Для чего конструкторы применяют секущие плоскости

Метод плоскостей | AutoCAD

В этом уроке рассмотрим одну из самых распространенных задач начертательной геометрии – построение пересечения поверхностей методом секущих плоскостей и способ ее решения средствами AutoСАD.

Метод секущих плоскостей, немного теории

Вкратце суть метода секущих плоскостей состоит в том, что для построения линии пересечения двух поверхностей строятся вспомогательные плоскости (обычно – параллельные одной из плоскостей проекций), которые пересекают заданные поверхности, образуя при этом простые геометрические фигуры.

Точки взаимного пересечения заданных поверхностей будут общими точками двух кривых, образованных пересечением секущей плоскости с каждой из поверхностей.

Условия задачи

Зададим условия: пусть необходимо построить пересечение полусферы и конуса, расположенных таким образом:

Размеры показаны для наглядности, проставлять их на чертеже не нужно.

Решение

Строим секущие плоскости, вид с боку

Очевидно, что для тел вращения удобно использовать плоскости, перпендикулярные осям этих тел. В нашем случае вспомогательные плоскости будут параллельными горизонтальной плоскости. Изобразим их на фронтальном виде (в нашем случае верхняя из плоскостей проходит через явно видимую верхнюю точку пересечения конуса и полусферы, в других случаях для нахождения этой точки потребуются дополнительные построения):

Секущие плоскости, вид сверху

Теперь перенесем линии пересечения секущих плоскостей с каждой из поверхностей на вид сверху. Очевидно, что горизонтальные плоскости пересекают каждое из тел по окружностям, центры которых находятся на одной вертикали с центрами тел. Радиусы этих окружностей легко переносятся на вид сверху с образующих каждой поверхности. Вот эти окружности для полусферы:

Точки пересечения секущих плоскостей

Отметим для наглядности общие точки для каждой из пар окружностей, образованных одной плоскостью:

Видно, что в районе верхней точки построение недостаточно «информативно», т.е. будет полезным построить еще одну секущую плоскость:

Вот еще две точки, заданные этой плоскостью:

Линия пересечения

Соединив на виде сверху полученные точки сплайном (команда Сплайн), мы получим приближенную линию пересечения двух поверхностей:

Остается перенести линию на фронтальный вид. Сделать это совсем несложно: нужно перенести каждую из точек с вида сверху на соответствующую секущую плоскость на фронтальном виде. Линии построения выделены желтым цветом:

Поскольку исходные поверхности (и, соответственно, линия их пересечения) симметричны относительно плоскости, параллельной фронтальной плоскости проекции, достаточно перенести только половину точек. В нашем частном случае невидимая на фронтальном виде часть кривой «спрятана» за видимой, а верхняя точка является точкой разделения видимой и невидимой частей.

Проверка вида линии пересечения

Резюме

Как видим, наше построение довольно точно передает реальную линию пересечения поверхностей вращения. И хотя современные средства моделирования позволяют строить такие пересечения гораздо быстрее, рассмотренные нами принципы очень полезны для понимания «механики» геометрических построений, без которого любой, даже самый современный инструмент 3D-моделирования превращается в сложную и непонятную игрушку.

Источник

Применение способа секущих плоскостей

Пример 1. Построить проекции линии пересечения двух заданных поверхностей – наклонного и прямого цилиндра (Рисунок 1.8).

Так как одна поверхность (прямой цилиндр) горизонтально-проецирующая, то горизонтальная проекция линии пересечения будет совпадать с горизонтальной проекцией цилиндра. Поэтому решение сводится к построению только фронтальной проекции линии пересечения, которая имеет два участка.

Для нахождения ближних точек С и С / проводим плоскость Z, параллельную фронтальной плоскости П₂ (она задана горизонтальным следом Z₁) (рисунок 1.10). Плоскость Z пересекает прямой цилиндр по образующим 5 и 6, а наклонный цилиндр – по образующей 7. Пересечения фронтальных проекций 5,6 и 7 указывают положение фронтальных проекций точек С₂, С / ₂ (С₂ =5₂∩7₂, С / ₂ =6₂∩7₂).

Рисунок 1.8 – Чертеж к примеру 1 выполнению задания 1.3

Рисунок 1.10 – Построение ближних точек С и С /

Для нахождения дальних точек D и D / (точки D и D / также являются и очерковыми) проводим плоскость K, параллельную фронтальной плоскости П₂ (она задана горизонтальным следом K₁) (рисунок 1.11). Плоскость K пересекает прямой цилиндр по образующим 8 и 9, а наклонный цилиндр – по образующей 10. Пересечения фронтальных проекций 8,9 и 10 указывают положение фронтальных проекций точек D₂, D / ₂ (D₂ =8₂∩10₂, D / ₂ =9₂∩10₂).

3. Соединим одноименные проекции этих точек плавными линиями по лекалу, предварительно установив видимые и невидимые ее части. Затем контурные линии поверхностей обводят сплошной основной линией, сохраняя линии построения в тонких линиях (рисунок 1.13).

Рисунок 1.11 – Построение дальних точек D и D /

Рисунок 1.13 – Результат построения проекций линии пересечения поверхностей (к примеру 1)

Пример 2. Построить линии пересечения поверхностей конуса и сферы (рисунок 1.14).

В этом случае ни одна из проекций ни одного из данных поверхностей не совпадает полностью или частично с проекциями искомой линии пересечения. Мы не можем исходить из того, что положение проекций ее точек нам известно. Поэтому здесь используется общий прием построения точек взаимного пересечения поверхностей, а именно введение вспомогательных секущих плоскостей, пересекающих каждую из заданных поверхностей по заданным линиям, и определение точек, общих для этих поверхностей, в пересечении линий, полученных на них.

1. Построение высшей А и низшей В точек. Для нахождения высшей А и низшей В точек введем общую плоскость симметрии Р: она проходит через ось конуса и через центр сферы С. Плоскость Р пересекает поверхность конуса по образующим (S1), а поверхность сферы по окружности. Повернув плоскость Р вместе с полученными в ней линиями вокруг оси конуса до положения, параллельного с плоскостью проекций П₂, получим точки А / ₂ и В / ₂, а по ним сначала А₂ и В₂, затем А₁ и В₁ (Рисунок 1.15).

3. Построение точек Е,F на экваторе сферы. Для построения точек Е,F на экваторе сферы вводим горизонтальную секущую плоскость Ф. Она пересекает конус по окружности радиуса S₁3₁. Пересечения экватора (окружности радиуса С₁4₁) с окружностью радиуса S₁3₁ указывают положение горизонтальных проекций точек Е₁,F₁ (рисунок 1.17).

4. Построение промежуточных точек G,H,K,L,M,N. Для построения промежуточных точек вводим секущие плоскости, параллельные фронтальной плоскости проекций П₂ (рисунок 1.18). Каждая такая плоскость пересекает поверхности конуса и сферы по окружностям.

Плоскость Х пересекает конус по окружности с радиусом S₁5₁, а сферу – по окружности радиуса С₁6₁. Пересечение указанных окружностей указывает положение точек G,H.

Плоскость Y пересекает конус по окружности с радиусом S₁7₁, а сферу – по окружности радиуса С₁8₁. Пересечение указанных окружностей указывает положение точек K,L.

Плоскость О пересекает конус по окружности с радиусом S₁9₁, а сферу – по окружности радиуса С₁10₁. Пересечение указанных окружностей указывает положение точек M,N.

5. Соединим одноименные проекции этих точек плавными кривыми (рисунок 1.19).

Рисунок 1.14 –Чертеж к примеру 2 выполнения задания 1.3

Рисунок 1.15 – Построение высшей А и низшей В точек

Рисунок 1.16 – Построение очерковых точек D и D /

Рисунок 1.17 – Построение точек Е,F на экваторе сферы

Рисунок 1.18 – Построение промежуточных точек G,H,K,L,M,N

Рисунок 1.19 – Результат построения проекций линии пересечения поверхностей (к примеру 2)

Применение способа секущей сферы.Этот способ можно применять в том случае, если пересекаются две поверхности вращения и их оси пересекаются и расположены параллельно какой-либо плоскости проекций.

Пример 3. Определить линию пересечения двух поверхностей вращения с пересекающимися осями (Рисунок 1.20).

Соединив одноименные проекции точек плавными кривыми, получим проекции линии пересечения двух поверхностей вращения (Рисунок 1.22).

Рисунок 1.20 – Чертеж к примеру 3 выполнения задания 1.3

Рисунок 1.21 – Результат построения очерковых A, B, C, D и промежуточных точек E,E / и F,F /

Рисунок 1.22 – Результат построения построение точек G₂,G / ₂ и H₂,H / ₂ и проекций линии пересечения двух поверхностей вращения способом секущих сфер

Варианты задания 1.3 (эпюра 2) приведены в таблице 1.4.

Таблица 1.4 – Варианты задания 1.3 (эпюра 2)

Источник

Пересечение поверхностей. Метод секущих плоскостей

Пересечение поверхностей. Метод секущих сфер.

Для определения линии пересечения двух произвольных поверхностей вращения целесообразно воспользоваться одним свойством, присущим поверхностям вращения, которое состоит в том, что две любые соосные поверхности вращения пересекаются по окружностям, проходящим через точки пересечения меридианов поверхностей.

В частном случае, если одна из поверхностей вращения – сфера, приведенное выше предложение может быть сформулировано иначе: если центр секущей сферы находится на оси поверхности вращения, то сфера пересечет данную поверхность по окружностям, число которых равно числу точек пересечения главных меридианов поверхностей.

Построить линии пересечения поверхностей с помощью вспомогательных секущих сфер можно двумя способами:

1. Способом концентрических сфер;

2. Способом эксцентрических сфер.

Способ концентрических сфер.

Этот способ применяется для построения линии пересечения двух поверхностей вращения, оси которых пересекаются. Для упрощения графического решения необходимо, чтобы плоскость, определяемая осями поверхностей вращения, была параллельной какой0либо плоскости проекции.

Способ эксцентрических сфер.

Способ эксцентрических сфер может быть использован для построения линии пересечения двух поверхностей, имеющих общую плоскость симметрии. При этом каждая поверхность, имеющих общую плоскость симметрии. При этом каждая поверхность должна иметь семейство окружностей. Как и в способе концентрических сфер, плоскость симметрии должна быть параллельна одной из плоскостей проекции.

Способ эксцентрических сфер можно применять и в тех случаях, когда из пересекающихся поверхностей не является поверхностью вращения. Необходимым условием является наличие на этой поверхности семейства окружностей, которые можно рассматривать как результат пересечения поверхности со сферой. В число условий входит также условие, чтобы перпендикуляры, восстановленные из центров круговых сечений, пересекали ось поверхности вращения.

Пересечение поверхностей. Метод секущих плоскостей.

В качестве поверхностей-посредников используют секущие плоскости. Этот способ применяется в тех случаях, когда можно найти в качестве поверхностей-посредников такие плоскости, которые пересекали бы обе заданные поверхности по геометрически простым линиям — окружностям и прямым (рис. 21). Чаще всего в качестве вспомогательных секущих плоскостей выбираются плоскости уровня, то есть плоскости, параллельные плоскостям проекций. Следует отметить, что способ вспомогательных секущих плоскостей применяется во всех случаях, то есть каждая из пересекающихся поверхностей может быть как гранной, так и поверхностью вращения.

На чертеже (рис. 21, 22) прямой конус вращения пересекается с полусферой.

Построение проекций линии взаимного пересечения поверхностей осуществляется в следующей последовательности:

Определяют на чертеже положения опорных точек кривой пересечения. Фронтальная проекция A2 самой высшей точки кривой пересечения определяется на пересечении главных меридианов пересекающихся поверхностей: для конуса главным меридианом является очерковый треугольник, а для полусферы — очерковая полуокружность во фронтальной плоскости проекций.

Проведя линию связи из точки A2 до пересечения с горизонтальной проекций главных меридианов, получаем горизонтальную проекцию A1 самой высшей точки кривой пересечения. То обстоятельство, что основания фигур располагаются непосредственно в горизонтальной плоскости проекций (рис. 22) позволяет выявить положения самых низших точек 1 и 2 кривой пересечения.

Действительно, точки 11 и 21 пересечения проекций оснований фигур являются горизонтальными проекциями самых низших точек 1 и 2 кривой персечения. Их фронтальные проекции 12 и 22 располагаются на оси ОХ и определяются пересечением оси ОХ с линиями связи, проведенными из точек 11 и 21. В тоже время по отношению к наблюдателю точки 1(11;12) и 2(21;22) являются самой близкой и самой дальней точками кривой пересечения соответственно.

Все точки, кроме A, 1 и 2 являются регулярными точками кривой пересечения. Для определения на чертеже положения их проекций используют способ вспомогательных секущих плоскостей. При этом необходимо удачно выбрать положение секущей плоскости. Это положение выбирают таким образом, чтобы в сечении каждой из заданных поверхностей вращения получались графически простые линии — прямые или окружности.

В данной задаче в качестве вспомогательных секущих плоскостей выбирают горизонтальные плоскости уровня, так как они пересекают обе поверхности: конус и полусферу, по графически простым линиям — окружностям. На чертеже проводят одну секущую плоскость α1, задав ее фронтальным следом α21. Далее строят проекции параллелей — окружностей сечения секущей плоскостью α1 конуса и полусферы. На чертеже фронтальные проекции этих параллелей l2 и m2 располагаются на следе α21 секущей плоскости α1.

Горизонтальные проекции l1 и m1 этих параллелей представляют собой окружности с центрами S1 и O1, радиусами R и R′ соответственно. В пересечении горизонтальных проекций l1 и m1 параллелей получают горизонтальные проекции 41 и 51 регулярных точек кривой пересечения. Проведя линии связи из точек 41 и 51 до пересечения со следом α21 секущей плоскости α1, получают фронтальные проекции 42 и 52 кривой пересечения. Построенные точки 4(41; 42) и 5(51; 52) являются регулярными точками кривой пересечения. Аналогичным образом проводят несколько ниже секущие плоскости α2 — α6, задав их на чертеже фронтальными следами α22 — α26, и строят регулярные точки 6(61; 62) — 15(151; 152) кривой пересечения поверхностей.

После построения на чертеже проекций опорных и регулярных точек кривой соединяют их одноименные проекции плавной кривой (при помощи лекала) и получают горизонтальную и фронтальную проекции кривой взаимного пересечения заданных поверхностей. По чертежу устанавливают, что конус и полусфера имеют общую плоскость симметрии, параллельную фронтальной плоскости проекций. Тогда горизонтальные проекции точек кривой пересечения окажутся расположенными симметрично относительно горизонтального следа главной меридианальной плоскости, являющейся общей для обеих фигур.

Фронтальные проекции точек кривой пересечения будут совпадать, так как в этом случае они являются конкурирующими по отношению к фронтальной плоскости проекций. Причем проекции точек, расположенных перед главной меридианальной плоскостью фигур, будут видимыми на фронтальной плоскости проекций, а расположенных за ней — невидимыми. Горизонтальные проекции точек кривой пересечения являются видимыми, поэтому горизонтальная проекция кривой пересечения проводится на чертеже сплошной линией.

В заключение отметим, что способ вспомогательных секущих плоскостей уровня используется тогда, когда оси вращения обеих поверхностей (если обе поверхности являются поверхностями вращения) располагаются перпендикулярно одной из плоскостей проекций.

В том случае, когда при пересечении обеих поверхностей одной секущей плоскостью невозможно получить в сечениях графически простые линии — прямые или окружности применяется способ вспомогательных секущих сфер.

Источник

Тема 9 «Сечения» (для специальности «Дизайн» СПО)

9.1 Назначение сечений, правила выполнения

9.2 Построение наклонных сечений

9.3 Графическая работа №9 «Построение наклонного сечения» (рекомендации по выполнению)

9.1 Назначение сечений, правила выполнения

Форма многих деталей с достаточной полнотой не выявляется видами-изображениями обращенной к наблюдателю видимой поверхностью предмета, поэтому в черчении пользуются и такими изображениями, как сечение и разрезы.

Форму ручки плоскогубцев (рис. 9.1) нельзя определить по чертежу, содержащему лишь виды. Для выявления поперечной формы ручки, которая изогнута, необходимо применить сечения.

Сечением называют изображение фигуры, получающейся при мысленном рассечении предмета одной или несколькими плоскостями. На сечении показывают только то, что находится в секущей плоскости.

Секущей плоскостью называют вспомогательную плоскость, которой мысленно рассекают деталь.

Сечения применяют, в основном, чтобы показать поперечную форму предмета.

Рисунок 9.1 – Деталь, для выявления формы которой необходимо сечения

На сечениях показано лишь то, что находится в самой секущей плоскости; что расположено за секущей плоскостью, не показывают. Фигуру сечения на чертеже выделяют штриховкой для того, чтобы отличить на детали мысленно образованные поверхности от существующих. Штриховку наносят тонкими линиями. Наклонные параллельные линии штриховки проводят под углом 45º к линиям рамки чертежа. Расстояние между линиями должно быть 1-10 мм (для металла) (рис. 9.2, б ) и одинаковым для всех сечений одной детали на данном чертеже. Наклон штриховки допускается как влево, так и вправо (рис. 9.2, а ).

Рисунок 9.2 – Штриховка сечений (для металлов и твердых сплавов)

9.2 Построение наклонных сечений

При выполнении чертежей деталей приходится нередко применять наклонные сечения.

При решении таких задач необходимо, прежде всего, уяснить: как должна быть расположена секущая плоскость и какие поверхности участвуют в сечении для того, чтобы деталь читалась лучше. Рассмотрим примеры.

Дана четырехгранная пирамида, которая рассекается наклонной фронтально-проецирующей плоскостью А-А (рис.9.3). Сечением будет четырехугольник.

Рисунок 9.3 – Построение фигуры сечения

Сначала строим проекции его на фронтальную и горизонтальную плоскости проекций. Фронтальная проекция совпадает с проекцией плоскости, а горизонтальную проекцию четырехугольника строим по принадлежности пирамиде.

Затем строим натуральную величину сечения. Для этого вводится дополнительная плоскость проекций, параллельная заданной секущей плоскости А-А, на нее проецируем четырехугольник, а затем совмещаем его с плоскостью чертежа.

Построения выполняются в следующей последовательности (рис.9.3):

− На свободном месте чертежа проводим осевую линию, параллельную плоскости А-А.

− Из точек пересечения ребер пирамиды с плоскостью проводим проецирующие лучи, перпендикулярно секущей плоскости. Точки 1 и 3 будут лежать на линии, расположенной перпендикулярно осевой.

− Расстояние между точками 2 и 4 переносится с горизонтальной проекции.

Аналогично строится истинная величина сечения поверхности вращения – эллипс (рис.9.4).

Рисунок 9.4 – Построение фигуры сечения

Расстояние между точками 2-2, 3-3, 4-4 переносятся с горизонтальной проекции.

Задание для самостоятельной работы:

Рисунок 9.5 – Пример построения натуральной величины фигуры сечения «выступа»

Рассмотрим построение наклонного сечения «выступа» призматической формы, входящего в состав сложной детали. Его размеры 40×60×80 мм произвольной наклонной плоскостью. Секущая плоскость разрезает его по точкам 1-2-3-4.

«Основание» данной детали имеет также призматическую форму, габаритные размеры которого 120×80×20 мм, а так же имеются ребра жесткости между «основанием» и «выступом». Проведем секущую плоскость так, чтобы она проходила через все четыре элемента фигуры (через основание, выступ и два ребра жесткости). На рисунке 9.6 вы можете увидеть три вида и наглядное изображение этой детали.

Рисунок 9.6 – Три вида и наглядное изображение детали

Рисунок 9.7 – Натуральный вид сечения «основания» детали

Рисунок 9.8 – Построение сечения «ребра»

Рисунок 9.9 – Построение сечения «выступа»

Отложив перпендикуляры из точек D и Е равные ширине второго ребра и соединив крайние точки получим натуральный вид его сечения.

Рисунок 9.10 – Построение сечения второго «ребра»

Остается стереть перемычки между отдельными элементами получившегося сечения и нанести штриховку.

Рисунок 9.11 – Построение сечения второго «ребра»

Если же по заданному сечению произвести разделение фигуры, то мы увидим следующий вид:

Рисунок 9.12 – Наглядное изображение детали с наклонным сечением

9.3 Графическая работа №9 «Построение наклонного сечения» (рекомендации по выполнению)

Целью данной работы является приобретение навыков выполнения чертежей деталей сложной формы, умений применять полученные знания, выполняя фигуры сечения, их обозначение. При вычерчивании таких деталей, необходимо иметь навыки проекционного черчения.

Алгоритм выполнения работы аналогичен тому, который описан в разделе 9.2.

Задание: По двум проекциям построить третью. Выполнить наклонное сечение Б-Б.

Выполнить графическую работу в соответствии с образцом. Образец выполнения работы представлен на рисунке 9.13. Варианты заданий представлены в приложении А данного пособия.

Работа выполняется на чертежной бумаге формата А3 (297×420 мм). Размещение листа может быть альбомным или книжным (по усмотрению студента, выполняющего работу).

Рисунок 9.13 – Образец выполнения Графической работы №9

Вопросы для самоконтроля:

1. Какое изображение называют сечением?

2. Для чего применяют сечения?

3. Как подразделяются сечения в зависимости от их расположения на чертеже?

4. Линиями какой толщины обводят контур наложенного и вынесенного сечения?

5. Как и для чего штрихуют сечения?

7. В каких случаях сечение сопровождают надписью? Какие буквы используют для этого?

8. Как изображают линию сечения? Каково начертание разомкнутой линии?

9. Как показывают в сечении контур отверстия, если секущая плоскость проходит через ось тела вращения?

10. Как обозначают несколько одинаковых сечений, относящихся к одному предмету?

11. Где по отношению к обозначению сечения пишут слово «повернуто» при выполнении сечения с поворотом?

Источник