Для чего нужен арктангенс
Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа: основные свойства
Синус арксинуса, косинус арккосинуса, тангенс арктангенса и котангенс арккотангенса
Это свойство используется чаще всего, поэтому логичнее всего начать рассмотрение всех основных свойств именно с него. Рассмотрим, чему равны синус арксинуса, косинус арккосинуса, тангенс арктангенса и котангенс арккотангенса числа.
Синус арксинуса, косинус арккосинуса, тангенс арктангенса и котангенс арккотангенса числа
Данное свойство следует напрямую из определения арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса.
sin ( a r c sin a ) = a
Доказательство для арккосинуса, арктангенса и арккотангенса строится аналогично, на базе определений этих функций. Вот несколько примеров использования данного свойства.
Пример 1. Свойства обратных тригонометрических функций
Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс противоположных чисел
Существует связь между арксинусами, арккосинусами, арктангенсами и арккотангенсами противоположных чисел. Запишем соотношения, выражающие ее.
arcsin, arccos, arctg и arcctg противоположных чисел
Доказательство свойства арксинусов противоположных чисел завершено.
Теперь рассмотрим доказательство свойства арккосинусов противоположных чисел.
Доказательства для арктангенса и арккотангенса проводится по аналогичному принципу.
Сумма арксинуса и арккосинуса, арктангенса и арккотангенса
Данное свойство устанавливает связь соответственно между арксинусом и арккосинусам, арктангенсом и арккотангенсом. Запишем формулы для арксинуса и арккосинуса.
Сумма arcsin и arccos
Соответственно, для арктангенса и арккотангенса
Сумма arctg и arcctg
Пользуясь разобранными свойствами, можно выряжать арксинус через арккосинус, арккосинус через арксинус, арктангенс через арккотангенс и наоборот.
Пример 2. Сумма арксинуса и арккосинуса
Арксинус синуса, арккосинус косинуса, арктангенс тангенса и арккотангенс котангенса
Запишем соотношения, иллюстрирующие свойства арксинуса синуса, арккосинуса косинуса, арктангенса тангенса и арккотангенса котангенса.
Свойства арксинуса синуса, арккосинуса косинуса, арктангенса тангенса и арккотангенса котангенса
Аналогично, соблюдение условий обязательно для арккосинуса косинуса, арктангенса тангенса и арккотангенса котангенса.
К примеру, запись a r c sin ( sin 8 π 3 ) = 8 π 3 будет ошибочной, так как число 8 π 3 не удовлетворяет условиям неравенства.
Описанные в этой статье свойства позволяют получить ряд полезных формул, определяющих связи между основными и обратными тригонометрическими функциями. Соотношениям, связывающим sin, cos, tg, ctg, arcsin, arccos, arctg и arcctg будет посвящена отдельная статья.
Для чего нужен арктангенс
Внимание!
К этой теме имеются дополнительные
материалы в Особом разделе 555.
Для тех, кто сильно «не очень. »
И для тех, кто «очень даже. » )
К понятиям арксинус, арккосинус, арктангенс, арккотангенс учащийся народ относится с опаской. Не понимает он эти термины и, стало быть, не доверяет этой славной семейке.) А зря. Это очень простые понятия. Которые, между прочим, колоссально облегчают жизнь знающему человеку при решении тригонометрических уравнений!
Сомневаетесь насчёт простоты? Напрасно.) Прямо здесь и сейчас вы в этом убедитесь.
Разумеется, для понимания, неплохо бы знать, что такое синус, косинус, тангенс и котангенс. Да их табличные значения для некоторых углов. Хотя бы в самых общих чертах. Тогда и здесь проблем не будет.
Что означает выражение
И всё.
arc sin 0,4
угол, синус которого равен 0,4
Как пишется, так и слышится.) Почти. Приставка arc означает дуга (слово арка знаете?), т.к. древние люди вместо углов использовали дуги, но это сути дела не меняет. Запомните эту элементарную расшифровку математического термина! Тем более, для арккосинуса, арктангенса и арккотангенса расшифровка отличается только названием функции.
Верно. Выражение arccos1,8 не имеет смысла. И запись такого выражения в какой-нибудь ответ изрядно повеселит проверяющего.)
Внимание! Элементарная словесная и осознанная расшифровка арков позволяет спокойно и уверенно решать самые различные задания. А в непривычных заданиях только она и спасает.
Например: что такое arcsin 0,5?
Или, более солидно, через радианы:
Всё, можно забыть про арксинус и работать дальше с привычными градусами или радианами.
Если вы осознали, что такое арксинус, арккосинус. Что такое арктангенс, арккотангенс. То легко разберётесь, например, с таким монстром.)
Достаточно сообразить, что:
и всё. Заменяем все арки на значения в радианах, всё посокращается, останется посчитать, сколько будет 1+1. Это будет 2.) Что и является правильным ответом.
Вот таким образом можно (и нужно) переходить от арксинусов, арккосинусов, арктангенсов и арккотангенсов к обычным градусам и радианам. Это здорово упрощает страшные примеры!
Частенько, в подобных примерах, внутри арков стоят отрицательные значения. Типа, arctg(-1,3), или, к примеру, arccos(-0,8). Это не проблема. Вот вам простые формулы перехода от отрицательных значений к положительным:
 |
 |
 |
 |
Нужно вам, скажем, определить значение выражения:
Это можно и по тригонометрическому кругу решить, но вам не хочется его рисовать. Ну и ладно. Переходим от отрицательного значения внутри арккосинуса к положительному по второй формуле:
Внутри арккосинуса справа уже положительное значение. То, что
вы просто обязаны знать. Остаётся подставить радианы вместо арккосинуса и посчитать ответ:
Ограничения на арксинус, арккосинус, арктангенс, арккотангенс.
Грамотный человек знает, что синус равен 0,5 не только у угла 30°! Так как:
С этими ограничениями надо разобраться основательно. Тем более, что это дело простое.) Запоминаем:
Запомнить эти диапазоны очень легко по картинкам. Тригонометрический круг вам в помощь!) Для арксинуса:
Теперь, я думаю, понятно, что arcsin 0,5 = 30°. И только 30°! Так как углы 150°, 390°, 510° и т.д., которые тоже дают синус, равный 0,5, арксинусами быть не могут. Они выпадают из разрешённого диапазона.
Уже проще, правда?) Ну и, аналогичная картинка для арккосинуса и арккотангенса (при наведённом курсоре):
Надеюсь, зрительная память вас спасёт, если что. )
Вопрос резонный. В математике просто так, чисто для красоты, ничего не бывает. Только по острой необходимости!) А вы попробуйте ответить на такой вопрос:
У какого угла синус равен 0,4?
Для ответа в градусах или радианах вам придётся открывать таблицы Брадиса, или включать солидный калькулятор. Искать там значение синуса, равное (примерно!) 0,4 и смотреть, какой же угол имеет этот синус. После тяжких трудов вы определите, что это угол примерно 23 градуса и 36 минут. Про радианы я вообще молчу. )
Если вы осознали этот забавный факт, то легко ответите на все подобные вопросы:
А можно записать (приблизительно) тот же самый угол через градусы. Это будет:
≈ 23,57817847820183110402. °
Осознали простой и важный смысл арков? Тогда порешаем самостоятельно. Примерчики от устных до хитрых.)
Обратные тригонометрические функции и их графики
Обратные тригонометрические функции — это арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс.
Сначала дадим определения.
Расскажем подробно об этих четырех новых для нас функциях — обратных тригонометрических.
Например, арифметический квадратный корень из числа а — такое неотрицательное число, квадрат которого равен а.
Логарифм числа b по основанию a — такое число с, что
Мы понимаем, для чего математикам пришлось «придумывать» новые функции. Например, решения уравнения — это и Мы не смогли бы записать их без специального символа арифметического квадратного корня.
Понятие логарифма оказалось необходимо, чтобы записать решения, например, такого уравнения: Решение этого уравнения — иррациональное число Это показатель степени, в которую надо возвести 2, чтобы получить 7.
Так же и с тригонометрическими уравнениями. Например, мы хотим решить уравнение
Ясно, что его решения соответствуют точкам на тригонометрическом круге, ордината которых равна И ясно, что это не табличное значение синуса. Как же записать решения?
Здесь не обойтись без новой функции, обозначающей угол, синус которого равен данному числу a. Да, все уже догадались. Это арксинус.
А вторая серия решений нашего уравнения — это
Подробнее о решении тригонометрических уравнений — здесь.
Повторим определение еще раз:
Мы готовы построить график функции
Как обычно, отмечаем значения х по горизонтальной оси, а значения у — по вертикальной.
Значит, областью определения функции y = arcsin x является отрезок
Заметим, что график функции y=arcsinx весь помещается в области, ограниченной линиями и
Как всегда при построении графика незнакомой функции, начнем с таблицы.
Строим график функции
1. Область определения
2. Область значений
Напомним, что графики взаимно обратных функций симметричны относительно прямой
Аналогично, определим функцию Только отрезок нам нужен такой, на котором каждому значению угла соответствует свое значение косинуса, а зная косинус, можно однозначно найти угол. Нам подойдет отрезок
Арккосинусом числа a называется число , такое, что
Легко запомнить: «арккосинусы живут сверху», и не просто сверху, а на отрезке
Обозначение: Область определения арккосинуса — отрезок Область значений — отрезок
Арккосинус не является ни чётной, ни нечётной функцией. Зато мы можем использовать следующее очевидное соотношение:
Построим график функции
Заполним таблицу, пользуясь определением арккосинуса.
Вот график арккосинуса:
1. Область определения
2. Область значений
Эта функция общего вида — она не является ни четной, ни нечетной.
5. Функции и являются взаимно обратными.
Следующие — арктангенс и арккотангенс.
Арктангенсом числа a называется число , такое, что
Дальше рассуждаем так же, как при построении графиков арксинуса и арккосинуса.
А что же будет при бесконечно больших значениях х? Другими словами, как ведет себя эта функция, если х стремится к плюс бесконечности?
Мы можем задать себе вопрос: для какого числа из интервала значение тангенса стремится к бесконечности? — Очевидно, это
А значит, при бесконечно больших значениях х график арктангенса приближается к горизонтальной асимптоте
Аналогично, если х стремится к минус бесконечности, график арктангенса приближается к горизонтальной асимптоте
На рисунке — график функции
1. Область определения
2. Область значений
3. Функция нечетная.
4. Функция является строго возрастающей.
5. Прямые и — горизонтальные асимптоты данной функции.
6. Функции и являются взаимно обратными — конечно, когда функция рассматривается на промежутке
Аналогично, определим функцию арккотангенс и построим ее график.
Арккотангенсом числа a называется число , такое, что
1. Область определения
2. Область значений
4. Функция является строго убывающей.
5. Прямые и — горизонтальные асимптоты данной функции.
6. Функции и являются взаимно обратными, если рассматривать на промежутке
Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа
Арккотангенс
Arcctg числа a – принимает такое значение α из интервала (0; π), что его котангенс равен а.
Свойства функции арккотангенса:
Сопоставить ctg x и arctg x очень просто, нужно лишь сделать два рисунка и описать поведение кривых.
Задание 2. Соотнести график и форму записи функции.
Если рассуждать логически, из графиков видно, что обе функции возрастающие. Следовательно, оба рисунка отображают некую функцию arctg. Из свойств арктангенса известно, что y=0 при x = 0,
Ответ: рис. 1 – 1, рис. 2 – 4.
Видео
Решение уравнения cosx = a
Рассмотрим тригонометрическое уравнение, в левой части которого стоит ф-ция cosx, а в правой – число, например, 0,5:
По определению арккосинуса очевидно, что arccos 0,5 будет его решением, ведь
Так как arccos 0,5 = π/3, то мы находим очевидный корень х = π/3. И действительно, если подставить это значение в исходное ур-ние, то получится верное равенство:
Значит ли это, что мы решили ур-ние? Нет, ведь мы нашли только один корень, а их может быть несколько. Проведем на единичной окружности вертикальную прямую х = 0,5 и посмотрим, где она пересечет окружность:
Видно, что есть ещё одна точка пересечения, соответствующая углу (– arccos 0,5). Это значит, что этот угол также является решением ур-ния. Проверим это:
Здесь мы использовали тот факт, косинус – четная функция, то есть
Итак, число – π/3 также является корнем ур-ния. Есть ли ещё какие-нибудь корни? Оказывается, есть. Построим график ф-ции у = cosx и посмотрим, где ее пересекает прямая у = 0,5:
Оказывается, прямая пересекает график в бесконечном количестве точек! Это связано с периодичностью ф-ции у = cosx. Период этой ф-ции равен 2π, то есть
Поэтому, если число π/3 является решением ур-ния, то так же решением будут и число π/3 + 2π. Но к этому числу можно ещё раз добавить 2π и получить число π/3 + 4π. И оно тоже будет корнем. С другой стороны, период можно не только добавлять, но и вычитать, поэтому корнями ур-ния окажутся числа π/3 – 2π, π/3 – 4π и т.д. Как же записать все эти бесчисленные решения? Для этого используется такая запись:
Запись «π/3+ 2πn» называется серией решений. Она включает в себя бесконечное количество значений х, которые обращают ур-ние в справедливое равенство. Достаточно выбрать любое целое число и подставить его в серию решений. Например, при n = 0 получим решение
При n = 5 получим корень
При n = – 10 у нас получится решение
Однако помимо серии х = π/3 + 2πn решениями ур-ния будет определять ещё одна серия:
Действительно, число (– π/3) является корнем, но не входит в первую серию. Поэтому оно порождает собственную серию корней. Так, подставив в эту серию n = 4, получим корень
Итак, решением ур-ния являются две серии решений. Заметим, что каждой серии решений с периодом 2π соответствует ровно одна точка на единичной окружности:
Объединить же обе серии можно одной записью:
Напомним, что мы решали ур-ние
и получили для него решение
Число π/3 появилось в записи по той причине, что arccos 0,5 = π/3. Поэтому в общем случае, когда ур-ние имеет вид
где а – некоторое число, его решением будут все такие х, что
Для краткости запись «n– целое число» заменяют эквивалентной записью
Напомним, что буквой Z обозначают множество целых чисел.
Задание. Решите ур-ние
Решение. Вспомним, что
Задание. Решите ур-ние
Решение. В таблице стандартных углов нет такого числа, у которого косинус равен 0,25. Поэтому вычислить значение arccos 0,25 мы не сможем. Но для записи решения и не нужно его вычислять:
Иногда встречаются задачи, в которых надо не просто решить ур-ние, но и выбрать некоторые его корни, удовлетворяющие определенному условию. Процедуру выбора корней, удовлетворяющих условию задачи, часто называют отбором корней. Заметим, что иногда при отборе корней удобнее записывать решение ур-ние не в виде одной серии, а в виде двух серий, у каждой из которых период равен 2π. Рассмотрим отбор корней на примере.
Задание. Укажите три наименьших положительных корня ур-ния
то все решения образуют две серии:
Начнем подставлять вместо n целые числа и выпишем из каждой серии несколько чисел. Так мы сможем найти наименьшие положительные числа в каждой серии.
Отметим все найденные корни на координатной прямой (схематично, не выдерживая масштаб):
Видно, что тремя наименьшими положительными корнями являются числа π/4, 7π/4 и 9π/4
Ответ: π/4, 7π/4 и 9π/4.
Отметим, что возможны три частных случая, когда две серии решений сливаются в одну. Для ур-ния
На графике видно, что этим значениям х соответствуют вершины синусоиды. Решениями же ур-ния
являются точки, в которых график пересекает ось Ох:
Отдельно отметим, что если правая часть в ур-нии – это число, большее единицы или меньшее (– 1), то ур-ние корней не имеет, ведь область определения косинуса – это отрезок [– 1; 1].
Сумма арксинуса и арккосинуса, арктангенса и арккотангенса
Данное свойство устанавливает связь соответственно между арксинусом и арккосинусам, арктангенсом и арккотангенсом. Запишем формулы для арксинуса и арккосинуса.
Сумма arcsin и arccos
arcsin a+arccos a=π2, a∈-1, 1
Соответственно, для арктангенса и арккотангенса
Сумма arctg и arcctg
arctg a+arcctg a=π2, a∈-∞, +∞
≤ a r c cos a ≤ π ≥ — arccos a ≥ — π π 2 ≥ π 2 — arccos a ≥ — π 2 — π 2 ≤ π 2 — arccos a ≤ π 2
sin π 2 — a r c cos a = cos a r c cos a = a
Пользуясь разобранными свойствами, можно выряжать арксинус через арккосинус, арккосинус через арксинус, арктангенс через арккотангенс и наоборот.
Пример 2. Сумма арксинуса и арккосинуса
Известно, что arcsin6-22=π12. Найдем арккосинус этого числа. arcsin6-22+arccos6-22=π2arccos6-22=π2-arcsin6-22arccos6-22=π2-π12=5π12
Решение уравнений tgx = a и ctgx = a
Ур-ния вида tgx = a отличаются тем, что имеют решение при любом значении а. Действительно, построим одну тангенсоиду и проведем горизонтальную линии у = а. При любом а прямая пересечет тангенсоиду, причем ровно в одной точке, которая имеет координаты (arctga; a):
Таким образом, у ур-ния tgx = a существует очевидное решение
Однако напомним, что тангенс является периодической ф-цией, его график представляет собой бесконечное множество тангенсоид, расстояние между которыми равно π. Поэтому корень х = arctga порождает целую серию корней, которую можно записать так:
Задание. Решите ур-ние
Задание. Запишите формулу корней ур-ния
Далее рассмотрим ур-ние вида
Задание. Решите ур-ние
Существует особый случай, когда нельзя заменить котангенс на тангенс. В ур-нии
Из сегодняшнего урока мы узнали про обратные тригонометрические ф-ции – арксинус, арккосинус и арктангенс. Также мы научились находить решения простейших тригонометрических уравнений. Это поможет нам в будущем при изучении более сложных ур-ний.