Диагонали параллелограмма пересекаются в точке о докажите что четырехугольник а1б1с1д1
Диагонали параллелограмма пересекаются в точке о докажите что четырехугольник а1б1с1д1
В четырёхугольнике ABCD противоположные стороны не параллельны. Диагонали четырёхугольника ABCD пересекаются в точке O под прямым углом и образуют четыре подобных треугольника, у каждого из которых одна из вершин — точка O.
а) Докажите, что около четырёхугольника ABCD можно описать окружность.
б) Найдите радиус вписанной окружности, если AC = 10, BD = 26.
а) Рассмотрим треугольники ABO и COD: углы ABD и BDC при секущей BD не равны. Тогда, так как треугольники ABO и COD подобны, следовательно, углы ABO и DCO, а также BAO и CDO равны. Аналогично для треугольников AOD и BDC. Сумма углов ABO и OBC не равны 90°, тогда имеем конфигурацию как на рисунке справа.
Заметим, что сумма углов BAD и BCD равна:
Следовательно, вокруг четырехугольника ABCD можно описать окружность.
б) Обозначим сторону BO буквой a, сторону OC буквой b, тогда:
Из этого следует, что стороны AO и OC равны.
Пусть OB равно x, тогда
при 
С учетом симметрии, можно выбрать любое значение для x. Пусть OB равно 1, а OD — 25, тогда:
Найдем полупериметр четырехугольника ABCD:
Найдем площадь четырехугольника ABCD:
Вычислим искомый радиус:
Ответ: 