Естественная математика что такое
Какие бывают науки?
Наукой древности, или протонаукой, была философия. Античные философы стремились познать мир в его единстве. Кроме того, знания об окружающем мире не были столь полны, как сейчас, поэтому наука не разделялась на области. Однако поток информации, которая преобразовывалась в знания, все время рос. И неизбежно из общего знания об окружающем мире стали выделяться отдельные науки, создаваться учебные дисциплины и научные специальности. Назвать их все в рамках этой статьи просто невозможно. Перечислим только основные.
Сегодня науки принято разделять на гуманитарные, общественные, естественные и технические. Также существуют точные науки, к которым относят математику, физику, химию.
Общественные и гуманитарные науки исследуют человека, его духовную, умственную, нравственную, культурную и общественную деятельность. Они часто пересекаются или даже отождествляются друг с другом, а также противопоставляются естественным и точным наукам.
К общественным и гуманитарным наукам относятся следующие.
История изучает деятельность человека в прошлом. Поэтому выделяют истории отдельных периодов, например Древнего мира. Средних веков, Нового времени. Есть истории различных стран и регионов, например Востока.
Этнография считается частью исторической науки. Она изучает народы и другие этнические образования, их состав, культурно-бытовые особенности, расселение.
К историческим наукам относится и археология.
Интересно, что понятия «фалеристика», «нумизматика», «бонистика» обозначают также и коллекционирование медалей, монет и денежных знаков соответственно, но их следует отличать от одноименных наук, хотя коллекционеры часто бывают истинными знатоками в своих областях.
Культурология исследует культуру в целом. Кстати, наука тоже является частью культуры, но ей посвящена отдельная область — науковедение.
Филология — группа наук, которые изучают культуру того или иного народа, выраженную в языке и литературном творчестве. Филология делится на классическую и современную. Классическая изучает латынь и древнегреческий язык, а также другие древние языки. К современной филологии относятся, например, славистика, романо-германская филология и т.д.
С филологией тесно связано литературоведение, изучающее художественную литературу.
Лингвистика, или языкознание, — наука о языках. Она может использовать методы точных наук — к примеру, математики, поэтому существует такая дисциплина, как математическая лингвистика.
Юриспруденция — наука, изучающая свойства государства и права.
Политология — наука о политике.
Социология — наука об обществе.
Экономическая география — наука о территориальной организации экономической жизни общества.
Особое место занимает философия, которую называют наукой о наиболее общих законах развития природы, общества и мышления. Хотя есть устойчивое мнение, что философия не относится к наукам, а является особой формой познания мира — рефлексией, то есть размышлениями, над истоками культуры, предельными вопросами бытия. Надо сказать, что в древности под философией понимались все естественные и гуманитарные науки. В наши дни к ней относятся такие области, как этика, которая изучает мораль и нравственность, и эстетика — учение о сущности и формах прекрасного. Философией также называют методологические основы науки в целом и отдельных ее отраслей.
Естественные науки — разделы знания, которые отвечают за изучение естественных явлений, то есть внешних по отношению к человеку, природных. К естественным наукам относят математику, хотя она чаще рассматривается как точная наука, а также физику, химию, астрономию, физическую географию, биологию и медицину.
Математика — группа наук, которая изучает величины, количественные отношения и пространственные формы. У этой науки существует множество способов классификации. Например, в школе изучают арифметику, элементарную алгебру, элементарную геометрию, теорию элементарных функций и элементы анализа. В высших учебных заведениях на нематематических факультетах изучают высшую математику, которая включает высшую алгебру и математический анализ.
Гораздо более разнообразны дисциплины этой науки, изучаемые на математических специальностях. Это и теория вероятностей, и функциональный анализ, и теория чисел, и топология, и многое другое. Вообще же математику называют царицей наук, и не зря. Математические методы незаменимы во множестве наук, от физики до лингвистики. Не зря ведь великий философ Иммануил Кант сказал: «В каждом отделе естествознания есть лишь столько настоящей науки, сколько в нем математики».
На заседаниях ученого совета физик Дж. Гиббс обычно молчал. Но однажды велось обсуждение, чему посвятить больше занятий в университете: математике или языкам. И тогда Гиббс заговорил. Он сказал: «Математика — это язык!»
Физика — наука о простейших и вместе с тем наиболее общих законах природы, о материи, ее структуре и движении. Она сильнее всех других наук связана с математикой и делится на множество областей, таких как механика, атомная физика, физика твердого тела, жидкостей и элементарных частиц, квантовая физика и др. Существуют и науки, находящиеся на стыке различных областей знания, например химическая физика, геофизика и биофизика.
Астрономия — наука о Вселенной, которая изучает происхождение, развитие, строение и движение небесных тел.
Физическая география — система наук, которые изучают географические оболочки Земли. К ним относятся климатология, география почв, океанология и др.
Геология — наука о составе, строении и закономерностях развития нашей планеты.
Геоморфология — наука о рельефе.
Областью геоморфологии является карстоведение — наука о карсте, процессах и формах рельефа, которые развиваются в растворимых в воде горных породах.
Химия — это наука о веществах, их свойствах, строении и превращениях, происходящих в результате взаимодействия, а также о законах, которым эти превращения подчиняются. Химия имеет множество отраслей, среди которых самые значительные — это неорганическая и органическая химия, аналитическая, физическая, коллоидная, квантовая химия и др. Биохимия — синтез двух наук: химии и биологии. Она изучает химический состав живых клеток и организмов, а также происходящие в них процессы.
Биология — система наук, изучающая живые организмы и их взаимодействие с окружающей средой. К биологии относится целый ряд наук, из которых назовем лишь основные.
Ботаника изучает растения. Она подразделяется на такие области, как альгология (наука о водорослях), дендрология (наука о деревьях), палеоботаника (наука об ископаемых растениях), палинология (наука о пыльце ископаемых растений) и др. Зоология изучает животных. В ней выделяют, например, арахнологию — науку о пауках, фелинологию — науку о домашних кошках, кинологию — науку о собаках и многие другие отрасли.
Генетика занимается изучением наследственности и изменчивости организмов.
Физиология — наука о закономерностях функционирования и регуляции биологических систем.
Экология — наука о взаимоотношениях живых организмов между собой и с окружающей средой.
С биологией тесно связана медицина — система знаний и практических мер, целью которых являются диагностика, лечение и профилактика заболеваний. К ней относятся такие теоретические и практические области, как анатомия и физиология человека, медицинская генетика и биохимия, кардиология и неврология, эндокринология, хирургия и терапия. В медицине используются знания некоторых других наук — физики, химии, психологии.
К техническим относятся науки, которые исследуют технику и явления, важные для ее развития. Среди технических наук можно назвать архитектуру, информатику, электротехнику, ядерную энергетику, материаловедение, электротехнику и многие другие.
Единство наук
100 000 лет назад первые люди двинулись на север из глубин Африки, чтобы расселиться по всей Земле. Тайны их путешествия, растянувшегося на тысячелетия, а также особенности современных народов помогают раскрыть геногеография и этногеномика. Эти удивительные науки функционируют во взаимосвязи сразу нескольких наук — генетики, истории, этнографии, географии. Действительно, самые интересные открытия делаются при сотрудничестве разных наук — ведь мир и природа едины.
Курьезы в науках
Вексиллология и геральдика иногда сталкиваются с курьезными случаями. Так, на гербе и флаге Иркутска и Иркутской области изображен фантастический хищный зверь с бобриными лапами. Оказывается, в конце XVIII в. на иркутском гербе присутствовало изображение тигра, местное название которого — бабр. Оно и было упомянуто в описании этого геральдического символа. Во второй половине XIX в. все российские гербы создавали и утверждали заново. Художник был родом из европейской части России и не понял, кто такой бабр, поэтому нарисовал сказочного зверя, напоминающего бобра. Он украшает герб Иркутска и сегодня.
Математика
Содержание
Основные сведения
Идеализированные свойства исследуемых объектов либо формулируются в виде аксиом, либо перечисляются в определении соответствующих математических объектов. Затем по строгим правилам логического вывода из этих свойств выводятся другие истинные свойства (теоремы). Эта теория в совокупности образует математическую модель исследуемого объекта. Таким образом первоначально, исходя из пространственных и количественных соотношений, математика получает более абстрактные соотношения, изучение которых также является предметом современной математики.
Традиционно математика делится на теоретическую, выполняющую углублённый анализ внутриматематических структур, и прикладную, предоставляющую свои модели другим наукам и инженерным дисциплинам, причём некоторые из них занимают пограничное с математикой положение. В частности, формальная логика может рассматриваться и как часть философских наук, и как часть математических наук; механика — и физика, и математика; информатика, компьютерные технологии и алгоритмика относятся как к инженерии, так и к математическим наукам и т. д. В литературе было предложено много различных определений математики (см. ниже).
Этимология
В текстах на русском языке слово «математика» или «мафематика» встречается по крайней мере с XVII века, например, у Николая Спафария в «Книге избранной вкратце о девяти мусах и о седмих свободных художествах» (1672 год) [5]
Определения
Одно из первых определений предмета математики дал Декарт [6] :
К области математики относятся только те науки, в которых рассматривается либо порядок, либо мера и совершенно не существенно, будут ли это числа, фигуры, звёзды, звуки или что-нибудь другое, в чём отыскивается эта мера. Таким образом, должна существовать некая общая наука, объясняющая всё относящееся к порядку и мере, не входя в исследование никаких частных предметов, и эта наука должна называться не иностранным, но старым, уже вошедшим в употребление именем Всеобщей математики.
Математика… наука о количественных отношениях и пространственных формах действительного мира.
Это определение Энгельса [8] ; правда, далее Колмогоров поясняет, что все использованные термины надо понимать в самом расширенном и абстрактном смысле.
Сущность математики… представляется теперь как учение об отношениях между объектами, о которых ничего не известно, кроме описывающих их некоторых свойств,— именно тех, которые в качестве аксиом положены в основание теории… Математика есть набор абстрактных форм — математических структур.
Приведём ещё несколько современных определений.
Герман Вейль пессимистически оценил возможность дать общепринятое определение предмета математики:
Вопрос об основаниях математики и о том, что представляет собой в конечном счёте математика, остаётся открытым. Мы не знаем какого-то направления, которое позволит в конце концов найти окончательный ответ на этот вопрос, и можно ли вообще ожидать, что подобный «окончательный» ответ будет когда-нибудь получен и признан всеми математиками.
Разделы математики
1. Математика как учебная дисциплина подразделяется в Российской Федерации на элементарную математику, изучаемую в средней школе и образованную дисциплинами:
и высшую математику, изучаемую на нематематических специальностях вузов. Дисциплины, входящие в состав высшей математики, варьируются в зависимости от специальности.
Программа обучения по специальности математика [13] образована следующими учебными дисциплинами:
2. Математика как специальность научных работников Министерством образования и науки Российской Федерации [14] подразделяется на специальности:
3. Для систематизации научных работ используется раздел «Математика» [15] универсальной десятичной классификации (УДК).
4. Американское математическое общество (AMS) выработало свой стандарт для классификации разделов математики. Он называется Mathematics Subject Classification. Этот стандарт периодически обновляется. Текущая версия — это MSC 2010. Предыдущая версия — MSC 2000.
Обозначения
Вследствие того, что математика работает с чрезвычайно разнообразными и довольно сложными структурами, система обозначений также очень сложна. Современная система записи формул сформировалась на основе европейской алгебраической традиции, а также математического анализа (понятия функции, производной и т. д.). Геометрия испокон века пользовалась наглядным (геометрическим же) представлением. В современной математике распространены также сложные графические системы записи (например, коммутативные диаграммы), нередко также применяются обозначения на основе графов.
Краткая история
Академиком А. Н. Колмогоровым предложена такая структура истории математики:
Развитие математики началось вместе с тем, как человек стал использовать абстракции сколько-нибудь высокого уровня. Простая абстракция — числа; осмысление того, что два яблока и два апельсина, несмотря на все их различия, имеют что-то общее, а именно занимают обе руки одного человека, — качественное достижение мышления человека. Кроме того, что древние люди узнали, как считать конкретные объекты, они также поняли, как вычислять и абстрактные количества, такие, как время: дни, сезоны, года. Из элементарного счёта естественным образом начала развиваться арифметика: сложение, вычитание, умножение и деление чисел.
Развитие математики опирается на письменность и умение записывать числа. Наверно, древние люди сначала выражали количество путём рисования чёрточек на земле или выцарапывали их на древесине. Древние инки, не имея иной системы письменности, представляли и сохраняли числовые данные, используя сложную систему верёвочных узлов, так называемые кипу. Существовало множество различных систем счисления. Первые известные записи чисел были найдены в папирусе Ахмеса, созданном египтянами Среднего царства. Индская цивилизация разработала современную десятичную систему счисления, включающую концепцию нуля.
Исторически основные математические дисциплины появились под воздействием необходимости вести расчёты в коммерческой сфере, при измерении земель и для предсказания астрономических явлений и, позже, для решения новых физических задач. Каждая из этих сфер играет большую роль в широком развитии математики, заключающемся в изучении структур, пространств и изменений.
Философия математики
Цели и методы
Математика изучает воображаемые, идеальные объекты и соотношения между ними, используя формальный язык. В общем случае математические понятия и теоремы не обязательно имеют соответствие чему-либо в физическом мире. Главная задача прикладного раздела математики — создать математическую модель, достаточно адекватную исследуемому реальному объекту. Задача математика-теоретика — обеспечить достаточный набор удобных средств для достижения этой цели.
Содержание математики можно определить как систему математических моделей и инструментов для их создания. Модель объекта учитывает не все его черты, а только самые необходимые для целей изучения (идеализированные). Например, изучая физические свойства апельсина, мы можем абстрагироваться от его цвета и вкуса и представить его (пусть не идеально точно) шаром. Если же нам надо понять, сколько апельсинов получится, если мы сложим вместе два и три, — то можно абстрагироваться и от формы, оставив у модели только одну характеристику — количество. Абстракция и установление связей между объектами в самом общем виде — одно из главных направлений математического творчества.
Другое направление, наряду с абстрагированием — обобщение. Например, обобщая понятие «пространство» до пространства n-измерений. «Пространство 
, при 
3″ border=»0″ /> является математической выдумкой. Впрочем, весьма гениальной выдумкой, которая помогает математически разбираться в сложных явлениях». [16]
Изучение внутриматематических объектов, как правило, происходит при помощи аксиоматического метода: сначала для исследуемых объектов формулируются список основных понятий и аксиом, а затем из аксиом с помощью правил вывода получают содержательные теоремы, в совокупности образующие математическую модель.
Основания
Вопрос сущности и оснований математики обсуждался со времён Платона. Начиная с XX века наблюдается сравнительное согласие в вопросе, что надлежит считать строгим математическим доказательством, однако отсутствует согласие в понимании того, что в математике считать изначально истинным. Отсюда вытекают разногласия как в вопросах аксиоматики и взаимосвязи отраслей математики, так и в выборе логических систем, которыми следует при доказательствах пользоваться.
Помимо скептического, известны нижеперечисленные подходы к данному вопросу.
Теоретико-множественный подход
Предлагается рассматривать все математические объекты в рамках теории множеств, чаще всего с аксиоматикой Цермело — Френкеля (хотя существует множество других, равносильных ей). Данный подход считается с середины XX века преобладающим, однако в действительности большинство математических работ не ставят задач перевести свои утверждения строго на язык теории множеств, а оперируют понятиями и фактами, установленными в некоторых областях математики. Таким образом, если в теории множеств будет обнаружено противоречие, это не повлечёт за собой обесценивание большинства результатов.
Логицизм
Данный подход предполагает строгую типизацию математических объектов. Многие парадоксы, избегаемые в теории множеств лишь путём специальных уловок, оказываются невозможными в принципе.
Формализм
Данный подход предполагает изучение формальных систем на основе классической логики.
Интуиционизм
Интуиционизм предполагает в основании математики интуиционистскую логику, более ограниченную в средствах доказательства (но, как считается, и более надёжную). Интуиционизм отвергает доказательство от противного, многие неконструктивные доказательства становятся невозможными, а многие проблемы теории множеств — бессмысленными (неформализуемыми).
Конструктивная математика
Основные темы
Числа
Понятие «число» первоначально относилось к натуральным числам. В дальнейшем оно было постепенно распространено на целые, рациональные, действительные, комплексные и другие числа.
| |||||||||||||||
 |  | ||||||||||||||
| Комплексные числа | Кватернионы | ||||||||||||||
 Числовые системы | |
|---|---|
| Счётные множества | Натуральные числа ( ) • Целые ( ) • Рациональные ( ) • Алгебраические ( ) • Периоды • Вычислимые • Арифметические |
| Вещественные числа и их расширения | Вещественные ( ) • Комплексные ( ) • Кватернионы ( ) • Числа Кэли (октавы, октонионы) ( ) • Седенионы ( ) • Альтернионы • Процедура Кэли — Диксона • Дуальные • Гиперкомплексные • Суперреальные • Гиперреальные • Surreal number (англ.) |
| Другие числовые системы | Кардинальные числа • Порядковые числа (трансфинитные, ординал) • p-адические • Супернатуральные числа |
| См. также | Двойные числа • Иррациональные числа • Трансцендентные • Числовой луч • Бикватернион |
Преобразования
 |  |  |  |
| Арифметика | Дифференциальное и интегральное исчисление | Векторный анализ | Анализ |
 |  |  | |
| Дифференциальные уравнения | Динамические системы | Теория хаоса |
Структуры
Пространственные отношения
Более наглядные подходы в математике.
Дискретная математика
Дискретная математика включает средства, которые применяются над объектами, способными принимать только отдельные, не непрерывные значения.
 |  |  |  |
| Математическая логика | Теория вычислимости | Криптография | Теория графов |
Коды в системах классификации знаний
Онлайновые сервисы
Существует большое число сайтов, предоставляющих сервис для математических расчётов. Большинство из них англоязычные. [20] Из русскоязычных можно отметить сервис математических запросов поисковой системы Nigma.