Детерминант матрицы что это
Определитель матрицы и его свойства
Помню, класса до 8-го мне не нравилась алгебра. Вообще не нравилась. Бесила она меня. Потому что я там ничего не понимал.
А затем всё изменилось, потому что я просёк одну фишку:
В математике вообще (и алгебре в частности) всё строится на грамотной и последовательной системе определений. Знаешь определения, понимаешь их суть — разобраться в остальном не составит труда.
Вот так и с темой сегодняшнего урока. Мы детально рассмотрим несколько смежных вопросов и определений, благодаря чему вы раз и навсегда разберётесь и с матрицами, и с определителями, и со всеми их свойствами.
Определители — центральное понятие в алгебре матриц. Подобно формулам сокращённого умножения, они будут преследовать вас на протяжении всего курса высшей математики. Поэтому читаем, смотрим и разбираемся досконально.:)
И начнём мы с самого сокровенного — а что такое матрица? И как правильно с ней работать.
Правильная расстановка индексов в матрице
Матрица — это просто таблица, заполненная числами. Нео тут ни при чём.
\[A=\left[ m\times n \right]\]
Какой индекс за что отвечает? Сначала идёт номер строки, затем — столбца? Или наоборот?
При чтении лекций и учебников ответ будет казаться очевидным. Но когда на экзамене перед вами — только листик с задачей, можно переволноваться и внезапно запутаться.
Поэтому давайте разберёмся с этим вопросом раз и навсегда. Для начала вспомним обычную систему координат из школьного курса математики:
Введение системы координат на плоскости
А теперь давайте возьмём эту конструкцию и поставим её рядом с матрицей так, чтобы начало координат находилось в левом верхнем углу. Почему именно там? Да потому что открывая книгу, мы начинаем читать именно с левого верхнего угла страницы — запомнить это легче лёгкого.
Но куда направить оси? Мы направим их так, чтобы вся наша виртуальная «страница» была охвачена этими осями. Правда, для этого придётся повернуть нашу систему координат. Единственно возможный вариант такого расположения:
Наложение системы координат на матрицу
Определение индексов в матрице
Просто всмотритесь в эту картинку внимательно. Поиграйтесь с координатами (особенно когда будете работать с настоящими матрицами и определителями) — и очень скоро поймёте, что даже в самых сложных теоремах и определениях вы прекрасно понимаете, о чём идёт речь.
Разобрались? Что ж, переходим к первому шагу просветления — геометрическому определению определителя.:)
Геометрическое определение
Ну и что это за характеристика? Что он означает? Всё просто:
Например, определитель матрицы размера 2×2 — это просто площадь параллелограмма, а для матрицы 3×3 это уже объём 3-мерного параллелепипеда — того самого, который так бесит всех старшеклассников на уроках стереометрии.
На первый взгляд это определение может показаться совершенно неадекватным. Но давайте не будем спешить с выводами — глянем на примеры. На самом деле всё элементарно, Ватсон:
Задача. Найдите определители матриц:
Решение. Первые два определителя имеют размер 2×2. Значит, это просто площади параллелограммов. Начертим их и посчитаем площадь.
Определитель 2×2 — это площадь параллелограмма
Очевидно, это не просто параллелограмм, а вполне себе прямоугольник. Его площадь равна
Ещё один определитель 2×2
Стороны этого прямоугольника (по сути — длины векторов) легко считаются по теореме Пифагора:
Осталось разобраться с последним определителем — там уже матрица 3×3. Придётся вспоминать стереометрию:
Определитель 3×3 — это объём параллелепипеда
Выглядит мозговыносяще, но по факту достаточно вспомнить формулу объёма параллелепипеда:
Площадь параллелограмма (мы начертили его отдельно) тоже считается легко:
Вот и всё! Записываем ответы.
Небольшое замечание по поводу системы обозначений. Кому-то наверняка не понравится, что я игнорирую «стрелочки» над векторами. Якобы так можно спутать вектор с точкой или ещё с чем.
Но давайте серьёзно: мы с вами уже взрослые мальчики и девочки, поэтому из контекста прекрасно понимаем, когда речь идёт о векторе, а когда — о точке. Стрелки лишь засоряют повествование, и без того под завязку напичканное математическими формулами.
И ещё. В принципе, ничто не мешает рассмотреть и определитель матрицы 1×1 — такая матрица представляет собой просто одну клетку, а число, записанное в этой клетке, и будет определителем. Но тут есть важное замечание:
В отличие от классического объёма, определитель даст нам так называемый «ориентированный объём», т.е. объём с учётом последовательности рассмотрения векторов-строк.
И если вы хотите получить объём в классическом смысле этого слова, придётся взять модуль определителя, но сейчас не стоит париться об этом — всё равно через несколько секунд мы научимся считать любой определитель с любыми знаками, размерами и т.д.:)
Алгебраическое определение
При всей красоте и наглядности геометрического подхода у него есть серьёзный недостаток: он ничего не говорит нам о том, как этот самый определитель считать.
Поэтому сейчас мы разберём альтернативное определение — алгебраическое. Для этого нам потребуется краткая теоретическая подготовка, зато на выходе мы получим инструмент, позволяющий считать в матрицах что и как угодно.
Правда, там появится новая проблема. но обо всём по порядку.
Перестановки и инверсии
Теперь (чисто по приколу) поменяем парочку чисел местами. Можно поменять соседние:
А можно — не особо соседние:
И знаете, что? А ничего! В алгебре эта хрень называется перестановкой. И у неё есть куча свойств.
Далее для простоты изложения будем работать с перестановками длины 5 — они уже достаточно серьёзны для наблюдения всяких подозрительных эффектов, но ещё не настолько суровы для неокрепшего мозга, как перестановки длины 6 и более. Вот примеры таких перестановок:
\[n!=5!=1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5=120\]
Одной из ключевых характеристик всякой перестановки является количество инверсий в ней.
\[\left( 4;3 \right);\left( 4;2 \right);\left( 5;3 \right);\left( 5;2 \right);\left( 3;2 \right).\]
Что такое определитель
Принципиальным моментом при выборе множителей для каждого слагаемого в определителе является тот факт, что никакие два множителя не стоят в одной строчке или в одном столбце.
\[j=p\left( i \right),\quad i=1,2. n\]
От перестановки множителей произведение чисел не меняется.
Вот только не надо приплетать это правило к умножению матриц — в отличие от умножения чисел, оно не коммутативно. Но это я отвлёкся.:)
Матрица 2×2
Вообще-то можно рассмотреть и матрицу 1×1 — это будет одна клетка, и её определитель, как нетрудно догадаться, равен числу, записанному в этой клетке. Ничего интересного.
Поэтому давайте рассмотрим квадратную матрицу размером 2×2:
Рассмотрим пару примеров:
Решение. Всё считается в одну строчку. Первая матрица:
\[5\cdot 9-8\cdot 6=45-48=-3\]
\[7\cdot 1-14\cdot 12=7-168=-161\]
Впрочем, это было слишком просто. Давайте рассмотрим матрицы 3×3 — там уже интересно.
Матрица 3×3
Теперь рассмотрим квадратную матрицу размера 3×3:
\[\begin _<1>>=\left( 1;2;3 \right)\Rightarrow N\left( < _<1>> \right)=N\left( 1;2;3 \right)=0; \\ & < _<2>>=\left( 1;3;2 \right)\Rightarrow N\left( < _<2>> \right)=N\left( 1;3;2 \right)=1; \\ & < _<3>>=\left( 2;1;3 \right)\Rightarrow N\left( < _<3>> \right)=N\left( 2;1;3 \right)=1; \\ & < _<4>>=\left( 2;3;1 \right)\Rightarrow N\left( < _<4>> \right)=N\left( 2;3;1 \right)=2; \\ & < _<5>>=\left( 3;1;2 \right)\Rightarrow N\left( < _<5>> \right)=N\left( 3;1;2 \right)=2; \\ & < _<6>>=\left( 3;2;1 \right)\Rightarrow N\left( < _<6>> \right)=N\left( 3;2;1 \right)=3. \\\end Вот только не надо сейчас садиться и яростно зубрить все эти индексы! Вместо непонятных цифр лучше запомните следующее мнемоническое правило: . Для нахождения определителя матрицы 3×3 нужно сложить три произведения элементов, стоящих на главной диагонали и в вершинах равнобедренных треугольников со стороной, параллельной этой диагонали, а затем вычесть такие же три произведения, но на побочной диагонали. Схематически это выглядит так: Именно эти треугольники (или пентаграммы — кому как больше нравится) любят рисовать во всяких учебниках и методичках по алгебре. Впрочем, не будем о грустном. Давайте лучше посчитаем один такой определитель — для разминки перед настоящей жестью.:) \[\left| \begin Решение. Работаем по правилу треугольников. Сначала посчитаем три слагаемых, составленных из элементов на главной диагонали и параллельно ей: \[\begin Теперь разбираемся с побочной диагональю: \[\begin Осталось лишь вычесть из первого числа второе — и мы получим ответ: Тем не менее, определители матриц 3×3 — это ещё не вершина мастерства. Самое интересное ждёт нас дальше.:) Уже для матриц 4×4 считать определители напролом (т.е. через перестановки) становится как-то не оч. Про 5×5 и более вообще молчу. Поэтому к делу подключаются некоторые свойства определителя, но для их понимания нужна небольшая теоретическая подготовка. Есть и другое определение. Возможно, кому-то оно больше придётся по душе: Как говорил мой кот, иногда лучше Выбирая строку 1 и столбец 2, получаем минор первого порядка: Выбирая строки 2, 3 и столбцы 3, 4, получаем минор второго порядка: А если выбрать все три строки, а также столбцы 1, 2, 4, будет минор третьего порядка: \[< Считать этот определитель мне уже в лом. Но он равен 53.:) Читателю не составит труда найти и другие миноры порядков 1, 2 или 3. Поэтому идём дальше. «Ну ok, и что дают нам эти Уточним один момент: дополнительный минор — это не просто «кусок матрицы», а определитель этого куска. Дополнительные миноры редко используются сами по себе. Они являются частью более сложной конструкции — алгебраического дополнения. Сложно? На первый взгляд — да. Но это не точно. Потому что на самом деле всё легко. Рассмотрим пример: \[A=\left[ \begin Выберем минор второго порядка Капитан Очевидность как бы намекает нам, что при составлении этого минора были задействованы строки 1 и 4, а также столбцы 3 и 4. Вычёркиваем их — получим дополнительный минор: Вот и всё! По сути, всё различие между дополнительным минором и алгебраическим дополнением — только в минусе спереди, да и то не всегда. Наша задача сейчас — научиться быстро считать алгебраические дополнения, потому что они являются составной частью «Теоремы, Которую Нельзя Называть». Но мы всё же назовём. Встречайте: И вот мы пришли к тому, зачем, собственно, все эти миноры и алгебраические дополнения были нужны. Мы не будем её доказывать, хоть это и не представляет особой трудности — все выкладки сводятся к старым-добрым перестановкам и чётности/ нечётности инверсий. Тем не менее, доказательство будет представлено в отдельном параграфе, а сегодня у нас сугубо практический урок. Поэтому переходим к частному случаю этой теоремы, когда миноры представляют собой отдельные клетки матрицы. То, о чём сейчас пойдёт речь — как раз и есть основной инструмент работы с определителями, ради которого затевались вся эта дичь с перестановками, минорами и алгебраическими дополнениями. Читайте и наслаждайтесь: Это и есть формула разложения определителя по строке. Но то же верно и для столбцов. Из этого следствия можно сразу сформулировать несколько выводов: Последний факт особенно важен. Например, вместо зверского определителя 4×4 теперь достаточно будет посчитать несколько определителей 3×3 — с ними мы уж как-нибудь справимся.:) Что ж, попробуем посчитать одну такую задачку? \[\left| \begin Решение. Разложим этот определитель по первой строке: Задача. Найдите определитель: \[\left| \begin Решение. Для разнообразия давайте в этот раз работать со столбцами. Например, в последнем столбце присутствуют сразу два нуля — очевидно, это значительно сократит вычисления. Сейчас увидите почему. Итак, раскладываем определитель по четвёртому столбцу: И тут — о, чудо! — два слагаемых сразу улетают коту под хвост, поскольку в них есть множитель «0». Остаётся ещё два определителя 3×3, с которыми мы легко разберёмся: Возвращаемся к исходнику и находим ответ: Ну вот и всё. И никаких 4! = 24 слагаемых считать не пришлось.:) В последней задаче мы видели, как наличие нулей в строках (столбцах) матрицы резко упрощает разложение определителя и вообще все вычисления. Возникает естественный вопрос: а нельзя ли сделать так, чтобы эти нули появились даже в той матрице, где их изначально не было? Ответ однозначен: можно. И здесь нам на помощь приходят свойства определителя: Особую ценность представляет третье свойство: мы можем вычитать из одной строки (столбца) другую до тех пор, пока в нужных местах не появятся нули. Чаще всего расчёты сводится к тому, чтобы «обнулить» весь столбец везде, кроме одного элемента, а затем разложить определитель по этому столбцу, получив матрицу размером на 1 меньше. Давайте посмотрим, как это работает на практике: \[\left| \begin Решение. Нулей тут как бы вообще не наблюдается, поэтому можно «долбить» по любой строке или столбцу — объём вычислений будет примерно одинаковым. Давайте не будем мелочиться и «обнулим» первый столбец: в нём уже есть клетка с единицей, поэтому просто возьмём первую строчку и вычтем её 4 раза из второй, 3 раза из третьей и 2 раза из последней. В результате мы получим новую матрицу, но её определитель будет тем же: Теперь с невозмутимостью Пятачка раскладываем этот определитель по первому столбцу: Понятно, что «выживет» только первое слагаемое — в остальных я даже определители не выписывал, поскольку они всё равно умножаются на ноль. Коэффициент перед определителем равен единице, т.е. его можно не записывать. Зато можно вынести «минусы» из всех трёх строк определителя. По сути, мы трижды вынесли множитель (−1): Получили мелкий определитель 3×3, который уже можно посчитать по правилу треугольников. Но мы попробуем разложить и его по первому столбцу — благо в последней строчке гордо стоит единица: Можно, конечно, ещё поприкалываться и разложить матрицу 2×2 по строке (столбцу), но мы же с вами адекватны, поэтому просто посчитаем ответ: Вот так и разбиваются мечты. Всего-то −160 в ответе.:) Парочка замечаний перед тем, как мы перейдём к последней задаче: Идём дальше. Последняя задача в сегодняшнем уроке. \[\left| \begin Решение. Ну, тут первая строка прямо-таки напрашивается на «обнуление». Берём первый столбец и вычитаем ровно один раз из всех остальных: \[\begin Раскладываем по первой строке, а затем выносим общие множители из оставшихся строк: \[\cdot \left| \begin Снова наблюдаем «красивые» числа, но уже в первом столбце — раскладываем определитель по нему: Очень уважаю людей, которые имеют смелость заявить, что они что-то не понимают. Сам такой. То, что не понимаю, — обязательно должен изучить, осмыслить, понять. Статья «Математика на пальцах», и особенно матричная запись формул, заставили меня поделиться своим небольшим, но, кажется, немаловажным опытом работы с матрицами. Лет эдак 20 назад довелось мне изучать высшую математику в вузе, и начинали мы с матриц (пожалуй, как и все студенты того времени). Почему-то считается, что матрицы — самая лёгкая тема в курсе высшей математики. Возможно — потому, что все действия с матрицами сводятся к знанию способов расчёта определителя и нескольких формул, построенных — опять же, на определителе. Казалось бы, всё просто. Но… Попробуйте ответить на элементарный вопрос — что такое определитель, что означает число, которое вы получаете при его расчёте? (подсказка: вариант типа «определитель — это число, которое находится по определённым правилам» не является правильным ответом, поскольку говорит о методе получения, а не о самой сути определителя). Сдаётесь? — тогда читаем дальше. Сразу хочу сказать, что я не математик ни по образованию, ни по должности. Разве что мне интересна суть вещей, и я порой пытаюсь до них «докопаться». Так же было и с определителем: нужно было разобраться со множественной регрессией, а в этом разделе эконометрики практически всё делается через… матрицы, будь они неладны. Вот и пришлось мне самому провести небольшое исследование, поскольку ни один из знакомых математиков не дал внятного ответа на поставленный вопрос, изначально звучавший как «что такое определитель». Все утверждали, что определитель — это такое число, которое особым образом посчитано, и если оно равно нулю, то… В общем, как в любом учебнике по линейной алгебре. Спасибо, проходили. Если какую-то идею придумал один человек, то другой человек должен быть в состоянии её понять (правда, для этого порой приходится вооружаться дополнительными знаниями). Обращение к «великому и могучему» поисковику показало, что «площадь параллелограмма равна модулю определителя матрицы, образованной векторами — сторонами параллелограмма». Говоря простым языком, если матрица — это способ записи системы уравнений, то каждое уравнение в отдельности описывает вектор. Построив из точки начала координат векторы, заданные в матрице, мы таким образом зададим в пространстве некоторую фигуру. Если наше пространство одномерное, то фигура — это отрезок; если двумерное — то фигура — параллелограмм, и так далее. Получается, что для одномерного пространства определитель — это длина отрезка, для плоскости — площадь фигуры, для трёхмерной фигуры — её объём… дальше идут n-мерные пространства, вообразить которые нам не дано. Если объём фигуры (то есть определитель для матрицы 3*3) равен нулю, то это означает, что сама фигура не является трёхмерной (она может быть при этом двухмерной, одномерной или вообще представлять собой точку). Ранг матрицы — это истинная (максимальная) размерность пространства, для которого определитель не равен нулю. Так, с определителем почти всё понятно: он определяет «объёмность» фигуры, образованной описанными системой уравнений векторами (хотя непонятно, почему его значение не зависит от того, имеем мы дело с исходной матрицей, или с транспонированной — возможно, транспонирование — это вид аффинного преобразования?). Теперь нужно разобраться с действиями над матрицами… Если матрица — это система уравнений (а иначе зачем нам таблица каких-то цифр, не имеющих к реальности никакого отношения?), то мы можем с ней делать разные вещи. Например, можем сложить две строки одной и той же матрицы, или умножить строку на число (то есть каждый коэффициент строки умножаем на одно и то же число). Если у нас есть две матрицы с одинаковыми размерностями, то мы их можем сложить (главное, чтобы при этом мы не сложили бульдога с носорогом — но разве математики, разрабатывая теорию матриц, думали о таком варианте развития событий?). Интуитивно понятно, тем более что в линейной алгебре иллюстрациями подобных операций являются системы уравнений. Однако в чём смысл умножения матриц? Как я могу умножить одну систему уравнений на другую? Какой смысл будет иметь то, что я получу в этом случае? Почему для умножения матриц неприменимо переместительное правило (то есть произведение матриц В*А не то что не равно произведению А*В, но и не всегда осуществимо)? Почему, если мы перемножим матрицу на вектор-столбец, то получим вектор-столбец, а если перемножим вектор-строку на матрицу, то получим вектор-строку? Ну, тут уж не то что Википедия, — тут даже современные учебники по линейной алгебре бессильны дать какое-либо внятное объяснение. Поскольку изучение чего-либо по принципу «вы сначала поверьте — а поймёте потом» — не для меня, копаю в глубь веков (точнее — читаю учебники первой половины XX века) и нахожу интересную фразу… Если совокупность обычных векторов, т.е. направленных геометрических отрезков, является трёхмерным пространством, то часть этого пространства, состоящая из векторов, параллельных некоторой плоскости, является двумерным пространством, а все векторы, параллельные некоторой прямой, образуют одномерное векторное пространство. В книгах об этом напрямую не говорится, но получается, что векторам, параллельным некоторой плоскости, необязательно лежать на этой плоскости. То есть они могут находиться в трёхмерном пространстве где угодно, но если они параллельны именно этой плоскости, то они образуют двумерное пространство… Из приходящих мне на ум аналогий — фотография: трёхмерный мир представлен на плоскости, при этом вектору, параллельному матрице (или плёнке) фотоаппарата, будет соответствовать такой же вектор на картинке (при условии соблюдении масштаба 1:1). Отображение трёхмерного мира на плоскости «убирает» одно измерение («глубину» картинки). Если я правильно понял сложные математические концепции, перемножение двух матриц как раз и представляет собой подобное отражение одного пространства в другом. Поэтому, если отражение пространства А в пространстве В возможно, то допустимость отражения пространства В в пространстве А — не гарантируется.
Определитель матрицы 3×3: правило треугольниковОбщая схема вычисления определителей
Что такое минор матрицы
один раз навернуться с 11-го этажа есть корм, чем мяукать, сидя на балконе.Алгебраические дополнения
миньоны миноры?» — наверняка спросите вы. Сами по себе — ничего. Но в квадратных матрицах у каждого минора появляется «компаньон» — дополнительный минор, а также алгебраическое дополнение. И вместе эти два ушлёпка позволят нам щёлкать определители как орешки.Теорема Лапласа
Разложение определителя по строке и столбцу
Основные свойства определителя
От действий над матрицами к пониманию их сути…
Любая статья заканчивается в тот момент, когда автору надоедает её писать. Поскольку я не ставил перед собой цели объять необъятное, а исключительно хотел понять суть описанных операций над матрицами и то, как именно матрицы связаны с решаемыми мной системами уравнений, я не полез в дальнейшие дебри линейной алгебры, а вернулся к эконометрике и множественной регрессии, но сделал это уже более осознанно. Понимая, что и зачем я делаю и почему только так, а не иначе. То, что у меня получилось в этом материале, можно озаглавить как «глава о сути основных операций линейной алгебры, которую почему-то забыли напечатать в учебниках». Но ведь мы же не читаем учебников, правда? Если честно, когда я учился в университете, мне очень не хватало именно понимания затронутых здесь вопросов, поэтому я надеюсь, что, изложив этот непростой материал по возможности простыми словами, я делаю доброе дело и помогаю кому-то вникнуть в саму суть матричной алгебры, переведя операции над матрицами из раздела «камлание с бубном» в раздел «практические инструменты, применяемые осознанно».