Для чего нужен критерий кохрена
Q критерий Кохрена
Определение и интерпретация
Q критерий Кохрена является развитием критерия хи-квадрат Макнемара.
Итак, критерий Кохрена предполагает наличие k>2 воздействий на группы наблюдений:
| Воздействие 1 | Воздействие 2 | . | Воздействие k | |
|---|---|---|---|---|
| группа 1 | X11 | X12 | . | X1k |
| группа 2 | X21 | X22 | . | X2k |
| . | . | . | . | |
| группа m | Xm1 | Xm2 | . | Xmk |
: Нет различия в воздействиях на группы
: Нет различия в воздействиях на группы
: Различие в воздействиях на группы есть
Предположения Q критерия Кохрена:
Число групп достаточно большое
Группы выбраны из популяции случайно
Воздействие на группы измеряется в виде дихотомической переменной (т.е. принимает 2 значения: 0/1 или да/нет)
Статистика критерия Кохрена выражается формулой:
X . j — сумма положительных откликов для j-воздействия
Для заданного уровня значимости 
критическая область определяется как:
где 
квантиль уровня (1-) распределения Хи-квадрат с k-1 степенями свободы.
Нулевая гипотеза отклоняется, если статистика критерия попадает в критическую область. Подробнее о проверке гипотез
Если критерий Кохрена отклонил нулевую гипотезу, в дальнейшем Вы можете воспользоваться методом множественных сравнений для определения, какое именно воздействие значимо отличается от других.
Пример
Следующий пример основан на (искусственных) данных Siegel and Castellan (1988, стр. 173). Положим, вы интересуетесь эффектом, какое влияние оказывает стиль интервьюера на число респондентов, согласившихся дать ответы на деликатные вопросы в очном опросе.
Заметим, что всегда трудно получить ответы на такие деликатные вопросы, как, например, финансовое положение или здоровье в таких опросах, и возможно, вы захотите выяснить, повышает или нет, стиль задания вопросов интенсивность ответов (т.е. уменьшается ли количество отказавшихся отвечать).
Для этой цели, можно научить интервьюера проводить интервью в одном из следующих стилей:
(1) восторженно, дружелюбно и заинтересовано (Interview 1)
(2) очень сдержанно и формально (Interview 2)
(3) беспристрастно и резко (Interview 3)
Рис. 1. Таблица исходных данных.
Результаты
Рис. 2. Результаты критерия Кохрена в виде таблицы
Q критерий высоко значим. Самая правая колонка показывает процент семей, которые раскрыли свою личную информацию (Процент 1).
Интересно отметить, что не обнаружено различия в эффективности между первым стилем: восторженно, дружелюбно и заинтересованно (переменная Intrvw_1) и вторым: (2) очень сдержанно и формально (Intrvw_2), таким образом, выражение интереса интервьюером, кажется, не имеет значения.
Однако число отказавшихся отвечать увеличилось, когда использовалось интервью третьего типа: беспристрастно и резко (Intrvw_3).
Быстрая визуализация результатов может быть получена с помощью диаграммы размаха.
Рис. 3. Результаты критерия Кохрена в виде диаграммы
Техническая гальванопластика
Гальванопластика — направление прикладной электрохимии, направленное на создание изделий путем электрохимического осаждения металлов и сплавов на различные носители формы (формообразующие элементы) в жидких средах.
Принцип формирования металлического осадка на поверхности модели, такой же как и при гальваническом нанесении покрытий, но в отличии от классической гальваники (гальваностегии) – толщина формируемых металлических осадков может достигать нескольких сантиметров.
В первой половине 20 века применение гальванопластики с целью получения технических изделий превратилось в полноценную промышленную технологию получения сложных и точных изделий.
Контрольные карты (III). Предварительный анализ: проверка однородности дисперсий.
В предыдущей части в качестве примера мы отобрали данные титриметрического анализа без учёта различий в метрологических характеристиках методик и пришли к выводу о ненормальности распределения вследствие неоднородности данных. Теперь мы распределим сходные методики по группам, и снова убедимся в их принадлежности нормальному распределению. Группирование произведём таким образом: для каждой методики сделаем выборки и установим однородность для каждой выборки по нескольким критериям. Если гипотеза об однородности пройдёт, то мы будем считать, что между метрологическими характеристиками методик нет существенной разницы, и мы можем строить для них общую контрольную карту. Если данные не однородны, то результаты анализов по таким методикам на одну карту наносить не будем.
Ацидиметрическое определение H 2 SO 4 в электролите лужения
Йодометрическое определение меди в электролите меднения
Комплексонометрическое определение никеля в электролите никелирования
Комплексонометрическое определение свободного кобальта в электролите золочения
Анализ однородности проводится следующим образов:
Этот этап нами уже выполнен (WM-критерий превышает критическое значение WMкр=930).
Рассчитаем средние значения каждой выборки:
x1cредн. = ∑xi1/n1 = (0,52+0,62+0,67+0,72+0,83+0,84+0,87+0,91+1,10+1,29)/10 = 0,84
| Выборка 1 | Выборка 2 | Выборка 3 | Выборка 4 | |
| xcредн. | 0,84 | 0,97 | 1,15 | 2,99 |
| S 2 | 0,0522 | 0,0989 | 0,0689 | 1,1792 |
1) Оценка по критерию Фишера.
Для сравнения двух выборочных дисперсий используют F-критерий. При этом вычисляют отношение большей дисперсии к меньшей:
Затем сравнивают рассчитанное значение Fс табличным Fα(f1,f2), где α – уровень значимости, а f1, f2 – числа степеней свободы для большей и меньшей выборок.
Сравним дисперсии из нашего примера:
| S 2 | 0,0522 | 0,0989 | 0,0689 | 1,1792 |
В нашем случае число степеней свободы для всех выборок одинаковы, поэтому мы найдём отношение максимальной (1,1792) дисперсии к минимальной (0,0522) и сравним его с табличным значением. Если большая и меньшая дисперсия однородны, то все остальные также будут однородны. Если они не будут однородными, то мы найдём отношение второй по величине дисперсии (0,0989) к наименьшей (0,0522) и т.д. Гипотеза об однородности принимается, если F Первая итерация: F = S 2 max/S 2 min= 1,1792/0,0522 = 22,58
Табличное значение Fα=0,05(f1=9,f2=9) = 3,18. Гипотеза отвергается.
Вторая итерация: F= S 2 max/S 2 min= 0,0989/0,0522 = 1,89.
Табличное значение больше расчётного, поэтому гипотеза об однородности дисперсий выборок 1 и 2 принимается. Также однородной с ними является дисперсия выборки 3, т.к. она занимает промежуточное положение.
Подтвердим полученные результаты с помощью критериев Кохрена и Бартлетта (хи-квадрат).
2) Оценка по критерию Кохрена.
Критерий Кохрена применяется для выборок одинакового объёма. В случае использования критерия Кохрена вычисляют отношение максимальной дисперсии к сумме всех дисперсий и сравнивают его с табличным значением:
Если G>Gα(f,n), то принимают гипотезу об отсутствии однородности дисперсий с вероятностью α совершить ошибку.
Процедура сравнения заключается в том, что мы последовательно исключаем наибольшие дисперсии из рассмотрения в случае неоднородности, пока не находим хотя бы две однородные дисперсии или полное отсутствие таковых.
Первая итерация: G = S 2 max/∑Si 2 = 1,1792/(1,1792+0,0689+0,0989+0,0522) = 0,8428
Находим табличное значение Gα(f,n) = 0,5017, где n – число сравниваемых выборок (n=4), f = m-1 = 9– число степеней свободы, m – объём выборки (m=10), α=0,05 – уровень значимости.
Неравенство G>Gα(f,n) соблюдается, значит, мы отбрасываем гипотезу об однородности с вероятностью в 5% совершить ошибку.
Мы отбрасываем выборку с большей дисперсией 1,1792, и повторяем проверку для оставшихся трёх выборок.
G = S 2 max/∑Si 2 = 0,0989/(0,0689+0,0989+0,0522) = 0,4495
Находим табличное значение Gα(f,n) = 0,6167, где n – число сравниваемых выборок (n=3), f = m-1 = 9– число степеней свободы, m – объём выборки (m=10), α=0,05 – уровень значимости.
Неравенство G>Gα(f,n) нарушается, значит, мы принимаем гипотезу об однородности дисперсий трёх оставшихся выборок.
3) Оценка по критерию Бартлетта.
Преимуществом этого критерия является возможность сравнения выборок разного объёма. Мы используем выборки одинакового объёма, поэтому будем использовать упрощённые расчёты. С расчётами для выборок разного объёма можно ознакомиться в книге по ссылке ниже. Критерий Бартлетта чувствителен к отклонению распределения от нормального, поэтому при его применении необходимо осторожно подходить к выводам. При его применении лучше подтверждать выводы другими методами.
Т.к. выборки будут сравниваться попарно n=2.
Объём выборок одинаков m=m1=m2=10,
Степень свободы каждой выборки fj=m1-1=m2-1=10-1=9
Степень свободы для критерия Бартлетта f = ∑fj = f1+f2 = 9+9=18
| S 2 | 0,0522 | 0,0989 | 0,0689 | 1,1792 |
1) Вычисляем среднюю арифметическую сравниваемых дисперсий:
S 2 a = ∑S 2 i/n = (0,0522 + 1,1792)/2 = 0,615732
2) Вычисляем среднюю геометрическую сравниваемых дисперсий:
S 2 g = (∏Si 2 fj ) 1/ f = [(0,0522 2*9 )*(1,1792 2*9 )] 1/18 = 0,248161
3) Вычисляем критерий Бартлетта:
В = f*ln(S 2 a/S 2 g) = 18*ln(0,615732/0,248161) = 16,35721
4) Вычисляем коэффициент С:
С = 1 + (n+1)/(3*n*fj) = 1+(2+1)/(3*2*9) = 1,05555
5) Вычисляем отношение В к С:
В/С = 16,35721/1,05555 = 15,49630
Сравниваем полученное отношение В/С cтабличным значением хи-квадрат при числе степеней свободы ν=n-1=2-1 и уровне значимости 5%.
Рассчитанное значение больше критического, поэтому гипотеза однородности не может быть принята.
Мы отбрасываем самую большую дисперсию и продолжаем проверку однородности.
| S 2 | 0,0522 | 0,0989 | 0,0689 | — |
1) S 2 a = ∑S 2 i/n = (0,0522 + 0,0989)/2 = 0,07555
2) S 2 g = (∏Si 2 fj ) 1/ f = [(0,0522 2*9 )*(0,0989 2*9 )] 1/18 = 0,071855
3) В = f*ln(S 2 a/S 2 g) = 18*ln(0,07555/0,071855) = 0,901431
4) С = 1 + (n+1)/(3*n*fj) = 1+(2+1)/(3*2*9) = 1,05555
5) В/С = 0,901431/1,05555 = 0,85399
Сравниваем полученное отношение В/С cтабличным значением хи-квадрат при числе степеней ν=n-1=2-1=1 и уровне значимости 5%.
Рассчитанное значение меньше критического, поэтому гипотеза однородности принимается.
Выводы: Данные анализа по критерию Фишера и критериям Кохрена и Бартлетта позволяют нам сделать вывод об однородности дисперсий выборок 1, 2 и 3 и неоднородности с ними выборки 4. Данные выборки 4 исключаются из дальнейшей проверки средних значений.
Относительно нашей основной задачи можно отметить, что для методики определения кобальта (выборка 4) либо строится своя индивидуальная контрольная карта, либо данные этой методики сравниваются с данными других методов (вынесенных за рамки нашего рассмотрения) для объединения их в одну группу. Для остальных методик будет проведена оценка однородности средних значений.
1. Агаянц И.М. Азы статистики в мире химии: Обработка экспериментальных данных – СПб: Научные основы и технологии, 2015. – 618 с.