Для чего необходимо определять достоверность полученных различий

Оценка достоверности отличий.

Одной из наиболее часто встречающихся задач при обработке данных является оценка достоверности отличий между двумя или более рядами значений. В математической статистике существует ряд способов для этого.

Степень выявленного различия желательно оценивать, опираясь на содержательные критерии. Вместе с тем, для психологического исследования весьма характерно наличие множества показателей, которые, по существу, являются условными баллами, и валидность оценивания с их помощью еще предстоит доказать. Чтобы избежать большей произвольности, в таких случаях также приходится опираться на статистические параметры.

Пожалуй, наиболее распространено для этого использование сигмы. Разницу между двумя значениями в одну сигму и более можно считать достаточно выраженной. Если сигма подсчитана для ряда значений более 35, то достаточно выраженной можно рассматривать и разницу в 0.5 сигмы. Однако, для ответственных выводов о том, насколько велика разница между значениями, лучше использовать строгие критерии.

При использовании в качестве измерительных интервальных щкал достоверность различий средних арифметических можно оценить по достаточно эффективному параметрическому критерию Стьюдента (t). Он вычисляется по формуле:

где: M₁ и M₂ – значения сравниваемых средних арифметических, m₁ и m₂ – соответствующие величины статистических ошибок средних арифметических.

Для порядковых и номинальных шкал применяются непараметрические критерии, с помощью которых сравниваются не обобщающие показатели выборок (в случае с интервальными шкалами в качестве таковых выступают параметры распределения), а сопоставляются распределения частот. Непараметрические критерии можно применять и для интервальных данных, т.к. эти критерии не требуют анализа формы распределения, т.е. не рассчитаны только на нормальное распределение (подобно критерию Стьюдента и Фишера). Наконец, применение их предпочтительно с точки зрения простоты математического аппарата.

Критерий χ 2 («хи-квадрат») Пирсона используется для сравнения частот двух распределений: двух эмпирических или эмпирического и теоретического.

Формула критерия χ 2 такова:

При сопоставлении двух эмпирических выборок равного объёма вычисления упрощаются, если формулу χ 2 преобразовать таким образом:

где ƒ_i ’ и ƒ_i ’’ – частоты двух сопоставляемых выборок.

Полученные величины критерия сравниваются с табличными значениями для того или иного уровня значимости (Табл. Приложения 1).

где Cumƒ_i ’ и Cumƒ_i ’’ – накопленные к i–му разряду частоты.

Многофункциональные критерии (Сидоренко Е.В., 1996, гл. 5) используются по отношению к самым разнообразным признакам, выборкам и задачам. Они построены на сопоставлении долей, выраженных в долях единицы или в процентах. Суть их состоит в определении того, какая доля наблюдений (реакций, выборов, испытуемых и т.п.) в данной выборке характеризуется интересующим исследователя эффектов и какая доля этим эффектом не характеризуется.

Биномиальный критерий m применяется в том случае, когда обследована лишь одна выборка испытуемых объёмом не более 300 (в некоторых задачах – не более 50) единиц. Он позволяет оценить, насколько эмпирическая частота (m) наблюдений, в которых проявляется интересующий нас эффект, превышает теоретическую, среднестатистическую или какую-то заданную частоту. Порядок его применения прост: эмпирическая частота m сравнивается с критическим значением m_кр, найденным с помощью Таблицы №__ (Приложение 1). Если m равен или превышает m_кр, то различия достоверны.

Критерий φ * Фишера (угловое преобразование Фишера) предназначен для сопоставления двух выборок по частоте встречаемости интересующего исследователя эффекта. Суть его состоит в переводе процентных долей d в величины центрального угла φ, измеряемого в радианах (Таблица №__, Приложение 1). Эмпирическое значение (φ * ) подсчитывается по формуле:

где φ₁ – угол, соответствующий большей % доле;

n₁ – количество наблюдений в выборке 1;

n₂ – количество наблюдений в выборке 2.

Дата добавления: 2016-03-27 ; просмотров: 1529 ; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ

Источник

Для чего необходимо определять достоверность полученных различий

В большинстве исследований по физической культуре и спорту могут решаться задачи на выявление эффективности той или иной методики обучения и тренировки с применением определенных средств, приемов и способов организации занятий. Решение подобных задач осуществляется путем проведения сравнительного эксперимента с выделением различных групп (экспериментальной и контрольной), результаты которых в теории статистики принято называть независимыми (несвязными). Кроме того, результаты должны быть получены по интервальной шкале или шкале отношений.

В практике в таких случаях наиболее востребованным является t-критерий Стьюдента (псевдоним английского математика В. Госсета).

1. Составить вариационные ряды для результатов контрольных и экспериментальных групп:

2. Вычислить среднее арифметическое ( для каждой группы в отдельности по формуле:

Сопоставление среднеарифметических величин показывает, в какой группе данная величина выше.

3. В обеих группах вычислить стандартное отклонение ( ) по следующей формуле:

Порядок вычисления стандартного отклонения ( ):

— определить в обеих группах,

— определить Х в обеих группах,

— подставить полученные значения в формулу и произвести необходимые вычисления.

4. Вычислить стандартные ошибки среднего арифметического значения ( по формулам:

5. Вычислить средние ошибки разности по формуле:

При достоверных различиях между достаточно оснований для того, чтобы говорить о том, что методика в экспериментальной группе оказалась эффективнее методики контрольной группы.

При недостоверных различиях между нет оснований для того, чтобы говорить о том, что методика в экспериментальной группе оказалась эффективнее методики контрольной группы.

Расчеты в ВКР выносятся в приложение, в третьей главе работы приводится сводная таблица сравнительных результатов.

Источник

Достоверность различия между двумя выборочными средними

Рассмотрим задачу сравнения средних арифметических двух генеральных совокупностей посредством сравнения выборочных средних. Разность средних называется недостоверной, т. е. случайной, в том случае, если она несущественна и объясняется случайными причинами. Достоверной, т. е. неслучайной, она бывает тогда, когда различие средних существенно и объяснимо влиянием определенных факторов.

Прежде чем перейти к описанию метода, остановимся на вопросе о том, где в спорте складывается аналогичная приведенной ситуация.

По-видимому, наличие или отсутствие существенного различия между совокупностями имеет значение тогда, когда возникает необходимость сравнения между собой каких-либо групп чисел.

Это могут быть показатели спортсменов в определенной специализации до и после серии тренировок для выявления сдвигов в этих показателях — доказательства эффективности тренировочного процесса; антропометрические измерения у группы лиц, занимающихся и не занимающихся спортом; показатели общей физической подготовки за несколько лет у молодых спортсменов, меняющиеся с возрастом, и т. д.

Во всех этих и подобных случаях наличие существенного различия между параметрами совокупностей укажет на принципиальное отличие в группах по рассматриваемому признаку.

Для определения достоверности различия между двумя выборочными средними необходимо предварительно обработать числа обеих сравниваемых групп по способу вариационных рядов, т. е. определить в обеих группах средние арифметические и средние квадратические отклонения s.

Критерием определения достоверности различия является величина, определяемая по формуле:

t — критерий достоверности различия разности выборочных средних;

х₁ — средняя арифметическая первой группы чисел;

х₂ — средняя арифметическая второй группы чисел;

|x₁—х₂| — разность между средними, рассматриваемая без учета знака (т. е. всегда со знаком плюс, каким бы ни был этот знак в действительности) ;

m₁ — ошибка репрезентативности первой группы чисел;

m₂ — ошибка репрезентативности второй группы чисел.

Определенный по формуле (24) критерий подлежит сравнению с некоторым граничным (в некоторых учебниках — стандартным) значением t гр.

Граничный критерий находится по специальной таблице Стьюдента для заданной надежности и объема выборов (см. приложение 2).

Если в результате сравнения t, найденного по формуле (24), и t гр, окажется, что t>t гр. (больше или равно t гр.), разность между сравниваемыми выборочными показателями называется достоверной.

Если при сравнении окажется, что t

xi	ni	xini	xi—	(xi— ) 2	(xi— ) 2 ni
-18
-8
+2
2i	+12
+22
n=12

Экспериментальная группа (табл. 43):

xi	ni	xini	xi—	(xi— ) 2	(xi— ) 2 ni
-18
-8
+2
+12
+22
n=12

Для того, чтобы выяснить имеется ли сдвиг в показаниях данных спортсменов и существенен ли он, надо вначале сравнить их средние показания. В контрольной группе ₁=568 мс и в экспериментальной группе ₂==568 мс. Это говорит о том, что средние показатели экспериментальной группы не изменились в сравнении с контрольной и ожидаемого сдвига вообще не произошло. В таком случае критерий достоверности должен указать на несущественность сдвига в средних показателях, т. е. мы должны получить недостоверность выборочных средних. Для того чтобы в этом убедиться, проведем расчет.

По формуле (21) найдем ошибки репрезентативности для контрольной и экспериментальной групп:

Находим критерий достоверности по формуле (24):

Как видим из вычислений, минимальный критерий t=0 получился за счет равенства двух средних арифметических. Далее обращаемся к таблице Стьюдента и, задавшись надежностью P₁ =0,95 (что равноценно уровню значимости b₁=0,05), находим граничный критерий t гр.=2,20.

Таким образом, t, полученное по формуле при расчете наших групп, есть t=0, а граничное t гр.=2,20. Следовательно, t 2(x_i— ) 2 n_i—38 —28 —18 —8 +2 +12 +22n=40

xi	ni	xini	xi—	(xi— ) 2	(xi— ) 2 ni
-18 —8 +2 +12 +22 +32 +42
n=40

Как видим из расчетов, при малочисленных выборках n=12 контрольная группа показала в среднем ₁=568 мс, а экспериментальная ₂=568 мс. При увеличении объема выборочной совокупности до n==40 эти числа оказались ₁=588 мс, ₂=568 мс. Значит, экспериментальная группа хорошо была представлена 12 спортсменами и показала в обоих случаях стабильную величину средней реакции ₂=568 мс. Контрольная же группа показала при увеличении объема выборки другой результат ₁=588 мс, следовательно, ее малочисленная выборка n=12 плохо репрезентатировала генеральную.

Теперь, по вторично проведенным измерениям, среднее значение времени реакции у боксеров экспериментальной группы ₂=568 мс ниже, чем время реакции спортсменов контрольной группы ₁=588 мс, различие между ними существует и теперь есть смысл выявить существенность этого сдвига.

По формуле (20) вычисляем ошибки репрезентативности для обеих групп:

Найденный критерий есть t=6,06.

Обращаемся к таблице Стьюдента и находим, что при заданной надежности P₁=0,95 (уровень значимости b₁=0,05) и при n==40, t гр.=2,02.

Таким образом, найденный критерий t=6,06 больше граничного t гр.=2,02 (t>t rp.) и разность выборочных средних достоверна — сдвиг в значениях средних величин существенен, объясняется закономерными, неслучайными обстоятельствами и может быть указателем того, что новая методика дает ощутимые изменения.

Из приведенного примера должно быть ясно, что в случае установленной достоверности выборочных средних можно сделать вывод о существенности и закономерности сдвига в средних величинах. В случае недостоверности такого вывода сделать нельзя и возникает две необходимости: либо продолжать исследования при измененной и улучшенной с точки зрения репрезентативности выборочной совокупности, либо не пользоваться данным методом вообще. Количество повторений в изменении выборок зависит от условий эксперимента и диктуется, как правило, возможностью увеличения объема выборочной совокупности.

Мы сравнивали средние арифметические выборок, но можно сравнивать и другие характеристики выборок. Для этого существуют свои методы. Рассмотрим некоторые из них.

Критерий Фишера. Применяется как параметрический для сравнения разновеликих малых и средних выборок. Соблюдение нормального закона распределения необязательно. При помощи критерия Фишера можно сравнить средние квадратические отклонения s выборок. Таким образом, критерий применяется в случае сравнения групп по фактору рассеивания, т.е. оценивается сравнительная характеристика на стабильность.

Определяется критерий Фишера по формуле

,

где , — средние квадратические отклонения сравниваемых выборок. При этом >

Находим критерий Фишера по формуле:

При надежности Р = 0,95, объемах выборок n₁ = 41 и n₂ = 19 граничное значение критерия по таблице F_гр = 2,0. Поскольку 1,4 Т_гр различие между сравниваемыми группами недостоверно. Следовательно, исследуемые группы баскетболистов и футболистов по становой силе различимы между собой несущественно.

Критерий знаков непараметрический, выборки большие, равновеликие, соблюдение нормального закона необязательно.

Критерий применим в случае попарного альтернативного сравнения групп. При этом возможны сравнения, обусловленные изменением признака с течением времени, или сравнения аналогичного признака в двух различных группах.

Критерий знаков предполагает исследование каких-либо показателей при оценке их изменения. Изменение прогрессивное выражается знаком «+», регрессивное знаком «–». Так при сравнении характеристик одной и той же группы с течением времени (предыдущие и последующие измерения) знак «+» назначается при улучшении показателя, знак «–» – при его ухудшении. В практике спорта под улучшением в одних случаях понимается увеличение абсолютного значения (прирост силы), в других – их уменьшение (время забега, заплыва).

Таким образом, при сравнении нескольких групп измерений назначается соответствующий знак. В дальнейшем производим оценку статистически достоверных (недостоверных) различий между совокупностями положительных и отрицательных значений. Для этого обращаемся к таблице Ван дер Вардена и при определенной надежности Р и количестве исследуемых пар n без нулевых значений n–Z(0) находим граничное значение критерия знаков Z_гр, представляющее собой интервал. При нахождении отрицательных измерений Z(–) внутри этого интервала наблюдается статистическая недостоверность между исследуемыми показателями в сравниваемых группах, в противном случае – достоверность.

Пример. У 32 спортсменов измеряна относительная сила разгибателей ног (сила обеих ног в сумме в ньютонах на 10 кг массы спортсмена) в начале подготовительного периода х_i и в конце у_i. Установить достаточно ли эффективно изменилась относительная сила разгибателей ног у эти спортсменов в течение подготовительного периода.

В таблице назначаем z–знаки каждой паре сравниваемых показателей. При увеличении относительной силы ставим знак «+», при уменьшении – «–», при отсутствии изменений – «0».Из таблицы следует, что количество улучшений, ухудшений и отсутствие таковых соответственно: Z(+)=17, Z(–)=5, Z(0)=10. В дальнейшем задаваясь надежностью Р=0,95 при количестве исходных пар n=32 без учета нулевых изменений Z(0)=10

n₁ = n – Z(0) = 32 – 10 = 22,

из таблицы Ван дер Вандера находим Z_гр = |6…16|.

Таким образом относительная сила разгибателей ног у данных спортсменов изменилась статистически достоверно, так как Z(–)=5 находится вне интервала Z_гр. Следовательно, по исследуемому показателю в течение подготовительного периода тренировочные занятия следует считпть эффективными.

Источник

Оценка достоверности отличий

Оценка часто необходима при сравнительном анализе полярных групп. Эти группы можно выделить, учитывая различную выраженность определенного целевого признака (характеристики) изучаемого явления. Обычно анализ начинают с подсчета первичных статистик выделенных групп, затем оценивают достоверность отличий. Очень часто количественный анализ одним сравнением не ограничивается, появляется необходимость провести дополнительные сопоставления и выявить новые свидетельства. Выбор новых критериев наугад — дело неблагодарное. Лучше для этого использовать результаты корреляционного анализа.

Например, если вы исследуете личностную обусловленность желания принимать участие в экологическом движении, то признаком, по которому могут быть выделены полярные группы, могут выступить субъективные оценки испытуемых, экспертные оценки, некоторые поведенческие индикаторы, представленные в числовой форме. Если показатели интеллектуального развития имеют небольшую величину коэффициента корреляции (

Одной из наиболее часто встречающихся задач при обработке данных является оценка достоверности отличий между двумя, или более, рядами значений. В математической статистике существует ряд способов для этого. Для использования большинства мощных критериев требуются дополнительные вычисления, обычно весьма развернутые.

Компьютерный вариант обработки данных стал в настоящее время наиболее распространенным. Во многих прикладных статистических программах есть процедуры оценки различий между параметрами одной выборки или разных выборок. При полностью компьютеризованной обработке материала нетрудно в нужный момент использовать соответствующую процедуру и оценить интересующие различия. Однако большинство психологов не имеют свободного и неограниченного доступа к работе с компьютером — либо недостаточен парк ЭВМ, либо психолог как пользователь ЭВМ не подготовлен и может проводить обработку только с помощью квалифицированного персонала. И в том, и в другом случае типичный сеанс работы с компьютером заканчивается тем, что психолог получает принтерные распечатки, содержащие подсчитанные первичные статистики, результаты корреляционного анализа, иногда и факторного (компонентного).

Основной анализ осуществляется позже, не в диалоге с ЭВМ. Исходя из этих рассуждений, будем считать, что перед психологом часто встает задача оценки достоверности различий с использованием ранее вычисленных статистик. При сравнении средних значений признака говорят о достоверности (недостоверности) отличий средних арифметических, а при сравнении изменчивости показателей — о достоверности (недостоверности) отклонений сигм (дисперсии) и коэффициентов вариации.

Достоверность различий средних арифметических можно оценить по достаточно эффективному параметрическому критерию Стьюдента. Он вычисляется по формуле

m1 + m2

где M1 и M2 — значения сравниваемых средних арифметических, m1 и m2 — соответствующие величины статистических ошибок средних арифметических. Знак вычисленной разности средних арифметических можно не учитывать, поскольку имеет значение только абсолютная величина критерия t.

Пример. M1 =113.3, m1 =2.4, n =13; M2 =103.3, m2 =2.6, n =16.

2.4 + 2.6

для d=13+16-2=27 вычисленная величина превышает табличную для вероятности Р=0.01. Вычисленное значение 2.83 больше табличного 2.77 для уровня значимости Р=0.01. Следовательно, различия между средними достоверны на уровне 0.01.

Приведенная формула проста. Используя ее, можно с помощью бытового калькулятора с памятью вычислить t критерий без промежуточных записей.

Следует помнить, что при любом численном значении критерия достоверности различия между средними этот показатель оценивает не степень выявленного различия (она оценивается по самой разности между средними), а лишь статистическую достоверность его, т.е. право распространять полученный на основе сопоставления выборок вывод о наличии разницы на все явление (весь процесс) в целом. Низкий вычисленный критерий различия не может служить доказательством отсутствия различия между двумя признаками (явлениями), ибо его значимость (степень вероятности) зависит не только от величины средних, но и от численности сравниваемых выборок. Он говорит не об отсутствии различия, а о том, что при данной величине выборок оно статистически недостоверно: слишком велик шанс, что разница при данных условиях определения случайна, слишком мала вероятность ее достоверности.

Степень, т.е. величину выявленного различия, желательно оценивать, опираясь на содержательные критерии. Вместе с тем, для психологического исследования весьма характерно наличие множества показателей, которые, по существу, являются условными баллами, и валидность оценивания с помощью них следует доказывать особо. Чтобы избежать большей произвольности, в таких случаях также приходится опираться на статистические параметры.

Пожалуй, наиболее распространено для этого использование сигмы. Разницу между двумя средними арифметическими в одну сигму и более можно считать достаточно выраженной. Если сигма подсчитана для ряда значений более 35, то достаточно выраженным можно считать различие 0.5 сигмы. Однако для ответственных выводов о том, насколько велика разница между значениями, лучше использовать строгие критерии.

Источник