Для чего нужен двойной интеграл

18.04.202220.04.2022 admin 0 Comments

Вычисление двойных интегралов: теория и примеры

Что значит вычислить двойной интеграл?

Записывается двойной интеграл так:

Случай прямоугольной области:

Случай криволинейной области:

Сведение двойного интеграла к повторному

Случай прямоугольной области

Пусть для такой функции существует двойной интеграл

Чтобы вычислить этот двойной интеграл, нужно свести его к повторному интегралу, который имеет вид

Можно и поменять ролями x и y. Тогда повторный интеграл будет иметь вид

Пример 1. Вычислить двойной интеграл

Решение. Сводим данный двойной интеграл к повторному интегралу

На чертеже строим область интегрирования:

Вычисляем внутренний (правый) интеграл, считая игрек константой. Получаем.

Теперь вычисляем внешний (левый) интеграл от вычисленного только что внутреннего (правого):

Результат и будет решением данного двойного интеграла.

Пример 2. Вычислить двойной интеграл

Решение. Сводим данный двойной интеграл к повторному интегралу

На чертеже строим область интегрирования:

Вычисляем внутренний (правый) интеграл, считая икс константой. Получаем.

Теперь вычисляем внешний (левый) интеграл от вычисленного только что внутреннего (правого):

Результат и будет решением данного двойного интеграла.

Случай криволинейной или треугольной области

Пусть для такой функции также существует двойной интеграл

Чтобы вычислить этот двойной интеграл, нужно свести его к повторному интегралу, который имеет вид

Точно так же можно поменять ролями x и y. Тогда повторный интеграл будет иметь вид

Пример 3. Вычислить двойной интеграл

Решение. Сводим данный двойной интеграл к повторному интегралу

На чертеже строим область интегрирования и видим, что она треугольная:

Вычисляем внутренний (правый) интеграл, считая икс константой. Получаем.

Теперь вычисляем внешний (левый) интеграл от вычисленного только что внутреннего (правого). Сначала представляем этот интеграл в виде суммы интегралов:

Вычисляем первое слагаемое:

Вычисляем второе слагаемое:

Вычисляем третье слагаемое:

Получаем сумму, которая и будет решением данного двойного интеграла:

Пример 4. Вычислить двойной интеграл

Решение. Сводим данный двойной интеграл к повторному интегралу

На чертеже строим область интегрирования:

Вычисляем внутренний (правый) интеграл, считая икс константой. Получаем.

Теперь вычисляем внешний (левый) интеграл от вычисленного только что внутреннего (правого):

Результат и будет решением данного двойного интеграла.

Вычислить двойной интеграл самостоятельно, а затем посмотреть решение

Пример 5. Вычислить двойной интеграл

если область D ограничена прямыми

Пример 6. Вычислить двойной интеграл

если область D ограничена прямыми

x-правильная и неправильная, y-правильная и неправильная области интегрирования

Случается, область интегрирования двойного интеграла ограничена такими линиями, что возникает необходимость разбить область интегрирования на части и решать каждый соответствующий повторный интеграл отдельно. Это случаи, когда:

1) область интегрирования представляет собой фигуру, имеющую в виде нижней или верхней (левой или правой) границы две или более двух прямых или кривых линий;

2) область интегрирования представляет собой фигуру, границу которой прямые пересекают более чем в двух точках.

Если вышесказанное относится к левой или правой границе области интегрирования, то есть ограничениях, заданных линиями, выраженными через x, то область интегрирования называется x-неправильной. Если же прямая y = y 0 пересекает соответствующую границу лишь в одной точке и если границей служит лишь одна прямая или кривая, то область интегрирования называется x-правильной

Аналогично, если границу, заданную линиями, выраженными через y, прямая x = x 0 пересекает более чем в одной точке или если границей служат более одной прямой или кривой, то область интегрирования называется y-неправильной. Вывести теперь признаки y-правильной области, надо полагать, совсем просто.

До сих пор мы рассматривали примеры с x-неправильными и y-правильными областями интегрирования. Теперь рассмотрим случаи, когда условие правильности нарушается.

Вычисляется этот двойной интеграл так:

Смена порядка интегрирования

Как уже отмечалось выше, после приведения двойного интеграла к повторному интегралу, можно поменять переменные x и y ролями, или, говоря иначе, поменять порядок интегрирования.

Пример 8. Сменить порядок интегрирования для повторного интеграла

(нижний) и (верхний).

Таким образом, после смены порядка интегрирования повторный интеграл запишется так:

После смены порядка интегрирования в двойном интеграле нередко область интегрирования превращается в y-неправильную или x-неправильную (см. предыдущий параграф). Тогда требуется разбить область интегрирования на части и решать каждый соответствующий повторный интеграл отдельно.

Поскольку разбиение области интегрирования на части представляет определённые трудности для многих студентов, то не ограничимся примером, приведённым в предыдущем параграфе, а разберём ещё пару примеров.

Пример 9. Сменить порядок интегрирования для повторного интеграла

Естественно, таким же будет решение двойного интеграла, который сводится к повторному интегралу, данному в условии этого примера.

Пример 10. Сменить порядок интегрирования для повторного интеграла

Поэтому разобьём область интегрирования на три части прямыми, которые на рисунке начерчены чёрным. Новые пределы интегрирования вычисляем, находя обратную функцию. Пределы для трёх новых областей интегрирования будут следующими.

Для :

Соответственно этому решению повторный интеграл после смены порядка интегрирования будет равным сумме трёх интегралов:

Той же сумме трёх интегралов будет равен и двойной интеграл, который сводится к повторному интегралу, данному в условии этого примера.

Пример 11. Найти пределы интегрирования двойного интеграла, если область интегрирования D задана следующим образом:

Решение. В явном виде (через x и y «без примесей») линии, ограничивающие область интегрирования, не заданы. Так как для икса ими чаще всего оказываются прямые, касающиеся в одной точке верхней и нижней границ, выраженных через игрек, то пойдём именно по этому пути. Тем более, что при смене порядка интегирования мы получим область интегрирования с такой же площадью. Разрешим неравенства относительно игрека и получим:

Теперь данный двойной интеграл можем записать как сумму двух повторных интегралов с правильно расставленными пределами интегрирования:

Вычисление площади и объёма с помощью двойных интегралов

Вычисление площади плоской фигуры с помощью двойного интеграла имеет более универсальный характер, чем вычисление площади криволинейной трапеции с помощью определённого интеграла. С помощью двойного интеграла можно вычислять площади не только криволинейной трапеции, но и фигур, расположенных произвольно по отношению к к координатным осям.

Вычисляем внутренний (правый) интеграл:

Вычисляем внешний (левый) интеграл от вычисленного только что внутреннего (правого):

Расставляя пределы интегрирования, получаем следующий повторный интеграл:

Вычисляем внутренний (правый) интеграл:

Вычисляем внешний (левый) интеграл от вычисленного только что внутреннего (правого):

Так что же такое двойной интеграл?

которую назовём интегральной суммой. Диаметром области D условимся называть наибольшее расстояние между граничными точками этой области. Учитывается также наибольший из диаметров частичных областей.

Определение. Если интегральная сумма при неограниченном возрастании числа n разбиений области D и стремлении наибольшего из диаметров частичных областей к нулю имеет предел, то этот предел называется двойным интегралом от функции f(x, y) по области D.

Если областью интегрирования является окружность или часть окружности, то двойной интеграл проще вычислить в полярных координатах. Обобщением понятия двойного интеграла для функции трёх переменных является тройной интеграл.

Источник

Лекции кратные интегралы, двойной интеграл

Тема2. Кратные интегралы.

1. Двойной интеграл, его геометрический и физический смысл

2. Свойства двойного интеграла.

3. Вычисление двойного интеграла в декартовых координатах.

4. Замена переменных в двойном интеграле. Вычисление двойного интеграла в полярных координатах.

Замечание. Ниже будем считать все рассматриваемые кривые кусочно-гладкими. Диаметром замкнутой ограниченной области будем называть наибольшее из расстояний между двумя точками границы этой области

S = (1)

Определение. Двойным интегралом функции f(x,y) по области D называется предел интегральной суммы

, (2)

если он существует.

Достаточное условие существования двойного интеграла. Двойной интеграл (1) существует, если функция f(x,y) непрерывна в D за исключением конечного числа кусочно-гладких кривых и ограничена в D. В дальнейшем будем считать, что все рассматриваемые двойные интегралы существуют.

Геометрический смысл двойного интеграла.

Если f(x,y) ≥0 в области D, то двойной интеграл (1) равен объему «цилиндрического” тела, изображенного на рисунке:

V = (3)

Физический смысл двойного интеграла. Масса плоской пластины.

Пусть задана плоская пластина D с известной функцией плотности γ(х, у ), тогда разбивая пластину D на части D _i и выбирая произвольные точки , получим для массы пластины , или, сравнивая с формулой (2):

(4)

4. Некоторые свойства двойного интеграла.

Линейность. Если С – числовая константа, то

Аддитивность. Если область D « разбита ” на области D₁ и D₂, то

3) Площадь ограниченной области D равна

(5)

Вычисление двойного интеграла в декартовых координатах.

Пусть задана область

Двойной интеграл (1) по области D ( 4) вычисляется переходом к повторному интегралу:

(7)

Этот повторный интеграл вычисляется следующим образом. Сначала вычисляется внутренний интеграл

Замечание. Процесс перехода к повторному интегралу по формуле (7) часто называют расстановкой пределов интегрирования в двойном интеграле. При расстановке пределов интегрирования нужно помнить два момента. Во-первых, нижний предел интегрирования не должен превышать верхнего, во-вторых, пределы внешнего интеграла должны быть константами, а внутреннего должны в общем случае зависеть от переменной интегрирования внешнего интеграла.

Пусть теперь область D имеет вид

Тогда

. (9)

Предположим, что область D можно представить в виде (6) и (8) одновременно. Тогда имеет место равенство

(10)

Переход од одного повторного интеграла к другому в равенстве (10) называется изменением порядка интегрирования в двойном интеграле.

1) Изменить порядок интегрирования в интеграле

Решение. По виду повторного интеграла находим область

Изобразим область D. По рисунку видим, что эта область расположена в горизонтальной полосе между прямыми y =0, y =2 и между линиями x =0 и x = y  2. Это значит, что

Тогда по формуле (10) получаем

2)Вычислить интеграл где D  область из примера 1.

Решение. Расставим пределы интегрирования в интеграле подобно примеру 1:

Теперь вычислим внешний интеграл по x :

Замена переменных в двойном интеграле.

Иногда для упрощения вычислений делают замену переменных:

, (11)

Если функции (11) непрерывно дифференцируемы и определитель (Якобиан) отличен от нуля в рассматриваемой области:

(12)

Источник

Двойной интеграл – основные понятия и определения

Содержание

Двойной интеграл – основные понятия и определения……………….2

Свойства двойных интегралов…………………………………………. 5

Вычисление двойного интеграла в декартовых координатах……….8

Вычисление объема тела…………………………………………………..10

Двойной интеграл – основные понятия и определения

Двойной интеграл является обобщением определенного интеграла на случай функции двух переменных.

Пусть в замкнутой области D на плоскости Oxy задана непрерывная функция z=f(x,y). Разобьем область D на n «элементарных областей» (i=1,n), площади которых обозначим через (рис.1). В каждой области выберем произвольную точку , умножим значение функции в этой точке на и составим интегральную сумму:

Определение двойного интеграла:

Предел при интегральных сумм , не зависящий от способа разбиения области D на части и от выбора в них точек , называется двойным интегралом от функции по области D. и обозначается .

Таким образом, двойной интеграл определяется равенством . Если разбиение области D проводить прямыми параллельными координатным осям, то элемент площади ds=dxdy и двойной интеграл в декартовых координатах записывается в виде .

В этом случае функция называется интегрируемой в области D и обозначается , а область D называется областью интегрирования. Всякая непрерывная в ограниченной замкнутой области D функция интегрируема в этой области.

Геометрический смысл двойного интеграла:

Итак, геометрический смысл двойного интеграла от неотрицательной функции – объем цилиндрического тела. В частности, если считать , то численно значение двойного интеграла будет равно площади области D

Физический смысл двойного интеграла:

Требуется найти массу плоской пластины, если известна ее поверхностная плотность ρ(x,y). Разобьем область D на n «элементарных областей» (i=1,n), с площадями . В каждой области выберем произвольную точку и вычислим плотность в ней . Если области малы, то приближенно можно считать что, плотность в каждой точке мало

отличается от значений и масса площадки . Тогда масса всей пластины задается приближенным равенством . Точное значение массы получим при условии . Таким образом, физический смысл двойного интеграла – это масса плоской области D .