных.

Факторный ряд

Численные приближения

Приближение с элементарными функциями

(максимальная ошибка: 2,5 × 10 −5 )

Это приближение можно инвертировать, чтобы получить приближение для обратной функции ошибок:

Полиномиальный

Приближение с максимальной погрешностью 1,2 × 10 7 для любого действительного аргумента:

Таблица значений

Связанные функции

Дополнительная функция ошибок

Функция мнимой ошибки

Несмотря на название «мнимая функция ошибок», erfi x реально, когда x реально.

Кумулятивная функция распределения

или переставил для erf и erfc :

Стандартный нормальный cdf чаще используется в вероятностях и статистике, а функция ошибок чаще используется в других разделах математики.

Функция ошибок является частным случаем функции Миттаг-Леффлера и также может быть выражена как конфлюэнтная гипергеометрическая функция ( функция Куммера):

Обобщенные функции ошибок

Некоторые авторы обсуждают более общие функции:

Эти обобщенные функции могут быть эквивалентно выражены для x > 0 с использованием гамма-функции и неполной гамма-функции :

Следовательно, мы можем определить функцию ошибок в терминах неполной гамма-функции:

Итерированные интегралы дополнительной функции ошибок

Повторные интегралы дополнительной функции ошибок определяются как

Общая рекуррентная формула

У них есть степенной ряд

откуда следуют свойства симметрии

Источник

Документация

Синтаксис

Описание

Примеры

Функция ошибок для с плавающей точкой и символьных чисел

В зависимости от его аргументов, erf может возвратить или точные символьные результаты с плавающей точкой.

Вычислите функцию ошибок для этих чисел. Поскольку эти числа не являются символьными объектами, вы получаете результаты с плавающей точкой:

Вычислите функцию ошибок для тех же чисел, преобразованных в символьные объекты. Для большинства символьных (точных) чисел, erf отвечает на неразрешенные символьные звонки:

Использование vpa аппроксимировать символьные результаты необходимым количеством цифр:

Функция ошибок для переменных и выражений

Для большинства символьных переменных и выражений, erf отвечает на неразрешенные символьные звонки.

Вычислите функцию ошибок для x и sin(x) + x*exp(x) :

Функция ошибок для векторов и матриц

Если входной параметр является вектором или матрицей, erf возвращает функцию ошибок для каждого элемента того вектора или матрицы.

Вычислите функцию ошибок для элементов матричного M и векторный V :

Специальные значения функции ошибок

erf возвращает специальные значения для конкретных параметров.

Вычислите функцию ошибок для комплексных бесконечностей. Использование sym преобразовывать комплексные бесконечности в символьные объекты:

Обработка выражений, которые содержат функцию ошибок

Вычислите первые и вторые производные функции ошибок:

Вычислите интегралы этих выражений:

Постройте функцию ошибок

Постройте функцию ошибок на интервале от-5 до 5.

Входные параметры

X входной параметр
символьное число | символьная переменная | символьное выражение | символьная функция | символьный вектор | символьная матрица

Введите в виде символьного числа, переменной, выражения или функции, или как вектор или матрица символьных чисел, переменных, выражений или функций.

Больше о

Функция ошибок

Следующий интеграл задает функцию ошибок:

e r f ( x ) = 2 π ∫ 0 x e − t 2 d t

Советы

Вызов erf для номера, который не является символьным объектом, вызывает MATLAB ® erf функция. Эта функция принимает действительные аргументы только. Если вы хотите вычислить функцию ошибок для комплексного числа, использовать sym преобразовывать тот номер в символьный объект, и затем вызывать erf для того символьного объекта.

Алгоритмы

erf(erfinv(x)) = erfc(erfcinv(x)) = x

Ссылки

[1] Gautschi, W. “Функция ошибок и Интегралы Френели”. Руководство Математических функций с Формулами, Графиками и Математическими Таблицами. (М. Абрамовиц и я. А. Стегун, редакторы). Нью-Йорк: Дувр, 1972.

Смотрите также

Открытый пример

У вас есть модифицированная версия этого примера. Вы хотите открыть этот пример со своими редактированиями?

Документация Symbolic Math Toolbox

Поддержка

© 1994-2021 The MathWorks, Inc.

1. Если смысл перевода понятен, то лучше оставьте как есть и не придирайтесь к словам, синонимам и тому подобному. О вкусах не спорим.

2. Не дополняйте перевод комментариями “от себя”. В исправлении не должно появляться дополнительных смыслов и комментариев, отсутствующих в оригинале. Такие правки не получится интегрировать в алгоритме автоматического перевода.

4. Не имеет смысла однотипное исправление перевода какого-то термина во всех предложениях. Исправляйте только в одном месте. Когда Вашу правку одобрят, это исправление будет алгоритмически распространено и на другие части документации.

5. По иным вопросам, например если надо исправить заблокированное для перевода слово, обратитесь к редакторам через форму технической поддержки.

Источник

erf x что означает

y = erf(x)
y = erfc(x)
y = erfcx(x)
x = erfinv(y)

Функция ошибки erf(x) определяется следующим образом [2]:

erf(x) = .

Функция y = erfc(x) задается соотношением

erfc(x) = = 1 — erf(x).

Функция y = erfcx(x) определяется так:

erfcx(x) = erfc(x).

Для вычисления этих функций используется вспомогательная функция erfcore(x, n). При этом справедливо

erf(x) = erfcore(x, 0);
erfc(x) = erfcore(x, 1);
erfcx(x) = erfcore(x, 2).

Исправляем ошибки: Нашли опечатку? Выделите ее мышкой и нажмите Ctrl+Enter

Температурное поле непрерывного неподвижного точечного источника в неограниченной среде. Функция ошибок Гаусса (функция erf(x))

Если в точке с координатами х у’, z’ в интервале времени от t’ = 0 до t’ = t работает источник тепла мощностью W, то температурное поле этого источника, как указано выше, может быть найдено интегрированием фундаментального решения по t’ от 0 до t (т.е. от момента включения до момента выключения источника). Поместим начало координат в точку, где находится источник тепла. Тогда х’ = у’ = z’= О, и формула для температуры принимает вид:

Произведем в интеграле (3.34) замену переменных: г 2 / [4г/ (t — Г)] = а 2 . Тогда:

a = r/(2fat), t’ = t^>a = °°, и формула (3.34) принимает вид:

Первый интеграл, стоящий в скобках, известен из курса высшей математики:

а второй интеграл через элементарные функции не выражается и определяет специальную функцию, которая называется

функцией ошибок Гаусса, или интегралом вероятностей, или функцией эрфектум:

(читается «эрфектум» или сокращенно: «эрф»). Через эту функцию выражаются решения многих задач в теории теплопроводности, да и в других областях физики она играет важную роль.

Из определения (3.36) видно, что erj Читайте также: hid proxcard ii как скопировать

Некоторые значения функции erj оо значение функции erf[r/(2yfat)] —» О, erfc[r/ (2y[at) —» 1, и формула (3.35), как и должно быть, совпадает с формулой для стационарного решения (если То принять за начало отсчета температуры), т. к. при t —*? °о достигается стационарное распределение температуры в безграничной среде.

Функция ошибок, она же функция Лапласа, он же интеграл вероятности — все это одна и та же сущность, которая выражается функцией

и используется в статистике и теории вероятностей.

Функция неэлементарная, то есть её нельзя представить в виде элементарных (тригонометрических и алгебраических) функций.

Для расчета в нашем калькуляторе, мы используем связь с неполной гамма функцией

Кроме этого мы сможем здесь же вычислить, дополнительную функцию ошибок, обозначаемую (иногда применяется обозначение ) и определяется через функцию ошибок:

В приницпе это все, что можно сказать о ней.

Калькулятор высчитывает результат как в вещественном так и комплексном поле.

Замечание: Функция прекрасно работает на всем поле комплексных чисел при условии если аргумент ( фаза) меньше 180 градусов. Это связано с особенностью вычисления этой функции, неполной гамма функции, интегральной показательной функцией через непрерывные дроби.

Отсюда следует вывод, что при отрицательных вещественных аргументах, функция будет выдавать неверные решения. Но при всех положительных, а также отрицательных комплексных аргументах функция ошибок выдает верный ответ.

Источник