Для чего нужен неопределенный интеграл
Сегодня вы поймёте, что такое интеграл в математике
(и в программировании)
Недавно мы разобрали, что такое знаки Σ и П в математике — это операции, которые, по сути, похожи на циклы в программировании. В одном случае мы складывали много чисел по определённому принципу, а в другом — умножали.
Сегодня посмотрим на интеграл ∫ — что это такое и какой цикл можно сделать из него.
Но сначала: что такое функция
Интегралы в математике всегда связаны с функциями, поэтому сначала поговорим про них.
Функцию можно представить как «коробку с математикой». У тебя есть какая-то масса математических операций, ты их «запаковываешь» в функцию. Теперь ты можешь эту массу операций вызывать в своих математических выражениях одним действием.
У функции есть один или несколько аргументов — это те числа, к которым нужно применить массу математических операций. Можно представим, что мы засунули это число в коробку с математикой, потрясли и получили на выходе другое число.
Если посчитать f(x) для одного числа, получится другое число. Если посчитать f(x) от 100 чисел, получится 100 других чисел. А если непрерывно считать f(x) для бесконечного количества чисел, то получится бесконечное количество других чисел.
Что такое интеграл
Итак, у нас есть некая функция, у неё есть числа на входе и числа на выходе. Эти пары чисел можно использовать для построения графика функции.
Теперь берём этот график функции и проводим две линии, которые ограничивают график. Получается фигура, которая сверху зависит от нашей функции, а с остальных сторон ограничена прямыми линиями и осью:
А теперь то, ради чего всё это затевалось:
✅ Площадь этой фигуры и есть интеграл функции f(x) = sin(x) + cos(x) на отрезке от a до b
В нашем случае мы считаем интеграл от нуля до числа пи — 3,1415926.
Это называется определённый интеграл. Определённый — это когда у нас определены начало и конец фигуры — в математике это называют пределами интегрирования. Записывается этот интеграл так:
В математике есть ещё неопределённые интегралы, у которых нет пределов интегрирования. Ими мы заниматься не будем, потому что ответом к неопределённому интегралу будет не конкретное число, а формула.
Зачем нужны интегралы в народном хозяйстве
Вы удивитесь, но в первую очередь интегралы нужны, чтобы находить площади и объёмы. В буквальном смысле: вот фигура, вот её описание в виде функции, проинтегрировали — узнали площадь. Будете, например, заливать бетоном красивую кривую дорожку — узнаете, сколько вам нужно бетона.
Интегралы нужны в математике и физике, это один из инструментов вычислений.
Если вы астрофизик, интеграл поможет вам рассчитать какие-нибудь свойства звёзд с течением времени. А математики говорят, что в интегралах не нужно искать практический смысл; их нужно любить, как мать, и почитать, как отца.
Как посчитать интеграл (то есть найти площадь)
Если бы у нас был прямоугольник, то всё просто: перемножаем высоту на ширину. Если бы была трапеция, тоже ещё как-то что-то можно. Но сверху у нас кривая, поэтому так сделать не получится. Решение придумали такое:
Минус такого подхода в том, что, как бы мы ни старались, прямоугольники не могут повторить все изгибы, и появится погрешность. С другой стороны, чем тоньше будут эти прямоугольники, тем точнее будет ответ. Получается, что наша задача — нарезать фигуру как можно тоньше.
Теперь задача становится намного проще: мы просто считаем площадь каждого прямоугольника и складываем их вместе. В таком виде задачу уже можно решить простым алгоритмом.
Пишем код
Раз нам нужно разбить интервал на много частей а потом с каждой из них сделать одно и то же, то это точно задача для цикла. Для этого нам понадобится шаг цикла — какой ширины будут наши прямоугольники, чтобы бы могли их одинаково перебирать.
Чтобы посчитать шаг, находим расстояние между конечной и начальной точкой и делим на желаемое количество прямоугольников (это будет нашей точностью интегрирования).
Общая логика работы будет такая:
На картинке — все исходные данные, а ниже — код, который считает интеграл. Смотрите на картинку и читайте комментарии: так будет ещё проще разобраться в коде:
Что дальше
Теперь этот код можно изменить так, чтобы он считал интеграл в любых пределах у любой функции. С точки зрения математики это не самый точный результат, но всё зависит от того, сколько точных знаков после запятой нам нужно.
В следующей серии продолжим разбираться со страшной математикой. Если есть пожелания для разбора — напишите в комментариях.
Интегралы – что это, как решать, примеры решений и объяснение для чайников
За 4 минуты вы узнаете, что такое интегрирование. Как интеграл связан с производными. Чем отличается определенный интеграл от неопределенного. 5 примеров вычисления интегралов
Почему вы не знаете, как решать интегралы
А для чего нужны интегралы? Попробуйте сами себе ответить на этот вопрос.
Объясняя тему интегралов, учителя перечисляют малополезные школьным умам области применения. Среди них:
Связать все эти процессы не всегда получается, поэтому многие ученики путаются, даже при наличии всех базовых знаний для понимания интеграла.
Главная причина незнания – отсутствие понимания практической значимости интегралов.
Нужна помощь в написании работы?
Интеграл – что это?
Предпосылки. Потребность в интегрировании возникла в Древней Греции. В то время Архимед начал применять для нахождения площади окружности методы, похожие по сути на современные интегральные исчисления. Основным подходом для определения площади неровных фигур тогда был «Метод исчерпывания», который достаточно лёгок для понимания.
Суть метода. В данную фигуру вписывается монотонная последовательность других фигур, а затем вычисляется предел последовательности их площадей. Этот предел и принимался за площадь данной фигуры.
Метод исчерпывания для определения площади круга
В этом методе легко прослеживается идея интегрального исчисления, которая заключается в нахождении предела бесконечной суммы. В дальнейшем эта идея применялась учёными для решения прикладных задач астронавтики, экономики, механики и др.
Современный интеграл. Классическая теория интегрирования была сформулирована в общем виде Ньютоном и Лейбницем. Она опиралась на существовавшие тогда законы дифференциального исчисления. Для её понимания, необходимо иметь некоторые базовые знания, которые помогут математическим языком описать визуальные и интуитивные представления об интегралах.
Объясняем понятие «Интеграл»
Процесс нахождения производной называется дифференцированием, а нахождение первообразной – интегрированием.
Интеграл математическим языком – это первообразная функции (то, что было до производной) + константа «C».
Интеграл простыми словами – это площадь криволинейной фигуры. Неопределенный интеграл – вся площадь. Определенный интеграл – площадь в заданном участке.
Интеграл записывается так:
Каждая подынтегральная функция умножается на компонент «dx». Он показывает, по какой переменной осуществляется интегрирование. «dx» – это приращение аргумента. Вместо X может быть любой другой аргумент, например t (время).
Неопределённый интеграл
Неопределенный интеграл не имеет границ интегрирования.
Для решения неопределённых интегралов достаточно найти первообразную подынтегральной функции и прибавить к ней «C».
Определённый интеграл
В определенном интеграле на знаке интегрирования пишут ограничения «a» и «b». Они указаны на оси X в графике ниже.
Точки A и B на оси X – есть ограничение зоны определения интеграла
Для вычисления определенного интеграла необходимо найти первообразную, подставить в неё значения «a» и «b» и найти разность. В математике это называется формулой Ньютона-Лейбница:
Таблица интегралов для студентов (основные формулы)
Скачайте формулы интегралов, они вам еще пригодятся
Как вычислять интеграл правильно
Существует несколько простейших операций для преобразования интегралов. Вот основные из них:
Вынесение константы из-под знака интеграла
Разложение интеграла суммы на сумму интегралов
Если поменять местами a и b, знак изменится
Можно разбить интеграл на промежутки следующим образом
Это простейшие свойства, на основе которых потом будут формулироваться более сложные теоремы и методы исчисления.
Примеры вычисления интегралов
Решение неопределенного интеграла
Решение определенного интеграла
Базовые понятия для понимания темы
Чтобы вы поняли суть интегрирования и не закрыли страницу от непонимания, мы объясним ряд базовых понятий. Что такое функция, производная, предел и первообразная.
Функция – правило, по которому все элементы из одного множества соотносятся со всеми элементами из другого.
Производная – функция, описывающая скорость изменения другой функции в каждой конкретной точке. Если говорить строгим языком, – это предел отношения приращения функции к приращению аргумента. Он вычисляется вручную, но проще использовать таблицу производных, в которой собрано большинство стандартных функций.
Приращение – количественное изменение функции при некотором изменении аргумента.
Предел – величина, к которой стремиться значение функции, при стремлении аргумента к определённому значению.
Пример предела: допустим при X равном 1, Y будет равно 2. Но что, если X не равен 1, а стремится к 1, то есть никогда её не достигает? В этом случае y никогда не достигнет 2, а будет только стремиться к этой величине. На математическом языке это записывается так: limY(X), при X –> 1 = 2. Читается: предел функции Y(X), при x стремящемся к 1, равен 2.
Как уже было сказано, производная – это функция, описывающая другую функцию. Изначальная функция может быть производной для какой-либо другой функции. Эта другая функция называется первообразной.
Заключение
Найти интегралы не трудно. Если вы не поняли, как это делать, прочитайте статью еще раз. Со второго раза становится понятнее. Запомните! Решение интегралов сводится к простым преобразованиям подынтегральной функции и поиска её в таблице интегралов.
Если текстовое объяснение вам не заходит, посмотрите видео о смысле интеграла и производной:
Так зачем же всё-таки нужны интегралы?
Ответ на вопрос, интересующий всех еще со школы.
Можно найти примеры применения математических законов в разных сферах человеческой жизнедеятельности. Я хотел бы попытаться объяснить интегрирование через воду, а точнее через измерение и мониторинг ее качества. Для начала нужно разобраться что такое общий органический углерод и как он связан с качеством воды. Общий органический углерод выражает, в виде концентрации, содержание всех органических соединений в воде. Он является важнейшим индикатором чистоты. Допустимые концентрации закреплены законодательно, а воду с высоким содержанием органических соединений запрещено сбрасывать в водоемы.
Что представляют из себя эти соединения и почему так важно знать их концентрацию? Органикой считаются вещества, содержащие углерод (С). Бытовым примером являются продукты питания. Также можно упомянуть природные источники. Например, если после сбора картошки промыть ее водой, то количество органических соединений в воде увеличится.
Концентрации, если мы говорим о производстве, необходимо знать для того, чтобы не получить штраф за сброс загрязненной воды в реку или озеро. Если смотреть глобальнее, то для разработки системы очистки воды необходимо провести количественный и качественный анализы. Говоря иначе, понимать, что в ней содержится и в каком количестве.
Поговорим, о массовом производстве картофеля. Его выращивают, собирают, промывают от земли, сортируют и упаковывают. После промывки воду нельзя просто так слить в водоем, так как она загрязнена, ее нужно сначала очистить.
Для сохранения водоемов нужно очищать воду, а чтобы ее правильно очищать, нужно знать сколько в ней органических соединений. Итак, как это измерить и, при чем тут интеграл?
Измерение можно провести с помощью специального прибора для мониторинга качества воды. Прибор берет пробу воды, за несколько минут проводит измерение и, вот, уже известна концентрация. Ниже представлено само устройство.
Без интегрирования прибор не смог бы определить степень загрязненности воды и, возможно, водоемы бы гибли один за другим. Для того, чтобы докопаться до истины, нам придется углубиться в прибор и понять, по какому принципу строится измерение.
При окислении углерода (С) образуется углекислый газ (СО2). Окисление в данном случае можно заменить на горение или сжигание. Если сжечь С, получим СО2. Реакция выглядит следующим образом:
Это ключевой момент. Если сжечь ту воду, которая осталась после промывки картофеля, то получим углекислый газ и пар. Именно это и делает устройство. Прибор знает зависимость концентрации органических веществ в воде от количества углекислого газа, выделяемого при их сжигании. Зависимость линейна и может быть определена путем одного контрольного измерения. Cпециалист, работающий с устройством, готовит раствор с заранее известной концентрацией органических веществ, затем сжигает его в приборе, и далее прибор строит линейную зависимость С от СО2, которая впоследствии берется за основу. Упрощенно говоря, измерение строится от обратного. Первоначально необходимо измерить сколько СО2 выделится при известном количестве С, чтобы потом измерять неизвестные концентрации С. Как уже упоминалось выше, зависимость линейна, соответственно, чем больше органических веществ содержится в воде, тем больше углекислого газа выделится при ее сжигании.
Забирается вода с помощью специальной роботизированной системы. По сути, это шприц со стальной иглой, двигающийся по горизонтальной оси. Он перемещается до сосуда с пробой, опускается, забирает небольшой объем, потом поднимается и направляется к печи. Далее впрыскивает пробу в печь. Проба сжигается при температуре 1200 градусов Цельсия. Прибор измеряет количество выделенного углекислого газа, а затем, по заранее определенной зависимости, сопоставляет какой концентрации соответствует выделенное количество газа.
Теперь необходимо отправиться на последний уровень. Проблема интеграла в том, что он всегда где-то глубоко. Лежит не на поверхности. Но мы уже близко. Остался финальный рывок.
Итак, что значит измерить количество углекислого газа? В каких единицах измерения это количество выражено? Как оно выглядит в реальном времени? Начнем с последнего, выглядит оно, следующим образом:
По оси У, обозначен диапазон охвата прибора от 0 до 100 процентов, где 100 процентов — это максимальное количество углекислого газа, которое может быть измерено. По оси Х, обозначено время. Кривая начинает идти вверх при измерении первых молекул углекислого газа.
Предположим, что вы сидите за компьютером, а кто-то готовит вам пасту на кухне. Вдруг в пасту добавляется красное вино. Сидя за компьютером, вы сначала слегка чувствуете запах вина, потом до вас доходит кульминационная часть, далее запах начинает потихоньку пропадать, в итоге вы уже совсем не чувствуете, что в пасту когда-то было добавлено вино.
Заменим запах вина на углекислый газ и получим понимание графика выше. Сначала прибор измеряет первые молекулы углекислого газа, потом основную часть и далее остаточные частички.
А как посчитать площадь кривой, образованной процессом, описанным выше? Ответ, прост: интегрированием. Так как фигура на графике значительно сложнее прямоугольника, интеграл необходим для расчета площади под кривой. В моем примере эта кривая образована сжиганием воды с органическими соединениями. Процесс выделения углекислого газа, образованного при сжигании, описан математически и изображен графически. Единицы измерения в данном случае — это проценты помноженные на время (%*с)
Возможно, математика – это не самая захватывающая наука по сравнению с физикой, химией, механикой или электротехникой. Можно рассматривать химические реакции и вещества, образованные в результате этих реакций, проектировать приборы и программировать роботизированные системы, но все это было бы проблематично, не имей мы некую сухую точу отсчета. Математика – это средство описания мира вокруг нас, она помогает изложить интересные процессы на бумаге, в краткой и сухой форме, а также выразить некие сложные величины в количественном виде.
Вполне вероятно, что без интегралов, вода, которую мы пьем, была бы не пригодна к употреблению. Так проникнемся же к ним уважением.
Интегралы для чайников: как решать, правила вычисления, объяснение
Решение интегралов – задача легкая, но только для избранных. Эта статья для тех, кто хочет научиться понимать интегралы, но не знает о них ничего или почти ничего. Интеграл. Зачем он нужен? Как его вычислять? Что такое определенный и неопределенный интегралы?
Если единственное известное вам применение интеграла – доставать крючком в форме значка интеграла что-то полезное из труднодоступных мест, тогда добро пожаловать! Узнайте, как решать простейшие и другие интегралы и почему без этого никак нельзя обойтись в математике.
Ежедневная рассылка с полезной информацией для студентов всех направлений – на нашем телеграм-канале.
Изучаем понятие « интеграл »
Интегрирование было известно еще в Древнем Египте. Конечно, не в современном виде, но все же. С тех пор математики написали очень много книг по этой теме. Особенно отличились Ньютон и Лейбниц, но суть вещей не изменилась.
Как понять интегралы с нуля? Никак! Для понимания этой темы все равно понадобятся базовые знания основ математического анализа. Сведения о пределах и производных, необходимые и для понимания интегралов, уже есть у нас в блоге.
Неопределенный интеграл
Пусть у нас есть какая-то функция f(x).
Неопределенным интегралом функции f(x) называется такая функция F(x), производная которой равна функции f(x).
Другими словами интеграл – это производная наоборот или первообразная. Кстати, о том, как вычислять производные, читайте в нашей статье.
Первообразная существует для всех непрерывных функций. Также к первообразной часто прибавляют знак константы, так как производные функций, различающихся на константу, совпадают. Процесс нахождения интеграла называется интегрированием.
Простой пример:
Чтобы постоянно не высчитывать первообразные элементарных функций, их удобно свести в таблицу и пользоваться уже готовыми значениями.
Полная таблица интегралов для студентов
Определенный интеграл
Имея дело с понятием интеграла, мы имеем дело с бесконечно малыми величинами. Интеграл поможет вычислить площадь фигуры, массу неоднородного тела, пройденный при неравномерном движении путь и многое другое. Следует помнить, что интеграл – это сумма бесконечно большого количества бесконечно малых слагаемых.
В качестве примера представим себе график какой-нибудь функции.
Как найти площадь фигуры, ограниченной графиком функции? С помощью интеграла! Разобьем криволинейную трапецию, ограниченную осями координат и графиком функции, на бесконечно малые отрезки. Таким образом фигура окажется разделена на тонкие столбики. Сумма площадей столбиков и будет составлять площадь трапеции. Но помните, что такое вычисление даст примерный результат. Однако чем меньше и уже будут отрезки, тем точнее будет вычисление. Если мы уменьшим их до такой степени, что длина будет стремиться к нулю, то сумма площадей отрезков будет стремиться к площади фигуры. Это и есть определенный интеграл, который записывается так:
Точки а и b называются пределами интегрирования.
Бари Алибасов и группа
Кстати! Для наших читателей сейчас действует скидка 10% на любой вид работы
Правила вычисления интегралов для чайников
Свойства неопределенного интеграла
Как решить неопределенный интеграл? Здесь мы рассмотрим свойства неопределенного интеграла, которые пригодятся при решении примеров.
Свойства определенного интеграла
Как считать определенный интеграл? С помощью формулы Ньютона-Лейбница.
Мы уже выяснили, что определенный интеграл – это предел суммы. Но как получить конкретное значение при решении примера? Для этого существует формула Ньютона-Лейбница:
Примеры решения интегралов
Ниже рассмотрим неопределенный интеграл и примеры с решением. Предлагаем самостоятельно разобраться в тонкостях решения, а если что-то непонятно, задавайте вопросы в комментариях.
Для закрепления материала посмотрите видео о том, как решаются интегралы на практике. Не отчаиваетесь, если интеграл не дается сразу. Обратитесь в профессиональный сервис для студентов, и любой тройной или криволинейный интеграл по замкнутой поверхности станет вам по силам.
Иван Колобков, известный также как Джони. Маркетолог, аналитик и копирайтер компании Zaochnik. Подающий надежды молодой писатель. Питает любовь к физике, раритетным вещам и творчеству Ч. Буковски.