Дифференцируемая функция это что

Дифференцируемая функция

Дифференцируемая функция [differentiable function] — функция, имеющая в каждой точке области, на которой она определена, полный дифференциал, а в случае функции одного переменного — производную[1].

Если функция f(x) дифференцируема в точке x, то она и непрерывна в этой точке. Если она дифференцируема в каждой точке некоторого промежутка, то говорят, что она дифференцируема на этом промежутке. Если, кроме того, производная f(x) непрерывна на данном промежутке, то функция f(x) называется непрерывно дифференцируемой на этом промежутке.

[1] Каазик Ю. Математический словарь, Талинн, «Валгус», 1985.

Смотреть что такое «Дифференцируемая функция» в других словарях:

дифференцируемая функция — Функция, имеющая в каждой точке области, на которой она определена, полный дифференциал, а в случае функции одного переменного производную[1]. Если функция f(x) дифференцируема в точке x, то она и непрерывна в этой точке. Если она дифференцируема … Справочник технического переводчика

ДИФФЕРЕНЦИРУЕМАЯ ФУНКЦИЯ — функция, имеющая дифференциал … Математическая энциклопедия

Дифференцируемая функция — Дифференцируемая (в точке) функция это функция, у которой существует дифференциал (в данной точке). Дифференцируемая на некотором множестве функция это функция, дифференцируемая в каждой точке данного множества. Дифференцируемость является… … Википедия

Дифференцируемая функция — в точке (математическая), функция, имеющая дифференциал в этой точке. Для функций одного переменного это требование равносильно существованию производной. См. Дифференциальное исчисление … Большая советская энциклопедия

Непрерывно дифференцируемая функция — Случай функций одной переменной В этом случае непрерывно дифференцируемая функция есть дифференцируемая функция, у которой первая производная непрерывна. Такие функции часто называют гладкими функциями. Рассматривают также дважды непрерывно… … Википедия

ФУНКЦИЯ ДОЖИТИЯ — ФУНКЦИЯ ДОЖИТИЯ, количественная характеристика процесса смертности, функция от возраста, равна вероятности того, что новорождённый доживёт до нек рого точного возраста х лет, где х любое действит. число. В демографич. лит ре обычно обозначается… … Демографический энциклопедический словарь

Вогнутая функция — Функция(её график выделен синим) выпукла тогда и только тогда когда область над её графиком (закрашено зеленым) является выпуклым множеством. В математике функция называется выпуклой (или выпуклой вниз) на некотором интервале (в общем случае на… … Википедия

ЛЯПУНОВА ФУНКЦИЯ — функция, определяемая следующим образов. Пусть х 0 неподвижная точка системы дифференциальных уравнений (т. е. ), где отображение непрерывной непрерывно дифференцируемо по х(здесь U нек рая окрестность точки х 0 в ); в координатах эта система… … Математическая энциклопедия

Квазивыпуклая функция — Квазивыпуклая функция, не являющаяся выпуклой Функция, не являющаяся кваз … Википедия

Производная функция — Производная основное понятие дифференциального исчисления, характеризующее скорость изменения функции. Определяется как предел отношения приращения функции к приращению ее аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю, если таковой предел… … Википедия

Источник

Дифференцирование функции, нахождение производной

Если вам нужно решить задачу, в рамках которой требуется вычислить производную какой-либо функции с одной переменной, советуем внимательно прочесть эту статью. Здесь приводятся общие положения теории дифференцирования, имеющие отношение к вычислению производной. Для этого могут быть использованы разные способы, ведь исходная функция может быть задана явно или неявно, в параметрическом виде, быть элементарной, основной или сложной, значит, в каждой ситуации бывает нужен свой подход.

Таблица дифференцирования функции

Мы собрали всю информацию, которую нужно знать для правильного дифференцирования функции, и представили ее в табличном виде:

Степенная фунция y = x p

y = a x a x ‘ = a x · ln a

В частности, при a = e имеем

log a x ‘ = 1 x · ln a

В частности, при a = e имеем

y = ln x ln x ‘ = 1 x

Производная сложной функции

( f ( g ( x ) ) ) ‘ = f ‘ ( g ( x ) ) · g ‘ ( x )

Производная неявно заданной функции

Производная обратной функции

Обратные тригонометрические функции

Производная параметрически заданной функции

y = f ( x ) y ‘ = y · ( ln ( f ( x ) ) ) ‘

Пояснения таблицы

Содержимое таблицы требует небольших пояснений. Например, в наиболее простом случае для дифференцирования нам пригодится определение производной, т.е. вычисление соответствующего предела. Это действие носит название непосредственного дифференцирования.

Если вам приходится работать с основной элементарной функцией, то следует использовать таблицу основных производных. В ней приводятся все готовые значения, доказанные на основании определения. Это очень удобно, и мы советуем вам держать такую таблицу под рукой.

Источник

Дифференцируемая функция это что

При дифференцировании различают функции по способу их задания: явные, неявные и параметрические.

Производной функции y = f ( x ) по переменной x в некоторой точке называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда последнее стремится к нулю, то есть

Производная характеризует скорость изменения функции в достаточно малой окрестности заданной точки.

Приведем таблицу производных основных элементарных функций (без доказательства), которые рассматриваются нами как функции простые и явно заданные.

Следствие. В точках разрыва функция производной не имеет

Существуют такие точки, в которых функция непрерывна, но не дифференцируема. Так, функция y =| x | в точке x =0 непрерывна, но производной не имеет, так как в этой точке к графику функции можно провести бесконечное множество касательных (рис. 3.6). Такие точки называются угловыми или точками излома функции. Данный случай показывает, что обратное утверждение к теореме 3.9 неверно.

Среди явных функций особое место занимают обратные функции, производная которых находится с помощью следующей теоремы.

Теорема 3.10. Если строго монотонная функция y = f ( x ) дифференцируема на некотором интервале Х, причем ее производная не обращается в нуль на Х, то обратная к ней функция x = φ ( y ) также дифференцируема на этом интервале, при этом:

По определению производной можно записать:

Среди явных функций выделяют класс сложных функций.

Теорема 3.11. Чтобы продифференцировать сложную функцию необходимо сначала продифференцировать внешнюю функцию по внутренней, считая внутреннюю функцию независимой переменной, затем продифференцировать внутреннюю функцию по независимому переменному и результаты дифференцирования перемножить, то есть

Решение. Согласно формуле (3.31) и с учетом табли чных формул (3.17), (3.19), (3.29) имеем:

где t – параметр. Производную такой функции несложно получить:

Пример 3.9. Найти производную функции .

Решение. Согласно формуле (3.32) и с учетом табличных формул (3.18), (3.19) имеем:

Помимо таблицы производных имеют место правила дифференцирования.

Теорема 3.12. Производная суммы двух дифференцируемых функций равна сумме производных этих функций:

Данная теорема может быть обобщена для произвольного конечного числа функций-слагаемых.

Решение. Согласно формулам (3.33) и (3.31) и с учетом табличных формул (3.17), (3.20), (3.23) имеем:

Теорема 3.13. Производная произведения двух дифференцируемых функций равна произведению производной первой функции-сомножителя на вторую функцию плюс произведение первой функции на производную второй функции–сомножителя, то есть

Решение. Согласно формуле (3.34) и с учетом табличных формул (3.22), (3.24) имеем:

Теорема 3.14. Производная частного двух функций равна дроби, у которой знаменатель есть квадрат знаменателя данной дроби, а числитель есть разность между произведением знаменателя на производную числителя и произведением числителя на производную знаменателя, то есть

Решение. Согласно формуле (3.35) и с учетом табличных формул (3.17), (3.29) имеем:

Решение. Согласно формуле (3.31) дифференцирования сложной функции и (3.34) производной произведения, с учетом табличных формул (3.17) и (3.18) имеем:

Дифференциалом функции y = f ( x ) в точке x называется главная часть приращения этой функции, равная произведению производной функции на приращение аргумента:

Формула (3.39) применяется для вычисления приближенных значений функций.

Источник

Дифференцируемость

Оглавление

Действительные функции действительной переменной

Определения

Пояснения

Дифференцируемость следует за непрерывностью : каждая функция, которую можно дифференцировать в одной точке, также непрерывна там. Каждая функция, которую можно дифференцировать в своей области определения, непрерывна. Обратное неверно. Все перечисленные ниже недифференцируемые функции являются непрерывными.

Примеры дифференцируемых функций

Примеры недифференцируемых функций

Поскольку каждая дифференцируемая функция является непрерывной, наоборот, каждая разрывная функция (например, ступенчатая функция или функция Дирихле ) является примером недифференцируемой функции. Но есть также функции, которые непрерывны, но дифференцируемы не везде или не везде.

Корневая функция

Функция суммы

и левая производная

Это типичное поведение для функций, определенных в разделах, где значения функций совпадают на интерфейсах, но не производные. Напротив, графики дифференцируемых функций не имеют изломов.

Третий пример

непрерывна в точке 0, но не дифференцируема (но везде). Следующее относится к коэффициенту разницы в точке 0.

Функция Вейерштрасса

Функция Вейерштрассе названа в честь первооткрывателя

везде постоянна, но нигде не дифференцируема.

Винеровский процесс

Постоянная дифференцируемость и высшие производные

но не является непрерывным в 0.

Сложные функции

Действительные функции нескольких переменных

Частичная дифференцируемость

существует. Итак, вы рассматриваете все переменные, кроме как постоянные, и рассматриваете функцию переменной, полученную таким образом. Икс я <\ displaystyle x_ >

Частичная дифференцируемость не приводит к непрерывности, а только в направлении осей координат.

Производная по направлению

Полная дифференцируемость

Полностью дифференцируемая функция также непрерывна.

В новейшей математической литературе в основном говорят просто о дифференцируемости, а не о полной дифференцируемости. Полная производная также называется дифференциалом.

Связь между различными концепциями дифференцируемости

Инверсии не применяются:

Другое дело, если допустить не только существование, но и непрерывность частных производных.

Поэтому непрерывно частично дифференцируемые функции называют просто непрерывно дифференцируемыми. Здесь тоже не действует обратное:

В целом применимо следующее:

непрерывная частичная дифференцируемость ⇒ полная дифференцируемость ⇒ дифференцируемость по каждому направлению ⇒ частичная дифференцируемость,

однако все обратное неверно.

Примеры

Контрпримеры

Частично дифференцируемые, но не непрерывные и не все производные по направлениям

частично дифференцируема и непрерывна в точке (0,0). Существуют все односторонние производные по направлениям, но кроме координатных направлений, а не двусторонних.

Односторонние, но не двусторонние направленные деривации

Предельное значение существует только с одной стороны, поэтому производные по направлению с обеих сторон не существуют. В частности, функция также не является частично дифференцируемой.

Все производные направления существуют, но не определяют линейное отображение

Здесь существуют все производные по направлениям, для которых применяются частные производные.

Все производные по направлениям существуют и определяют линейное отображение, но не полностью дифференцируемое.

— нулевое отображение, поэтому тривиально линейно.

Полностью дифференцируемый, но не непрерывно частично дифференцируемый

Эта функция моделируется на основе соответствующего примера функции переменной, проверка в основном такая же, как и там.

Отображения между конечномерными векторными пространствами

Функции и отображения в бесконечномерных векторных пространствах

Дифференцируемость по Гато

если предел существует.

Существует несколько несовместимых соглашений для термина дифференцируемость по Гато :

Дифференцируемость по Фреше

Подключения

Дифференцируемые отображения между дифференцируемыми многообразиями

Дифференцируемость образов между дифференцируемыми многообразиями объясняется дифференцируемостью их отображений. Здесь следует исходить из согласованности.

Аналогичным образом определяется комплексная дифференцируемость комплекснозначных функций на комплексных многообразиях и отображений между комплексными многообразиями.

Продление срока

Следующие понятия являются обобщениями дифференцируемости:

Источник

ДИФФЕРЕНЦИРУЕМАЯ ФУНКЦИЯ

Смотреть что такое «ДИФФЕРЕНЦИРУЕМАЯ ФУНКЦИЯ» в других словарях:

Дифференцируемая функция — [differentiable function] функция, имеющая в каждой точке области, на которой она определена, полный дифференциал, а в случае функции одного переменного производную[1]. Если функция f(x) дифференцируема в точке x, то она и непрерывна в этой точке … Экономико-математический словарь

дифференцируемая функция — Функция, имеющая в каждой точке области, на которой она определена, полный дифференциал, а в случае функции одного переменного производную[1]. Если функция f(x) дифференцируема в точке x, то она и непрерывна в этой точке. Если она дифференцируема … Справочник технического переводчика

Дифференцируемая функция — Дифференцируемая (в точке) функция это функция, у которой существует дифференциал (в данной точке). Дифференцируемая на некотором множестве функция это функция, дифференцируемая в каждой точке данного множества. Дифференцируемость является… … Википедия

Дифференцируемая функция — в точке (математическая), функция, имеющая дифференциал в этой точке. Для функций одного переменного это требование равносильно существованию производной. См. Дифференциальное исчисление … Большая советская энциклопедия

Непрерывно дифференцируемая функция — Случай функций одной переменной В этом случае непрерывно дифференцируемая функция есть дифференцируемая функция, у которой первая производная непрерывна. Такие функции часто называют гладкими функциями. Рассматривают также дважды непрерывно… … Википедия

ФУНКЦИЯ ДОЖИТИЯ — ФУНКЦИЯ ДОЖИТИЯ, количественная характеристика процесса смертности, функция от возраста, равна вероятности того, что новорождённый доживёт до нек рого точного возраста х лет, где х любое действит. число. В демографич. лит ре обычно обозначается… … Демографический энциклопедический словарь

Вогнутая функция — Функция(её график выделен синим) выпукла тогда и только тогда когда область над её графиком (закрашено зеленым) является выпуклым множеством. В математике функция называется выпуклой (или выпуклой вниз) на некотором интервале (в общем случае на… … Википедия

ЛЯПУНОВА ФУНКЦИЯ — функция, определяемая следующим образов. Пусть х 0 неподвижная точка системы дифференциальных уравнений (т. е. ), где отображение непрерывной непрерывно дифференцируемо по х(здесь U нек рая окрестность точки х 0 в ); в координатах эта система… … Математическая энциклопедия

Квазивыпуклая функция — Квазивыпуклая функция, не являющаяся выпуклой Функция, не являющаяся кваз … Википедия

Производная функция — Производная основное понятие дифференциального исчисления, характеризующее скорость изменения функции. Определяется как предел отношения приращения функции к приращению ее аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю, если таковой предел… … Википедия

Источник