Для чего нужен бином ньютона простыми словами
Бином ньютона
Бином Ньютона — это формула
,
где 
— биномиальные коэффициенты, n — неотрицательное целое число.
Содержание
Доказательство
Докажем это равенство, используя метод математической индукции:
Пусть утверждение для n верно:
Тогда надо доказать утверждение для n + 1 :
Извлечём из первой суммы слагаемое при k = 0
Извлечём из второй суммы слагаемое при k = n
Теперь сложим преобразованные суммы:
Что и требовалось доказать
— одно из тождеств биномиальных коэффициентов
Для ненатуральных степеней
где r может быть комплексным числом (в частности, отрицательным или вещественным). Коэффициенты находятся по формуле:
.
сходится при 
.
В частности, при 
и 
получается тождество
Переходя к пределу при 
и используя второй замечательный предел 
, выводим тождество
именно таким образом впервые полученное Эйлером.
История
Считается, что эту формулу, как и треугольник, позволяющий находить коэффициенты, изобрёл Блез Паскаль, описавший её в XVII веке. Тем не менее, она была известна ещё китайскому математику Яну Хуэю, жившему в XIII веке. Возможно, её открыл персидский учёный, поэт и философ Омар Хайям.
Исаак Ньютон обобщил формулу для прочих показателей степени.
В художественной литературе
В художественной литературе «бином Ньютона» появляется в нескольких запоминающихся контекстах, где речь идёт о чём-либо сложном.
Об этой специфической роли бинома Ньютона в культуре писал известный математик В. А. Успенский [1].
См. также
Полезное
Смотреть что такое «Бином ньютона» в других словарях:
бином ньютона — БИНОМ, а, м. (или бином ньютона). Ирон. О чем л. кажущемся сложным, запутанным. Возм. распространилось под влиянием романа М. Булгакова «Мастер и Маргарита» … Словарь русского арго
БИНОМ НЬЮТОНА — БИНОМ НЬЮТОНА, математическое правило разложения алгебраического выражения (а+b)n в ряд степеней численных значений х и у (где n положительное число). При n 2 разложение выглядит таким образом: (х+у)2=х2+2ху+у2 … Научно-технический энциклопедический словарь
Бином Ньютона — алгебраическая формула, открытая Ньютоном, выражающая какую угодно степень двучлена, а именно: (х + а)n = хn + n/1(axn 1) + [n/(n 1)/1.2](а2хn 2) + …[n(n 1)(n 2)…(n m+1)/1.2.3…m](anxn m) + … или, в компактной форме, пользуясь символом n! =… … Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона
Бином Ньютона — Разг. Шутл. О чём л. сложном, запутанном. Елистратов, 41 … Большой словарь русских поговорок
Подумаешь, бином Ньютона! — Из романа (гл. 18 «Неудачливые визитеры») «Мастер и Маргарита» (1940) Михаила Афанасьевича Булгакова (1891 1940). Слова Коровьева Фагота, комментирующего диалог между Воландом и буфетчиком Андреем Фокичем Соковым. Последний пришел жаловаться на… … Словарь крылатых слов и выражений
бином — а, м. binôme, лат. binomia m. 1. мат. Алгебраическое выражение, представляющее сумму или разность одночленов; двучлен. БАС 2. Боюсь, еслиб я и осмелился представить здесь самое простое развитие двучленника (бинома) Ньютонова необходимого для сего … Исторический словарь галлицизмов русского языка
БИНОМ — (от лат. bis дважды, и греч. nomos часть, отдел). Двучлен (в алгебре). Бином Ньютона общая формула для возведения двучленного количества в любую степень. Словарь иностранных слов, вошедших в состав русского языка. Чудинов А.Н., 1910. БИНОМ в… … Словарь иностранных слов русского языка
Бином — (лат. bis дважды, nomen имя) или двучлен частный случай полинома (многочлена), состоящего из двух слагаемых мономов (одночленов). Например: Для вычисления степеней биномов используется бином Ньютона: А также … Википедия
Бином Ньютона
Из Википедии — свободной энциклопедии
Бино́м Нью́то́на — формула для разложения на отдельные слагаемые целой неотрицательной степени суммы двух переменных, имеющая вид
( a + b ) n = ∑ k = 0 n ( n k ) a n − k b k = ( n 0 ) a n + ( n 1 ) a n − 1 b + ⋯ + ( n k ) a n − k b k + ⋯ + ( n n ) b n <\displaystyle (a+b)^
В таком виде эта формула была известна ещё индийским и персидским математикам; Ньютон вывел формулу бинома для более общего случая, когда показатель степени — произвольное действительное число (позднее она была распространена и на комплексные числа). В общем случае бином представляет собой бесконечный ряд (см. ниже).
( x + y ) 2 = x 2 + 2 x y + y 2 ( x + y ) 3 = x 3 + 3 x 2 y + 3 x y 2 + y 3 ( x + y ) 4 = x 4 + 4 x 3 y + 6 x 2 y 2 + 4 x y 3 + y 4 ( x + y ) 5 = x 5 + 5 x 4 y + 10 x 3 y 2 + 10 x 2 y 3 + 5 x y 4 + y 5 <\displaystyle <\begin
Для быстрого разложения бывает удобно воспользоваться треугольником Паскаля.
Бином Ньютона и треугольник Паскаля
Вот и всё. На этом можно было бы закончить, но есть одно но: большинство начинающих учеников не понимают эту формулу, не умеют пользоваться её, а уж чтобы доказать её — об этом даже речи не идёт.
Сегодня мы всё это исправим. Вы узнаете буквально всё, что нужно знать про Бином Ньютона:
Материала много, но всё будет максимально понятно и — главное — чрезвычайно полезно. Погнали!
1. Постановка задачи
Спасибо, кэп. Теперь вспомним формулы сокращённого умножения. Квадрат суммы:
Видим, что с ростом степени растёт и количество слагаемых-одночленов: их всегда на одно больше, чем степень. Но это не проблема. Проблема в другом: у этих одночленов появляются некие коэффициенты, принцип вычисления которых не ясен. Пока не ясен.
Именно для нахождения этих коэффициентов придумали бином Ньютона.
2. Бином Ньютона
Сегодня мы решим все эти проблемы. Начнём со знака суммы.
3. Знак суммы
Знак суммы — это краткая запись суммы нескольких однотипных слагаемых:
\[\sum\limits_
Более привычный формат:
То же самое с индексами:
Кроме того, полезно потренироваться и с обратным переходом — от полной записи к краткой:
В приложении к уроку — куча задач для самостоятельной тренировки.
Но вернёмся к биному Ньютона. Распишем его без знака суммы:
4. Биноминальные коэффициенты
У факториалов много интересных свойств. Чуть позже мы рассмотрим их и даже введём более корректное определение самого факториала. А пока просто потренируемся считать биноминальные коэффициенты.
Пример. На пруду плавают 5 уток. Сколькими способами можно выбрать 2 из них, чтобы покормить?
Пример. На пруду 150 уток. Сколькими способами можно выбрать 2 из них, чтобы покормить?
Видим, что факториалы образуют «длинные хвосты» в числителе и знаменателе, которые легко сокращаются. Однако для корректной работы с биномом Ньютона нам потребуется расширить определение факториала.
4.1. Новое определение факториала
Стандартное определение мы уже привели выше:
Но как посчитать, например, факториал нуля? И как сокращать «длинные хвосты», не расписывая факториалы? Здесь нам поможет более грамотное определение.
\[n!=\left\ < \begin
А вот ещё парочка весёлых примеров:
5. Треугольник Паскаля
\[\begin
Получили треугольник, который в народе называют «Треугольник Паскаля»: по бокам единицы, а внутри каждое число равно сумме двух ближайших, стоящих этажом выше:
И это не случайность. Перед нами важнейшее свойство биноминальных коэффициентов, которое мы оформим в виде теоремы и докажем.
Теорема. Биноминальные коэффициенты вычисляются по формуле
Распишем доказательство детально:
Заметим, что по определению факториала
\[\begin
Поэтому знаменатели биноминальных коэффициентов можно переписать:
Приведём к общему знаменателю:
Теорема доказана. Теперь мы знаем, как формируется треугольник Паскаля. Осталось доказать сам Бином Ньютона.
6. Доказательство Бинома Ньютона
Итак, нужно доказать, что
Будем доказывать по индукции.
6.1. База индукции
6.2. Индуктивное предположение
6.3. Индуктивный переход
Для этого сначала заметим, что
\[\left[ \begin
В итоге последняя сумма перепишется так:
Объединяем суммы вместе:
Такие суммы можно записать под единым знаком:
Выражение под знаком суммы легко раскладывается на множители:
Здесь в последнем шаге мы использовали свойство биноминальных коэффициентов, доказанное выше:
Или, что то же самое
Таким образом, всю сумму можно переписать более компактно, а затем внести под знак суммы первое и последнее слагаемое:
Сопоставляя исходное выражение и конечное, получим
Именно это и требовалось доказать. Следовательно, исходная формула Бинома Ньютона верна.
Древние знания
Частные случаи утверждений о биномах были известны примерно с IV века до нашей эры, когда знаменитый греческий математик Евклид упомянул особый случай такой теоремы для показателя 2. Существует доказательство того, что подобие теоремы о биномах для кубов было известно уже в VI веке в Индии. Биномиальные коэффициенты, как комбинаторные величины, выражающие число способов выбора k объектов из n без замены, представляли интерес для древнеиндийских математиков.
Самое раннее упоминание этой комбинаторной проблемы встречается у индийского математика Пингала (ок. 200 г. до н. э.). В нём, кстати, содержится и метод её решения. В X веке нашей эры эту теорию прокомментировал и расширил Халаюдх, используя метод, который сейчас известен как треугольник Паскаля.
Аль-Караджи описал треугольную структуру биномиальных коэффициентов, а также представил доказательство как теоремы о биноме, так и правила треугольника Паскаля, используя раннюю форму математической индукции. Персидский поэт и математик Омар Хайям, вероятно, был знаком с формулой более высокого порядка, хотя многие из его математических работ не дошли до современных учёных.
Биноминальные разложения малых степеней были известны в математических работах XIII века Ян Хуэя и Чу Ши-Цзе. Ян Хуэй ссылается на более ранний текст Цзя Сяня, написанный в XI в., однако и эти записи в настоящее время также утрачены.
Надо сказать, что структура чисел уже была известна европейским математикам позднего ренессанса, включая:
К слову, Исааку Ньютону обычно приписывают обобщённую теорему о биномах, справедливую для любого рационального показателя.
Утверждение теоремы
Когда показатель степени равен нулю, соответствующее выражение степени принимается равным 1 и этот мультипликативный фактор часто исключается из формулы. Нередко можно видеть правую сторону уравнения, записанную в виде ( n ₒ) x n + ···. Эта формула также называется биноминальным тождеством.
Коэффициенты более высоких степеней x + y соответствуют нижним строкам паскалевского треугольника. Из расчётов можно наблюдать несколько закономерностей. В общем случае для разложения (x + y) n :
Теорема может быть применена к степеням любого бинома.
С точки зрения геометрии
Для положительных значений a и b теорема с n = 2 является геометрически очевидным фактом. Это значит, что квадрат стороны a + b может быть разделён: на квадрат стороны a и b, на два прямоугольника со сторонами a и b. При n = 3 теорема утверждает, что из куба со стороной a + b можно получить: два куба со сторонами a и b, соответственно, три прямоугольника a × a × b и столько же a × b × b.
Доказательств теоремы несколько. Для примера можно рассмотреть комбинаторное. Его алгоритм — один из самых простых. Коэффициент xy 2 в (x + y) 3 равен:
Вычисления выглядят так, потому что есть три x и y строки, а именно: xyy, yxy, yyx. Они соответствуют трём двухэлементным подмножествам <1, 2, 3>, а конкретно: <2,3>, <1,3>, <1,2>, где каждое подмножество определяет позиции y в соответствующей строке треугольника.
Доказывают биномиальную теорему либо по определению, либо по короткому комбинаторному аргументу, если ( n k) представлено как n! / k! (n-k)!.
Биномные обобщения
Около 1665 года Исаак Ньютон обобщил свою теорему, касающуюся бинома. Сделал он это для того, чтобы разрешить вещественные показатели, отличные от неотрицательных целых чисел. В этом обобщении конечная сумма заменяется бесконечным рядом. Чтобы сделать это, нужно придать смысл коэффициентам бинома с произвольным верхним индексом, что невозможно сделать с помощью обычной формулы с факториалами.
Поскольку любое значение, возведённое в ноль, равно 1, можно упростить слагаемые с нулевыми степенями. Далее, двигаясь вперёд и применяя силы, целесообразно упростить все возможные сочетания.
Короткий путь
Последняя часть должна решить формулу комбинации. Очевидный способ сделать это — применить формулу комбинации для каждой задачи. Но стоит пойти на хитрость и ускорить вычисления, используя треугольник Паскаля, образованный путём создания треугольника с тремя начальными единицами. После этого для каждой строки нужно просто написать 1 на обоих концах и найти средние числа, добавляя два значения непосредственно над ним.
Для рассматриваемой задачи нужно решить: 3 выбирает 0, 3 выбирает 1, 3 выбирает 2 и 3 выбирает 3. Все эти значения содержатся в четвёртой строке. Итак, всё, что нужно сделать, это посмотреть на четвёртый ряд треугольника и сделать выводы, сопоставив ответы. Четвёртая строка имеет значения: 1, 3, 3, 1. Поэтому надо просто заменить n на выбор k. Получается следующее: (1)8x 3 + (3)4x 2 (-3) + (3)(2x)(9) + (1)(-27).
Наконец, всё, что нужно сделать — умножить и упростить каждый термин до его простейшей формы. Стоит проверить окончательный ответ, чтобы убедиться, что полномочия каждого термина всё ещё увеличивают степень первоначального бинома.
Для чего нужен бином ньютона простыми словами
Бином Ньютона
Автор работы награжден дипломом победителя II степени
Формула бинома Ньютона для целых положительных показателей была известна задолго до Исаака Ньютона, но он в 1676 году указал на возможность распространения этого разложения и на случай дробного или отрицательного показателя. Строгое обоснование указанных Ньютоном возможностей дал Н. Абель в 1826 году. В случае дробного или отрицательного n все биномиальные коэффициенты отличны от нуля, а правая часть формулы получает бесконечный ряд членов (биномиальный ряд). Бином Ньютона играет роль во многих областях математики, в частности в алгебре и теории чисел.
Бином Ньютона — формула разложения произвольной натуральной степени двучлена ( a + b ) n в многочлен. Каждый из нас знает наизусть формулы «квадрата суммы» ( a + b )2 и «куба суммы» ( a + b )3,но при увеличении показателя степени с определением коэффициентов при членах многочлена начинаются трудности, которые я рассматриваю в своей работе.
3. История бинома Ньютона
5. Свойства разложения бинома Ньютона
6. Решение задач с применением бинома Ньютона
8. Список используемой литературы
Изучить бином Ньютона и его свойства
Показать применение данных свойств при решении задач
Показать применение бинома Ньютона при решении технических задач
История бинома Ньютона
Долгое время считалось, что для натуральных показателей степени эту формулу, как и треугольник, позволяющий находить коэффициенты, изобрёл Блез Паскаль, описавший её в XVII веке. Однако историки науки обнаружили, что формула была известна ещё китайскому математику Яну Хуэю (англ.), жившему в XIII веке, а также исламским математикам ат-Туси (XIII век) и ал-Каши (XV век). В середине XVI века Михаэль Штифель описал биномиальные коэффициенты и также составил их таблицу до степени 18.
Исаак Ньютон около 1677 года обобщил формулу для произвольного показателя степени (дробного, отрицательного и др.). Из биномиального разложения Ньютон, а позднее и Эйлер, выводили всю теорию бесконечных рядов.
Что означает фразеологизм «Бином Ньютона»?
Шутливая фраза, применяется по отношению к плевому делу, простой задаче, которую некоторые ошибочно считают непосильной для выполнения или архисложной.
Слова Коровьева, которые решил прокомментировать разговор Воланда с буфетчиком Соковым. Буфетчик жалуется на зрителей, которые расплатились с ним фальшивыми деньгами, чем «на сто девять рублей наказали буфет».
Тут уж буфетчик возмутился.
В художественной литературе
В художественной литературе «бином Ньютона» появляется в нескольких запоминающихся контекстах, где речь идёт о чём-либо сложном.
В рассказе А. Конан Дойля «Последнее дело Холмса» Холмс говорит о математике профессоре Мориарти:
Когда ему исполнился двадцать один год, он написал трактат о биноме Ньютона, завоевавший ему европейскую известность. После этого он получил кафедру математики в одном из наших провинциальных университетов, и, по всей вероятности, его ожидала блестящая карьера.
В романе «Мастер и Маргарита» М. А. Булгакова:
«подумаешь, бином Ньютона! Умрёт он через девять месяцев, в феврале будущего года, от рака печени в клинике Первого МГУ, в четвёртой палате».
Позже это же выражение «Подумаешь, бином Ньютона!». упомянуто в фильме «Сталкер» А. А. Тарковского.
Роман Е. Н. Вильмонт получил название «Мимолетности, или Подумаешь, бином Ньютона!».
Рассмотрим произведения двух, трех и четырех биномов (двучленов) вида х-<- а. После умножения и приведения подобных членов по х получим
Рассматривая эти произведения, легко заметить, что произведение биномов, отличающихся только вторыми членами, есть многочлен, упорядоченный по убывающим степеням первого члена х, степень которого равна числу перемножаемых биномов. Коэффициент первого члена многочлена равен 1, а последующие образуются так: второй коэффициент равен сумме всех вторых членов биномов, третий — сумме всевозможных произведений вторых членов по два, четвертый — сумме всевозможных произведений вторых членов по три и т. д. 11оследний член многочлена равен произведению всех вторых членов биномов.
Методом математической индукции можно доказать, что правило образования произведения биномов, отличающихся только вторыми членами, установленное из рассмотрения произведений двух, трех II четырех биномов, верно для произведения любого конечного числа биномов.
Для произведения n биномов справедлива формула:
Эта формула верна и в том случае, если вторые члены равны между собой.
(x+a) n =x n +C 1 n ax n-1 +…+C k n a k x n-k +…+C n-1 n a n-1 x+a n
Свойства разложения бинома Ньютона
1) Количество членов разложения бинома на единицу больше показателя степени бинома.
2) Все члены разложения имеют одну и ту же степень n относительно первого и второго членов бинома, т. е. разложение есть однородный многочлен, причем показатели первого члена убывают от n до 0, а показатели второго члена возрастают от 0 до п.
5) Из свойств 1 и 4 следует, что если показатель бинома четный, то в разложении бинома средний член имеет наибольший биномиальный коэффициент, а если показатель бинома нечетный, то в разложении имеется два средних члена с одинаковым наибольшим коэффициентом.
6) Последующий биномиальный коэффициент разложения равен предыдущему, умноженному на показатель первого члена бинома и предыдущем члене и деленному на число предыдущих членов
Сумма всех биномиальных коэффициентов равна 2 п , где п — показатель бинома.
Если в формуле бинома Ньютона положить х = а = 1, то получим
Если в формуле бинома Ньютона заменить а на -а, то получим
Сумма биномиальных коэффициентов, стоящих на четных местах, равна сумме коэффициентов, стоящих на нечетных местах.
Для определения биномиальных коэффициентов удобно пользоваться так называемым треугольником Паскаля или арифметическим треугольником. Это треугольная таблица биномиальных коэффициентов, составленная так, что каждый ее элемент равен сумме двух над ним стоящих.
Решение задач с применением бинома Ньютона
Возведите в степень: (2t + 3/t)4.
Решение У нас есть (a + b)n, где a = 2t, b = 3/t, и n = 4. Мы используем 5-й ряд треугольника Паскаля:
Пример 5 Сеть ресторанов Венди предлагает следующую начинку для гамбургеров:
Сколько разных видов гамбургеров может предложить Венди, исключая размеры гамбургеров или их количество?
Начинки на каждый гамбургер являются элементами подмножества множества всех возможных начинок, а пустое множество это просто гамбургер. Общее число возможных гамбургеров будет равно
Таким образом, Венди может предложить 512 различных гамбургеров.
Решение технических задач
Тяга воздушного винта и потребляемая им мощность вычисляются по формулам: P = apn 2 s D 4 N = bpn 3 s D 5
Определить, на сколько снизилась тяга этого винта и потребляемая им Мощность при тех же секундных оборотах, если полагать все остальные параметры, входящие в формулы, неизменными.
откуда ∆ T = T 1[1- 1/(1+∆ Q / Q 1) 9 ]= T 1[1-1/1+9∆ Q / Q 1+36(∆ Q / Q 1) 2 +82(∆ Q / Q 1) 3 +126(∆ Q / Q 1) 4 +126(∆ Q / Q 1) 5 +82(∆ Q / Q 1) 6 +36(∆ Q / Q 1) 7 +9(∆ Q / Q 1) 8 +(∆ Q / Q 1) 9 ]
Если ∆ Q / Q 1 Q / Q 1 выше первой очень малы. В Этом случае ∆ T ≈ T 1(1-1/1+9∆ Q / Q 1)= 9 T 1 *∆ Q / Q 1 /1+9∆ Q / Q 1
Газ сжимается в сосуде, стенки которого хорошо проводят тепло. При этом абсолютная температура и давление газа связаны следующим уравнением:
где п= 1,2—показатель политропы; р1 и р2 — соответственно давления первого и второго состояния; T 1и T 2— соответственно абсолютные температуры первого и второго состояния.
Температура в сосуде измеряется посредством помещенной в нем термопары. Пусть во втором состоянии при сжатии температура получила небольшое приращение ∆ t = 5° против первого состояния. Определить, какое приращение получило при этом давление. Температура Т1 = 300° и давление р1 = 2 кГ/см 2 — первого состояния известны.
Подставляя значения T 2и p 2 в формулу, получаем:
откуда ∆ T = T 1[1- 1/(1+∆ Q / Q 1) 9 ]= T 1[1-1/1+9∆ Q / Q 1+36(∆ Q / Q 1) 2 +82(∆ Q / Q 1) 3 +126(∆ Q / Q 1) 4 +126(∆ Q / Q 1) 5 +82(∆ Q / Q 1) 6 +36(∆ Q / Q 1) 7 +9(∆ Q / Q 1) 8 +(∆ Q / Q 1) 9 ]
Если ∆ Q / Q 1 Q / Q 1 выше первой очень малы. В Этом случае ∆ T ≈ T 1(1-1/1+9∆ Q / Q 1)= 9 T 1 *∆ Q / Q 1 /1+9∆ Q / Q 1
где Q —вес поднимаемого груза; k = 1,02 — коэффициент сопротивления блока; n — число ветвей полиспаста. Вывести упрощенную формулу для вычисления Р и, применив ее, определить Р, если Q = 1500 кГ и п = 5.
Заметим, что 0.02 2 =0.0004; 0.02 3 =0.000008 и т.д.
Видно, что члены разложения по формуле Ньютона быстро убывают. Для практики достаточно учесть первые 3 числа разложения, пренебрегая следующими. Тогда получаем:
Для нас получаем : P =1.02 5 *1500/5[1+(5-1)*0.01]≈ 318 кГ
При изучении математики решение задач играет огромную роль. И не только потому,что необходимо выработать умение применять полученные знания на практике (а ведь это одна из основных целей изучения математики в школе). Без решения задач нельзя владеть и теорией. Именно в процессе решения задач математические понятия, аксиомы и теоремы, формулы и правила, геометрические фигуры предстают перед нами в самых разнообразных ракурсах, не в застывшем виде, а в движении, в различных связях и взаимозависимостях, которые отображают диалектику самой действительности. Подобно тому, как грамматическими правилами можно овладеть лишь в процессе живой языковой практики, так и математическую теорему, определение, формулу можно усвоить по-настоящему, научиться применять на практике только в процессе решения задач.
1. А.Б. Шкарин, А.М. Федянов, Б.Г. Сандлер «алгебраические задачи в технике»
2. А.П. Савин «Энциклопедический словарь»
3. Г.И. Глейзер «История математики в школе»
4. Ф.П. Яремчук, П.А. Рудченко «Алгебра и элементарные функции»