Для чего нужна булева алгебра

18.04.202221.04.2022 admin 0 Comments

Национальная библиотека им. Н. Э. Баумана
Bauman National Library

Персональные инструменты

Булева алгебра

Содержание

Определение

Булева алгебра как предметная область определяется следующими критериями:

Происхождение

Булева алгебра названа по имени великого английского математика Джорджа Буля (1815—1864), который в 1854 г. опубликовал ставшую впоследствии знаменитой книгу «Исследование законов мышления». В начале гл. 1 он написал: «Назначение настоящего трактата — исследовать основные законы тех операций ума, посредством которых производится рассуждение; выразить их на символическом языке некоторого исчисления и на этой основе установить науку логики и построить ее метод; сделать этот метод основой общего применения математической доктрины вероятностей; и, наконец, собрать из различных элементов истины, выявленных в ходе этих изысканий, некоторые правдоподобные указания относительно природы и строения человеческого ума».

В этой книге Буль изложил большую часть новой алгебры, особенно пригодную для анализа классов и предложений (высказываний).

Другие математики и логики, в том числе Джон Венн и Эрнст Шрёдер, впоследствии значительно усовершенствовали и расширили алгебру Буля.

В 1938 г. Клод Э. Шеннон, в то время студент Массачусетсского технологического института, впоследствии известный математик и инженер Белловских телефонных лабораторий, а в настоящее время профессор Массачусетского технологического института, показал, что булеву алгебру можно прекрасно применять при синтезе переключательных электрических схем. Его статья «Символический анализ релейно-переключательных схем» представляет собой веху в развитии применений булевой алгебры.

Аксиомы

1) Булева переменная всегда равна либо нулю, либо единице

2) Инверсное значение переменной x противоположно ее прямому значению

3) Правила выполнения логического умножения (конъюнкции)

4) Правила выполнения логического сложения (дизъюнкции)

Законы

1) Ассоциативный (сочетательный) закон

Ассоциативность конъюнкции и дизъюнкции выражается следующими формулами:

На практике это означает, что можно опускать те скобки, которые определяют, в каком порядке должна выполняться конъюнкция и дизъюнкция.

2) Коммутативный (переместительный) закон Правила

С помощью законов алгебры логики можно производить равносильные преобразования логических выражений с целью их упрощения. В алгебре логики на основе принятого соглашения установлены следующие правила (приоритеты) для выполнения логических операций:

первыми выполняются операции в скобках, затем в следующем порядке:

Обозначение на логических схемах

Для обозначения логических элементов используется несколько стандартов. Наиболее распространёнными являются американский (ANSI), европейский (DIN), международный (IEC) и российский (ГОСТ). На рисунке ниже приведены обозначения логических элементов в этих стандартах.

Источник

Булева алгебра

Булевой алгеброй называется непустое множество A с двумя бинарными операциями (аналог конъюнкции), (аналог дизъюнкции), унарной операцией (аналог отрицания) и двумя выделенными элементами: 0 (или Ложь) и 1 (или Истина) такими, что для всех a, b и c из множества A верны следующие аксиомы :

		ассоциативность
		коммутативность
		законы поглощения
		дистрибутивность
		дополнительность

Содержание

Некоторые свойства

Из аксиом видно, что наименьшим элементом является 0, наибольшим является 1, а дополнение ¬a любого элемента a однозначно определено. Для всех a и b из A верны также следующие равенства:




		дополнение 0 есть 1 и наоборот
		законы де Моргана
	инволютивность отрицания

Основные тождества

В данном разделе повторяются свойства и аксиомы, описанные выше с добавлением еще нескольких.

Сводная таблица свойств и аксиом, описанных выше:

		1 коммутативность
		2 ассоциативность
3.1 конъюнкция относительно дизъюнкции	3.2 дизъюнкция относительно конъюнкции	3 дистрибутивность
		4 дополнительность (свойства отрицаний)
		5 законы де Моргана
		6 законы поглощения
		7 Блейка-Порецкого
		8 Идемпотентность
	9 инволютивность отрицания
		10 свойства констант

дополнение 0 есть 1	дополнение 1 есть 0
		11 Склеивание

Примеры

Принцип двойственности

В булевых алгебрах существуют двойственные утверждения, они либо одновременно верны, либо одновременно неверны. Именно, если в формуле, которая верна в некоторой булевой алгебре, поменять все конъюнкции на дизъюнкции, 0 на 1, ≤ на ≥ и наоборот, то получится формула, также истинная в этой булевой алгебре. Это следует из симметричности аксиом относительно таких замен.

Представления булевых алгебр

Можно доказать, что любая конечная булева алгебра изоморфна булевой алгебре всех подмножеств какого-то множества. Отсюда следует, что количество элементов в любой конечной булевой алгебре будет степенью двойки.

Знаменитая теорема Стоуна утверждает, что любая булева алгебра изоморфна булевой алгебре всех открыто-замкнутых множеств какого-то компактного вполне несвязного хаусдорфова топологического пространства.

Аксиоматизация

В 1933 г. американский математик Хантингтон предложил следующую аксиоматизацию для булевых алгебр:

Здесь использованы обозначения Хантингтона: + означает дизъюнкцию, n — отрицание.

Герберт Роббинс поставил следующий вопрос: можно ли сократить последнюю аксиому так, как написано ниже, то есть будет ли определённая выписанными ниже аксиомами структура булевой алгеброй?

Аксиоматизация алгебры Роббинса:

Этот вопрос оставался открытым с 30-х годов и был любимым вопросом Тарского и его учеников.

См. также

ast:Álxebra de Boole bg:Булева алгебра bn:বুলিয়ান বীজগণিত ca:Àlgebra de Boole cs:Booleova algebra eo:Bulea algebro fa:جبر بولی gl:Álxebra de Boole he:אלגברה בוליאנית hr:Booleova algebra hu:Boole-algebra id:Aljabar Boolean io:Booleana algebro lt:Būlio algebra nl:Booleaanse algebra no:Boolsk algebra pl:Algebra Boole’a simple:Boolean algebra sl:Booleova algebra sr:Булова алгебра sv:Boolesk algebra th:พีชคณิตแบบบูล tl:Aldyebrang Boolean uk:Булева алгебра

Источник

Булева алгебра (алгебра логики)

Понятие алгебры логики

На этом уроке знакомимся с алгеброй логики (булевой алгеброй). Одним из её основателей стал английский математик Джордж Буль (1815-1864), который был из довольно бедной семьи, а в юности зарабатывал переводами сочинений древнегреческих философов. За этим занятием его и посетила мысль о том, что высказываниям можно присваивать значения 1 («истина») и 0 «ложь».

Итак, алгебра логики (булева алгебра) — это раздел математики, изучающий высказывания, рассматриваемые со стороны их логических значений (истинности или ложности) и логических операций над ними. Алгебра логики позволяет закодировать любые утверждения, истинность или ложность которых нужно доказать, а затем манипулировать ими подобно обычным числам в математике.

Создание алгебры логики в середине ХIХ века в трудах Джорджа Буля представляло собой попытку решать традиционные логические задачи алгебраическими методами.

Пусть функция от n переменных и любой из её аргументов могут принимать значения только из множества <0, 1>. Тогда эта функция называется логической, или булевой, или переключательной, или функцией алгебры логики. Описанную функцию часто называют также булевым вектором. Количество функций от n переменных равно 2 в степени n. То же самое можно сказать и иначе: число различных n-мерных булевых векторов равно 2 в степени n. А число различных функций алгебры логики от этих векторов равно уже .

Значениям переменной в булевой алгебре соответствуют состояниям элементов микросхем компьютера или любого другого электронного устройства: сигнал присутствует (логическая «1») или сигнал отсутствует (логический «0»).

На логических элементах, реализующих булевы функции, строятся логические схемы электронных устройств.

Часто оказывается, что изначально построенное логическое выражение можно упростить, используя аксиомы, теоремы и законы алгебры логики.

Логические функции

Логические функции одной переменной

Функция	Название	Обозначение
	Константа нуля
	Повторение x
	Логическое отрицание, инверсия, «НЕ»
	Константа единицы

Переменная	Логические функции
x
0	0	0	1	1
1	0	1	0	1

Логические функции двух переменных

Функция	Название	Обозначение
	Константа нуля	или False
	Логическое умножение, конъюнкция, «И»	или или или
	Запрет по	или
	Переменная
	Запрет по	или
	Переменная
	Сложение по модулю 2, отрицание эквивалентности, исключающее «ИЛИ»	или или
	Логическое сложение, дизъюнкция, «ИЛИ»	или или или
	Функция Пирса (Вебба), «ИЛИ-НЕ»	или или
	Логическая равнозначность, эквиваленция	или или или
	Отрицание
	Правая импликация	или
	Отрицание
	Левая импликация	или
	Функция Шеффера, «И-НЕ»	или или
	Константа единицы	или True

Ниже дана таблица истинности для логических функций от двух переменных.

X1	0	0	1	1
X2	0	1	0	1
	0	0	0	0
	0	0	0	1
	0	0	1	0
	0	0	1	1
	0	1	0	0
	0	1	0	1
	0	1	1	0
	0	1	1	1
	1	0	0	0
	1	0	0	1
	1	0	1	0
	1	0	1	1
	1	1	0	0
	1	1	0	1
	1	1	1	0
	1	1	1	1

Ответить на контрольные вопросы, а затем посмотреть ответы

Контрольный вопрос 2. Какие из функций не являются ФАЛ одной переменной (и одна, и вторая в варианте ответа):

Булев базис (логический базис)

Любую булеву функцию с произвольным количеством аргументов можно построить через подстановку элементарных функции вместо аргументов (суперпозицию). Набор простейших функций, с помощью которого можно выразить любые другие, сколь угодно сложные логические функции, называется функционально полным набором, или логическим базисом.

Инверсия (логическое отрицание, «НЕ»)