Диагонали вписанного четырехугольника пересекаются в точке известно что найдите градусную величину
Четырёхугольник ABCD вписан в окружность, причём диаметром окружности является его диагональ AC. Также известно, что в ABCD можно вписать окружность.
а) Докажите, что отрезки AC и BD перпендикулярны.
б) Найдите радиус вписанной окружности четырёхугольника ABCD, если AC = 26 и BD = 24.
а) Пусть BD и AC пересекаются в точке M. Так как ABCD — описанный четырёхугольник, Будем считать, что и Углы ABC и ADC прямые, так как AC — диаметр. По теореме Пифагора получаем и Отсюда следует, что то есть и Это значит, что треугольники ABC и ADC равны по третьему признаку равенства треугольников, поэтому Следовательно, CM — биссектриса треугольника DBC, а также его высота и медиана.
б) Пусть O — центр окружности, описанной около четырёхугольника ABCD. Тогда её радиус поэтому Допустим, что тогда и Рассматривая прямоугольные треугольники AMB и ABC, можем записать следовательно, Аналогично поэтому полупериметр четырёхугольника ABCD равен Площадь же четырёхугольника ABCD равна Искомый радиус вписанной окружности равен
Ответ: б)
Критерии оценивания выполнения задания
Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б)
3
Получен обоснованный ответ в пункте б)
имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки
2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а)
при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки,
Диагонали вписанного четырехугольника пересекаются в точке известно что найдите градусную величину
Четырёхугольник ABCD вписан в окружность, причём диаметром окружности является его диагональ AC. Также известно, что в ABCD можно вписать окружность.
а) Докажите, что отрезки AC и BD перпендикулярны.
б) Найдите радиус вписанной окружности четырёхугольника ABCD, если AC = 26 и BD = 10.
а) Пусть BD и AC пересекаются в точке M. Так как ABCD — описанный четырёхугольник, Будем считать, что и Углы ABC и ADC прямые, так как AC — диаметр. По теореме Пифагора получаем и Отсюда следует, что то есть и Это значит, что треугольники ABC и ADC равны по третьему признаку равенства треугольников, поэтому Следовательно, CM — биссектриса треугольника DBC, а также его высота и медиана.
б) Пусть O — центр окружности, описанной около четырёхугольника ABCD. Тогда её радиус поэтому Допустим, что тогда и Рассматривая прямоугольные треугольники AMB и ABC, можем записать следовательно, Аналогично поэтому полупериметр четырёхугольника ABCD равен Площадь же четырёхугольника ABCD равна Искомый радиус вписанной окружности равен
Ответ: б)
Критерии оценивания выполнения задания
Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б)
3
Получен обоснованный ответ в пункте б)
имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки
2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а)
при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки,
Диагонали вписанного четырехугольника пересекаются в точке известно что найдите градусную величину
Задание 16. Диагонали АС и BD четырёхугольника ABCD, вписанного в окружность, пересекаются в точке P, причём BC = CD.
а) Докажите, что AB:BC=AP:PD.
б) Найдите площадь треугольника COD, где О — центр окружности, вписанной в треугольник ABD, если дополнительно известно, что BD — диаметр описанной около четырёхугольника ABCD окружности, АВ = 5, а ВС = 5√2.
а) Так как стороны BC=CD, то и дуга BC равна дуге CD. На эти дуги опираются равные углы: BAC, CAD, CBD, CDB. Получаем подобные треугольники BPC и APD (по двум углам), следовательно, и
или (1)
Далее, треугольники BPC и ABC также подобны по двум углам, поэтому
или (2)
В результате из (1) и (2), имеем:
б) Так как BD – диаметр окружности, то треугольники BCD и ABD – прямоугольные с прямыми углами C и A соответственно. Также по условию задания BC=CD=5√2, получаем
Рассмотрим прямоугольный треугольник BAD, в котором AB=5, BD=10, следовательно, угол BDA=30°, а угол ODO1 = 15° (так как O – центр вписанной окружности, поэтому DO – биссектриса).
Далее, из равнобедренного треугольника BCD с основание BD получаем, что угол CDB=45°, следовательно, угол ODC=45+15=60°. Из прямоугольного треугольника ABD
и полупериметр треугольника ABD, равен:
Найдем отрезок DE=p-AB (как отрезок части касательной), имеем:
и радиус вписанной окружности:
Рассмотрим прямоугольный треугольник OED, из которого
Рассмотрим треугольник OCD, в котором , следовательно, треугольник ODC – равносторонний. Площадь этого треугольника, равна:
Диагонали вписанного четырехугольника пересекаются в точке известно что найдите градусную величину
Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABD равен 38°, угол CAD равен 54°. Найдите угол ABC. Ответ дайте в градусах.
Угол CAD и угол CBD — вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, а значит, они равны 54°. Следовательно:
Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABC равен 138°, угол CAD равен 83°. Найдите угол ABD. Ответ дайте в градусах.
Угол CAD и угол CBD — вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, а значит, они равны 83°. Следовательно:
Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABD равен 77°, угол CAD равен 43°. Найдите угол ABC. Ответ дайте в градусах.
Угол CAD и угол CBD — вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, а значит, они равны 43°. Следовательно:
Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABC равен 56°, угол CAD равен 42°. Найдите угол ABD. Ответ дайте в градусах.
Угол CAD и угол CBD — вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, а значит, они равны 42°. Следовательно:
Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABD равен 78°, угол CAD равен 40°. Найдите угол ABC. Ответ дайте в градусах.
Угол CAD и угол CBD — вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, а значит, они равны 40°. Следовательно:
Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABC равен 112°, угол CAD равен 70°. Найдите угол ABD. Ответ дайте в градусах.
Угол CAD и угол CBD — вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, а значит, они равны 70°. Следовательно:
Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABD равен 39°, угол CAD равен 55°. Найдите угол ABC. Ответ дайте в градусах.
Угол CAD и угол CBD — вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, а значит, они равны 55°. Следовательно:
Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABD равен 16°, угол CAD равен 32°. Найдите угол ABC. Ответ дайте в градусах.
Угол CAD и угол CBD — вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, а значит, они равны 32°. Следовательно:
Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABD равен 82°, угол CAD равен 28°. Найдите угол ABC. Ответ дайте в градусах.
Угол CAD и угол CBD — вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, а значит, они равны 28°. Следовательно:
Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABC равен 120°, угол CAD равен 74°. Найдите угол ABD. Ответ дайте в градусах.
Угол CAD и угол CBD — вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, а значит, они равны 74°. Следовательно:
Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Прямые AB и CD пересекаются в точке K, BK = 6, DK = 10, BC = 12. Найдите AD.
Угол BAD и угол BCD — вписанные углы, опирающиеся на противоположенные дуги.
Следовательно:
Так как углы BCK и BCD смежные, то
Значит,
Треугольники AKD и CKB подобны по первому признаку ( и — общий).
Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Прямые AB и CD пересекаются в точке K, BK = 12, DK = 16, BC = 24. Найдите AD.
Угол BAD и угол BCD — вписанные углы, опирающиеся на противоположенные дуги.
Следовательно:
Так как углы BCK и BCD смежные, то
Значит,
Треугольники AKD и CKB подобны по первому признаку ( и — общий).
Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABC равен 136°, угол CAD равен 82°. Найдите угол ABD. Ответ дайте в градусах.
Углы и опираются на одну дугу следовательно, они равны. Найдём угол
Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABC равен 92°, угол CAD равен 60°. Найдите угол ABD. Ответ дайте в градусах.
Углы и опираются на одну дугу следовательно, они равны. Найдём угол
Четырёхугольник ABCD со сторонами AB = 25 и CD = 16 вписан в окружность. Диагонали AC и BD пересекаются в точке K, причём ∠AKB = 60°. Найдите радиус окружности, описанной около этого четырёхугольника.
Проведём через точку D прямую, параллельную диагонали AC. Дуги AL и CD равны, следовательно, равны и стягивающие их хорды:
Вертикальные углы AKB и CKD равны. Углы CKD и LDK равны как накрест лежащие:
Четырёхугольник ABDL вписан в окружность, сумма его противолежащих углов равна 180°:
Рассмотрим треугольник ABL. По теореме косинусов
Найдём радиус описанной вокруг треугольника ABL окружности по теореме синусов:
Ответ:
Приведём другое решение.
Передвинем хорду так, чтобы она стала параллельна стороне (см. рисунок). Заметим, что при таком движении угол остаётся равен 60°, поскольку он равен полусумме дуг и Параллельные прямые отсекают равные дуги, поэтому дуги и равны. Углы и равны, как вписанные углы, опирающиеся на равные дуги. Таким образом, треугольник — равнобедренный:
Все углы треугольника равны 60°, следовательно, треугольник значит, Аналогично можно показать, что треугольник — равносторонний, откуда
В треугольнике BDC находим По теореме косинусов:
По теореме синусов:
Приведём другое решение.
Рассмотрим треугольник сумма углов треугольника равна 180°: Углы и являются смежными, следовательно, откуда:
Пусть — радиус описанной окружности, угол обозначим как Рассмотрим треугольник он вписан в окружность, следовательно, по теореме синусов:
Аналогично, из треугольника
Разделим на
Найдём
Таким образом, радиус описанной окружности равен:
Приведем еще одно решение.
Углы ABD и ACD равны, поскольку опираются на одну дугу. Пусть
Будем считать, что 
и 
Углы ABC и ADC прямые, так как AC — диаметр. По теореме Пифагора получаем 
и 
Отсюда следует, что 
то есть 
и 
Это значит, что треугольники ABC и ADC равны по третьему признаку равенства треугольников, поэтому 
Следовательно, CM — биссектриса треугольника DBC, а также его высота и медиана.
поэтому 
Допустим, что 
тогда 
и 
Рассматривая прямоугольные треугольники AMB и ABC, можем записать 
следовательно, 
Аналогично 
поэтому полупериметр четырёхугольника ABCD равен 
Площадь же четырёхугольника ABCD равна 
Искомый радиус вписанной окружности равен 
Допустим, что 
и 
Рассматривая прямоугольные треугольники AMB и ABC, можем записать 
Аналогично 
поэтому полупериметр четырёхугольника ABCD равен 
Площадь же четырёхугольника ABCD равна 
Искомый радиус вписанной окружности равен 
и
или 
(1)
или 
(2)
, следовательно, треугольник ODC – равносторонний. Площадь этого треугольника, равна:
и 
— общий).
и 
опираются на одну дугу 
следовательно, они равны. Найдём угол 
и 
опираются на одну дугу 
так, чтобы она стала параллельна стороне 
(см. рисунок). Заметим, что при таком движении угол 
остаётся равен 60°, поскольку он равен полусумме дуг 
Параллельные прямые отсекают равные дуги, поэтому дуги 
и 
равны. Углы 
и 
равны, как вписанные углы, опирающиеся на равные дуги. Таким образом, треугольник 
— равнобедренный:
Аналогично можно показать, что треугольник 
По теореме косинусов:
сумма углов треугольника равна 180°: 
Углы 
являются смежными, следовательно, 
откуда:
— радиус описанной окружности, угол 
обозначим как 
Рассмотрим треугольник 
он вписан в окружность, следовательно, по теореме синусов:
