Длина отрезка выражается дробью p q что это значит

В определении суммы рациональных чисел мы использовали их представления в виде дробей с одинаковыми знаменателями. Если же числа а и b представлены дробями с различными знаменателями, то сначала надо привести их к одному знаменателю, а затем применять правило (1).

Сложение положительных рациональных чисел коммутативно и ассоциативно,

( a, b Q₊) а + b = b + а;

( а, b, с Q₊) (а + b) + с = а (b + с).

Прежде чем сформулировать определение умножения положительных рациональных чисел, рассмотрим следующую задачу: известно, что длина отрезка X выражается дробью при единице длины Е, а длина единичного отрезка измерена при помощи единицы Е₁ и выражается дробью . Как найти число, которым будет представлена длина отрезка X, если измерить ее при помощи единицы длины Е₁?

, а значит · = , т.е. умножение дробей связано с переходом от одной единицы длины к другой при измерении длины одного и того же отрезка.

Таким образом, по определению, · = (2).

Можно доказать, что при замене дробей и , представляющих числа а и b, равными им дробями, дробь заменяется равной ей дробью. Поэтому произведение чисел а и b не зависит от выбора представляющих их дробей.

Умножение положительных рациональных чисел коммутативно, ассоциативно и дистрибутивно относительно сложения и вычитания. Доказательство этих свойств основывается на определении умножения и сложения положительных рациональных чисел, а также на соответствующих свойствах сложения и умножения натуральных чисел.

Определение сложения положительных рациональных чисел дает возможность определить отношение «меньше» на множестве Q₊.

В этом же случае считают, что число а больше числа b. Пишут b b.

Так определенное отношение «меньше» обладает рядом свойств, которые мы приводим без доказательства.

1. Отношение «меньше» на множестве Q₊ антисимметрично и транзитивно, т.е. является отношением порядка, а множество Q₊ упорядоченным множеством.

2. Если рациональные числа а и b представлены дробями и (т.е. дробями, имеющими одинаковые знаменатели), то а

Дата добавления: 2017-06-02 ; просмотров: 2276 ; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ

Источник

Алгебра. 7 класс

Конспект урока

Длина отрезка. Координатная ось

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:

• Действительное число как мера длины отрезка.

• Точки с действительными координатами на числовой оси.

• Сравнение действительных чисел на числовой оси.

Измерение длины отрезка – это сравнение длины отрезка с выбранной единицей измерения.

Длиной отрезка называется положительная величина, определённая для каждого отрезка. Любой отрезок имеет определённую длину, большую нуля.

Для каждого положительного действительного числа существует отрезок, длина которого выражается этим числом.

Отрезок, принятый за единицу измерения, называется единичным отрезком.

Прямую, на которой выбрано начало отсчета, положительное направление и единичный отрезок, называют координатной осью.

Координатой точки Р, лежащей на оси Ох, называется действительное число х = ±ОР, взятое со знаком «плюс», если точка Р лежит на положительной полуоси, и со знаком «минус», если эта точка лежит на отрицательной полуоси (где ОР означает длину отрезка ОР).

1. Никольский С. М. Алгебра: 7 класс. // Никольский С. М., Потапов М. К., Решетников Н. Н., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 287 с.

1. Чулков П. В. Алгебра: тематические тесты 7 класс. // Чулков П. В. – М.: Просвещение, 2014 – 95 с.

2. Потапов М. К. Алгебра: дидактические материалы 7 класс. // Потапов М. К., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 96 с.

3. Потапов М. К. Рабочая тетрадь по алгебре 7 класс: к учебнику С. М. Никольского и др. «Алгебра: 7 класс». 1, 2 ч. // Потапов М. К., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 160 с.

Теоретический материал для самостоятельного изучения.

Рассмотрим несколько примеров измерения длины отрезка.

За единицу измерения возьмём 1 дм.

Длина отрезка АВ = 2 дм

Это значит, что на отрезке АВ укладывается ровно 2 дм.

Пусть длина отрезка АВ будет > 2дм, например, 2,1 дм

Пусть следующий отрезок имеет длину 2,14 дм.

Можно указать, что длина отрезка АВ ≈ 2,1дм с точностью до 0,1дм с недостатком.

Далее можно рассматривать отрезок

АВ ≈ 2,14 дм с точность до 0,01 и т.д.

В таких случаях длина отрезка АВ может быть выражена приближённо. Точное значение длины отрезка АВ выражается бесконечной десятичной дробью: AB = a₀, a₁, a₂, a₃… Говорят, что отрезок AB имеет длину a, где a = a₀, a₁, a₂, a₃…

Если задан единичный отрезок, то произвольный отрезок АВ имеет длину, равную некоторому положительному действительному числу а.

Верно обратное утверждение:

если задано любое положительное действительное число а, то можно указать отрезок АВ, длина которого равна этому числу.

Далее зададим прямую, на которой выбрано положительное направление, начальная точка отсчета О и единичный отрезок.

Её называют координатной осью.

Точка О делит координатную ось на два луча. Один из них, идущий от точки О в положительном направлении, называют положительной полуосью, другой – отрицательной полуосью.

Каждой точке координатной оси поставим в соответствие действительное число х по следующему правилу:

начальной точке поставим в соответствие число ноль;

точке А, если она находится на положительном луче, поставим в соответствие число х, равное длине отрезка ОА.

Точке В, если она находится на отрицательном луче, поставим в соответствие отрицательное число х, равное длине отрезка ОВ, взятой со знаком «–».

На рисунке изображена координатная ось ОХ, где О – начало отсчёта.

• каждой точке оси соответствует действительное число – координата этой точки;

• две различные точки А и В оси имеют разные координаты х1 и х2;

• каждое действительное число есть координата некоторой точки оси.

Это означает, что установлено взаимно – однозначное соответствие между точками оси и действительными числами.

Замечание: ранее на координатной прямой нами рассматривались точки, имеющие рациональные координаты. Теперь каждой точке соответствует действительное число.

Разбор решения заданий тренировочного модуля

Задача 1. Длина отрезка

Найдите: длину АВ, координату точки С – середины АВ.

1. Чтобы найти длину отрезка надо из большей координаты вычесть меньшую, т.е. 2,6 – (-3,8) = 2,6 + 3,8 = 6,4

Задача 2. Координатная ось.

Дано: на координатной оси расположены точки a, b, c.

Число a больше b, т.к. оно правее.

Число c меньше a, значит, разность отрицательная, т.е.

Источник

Математика. 6 класс

Конспект урока

Перечень рассматриваемых вопросов:

Отрезок – это часть прямой, ограниченная двумя точками.

Длина отрезка – это расстояние между его концами.

Измерение длины отрезка – это сравнение длины отрезка с выбранной единицей измерения.

Длиной отрезка называется положительная величина, определённая для каждого отрезка.

Любой отрезок имеет определённую длину, большую нуля.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Отрезок – это часть прямой, ограниченная двумя точками.

Как отрезки обозначаются на чертежах?

Отрезок можно обозначить двумя заглавными буквами – отрезок АВ. Или можно обозначить отрезок одной строчной буквой – отрезок с.

Любой отрезок имеет определённую длину, большую нуля.

Длина может быть выражена натуральным или дробным числом.

Измерить отрезок – значит найти его длину.

Длина отрезка – это расстояние между его концами.

Свойства длин отрезков:

– равные отрезки имеют равные длины;

– если отрезок состоит из двух отрезков, то его длина равна сумме длин его частей.

Эти свойства длины отрезка используются при её измерении. Чтобы измерить длину отрезка, нужно выбрать единицу длины.

Такой единицей может быть длина произвольного отрезка. В мультфильме «38 попугаев» герои измеряли длину удава в попугаях.

Для определения длины отрезка надо узнать, сколько раз в данном отрезке помещается выбранная единица измерения.

Можно сравнивать длины отрезков, не имея под рукой линейки. Например, прикладывать к отрезкам один и тот же карандаш, ластик или использовать циркуль. Для этого нужно установить иглу в начало отрезка, провести дугу, пересекающую отрезок, затем, не меняя расстояния между иглой и карандашом циркуля, переставить иглу в точку пересечения и повторить действия.

В десятичной системе мер единицами измерения длины являются 1 мм, 1 см, 1 дм, 1 м и т. д.

Рассмотрим несколько примеров измерения длины отрезка. Измерения небольших отрезков удобно производить с помощью линейки.

Прикладываем линейку так, чтобы один конец отрезка совместился с нулём. Единичный отрезок 1 см отложился 7 раз, значит, длина отрезка АВ = 7 см.

Если единичный отрезок 1 см отложился n раз, и осталась часть меньшая 1 см, то откладываем отрезки равные 1/10 см. Длина отрезка СD = 8,7 см.

При необходимости можно продолжить откладывать по 1/100 части единичного отрезка и т. д.

Алгоритм измерения длины отрезков:

– выбрать какой-либо отрезок и принять его за единицу длины;

– от одного из концов отрезка отложить последовательно отрезки, равные единичному;

– если единичные отрезки отложились n раз и конец последнего совпал с концом измеряемого отрезка, то значение его длины равно n единиц длины;

– если отрезок или его часть меньше единичного отрезка, то нужно отложить отрезки, равные 1/10 части единичного отрезка;

– если десятые части единичного отрезка отложились ровно n раз, то длина измеряемого отрезка есть конечная десятичная дробь, в которой целая часть равна количеству целых единичных отрезков, а после запятой в разряде десятых стоит количество десятых частей единичного отрезка;

– при необходимости можно откладывать 1/100 часть единичного отрезка и т. д.

Таким образом, для каждого положительного действительного числа существует отрезок, длина которого выражается этим числом.

И для каждого положительного действительного числа существует отрезок, длина которого выражается этим числом.

На практике используют приближённое значение длин отрезков, например, с точностью 1/10 или 1/100 части единичного отрезка, но точность приближения зависит от поставленной задачи.

Рассмотрим фигуры, составленные из отрезков.

Возьмем на плоскости несколько точек и соединим их отрезками. Если никакие два из этих отрезков, имеющих общие точки, не лежат на одной прямой, то линию называют ломаной.

Отрезки, из которых состоит ломаная, называются звеньями, а концы этих отрезков – вершинами ломаной.

Длина ломаной – это сумма длин всех её звеньев.

Если концы ломаной совпадают, то такая ломаная называется замкнутой.

Замкнутая ломаная линия, у которой звенья не пересекаются между собой, называется многоугольником.

Периметр многоугольника равен сумме длин всех его сторон.

Разбор заданий тренировочного модуля

Тип 1. Ввод с клавиатуры пропущенных элементов в тексте.

Впишите верный ответ.

Точка P лежит на отрезке AB. Известно, что отрезок AP больше отрезка PB на 3,6 см, а отрезок AB = 10,4 см. Найдите длину отрезка PB.

Пусть PB = x, тогда AP = x + 3,6 см.

По условию AB = 10,4 см.

Если отрезок состоит из двух отрезков, то его длина равна сумме длин его частей.

Составим и решим уравнение:

Значит, длина отрезка PB = 3,4 см.

Тип 2. Множественный выбор

Выберите верные ответы.

Известно, что отрезок AС = 3,6 см, а отрезок BС = 7,5 см. Найдите длину отрезка АB, если все три точки лежат на одной прямой.

Варианты ответов: 3,9; 11,1; 4,8; 13,2; 16,5; 2,9.

Первый вариант решения

В этом случае АВ = АС + ВС = 3,6 + 7,5 = 11,1 (см).

АВ = ВС – АС = 7,5 – 3,6 = 3,9 (см).

Значит, длина отрезка АВ может быть равна 11,1 см или 3,9 см. Выбираем эти варианты.

Источник

Понятие дроби

В общем виде понятие дроби определяют так.

Пусть даны отрезок х и единичный отрезок е, длина которого Е. Если отрезок х состоит из т отрезков, равных n-ой части отрезка е, то длина отрезка х может быть представлена в виде , где символ называют дробью (и читают «эм энных»).

В записи дроби числа m и n – натуральные, m называется числителем, n – знаменателем дроби.

Дробь называется правильной, если ее числитель меньше знаменателя, и неправильной, если ее числитель больше знаменателя или равен ему.

Вообще длина одного и того же отрезка х при заданном единичном отрезке е может выражаться различными дробями, причем, если длина выражена дробью , то она может быть выражена и любой дробью вида , где k – натуральное число.

Для того чтобы дроби и выражали длину одного и того же отрезка, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось равенство mq = np.

Две дроби и называются равными, если mq = np.

Если дроби равны, то пишут = .

Задача 45. Установить, равны ли дроби: а) и ; б) и .

Решение. а) = , так как 17×21 = 119×3=357;

б) ≠ , так как 17 × 27 = 459, 19 × 23 = 437 и 459 ≠437.

Из определения равных дробей вытекает основное свойство дроби. Напомним его.

Если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же натуральное число, то получится дробь, равная данной.

На этом свойстве основано сокращение дробей и приведение дробей к общему знаменателю.

Сокращение дробей – это замена данной дроби другой, равной данной, но с меньшим числителем и знаменателем.

Если числитель и знаменатель дроби одновременно делятся только на единицу, то дробь называют несократимой.

Задача 46. Установить, является ли несократимой дробь:

а) ; б) .

Решение. а) – несократимая дробь, так как ее числитель и знаменатель делятся одновременно только на единицу, т.е. D(15; 34) = 1;

б) – сократимая дробь, так как ее числитель и знаменатель делятся одновременно на 12 = D(24; 36).

Приведение дроби к общему знаменателю – это замена данных дробей равными им дробями, имеющими одинаковые знаменатели. Общим знаменателем двух дробей и является общее кратное чисел n и q, а наименьшим общим знаменателем – их наименьшее кратное K(n,q).

Задача 47. Привести дроби к наименьшему общему знаменателю.

Решение. Разложим числа 15 и 35 на простые множители: 15 = 3 × 5, 35 = 5 × 7. Тогда К(15; 35) = 3 × 5 × 7 = 105. Поскольку 105 = 15 × 7 = 35 × 3, то , .

Упражнения для самостоятельной работы

1. Как установить, равны ли дроби: а) и ; б) и ?

2. Приведите дроби к наименьшему общему знаменателю:

а) и ; б) и ; в) и .

3. Найдите несократимую дробь, равную следующей:

а) ; б) ; в) ; г) ; д) .

Источник