Дисперсия и сигма в чем отличие

Стандартное отклонение против дисперсии

Стандартное отклонение и отклонение являются статистическими мерами разброса данных, то есть они представляют, насколько сильно отклоняется от среднего или насколько значения обычно «отклоняются&

Содержание:

Стандартное отклонение и отклонение являются статистическими мерами разброса данных, то есть они представляют, насколько сильно отклоняется от среднего или насколько значения обычно «отклоняются» от среднего (среднего). Нулевое отклонение или стандартное отклонение означает, что все значения идентичны.

Сравнительная таблица

Важные концепции

Символы

Формула стандартного отклонения и дисперсии часто выражается следующим образом:

Формулы

Дисперсия набора п равновероятные значения могут быть записаны как:

Формулы с греческими буквами выглядят устрашающе, но это не так сложно, как кажется. Чтобы выразить это простыми шагами:

Это дает дисперсию. Извлеките квадратный корень из дисперсии, чтобы найти стандартное отклонение.

Это отличное видео от Khan Academy объясняет концепции дисперсии и стандартного отклонения:

пример

Допустим, набор данных включает высоту шести одуванчиков: 3 дюйма, 4 дюйма, 5 дюймов, 4 дюйма, 11 дюймов и 6 дюймов.

Сначала найдите среднее значение точек данных: (3 + 4 + 5 + 4 + 11 + 7) / 6 = 5,5

Теперь возведите каждое отклонение в квадрат и найдите их сумму: 6,25 + 2,25 + 0,25 + 2,25 + 30,25 + 2,25 = 43,5.

Теперь разделите сумму квадратов на количество точек данных, в данном случае растений: 43,5 / 6 = 7,25

Таким образом, дисперсия этого набора данных составляет 7,25, что является довольно произвольным числом. Чтобы преобразовать его в реальное измерение, возьмите квадратный корень из 7,25 и найдите стандартное отклонение в дюймах.

Стандартное отклонение составляет около 2,69 дюйма. Это означает, что для образца любой одуванчик в пределах 2,69 дюйма от среднего значения (5,5 дюйма) является «нормальным».

Зачем возводить в квадрат отклонения?

Приложения в реальном мире

Дисперсия выражается как математическая дисперсия. Поскольку это произвольное число по сравнению с исходными измерениями набора данных, его трудно визуализировать и применять в реальном смысле. Нахождение дисперсии обычно является лишь последним шагом перед определением стандартного отклонения. Значения дисперсии иногда используются в финансовых и статистических формулах.

Стандартное отклонение, которое выражается в исходных единицах набора данных, гораздо более интуитивно понятно и ближе к значениям исходного набора данных. Чаще всего он используется для анализа демографических данных или выборок населения, чтобы понять, что в этом населении является нормальным.

Поиск выбросов

Нормальное распределение (кривая Белла) с полосами, соответствующими 1σ

При нормальном распределении около 68% совокупности (или значений) попадают в 1 стандартное отклонение (1σ) от среднего, а около 94% попадают в 2σ. Значения, которые отличаются от среднего на 1,7σ или более, обычно считаются выбросами.

На практике системы качества, такие как «Шесть сигм», пытаются снизить количество ошибок, так что ошибки становятся исключением. Термин «процесс шести сигм» исходит из того, что если имеется шесть стандартных отклонений между средним значением процесса и ближайшим пределом спецификации, практически ни один элемент не будет не соответствовать спецификациям. [1]

Стандартное отклонение выборки

В реальных приложениях используемые наборы данных обычно представляют собой выборки населения, а не целые совокупности. Слегка измененная формула используется, если на основе частичной выборки должны быть сделаны общие выводы.

Используя пример с одуванчиком, эта формула может понадобиться, если мы отобрали только 6 одуванчиков, но хотели бы использовать этот образец для определения стандартного отклонения для всего поля с сотнями одуванчиков.

Источник

Дисперсия, среднеквадратичное (стандартное) отклонение, коэффициент вариации в Excel

Из предыдущей статьи мы узнали о таких показателях, как размах вариации, межквартильный размах и среднее линейное отклонение. В этой статье изучим дисперсию, среднеквадратичное отклонение и коэффициент вариации.

Дисперсия

Дисперсия случайной величины – это один из основных показателей в статистике. Он отражает меру разброса данных вокруг средней арифметической.

Сейчас небольшой экскурс в теорию вероятностей, которая лежит в основе математической статистики. Как и матожидание, дисперсия является важной характеристикой случайной величины. Если матожидание отражает центр случайной величины, то дисперсия дает характеристику разброса данных вокруг центра.

Формула дисперсии в теории вероятностей имеет вид:

То есть дисперсия — это математическое ожидание отклонений от математического ожидания.

На практике при анализе выборок математическое ожидание, как правило, не известно. Поэтому вместо него используют оценку – среднее арифметическое. Расчет дисперсии производят по формуле:

s 2 – выборочная дисперсия, рассчитанная по данным наблюдений,

X – отдельные значения,

X̅– среднее арифметическое по выборке.

Стоит отметить, что у такого расчета дисперсии есть недостаток – она получается смещенной, т.е. ее математическое ожидание не равно истинному значению дисперсии. Подробней об этом здесь. Однако при увеличении объема выборки она все-таки приближается к своему теоретическому аналогу, т.е. является асимптотически не смещенной.

Простыми словами дисперсия – это средний квадрат отклонений. То есть вначале рассчитывается среднее значение, затем берется разница между каждым исходным и средним значением, возводится в квадрат, складывается и затем делится на количество значений в данной совокупности. Разница между отдельным значением и средней отражает меру отклонения. В квадрат возводится для того, чтобы все отклонения стали исключительно положительными числами и чтобы избежать взаимоуничтожения положительных и отрицательных отклонений при их суммировании. Затем, имея квадраты отклонений, просто рассчитываем среднюю арифметическую. Средний – квадрат – отклонений. Отклонения возводятся в квадрат, и считается средняя. Теперь вы знаете, как найти дисперсию.

Расчет дисперсии в Excel

Генеральную и выборочную дисперсии легко рассчитать в Excel. Есть специальные функции: ДИСП.Г и ДИСП.В соответственно.

В чистом виде дисперсия не используется. Это вспомогательный показатель, который нужен в других расчетах. Например, в проверке статистических гипотез или расчете коэффициентов корреляции. Отсюда неплохо бы знать математические свойства дисперсии.

Свойства дисперсии

Свойство 1. Дисперсия постоянной величины A равна 0 (нулю).

Свойство 2. Если случайную величину умножить на постоянную А, то дисперсия этой случайной величины увеличится в А 2 раз. Другими словами, постоянный множитель можно вынести за знак дисперсии, возведя его в квадрат.

Свойство 3. Если к случайной величине добавить (или отнять) постоянную А, то дисперсия останется неизменной.

Свойство 4. Если случайные величины X и Y независимы, то дисперсия их суммы равна сумме их дисперсий.

Свойство 5. Если случайные величины X и Y независимы, то дисперсия их разницы также равна сумме дисперсий.

Среднеквадратичное (стандартное) отклонение

Если из дисперсии извлечь квадратный корень, получится среднеквадратичное (стандартное) отклонение (сокращенно СКО). Встречается название среднее квадратичное отклонение и сигма (от названия греческой буквы). Общая формула стандартного отклонения в математике следующая:

На практике формула стандартного отклонения следующая:

Как и с дисперсией, есть и немного другой вариант расчета. Но с ростом выборки разница исчезает.

Расчет cреднеквадратичного (стандартного) отклонения в Excel

Для расчета стандартного отклонения достаточно из дисперсии извлечь квадратный корень. Но в Excel есть и готовые функции: СТАНДОТКЛОН.Г и СТАНДОТКЛОН.В (по генеральной и выборочной совокупности соответственно).

Среднеквадратичное отклонение имеет те же единицы измерения, что и анализируемый показатель, поэтому является сопоставимым с исходными данными.

Коэффициент вариации

Значение стандартного отклонения зависит от масштаба самих данных, что не позволяет сравнивать вариабельность разных выборках. Чтобы устранить влияние масштаба, необходимо рассчитать коэффициент вариации по формуле:

По нему можно сравнивать однородность явлений даже с разным масштабом данных. В статистике принято, что, если значение коэффициента вариации менее 33%, то совокупность считается однородной, если больше 33%, то – неоднородной. В реальности, если коэффициент вариации превышает 33%, то специально ничего делать по этому поводу не нужно. Это информация для общего представления. В общем коэффициент вариации используют для оценки относительного разброса данных в выборке.

Расчет коэффициента вариации в Excel

Расчет коэффициента вариации в Excel также производится делением стандартного отклонения на среднее арифметическое:

Коэффициент вариации обычно выражается в процентах, поэтому ячейке с формулой можно присвоить процентный формат:

Коэффициент осцилляции

Еще один показатель разброса данных на сегодня – коэффициент осцилляции. Это соотношение размаха вариации (разницы между максимальным и минимальным значением) к средней. Готовой формулы Excel нет, поэтому придется скомпоновать три функции: МАКС, МИН, СРЗНАЧ.

Коэффициент осцилляции показывает степень размаха вариации относительно средней, что также можно использовать для сравнения различных наборов данных.

Таким образом, в статистическом анализе существует система показателей, отражающих разброс или однородность данных.

Ниже видео о том, как посчитать коэффициент вариации, дисперсию, стандартное (среднеквадратичное) отклонение и другие показатели вариации в Excel.

Источник

Стандартное отклонение

Стандартное отклонение (англ. Standard Deviation) — простыми словами это мера того, насколько разбросан набор данных.

Вычисляя его, можно узнать, являются ли числа близкими к среднему значению или далеки от него. Если точки данных находятся далеко от среднего значения, то в наборе данных имеется большое отклонение; таким образом, чем больше разброс данных, тем выше стандартное отклонение.

Стандартное отклонение обозначается буквой σ (греческая буква сигма).

Стандартное отклонение также называется:

Использование и интерпретация величины среднеквадратического отклонения

Стандартное отклонение используется:

Рассмотрим два малых предприятия, у нас есть данные о запасе какого-то товара на их складах.

В обеих компаниях среднее количество товара составляет 20 единиц:

Однако, глядя на цифры, можно заметить:

Если рассчитать стандартное отклонение каждой компании, оно покажет, что

Стандартное отклонение показывает эту волатильность данных — то, с каким размахом они меняются; т.е. как сильно этот запас товара на складах компаний колеблется (поднимается и опускается).

Расчет среднеквадратичного (стандартного) отклонения

Формулы вычисления стандартного отклонения

Разница между формулами S и σ («n» и «n–1»)

Состоит в том, что мы анализируем — всю выборку или только её часть:

Как рассчитать стандартное отклонение?

Пример 1 (с σ)

Рассмотрим данные о запасе какого-то товара на складах Предприятия Б.

Если значений выборки немного (небольшое n, здесь он равен 4) и анализируются все значения, то применяется эта формула:

Применяем эти шаги:

1. Найти среднее арифметическое выборки:

μ = (15 + 26 + 15+ 24) / 4 = 20

2. От каждого значения выборки отнять среднее арифметическое:

3. Каждую полученную разницу возвести в квадрат:

4. Сделать сумму полученных значений:

5. Поделить на размер выборки (т.е. на n):

6. Найти квадратный корень:

Пример 2 (с S)

Задача усложняется, когда существуют сотни, тысячи или даже миллионы данных. В этом случае берётся только часть этих данных и анализируется методом выборки.

У Андрея 20 яблонь, но он посчитал яблоки только на 6 из них.

Популяция — это все 20 яблонь, а выборка — 6 яблонь, это деревья, которые Андрей посчитал.

Так как мы используем только выборку в качестве оценки всей популяции, то нужно применить эту формулу:

Математически она отличается от предыдущей формулы только тем, что от n нужно будет вычесть 1. Формально нужно будет также вместо μ (среднее арифметическое) написать X ср.

Применяем практически те же шаги:

1. Найти среднее арифметическое выборки:

Xср = (9 + 2 + 5 + 4 + 12 + 7) / 6 = 39 / 6 = 6,5

2. От каждого значения выборки отнять среднее арифметическое:

X1 – Xср = 9 – 6,5 = 2,5

X2 – Xср = 2 – 6,5 = –4,5

X3 – Xср = 5 – 6,5 = –1,5

X4 – Xср = 4 – 6,5 = –2,5

X5 – Xср = 12 – 6,5 = 5,5

X6 – Xср = 7 – 6,5 = 0,5

3. Каждую полученную разницу возвести в квадрат:

4. Сделать сумму полученных значений:

Σ (Xi – Xср)² = 6,25 + 20,25+ 2,25+ 6,25 + 30,25 + 0,25 = 65,5

5. Поделить на размер выборки, вычитав перед этим 1 (т.е. на n–1):

(Σ (Xi – Xср)²)/(n-1) = 65,5 / (6 – 1) = 13,1

6. Найти квадратный корень:

S = √((Σ (Xi – Xср)²)/(n–1)) = √ 13,1 ≈ 3,6193

Дисперсия и стандартное отклонение

Стандартное отклонение равно квадратному корню из дисперсии (S = √D). То есть, если у вас уже есть стандартное отклонение и нужно рассчитать дисперсию, нужно лишь возвести стандартное отклонение в квадрат (S² = D).

Дисперсия — в статистике это «среднее квадратов отклонений от среднего». Чтобы её вычислить нужно:

Ещё расчёт дисперсии можно сделать по этой формуле:

Правило трёх сигм

Это правило гласит: вероятность того, что случайная величина отклонится от своего математического ожидания более чем на три стандартных отклонения (на три сигмы), почти равна нулю.

Глядя на рисунок нормального распределения случайной величины, можно понять, что в пределах:

Это означает, что за пределами остаются лишь 0,28% — это вероятность того, что случайная величина примет значение, которое отклоняется от среднего более чем на 3 сигмы.

Стандартное отклонение в excel

Вычисление стандартного отклонения с «n – 1» в знаменателе (случай выборки из генеральной совокупности):

1. Занесите все данные в документ Excel.

2. Выберите поле, в котором вы хотите отобразить результат.

3. Введите в этом поле «=СТАНДОТКЛОНА(«

4. Выделите поля, где находятся данные, потом закройте скобки.

5. Нажмите Ввод (Enter).

В случае если данные представляют всю генеральную совокупность (n в знаменателе), то нужно использовать функцию СТАНДОТКЛОНПА.

Коэффициент вариации

Коэффициент вариации — отношение стандартного отклонения к среднему значению, т.е. Cv = (S/μ) × 100% или V = (σ/X̅) × 100%.

Стандартное отклонение делится на среднее и умножается на 100%.

Можно классифицировать вариабельность выборки по коэффициенту вариации:

Источник

Стандартное отклонение против дисперсии: в чем разница?

Опубликовано 05.06.2021 · Обновлено 05.06.2021

Стандартное отклонение и дисперсия – это основные математические концепции, которые играют важную роль во всем финансовом секторе, включая области бухгалтерского учета, экономики и инвестирования. В последнем случае, например, твердое понимание расчета и интерпретации этих двух измерений имеет решающее значение для создания эффективной торговой стратегии.

Стандартное отклонение и дисперсия определяются с использованием среднего значения группы рассматриваемых чисел. Среднее значение – это среднее значение группы чисел, а дисперсия измеряет среднюю степень, в которой каждое число отличается от среднего. Степень дисперсии коррелирует с размером общего диапазона чисел – это означает, что дисперсия больше, когда диапазон чисел в группе более широкий, и дисперсия меньше, когда диапазон чисел более узкий.

Ключевые выводы

Стандартное отклонение

Стандартное отклонение – это статистика, которая определяет, насколько далеко от среднего находится группа чисел, с помощью квадратного корня из дисперсии. При вычислении дисперсии используются квадраты, потому что они больше взвешивают выбросы, чем данные, близкие к среднему. Этот расчет также не позволяет разницам выше среднего уравнять те, что ниже, что приведет к нулевой дисперсии.

Стандартное отклонение рассчитывается как квадратный корень из дисперсии путем вычисления отклонения между каждой точкой данных относительно среднего значения. Если точки находятся дальше от среднего значения, в пределах даты имеется большее отклонение; если они ближе к среднему, то отклонение меньше. Таким образом, чем шире группа чисел, тем выше стандартное отклонение.

Дисперсия

Дисперсия – это среднее значение квадратов отличий от среднего. Чтобы вычислить дисперсию, сначала вычислите разницу между каждой точкой и средним значением; затем возведите в квадрат и усредните результаты.

Например, если группа чисел находится в диапазоне от 1 до 10, среднее значение будет 5,5. Если возвести разницу между каждым числом и средним значением, а затем найти их сумму, результат будет 82,5. Чтобы вычислить дисперсию, разделите сумму 82,5 на N-1, который равен размеру выборки (в данном случае 10) минус 1. В результате получится дисперсия 82,5 / 9 = 9,17. Стандартное отклонение – это квадратный корень из дисперсии, поэтому стандартное отклонение составляет около 3,03.

Из-за этого возведения в квадрат дисперсия больше не находится в той же единице измерения, что и исходные данные. Выявление корня из дисперсии означает, что стандартное отклонение восстанавливается до исходной единицы измерения и, следовательно, его гораздо легче интерпретировать.

Стандартное отклонение и дисперсия при инвестировании

Для трейдеров и аналитиков эти две концепции имеют первостепенное значение, поскольку они используются для измерения безопасности и волатильности рынка, что, в свою очередь, играет большую роль в создании прибыльной торговой стратегии.

Стандартное отклонение – один из ключевых методов, используемых аналитиками, управляющими портфелями и консультантами для определения риска. Когда группа чисел ближе к среднему, вложение менее рискованно; когда группа чисел дальше от среднего, инвестиции представляют больший риск для потенциального покупателя.

Ценные бумаги, которые близки к своим средствам, считаются менее рискованными, поскольку они с большей вероятностью будут продолжать вести себя как таковые. Ценные бумаги с большими торговыми диапазонами, которые имеют тенденцию к резкому скачку или изменению направления, более рискованны. При инвестировании риск сам по себе не является плохой вещью, поскольку чем рискованнее безопасность, тем больше вероятность выплаты.

Стандартное отклонение и дисперсия – два разных математических понятия, которые тесно связаны. Дисперсия необходима для расчета стандартного отклонения. Эти числа помогают трейдерам и инвесторам определять волатильность инвестиций и, следовательно, позволяют им принимать обоснованные торговые решения.

Источник

Разница между дисперсией и стандартным отклонением

Дисперсия указывает на степень отклонения наблюдений от соответствующей меры центральной тенденции. Меры дисперсии делятся на две категории: абсолютная мера дисперсии и относительная мера дисперсии. Д

Содержание

Сравнительная таблица

Определение дисперсии

В статистике дисперсия определяется как мера изменчивости, которая показывает, насколько далеко разбросаны члены группы. Он определяет среднюю степень отклонения каждого наблюдения от среднего. Когда дисперсия набора данных мала, это показывает близость точек данных к среднему значению, тогда как большее значение дисперсии означает, что наблюдения сильно разбросаны вокруг среднего арифметического и друг от друга.
Для несекретных данных:

Для сгруппированного частотного распределения:

Определение стандартного отклонения

Ключевые различия между дисперсией и стандартным отклонением

Разницу между стандартным отклонением и дисперсией можно четко определить по следующим причинам:

Иллюстрация

По пяти предметам студент набрал 60, 75, 46, 58 и 80 баллов соответственно. Вы должны узнать стандартное отклонение и дисперсию.
Прежде всего, вы должны узнать среднее,

Таким образом, средний (средний) балл составляет 63,8.
Теперь вычислите дисперсию

Где, X = Наблюдения
A = среднее арифметическое

Таким образом, дисперсия составляет 150,56.

Сходства

Вывод

Это два основных статистических термина, которые играют жизненно важную роль в разных секторах. Стандартное отклонение предпочтительнее среднего, поскольку оно выражается в тех же единицах, что и измерения, в то время как дисперсия выражается в единицах, больших, чем данный набор данных.

Источник