Есть ли что то бесконечное
Виды бесконечностей и вынос мозга
Эта статья — продолжение статьи про громадные числа. Но сейчас мы пойдем еще дальше — в бесконечности бесконечностей.
Для этого нам понадобится ZFC — теория множеств Zermelo, Frenkel + Choice. Choice — это аксиома выбора, самая спорная аксиома теории множеств. Она заслуживает отдельной статьи. Предполагается, что вы знаете, что такое «мощность» множества. Если нет, то погуглите, наверняка это изложено лучше, чем смогу я. Здесь я лишь напомню некоторые
Известные факты
Малоизвестные факты
В ZFC не все собрания элементов могут быть множествами. Бывают коллекции столь широкие, что позволить им быть множествами нельзя, возникают парадоксы. В частности, «множество всех множеств» не есть множество. Впрочем, есть теории множеств, где такие множества разрешены.
Дальше. Теория множеств… Каких объектов? Чисел? Яблок? Апельсинов? Как ни странно, ZFС не нуждается ни в каких объектах. Возьмем пустое множество <> и договоримся, что оно означает 0. 1 обозначим с помощью <<>>, двойку как <<<>>> итд. <5,2>есть <<<<<<<>>>>>>, <<<>>>>. С помощью целых чисел мы можем создать вещественные, а коллекции вещественных создают любые фигуры.
Таким образом, теория множеств это… как бы сказать… пустотелая теория. Это теория ни о чем. Точнее, о том как можно нестить (nest, то есть вкладывать друг в друга) фигурные скобки.
Единственная операция, которая определена в теории множеств, это 
— символ принадлежности. А как же объединение, исключение, равенство итд.? Все это макросы, например:
То есть, в переводе на русский язык, два множества считаются одинаковыми, когда при тестировании любого элемента на принадлежность к им мы будем получать одинаковые результаты
Множества не упорядочены, но это можно исправить: пусть упорядоченная пара (p,v) это <
,
Таким образом, теория множеств — это убогая теория без объектов и с одним значком отношения, которая обладает совершенно чудовищной силой — без каких то новых допущений она порождает из себя формальную арифметику, вещественные числа, анализ, геометрию и многое другое. Это своеобразное TOE математики.
Гипотеза континуума — CH
Существует ли мощность между 
и 
? Это проблему не мог решить Кантор, «король математиков» Гильберт высоко оценивал ее важность, но лишь позже было доказано что эту гипотезу нельзя ни доказать, ни опровергнуть. Она независима от ZFC.
Это означает, что вы можете создать две разных математики: одну с ZFC+CH, другая ZFC+(not CH). На самом деле даже больше, чем две. Допустим, мы отвергнем CH, то есть будем верить, что между и есть еще мощности. Сколько их может быть? Одна, две? Гедель верил, что только одна. Но, как оказалось, предположение о том, что их 2, 17, 19393493 не приводит к противоречиям. Любое число, но не бесконечное!
Когда в формальной арифметике мы сталкиваемся с недоказуемым утверждением, то в силу определенных причин мы знаем, что, тем не менее, это утверждение, хоть и не доказуемо, но на самом деле либо истинно, либо ложно. В теории множеств это не работает, мы реально получаем разные математики. Как к этому относиться? Есть три философских подхода:
Формализм: а чему, собственно, удивляться? Мы задаем правила игры в символы, разные правила — разный результат. Не надо искать проблему там, где ее нет
Платонизм: Но как тогда объяснить, что совершенно разные теории, например ZFC и New Foundations, построенные по совершенно разным принципам, дают почти всегда один и тот же результат? Не говорит ли это о том, что за формулами стоит какая то реальность, которую мы изучаем? Такой точки зрения придерживался, например, Гедель
Multiverse: У нас может быть много аксиоматик, иногда дающих одинаковый результат, иногда нет. Мы должны воспринимать картину в целом — если с разными системами аксиом ассоциировать цвет, то цветное дерево следствий и есть математика. Если что-то верное везде — это белый цвет, но есть и цветные ветви.
Все выше и выше.
Как далеко мы можем продвинуться? После бесконечного количества итераций мы дойдем до 
— бесконечная по порядку мощность! Кстати, ее существование было неочевидно Кантору. Но секунду! Ведь функция powerset всегда определена, поэтому не может быть последней!
Чтобы получить 
надо повторить powerset бесконечность и еще три раза. У вас уже начало сносить крышу? То ли еще будет. Потому что снова проитерировав powerset бесконечное число раз, мы дойдем до 
, после чего, естественно, идет 
Дойдя до бесконечности бесконечное число раз, мы получим индекс 
. Как вам такая мощность, например: 
? Пока мы итерировали powerset по списку ординалов, вот начальные ординалы:
но их значительно, значительно больше. Так что мы сразу все это пропустим и сделаем
Сразу большой шаг
Далее мы пойдем быстрее:
У последнего алефа индекс ноль, но местный latex не дает его поставить — слишком много уровней. Но главное вы поняли, какую бы новую чудовищную мощность мы бы не создали, мы можем сказать — ага, это всего лишь повторитель, и поставить всю эту конструкцию к новому алефу в виде индекса. Теперь мощности растут как снежный ком, нас не остановить, пирамида алефов все выше, и мы можем создать любую мощность… Или нет?
Недостижимые мощности
Что если есть мощность настолько большая, 
, что как бы мы ее ни пытались достичь «снизу», выстраивая конструкции из алефов, мы ее не достигнем? Оказывается, существование такой мощности независимо от ZFC. Вы можете принять ее существование или нет.
Я слышу шепот «бритва Оккама»… Нет, нет. Математики придерживаются противоположного принципа, который называется онтологический максимализм — пусть существует все, что возможно. Но существуют еще как минимум две причины, почему эту гипотезу хочется принять.
Второе: если отвергнуть аксиому бесконечности, то мы получим FinSet, простую игрушечную теорию множеств с конечными множествами. Давайте выпишем все эти множества (так называемая модель теории)
И получим… бесконечное множество конечных множеств… То есть, модель теории конечных множеств бесконечна, и играет в ней роль «множества всех множеств». Может быть, это поможет понять, почему теория не может говорить о «множестве всех множеств» — такое множество всегда существует как модель вне теории и обладает другими свойствами, чем множества внутри. Вы не можете добавить в теорию конечных множеств бесконечное.
И да, это «множество всех множеств» теории ZFC. В этом видео в конце очень красиво сказано про недостижимую мощность, но нам пора дальше.
Еще дальше.
Разумеется, мы можем пойти дальше, итерируя 
. Пройдя все описанные этапы, построив огромные башни повторителей, мы снова упремся в недостижимый кардинал (но теперь нам не нужны новые аксиомы, с аксиомой существования недостижимой мощности, которую мы только что добавили, это стало доказуемо). И снова и снова.
Заметьте, что теперь стрелка у нас имеет смысл не как выполнение функции Powerset(), а GetNextInaccessible(). В остальном все выглядит очень похоже, мы имеем:
Теперь то мы точно достигнем чего угодно… Или нет?
Иерархия больших мощностей.
Да, с помощью GetNextInaccessible мы упремся уже в гипер-недостижимую мощность. Существование ее требует принять еще одну аксиому. Есть и гипер-гипер-недостижимые мощности. И так далее. Но есть и другие способы определять мощности, не только через недостижимость:
За каждой ссылкой стоит, как правило, целая бесконечная иерархия с произвольным количеством приставок hyper- и повторителей. Однако, общее количество формул, определяющие недостижимые кардиналы, не такое уж большое — ведь количество формул счетно. Поэтому рано или поздно они кончатся. Там, где они кончаются, проведена красная черта. Все, что ниже этой черты, определяется более зыбко, хотя и формально.
Сама красная черта обозначает конец вселенной Геделя (но не забываем, что Гедель создал ДВЕ разные вселенные) — вселенная множеств, конструируемых «снизу» с помощью формул. Мощности выше красной черты называются хм, «малыми», а ниже — большими:
Главная идея в них в том, что вселенная множеств становится столь большой, что начинает повторять себя в разных смыслах. Каждая строчка, как всегда, требует отдельной аксиомы, и нескольких. И что еще интереснее, все это не настолько бесполезно, как вы могли подумать. Например, самая сильная аксиома (rank-into-rank), в самой нижней строчке, нужна, чтобы доказать факт о табличках.
Ниже опрос, последний вариант выбора расшифрован тут.
Существует ли бесконечность в природе?
Что находится на краю Вселенной? Довольно трудно вообразить, поэтому нам легче принять тот факт, что она бесконечна. Однако есть вещи, конечные в степени, но, тем не менее, они не имеют края.
Например, поверхность сферы. У нее есть конечная область, но двигаясь по ней, вы никогда не достигнете края.
В апреле этого года философы, космологи и физики собрались в Кембриджском университете в рамках конференции по философии космологии, чтобы обсудить эту тему.
Бесконечность, которой нет
Люди изучали бесконечность и ее отношение к действительности в течение долгого времени.
Большинство признает, что потенциальные бесконечности существуют, но никто не знает наверняка, действительно ли это так.
Но даже эта граница в 14 миллиардов лет, на которую ссылается Эллис, скорее теория, чем реальные факты. Мы знаем, что в настоящее время Вселенная расширяется, и если мы в этом случае двигаемся назад, то в конечном итоге придем к точке во времени, Большому Взрыву, которую мы называем началом нашей Вселенной. Однако общепринятые физические теории, общая теория относительности Эйнштейна и квантовая физика, не учитывают этот момент. В настоящее время нет теории, описывающей этот случай, разве только масса «предполагаемых» теорий.
Момент Большого Взрыва находится за пределами досягаемости современных теорий, однако существует общепринятая модель, которая объясняет первые моменты после него. Например, космическая инфляция. Энтони Агирре из Калифорнийского университета в Санта-Крузе полагает, что она может рассказать нам что-то о расширении Вселенной.
Один из таких побочных эффектов говорит о том, что инфляция, возможно, продолжилась различными темпами в различных областях Вселенной. В каком-то регионе быстрое удвоение в размере остановится через некоторое время, в итоге образовав обозримую Вселенную, как наша. В других регионах из-за пространственных изменений инфляция может длиться вечно.
Теория также предполагает, что расширение пространства и времени зависит от точки зрения. В соответствии с общей теорией относительности Альберта Эйнштейна время и пространство неразрывно связаны, отсюда термин пространство-время. Если вы хотите упомянуть пространство или время отдельно, необходимо разделить пространство-время математически.
Оказывается, ответ на такой вопрос, как «является ли пространство конечным или бесконечным?» может зависеть от того, как вы определяете пространство и время по отдельности. Есть пространство-время, этому нас учит Эйнштейн. Мы можем разделить его на пространство и время различными способами. Они все действительны и дают одинаковые результаты во всех экспериментах, но в них вложен разный смысл, и для достижения определенных целей одни значения удобнее, чем другие.
Если у вас будет бесконечное пространство-время, в этом случае вы можете разбить его так, что Вселенная может получиться конечной и расширяющейся. Она может расширяться бесконечно долго и стать бесконечно большой, но конечной. Или это же самое пространство-время может быть разделено таким образом, что пространство будет бесконечным, выходит бесконечная, расширяющаяся Вселенная.
В инфляционной Вселенной в местах остановки инфляции происходит естественное его разделение, в этом случае Вселенная близка к однородности. Возникает Вселенная, которая пространственно бесконечна.
Фактическая бесконечность
Вопрос о том, является ли Вселенная бесконечной, касается одного типа бесконечности Аристотеля, потенциальной бесконечности, которую мы можем представить, но никогда не сможем увидеть. Но существует и другой тип бесконечности по Аристотелю, фактическая бесконечность.
В этом случае некий объект, который мы можем измерить, является бесконечным.
«Много лет назад Роджер Пенроуз сделал предположение, известное как космическая цензура. Оно гласит, что, если бы сингулярности или бесконечности должны были сформироваться во Вселенной, и ничто не могло бы их остановить, тогда они бы всегда находились в пределах горизонтов. Так называемых «голых» сингулярностей быть не может, таким образом, бесконечности, которые затрагивают нас на внешней стороне, быть не может. В отдельных случаях теория доказана, но она далека от общего доказательства. Это очень трудная математическая задача».
Другой тип бесконечности, который может существовать, называется, бесконечно маленькой или бесконечно делимой. При наличии суперточных линеек и карандашей, мы могли бы делить отрезок на кусочки, которые с каждым разом становятся все мельче?
Эллис думает, что эта идея нелепа. «Если вы держите пальцы на расстоянии в 10 см друг от друга и полагаете, что между ними есть реальная линия из точек, как в математике, тогда между вашими пальцами находится неисчислимая бесконечность точек. Это абсолютно неразумно. Я полагаю, что это чисто математическая идея, которая не соответствует физике.
Ричард Фейнман как-то сказал, что единственное, что он бы хотел оставить будущим поколениям, если бы ему пришлось оставить что-то одно, было бы заявление «Вещество сделано из атомов». Я думаю, что у нас есть серьезное основание полагать, что подобное заявление можно отнести и к пространству-времени, утверждая его дискретную природу. Между вашими пальцами находится очень большое количество физических точек, но оно конечно и исчисляемо».
Космический хот-дог
Эллис сделал важное разделение. С одной стороны, есть математическое понятие бесконечности (линия бесконечно делима), с другой физическое понятие, которое касается реальных количеств и явлений, которые могут или не могут существовать в природе. Но есть также третий тип бесконечности, вероятно, самый знакомый нам.
Во многих религиях абсолютно все заключено в Боге или какой-либо космической силе. Это нечто другое, нежели то, с чем имеют дело физики и математики. Обратите внимание на историю идей в математике и физике, каждый может сделать одно из следующих заявлений: «я верю или не верю в математические бесконечности», «я верю или не верю в физические бесконечности» или «я верю или не верю в любой другой тип трансцендентной бесконечности».
«Я думаю, создание теорий, содержащих бесконечность, вполне естественно», говорит Агирре. «Да, мы конечные существа и можем осознать лишь конечную часть Вселенной, но я не вижу причин ограничивать всю Вселенную в принципе».
Из-за подобных парадоксов Эллис полагает, что мы должны быть очень осторожными, используя бесконечности в физическом контексте.
Таким образом, ученые так и не пришли к единому мнению о том, существуют ли бесконечности в реальном мире или нет. Из-за отсутствия конкретных научных ответов имеет смысл обратиться к философам.
Бесконечна ли Вселенная?
Не осталось четких или окончательных доказательств того, что Вселенная либо конечна, либо бесконечна, хотя есть некоторые интригующие аргументы и предлагаемые теории с обеих сторон. Однако самое замечательное в этой загадке заключается в том, что из-за природы Вселенной мы, возможно, никогда не сможем по-настоящему узнать ответ!
Когда вы в последний раз смотрели в усыпанное звездами небо за много километров от любого другого источника света? Когда тысячи звезд простираются над вами, рассеивая свой свет за миллионы или миллиарды километров от вас, это просто ошеломляет. Чем дольше вы вглядываетесь, тем больше звезд появляется, чем вы могли бы сосчитать, если бы потратили на это всю ночь! Однако любой, кто имеет смутное представление о нашей галактике и Вселенной, знает, что на самом деле в одном только Млечном Пути есть миллиарды звезд, что намного больше, чем несколько тысяч, которые мы можем видеть с Земли!
За пределами нашей галактики Млечный Путь находится более 150 миллиардов других галактик, каждая со своим огромным количеством звезд. Нашему релятивистскому мозгу практически невозможно понять эти числа, поэтому большинство людей думают о Вселенной как о бесконечно большой и бесконечной пустоте. В большинстве повседневных ситуаций это убеждение не имеет большого значения, но верно ли оно? Бесконечна вселенная или нет?
Сложный вопрос
Вопрос также осложняется представлениями большинства людей о том, что такое вселенная на самом деле и как она образовалась. Многие люди думают о Большом Взрыве, происходящем в совершенно пустой пустоте, вакууме без энергии или материи, когда внезапно началось массивное расширение, извергающее материю и энергию с невообразимой скоростью, что в конечном итоге привело к образованию всех известных нам сегодня скоплений галактик, туманностей, звезд, планет и лун.
В первые мгновения Вселенной после Большого взрыва объем и плотность материи были несколько однородны, но как только началось охлаждение и дифференциация на атомы, области накопления массы и области пустого пространства стали более определенными. Вся энергия и материя начали расширяться, удаляясь со скоростью света от всего остального; точно так же расширялось и пустое пространство между объектами (часто быстрее скорости света).
Иллюстрация расширения вселенной после большого взрыва.
Вот почему мы можем обнаружить свет на расстоянии 46 миллиардов световых лет (в том числе благодаря гравитационному линзированию), хотя наша Вселенная существует в своем нынешнем виде всего 13,8 миллиарда лет.
Это говорит о том, что во Вселенной существует «внешнее», как если бы теоретически можно было выйти наружу и затем наблюдать снаружи системы. Однако у нас нет никаких доказательств того, что такое «внешнее» существует, что является сильным аргументом в пользу теории бесконечной вселенной.
Может ли это быть бесконечным?
Мысль о том, что все сущее «бесконечно», опять же, очень трудна для человеческого ума. Наше существование изначально определяется границами и ограничениями, поэтому “бесконечное” число возможностей немыслимо. Однако если вселенная бесконечна, то существует вероятность (пусть и небольшая), что точно такое же расположение атомов и молекул существует и в других местах. Экстраполируя это дальше, можно было бы также найти место, где те же самые структуры атомов и молекул образовали бы другую Землю, с жизнью, которая развивалась бы таким же образом, а это означало бы, что где-то еще в этой бесконечной вселенной существовал бы другой «ты».
Это может звучать как научная фантастика, но это та область, где должны проводиться дискуссии о «бесконечном». Хотя эти, казалось бы, диковинные мысленные эксперименты кажутся невозможными, у нас нет возможности должным образом опровергнуть их.
В более крупном масштабе, когда мы смотрим на Вселенную, она кажется плоской, почти как лист бумаги, и нет никакой заметной кривизны. Тем не менее мы продолжаем наблюдать «противоположные» стороны Вселенной, надеясь, что сможем распознать закономерности сходства, подобные тому, что наблюдается на нашей планете, где человек в конечном итоге достиг бы своего первоначального местоположения, если бы он шел в одном направлении достаточно долго.
Несмотря на то, что в настоящее время мы не можем увидеть кривизну Вселенной, было высказано предположение, что если бы Вселенная была по крайней мере в 250 раз больше, чем наша наблюдаемая в настоящее время Вселенная, она потенциально все еще могла бы изгибаться назад (где-то за пределами нашей способности видеть). Хотя это сделало бы объем Вселенной в миллиарды раз больше, чем мы видим сейчас, это возможно. Учитывая это теоретическое ограничение, Вселенная все равно будет считаться конечной.
Дискуссии о Большом взрыве, размере и форме Вселенной, потенциале мультивселенных, темной энергии, темной материи и десятках других загадочных тем продолжают увлекать и очаровывать экспертов, которые проводят свою жизнь, глядя на звезды. Ученые и академики любят твердые ответы и измеримые величины, но когда вы говорите о самом большом возможном масштабе (всей Вселенной), такие окончательные ответы часто неуловимы или невозможно когда-либо доказать. В то время как охота за истиной толкает вперед, человеку, возможно, придется смириться с тем, что некоторые тайны не предназначены для того, чтобы быть разгаданными.