Для чего нужна комбинаторика в жизни
Для чего нужна комбинаторика в жизни
« Учимся не для школы, а для жизни»
Как часто, мы жалуемся, что приходится заниматься математикой, которая нам вообще может не пригодиться. Научились считать, и хватит! А эти противные задачки, формулы! Зачем они нам вообще нужны! Где же мы ими будем пользоваться?!
Я открываю шкаф. Вещей много, а надеть нечего. Мама говорит: «Учись комбинировать!»
Умея рассуждать, перебирать различные варианты решений, т.е., владея техникой решения комбинаторных задач, людям легче найти выход, казалось бы, из самой безвыходной ситуации.
Проблема: моих знаний по комбинаторике недостаточно, поэтому я захотела узнать об этом больше и выяснить, какие задачи можно решать с помощью комбинаторики.
Актуальность этой работы определяется тем, что комбинаторику успешно применяют в различных областях науки и сферы. С комбинаторными величинами приходится иметь дело представителям многих специальностей: ученому-химику, биологу, конструктору, диспетчеру и т.п. В последнее время интерес к комбинаторике усилился из-за бурного развития кибернетики и вычислительной техники.
Объект исследования: область математики – комбинаторика.
Цель исследования: применение комбинаторики в различных сферах жизнедеятельности.
Гипотеза: часто ли мы используем раздел математики комбинаторику в практической жизни.
Задачи исследования для подтверждения выдвинутой гипотезы:
собрать, изучить и систематизировать материал о комбинаторике;
рассмотреть использование комбинаторики в различных сферах жизнедеятельности;
показать практическую значимость комбинаторики.
При работе над проектом применялись следующиеметоды исследования:поисковый, практический, метод сравнения, анализ, метод изучения данных.
Работа «Комбинаторика в нашей жизни» имеетпрактическое значение, потому что, зная основные правила комбинаторики и умея их применять на практике, у нас появится больший шанс для выигрыша в различных играх и решении различных житейских задач с пользой и выгодой для нас.
Структура работы: работа состоит из введения, двух глав, заключения, списка литературы и приложений.
Глава 1. Понятие о комбинаторике
А откуда же взялась, эта загадочная и столь нужная комбинаторика?
С задачами, в которых приходилось выбирать те или иные предметы, располагать их в определенном порядке и отыскивать среди разных расположений наилучшие, люди столкнулись еще в доисторическую эпоху, выбирая наилучшее положение охотников во время охоты, воинов – во время битвы, инструментов – во время работы.
Что же это такое комбинаторика?
Комбинаторика – раздел математики, изучающий комбинации и перестановки предметов, – возник в XVI в., когда большое место занимали азартные игры в жизни общества того времени. Проблема азартных игр и явилась движущей силой развития комбинаторики.
Большой вклад в развитие комбинаторики внесли итальянский математик НикколоТарталья и Галилео Галилей. Тарталья одним из первых занялся подсчетом числа различных комбинаций при игре в кости. Он составил таблицу, показывавшую, сколькими способами могут выпасть р костей. Однако при этом не учитывалось, что одна и та же сумма очков может быть получена разными способами. [4]
Со временем появились различные игры (нарды, карты, шашки, шахматы и т.д.). В каждой из этих игр приходилось рассматривать различные сочетания фигур, и выигрывал тот, кто их лучше изучил, знал выигрышные комбинации и умел избегать проигрышных.
Но, не только игры наводили на размышление математиков того времени о комбинаторике.
Еще с давних пор дипломаты, стремясь к тайне переписки, изобретали сложные шифры, а секретные службы других государств пытались эти шифры разгадать. Стали применять шифры, основанные на комбинаторных принципах, например, на различных перестановках букв с использованием ключевых слов и т. д.
Стали выходить журналы по комбинаторике, печататься книги, посвященные этой науке. Элементы комбинаторики находили отражение и в школьном курсе математики. [1]
Комбинаторика – это область математики, в которой изучаются комбинаторные задачи.
Комбинаторная задача – это задача, где идет речь о тех или иных комбинациях Комбинаторику можно рассматривать как часть теории множеств – любую комбинаторную задачу можно свести к задаче о конечных множествах и их отображениях.
Комбинаторика как наука стала развиваться в XVIII в. параллельно с возникновением теории вероятностей, так как для решения вероятностных задач необходимо было подсчитать число различных комбинаций элементов. Первые научные исследования по комбинаторике принадлежат итальянским ученым Дж. Кардано, Н. Тарталье (ок. 1499-1557), Г. Галилею (1564-1642) и французским ученым В. Паскалю (1623-1662) и П. Ферма. Комбинаторику, как самостоятельный раздел математики, первым стал рассматривать немецкий ученый Г. Лейбниц в своей работе «Об искусстве комбинаторики», опубликованной в 1666 г. Он также впервые ввел термин «комбинаторика». Значительный вклад в развитие комбинаторики внес Л. Эйлер.
Отцом современной комбинаторики считается Пал Эрдёш. [4]
Рассмотрим несколько задач по комбинаторике.
Задача 1. Наверное, вы знаете фильм «Кин-дза-дза». Жители планеты Кин-дза-дза обходились для всех случаев одним словом «ку». А если бы алфавит у них состоял из двух букв К и У, то сколько слов было бы у них в словаре, при условии, что буквы в слове могут повторяться, и слова состоят только из двух букв?
Решение: Можно составить слова: «Ку», «Кк», «Уу», «Ук».
В задаче нам пришлось перебрать все возможные варианты, или, как обычно говорят в таких случаях – все возможные комбинации. Поэтому подобные задачи называют комбинаторными.
Почти каждый человек слышал такие слова, как «код», «программа», «пароль», которые относятся к жизни человека. Чтобы запустить ту или иную программу нужно ввести соответствующий верный пароль.
В качестве кода, в зависимости от рода программы, могут выступать всевозможные цифры, слова или комбинации слов, поведение или действие, и так далее.
В соответствии с использованием различных паролей, одна и та же программа будет выполняться по-разному. [3]
Например, возникновение отношений между двумя учениками. При знакомстве возникает программа взаимоотношений. В зависимости от того, что будет делать или говорить каждый из них, программа отношений примет определенный характер.
Так, если один из учеников будет использовать негативные слова или действия это один пароль, который приведет к вражде, а если наоборот, ученик будет использовать положительные эмоции, слова и действия это другой пароль, который приведет если не к дружбе, то к просто хорошим взаимоотношениям.
Разные пароли – разные результаты.
Когда мы узнаем что-то новое, развиваемся, к нам приходит жизненный опыт, он- то как раз и есть ничто иное как набор всевозможных паролей, комбинаций. Ведь опытный человек всегда найдет лучшее решение в конкретной ситуации, потому – что он располагает большей комбинацией паролей.
Мир вокруг нас постоянно меняется, однако все происходящие изменения вовсе не хаотичны, как может показаться на первый взгляд. Любые изменения внутри Вселенной могут быть классифицированы.
В зависимости от правил составления комбинаций можно выделить три типа комбинаций: перестановки, размещения, сочетания. [2]
Изучив эти типы комбинаций, я решила выполнить несколько задач и проанализировать полученные результаты.
Пример 1: Возьмем произведение русского писателя, баснописца, журналиста Ивана Андреевича Крылова – «Квартет» и узнаем, сколько существует различных способов посадки этих животных?
Да косолапый Мишка
Затеяли играть квартет.
Мишка может сесть на одно из 4 мест, Козел может сесть на одно из 3 мест,
Осел может сесть на одно из 2 мест, Мартышка может сесть на оставшееся 1 место. Итого: 4 * 3 * 2 * 1 = 24 (способа).Ответ: 24 способа.
Размещения – это соединения, содержащие по m элементов из числа n данных, различающихся или порядком предметов, или самими предметами. [2]
Пример 1: Сколько различных двузначных чисел можно составить при помощи цифр 4, 7, 9? (Цифры в записи числа не повторяются).
Решение: 47, 79, 49, 94, 74, 97
Рассмотрим примеры задач на сочетания.
Пример 1: Встретились 6 друзей, и каждый пожал руку каждому своему другу. Сколько было рукопожатий?
Первый способ. Можно, как и в примере 1, составить таблицу рукопожатий 6 друзей. Затем, рассуждая аналогично, получим, что общее число рукопожатий равно
Второй способ. Условно перенумеруем друзей. Первый поздоровался со вторым, третьим, …, шестым. Всего 5 рукопожатий Для второго неучтёнными остались рукопожатия с третьим, четвёртым, пятым, шестым. Всего 4 рукопожатия, и т.д. Получаем, что рукопожатий было всего 5+4+3+2+1 = 15.
Это рассуждение верно и в общем случае выбора двух элементов из n данных. Оказывается, что всегда количество выборок двух элементов без учета порядка будет ровно в два раза меньше, чем количество выборок с учётом порядка.
Комбинаторика имеет широкий спектр применений:
в быту (рукоделие, выбор наряда, составление меню);
на производстве (распределение нескольких видов работ между рабочими);
в агротехнике (размещение посевов на нескольких полях);
в криптографии (разработка методов шифрования);
в сфере общественного питания (составление меню);
пересылка почты (рассмотрение вариантов доставки);
на спортивных соревнованиях (составление расписания спортивных турниров);
в военном деле (расположение подразделений);
в астрономии (анализ расположения планет и созвездий);
в логистике (рационально организовать движение товаров и услуг от поставщика потребителю). (Приложение 2)
Знание элементов комбинаторики, в частности сочетаний, могут пригодиться не только на уроках математики, но и информатики, русского языка, истории и даже физической культуры. Знания комбинаторики широко применяются в различных областях. С их помощью можно находить решения в различных жизненных ситуациях.
Глава 2. Комбинаторика в моей жизни
В повседневной жизни нередко перед нами возникают проблемы, которые имеют не одно, а несколько различных вариантов решения. Чтобы сделать правильный выбор, очень важно не упустить ни один из них. Для этого надо осуществить перебор всех возможных вариантов или хотя бы подсчитать их число.
С какими выборами мы часто встречаемся в повседневной жизни?
Завтрак. Какое разнообразие на столе: булочки, пирожки, печенье, чай. Вот и выбери, сколько вариантов завтрака можно себе составить.
А извечная проблема женщин, когда есть полный шкаф одежды, но «нечего» надеть.
А когда мы занимаемся каким-либо рукоделием, например, лоскутная техника.
А номер домашнего телефона подруги, у которого знаем, какие цифры есть, но забыли, в каком порядке их надо набирать. Что мы делаем? Правильно, начинаем подбирать различные комбинации.
И таких примеров из жизни великое множество.
Надеюсь, что все вышеизложенное доказывает, что комбинаторика практически не имеет границ.
Комбинаторика используется в музыке, в мебельном производстве, в различных играх (нарды, шашки, шахматы), где приходится рассматривать различные сочетания фигур, и выигрывать, изучив и зная выигрышные комбинации и умея избегать проигрышных.
Применяя полученные знания, можно облегчить жизнь, зная, что всегда есть беспроигрышные комбинации, есть выбор!
Меня подруга пригласила на свой День рождения, поэтому мне надо подготовить подарок и, конечно же, букет. А так же подобрать наряд, в котором я пойду.
Подарок я подготовила, а вот небольшой букет решила сделать сама, из конфет. Хочется чего-то необычного, да и такой букет дольше будет радовать мою подругу.
Больше всего мне понравилось сочетание малинового и фиолетового цветов, поэтому букетик будет в этой цветовой гамме. (Приложение 3) Подарок есть, букет готов. Осталось подобрать наряд, в котором я пойду.
Я выбрала: три джемпера (белый, розовый и желтый), джинсы и юбку. Начинаем комбинировать.
Джинсы белый джемпер, джинсы розовый джемпер, джинсы желтый джемпер, аналогично перебираем джемпера с юбкой: юбка белый джемпер, юбка розовый джемпер, юбка желтый джемпер. Получилось 6 вариантов комплектов.
Учитывая то, что на дне рождении будет дискотека, мне понравился комплект: джинсы и розовая водолазка. Красиво и удобно. (Приложение 4)
Чтобы было веселей на празднике, я приготовила и провела несколько конкурсов для подружек, применяя различные комбинации в раскладке картинок.
Фокус, который называется «Пять кучек карт».
Ведущий садится за стол вместе с четырьмя зрителями. Он сдает каждому (включая себя) по пять карт, предлагает всем посмотреть их и одну задумать. Затем собирает карты, раскладывает их на столе в пять кучек и просит кого-нибудь указать ему на одну из них. Далее берет эту кучку в руки, раскрывает карты веером, лицевой стороной к зрителям, и спрашивает, видит ли кто-нибудь из них задуманную карту. Если да, то ведущий (так и не заглянув ни разу в карты) сразу же её вытаскивает. Эта процедура повторяется с каждой из кучек, пока все задуманные карты не будут обнаружены. В некоторых кучках задуманных карт может вовсе не оказаться, в других же их может быть и две и более, но в любом случае карты отгадываются безошибочно. (Приложение 5)
Расположение загаданной карты в стопке соответствует номеру зрителя, считая слева направо вокруг стола. То есть когда загаданную карту видит зритель номер 2, то эта карта будет 2-ой, считая снизу. Если свою карту видит 4-ый зритель, то она будет 4-ой в стопке. И так далее.
Этот фокус основан на перестановке карт.
В парке 4 пруда. Было решено засыпать песком дорожки между ними так, чтобы можно было пройти от одного пруда к другому кратчайшим путем, т.е. не нужно было идти в обход. Задание: покажи, какие дорожки надо сделать.
Конкурс 3. 4 парусника готовились к соревнованиям. У каждого был свой корабль. Судьи решили, что надо раскрасить паруса, чтобы парусники были видны издалека и было ясно, кто из спортсменов идет впереди, кто запаздывает.
Задание: покажи, как по-разному раскрасить паруса, если есть всего две краски.
Конкурс 4. Представим, что у нашей именинницы есть 2 кофты и 3 юбки – все разного цвета. Может ли она в течение 7 дней недели надевать каждый день разные костюмы?
Конкурс 5. Сколько слов можно получить, переставляя буквы в слове Гора?
1) В слове «гора» четыре буквы, все они различны, поэтому можно получить всего N = 1*2*3*4=24 различных слова.
Конкурс 6.В шахматном турнире принимали участие 15 шахматистов, причем каждый из них сыграл только одну партию с каждым из остальных. Сколько всего партий было сыграно в этом турнире?
Итого: 14+13+12+11+10+9+8+7+6+5+4+3+2+1=105 партий
Конкурс 7. Имеются три слова “ДРУЖБА”, “ДЕЛО”, “ЛЮБИТ”. Сколькими способами из этих слов можно составить фразу?
Обозначим предложенные слова заглавными буквами:
ДЕЛО – Е (возьмем вторую букву этого слова)
Тогда все названные вами способы можно просто перечислить: ДЛЕ, ДЕЛ, ЛДЕ, ЛЕД, ЕДЛ, ЕЛД.
Изучая данную тему, я кратко рассказала об истоках комбинаторики, великих математиках, которые занимались данным разделом математики. Привела примеры задач с решениями по комбинаторике, которые, кстати, часто встречаются в олимпиадных заданиях.
Комбинаторика – это раздел математики, который имеет широкую практическую направленность, потому что используется человеком в разных областях.
В своей работе я постаралась доказать, что комбинаторика сопровождает нас по жизни. Просто мы, не задумываясь, обращаемся к ней. Комбинаторика везде! Комбинаторика вокруг нас!
Работая над проектом, я расширила свой кругозор и базу математических знаний. Все поставленные задачи решены, цель достигнута. Работа «Комбинаторика в нашей жизни» имеет практическое значение. Оно заключается в следующем: знание основных правил комбинаторики и умение их применять позволяет решать различные задачи.
Бродский Я. Об изучении элементов комбинаторики, вероятности, статистики в школе // Математика. – 2004. – № 31. – 2–8 с.
Игнатьев Е. И. В царстве смекалки / Под редакцией М. К. Потапова, текстол. Обработка Ю. В. Нестеренко. – 3-е изд. – М.: Наука, Главная редакция физико-математической литературы, 1982 г., 208 с.
Мордкович А.Г., Семенов П.В. События. Вероятности. Статистическая обработка данных. М.: Мнемозина, 2005
Комбинаторика и ее применение
Разделы: Математика
Тип урока: урок-проект.
Эпиграф урока: «Учимся не для школы, а для жизни» (Сенека).
Проблемный вопрос: Может ли нам помочь комбинаторика в реальной жизни?
Из этой проблемы вытекает такая цель.
Цель урока: показать учащимся на примерах практическое применение комбинаторики в повседневной жизни.
Гипотеза: решение комбинаторных задач развивает творческие способности, помогает при решении олимпиадных задач, задач из ЕГЭ, вырабатывает уверенность в собственных силах.
Результат (продукт): понимание всеми учащимися значимости данной темы в практической деятельности человека.
Использование компьютерных технологий: создание слайдовой презентации, выпуск учащимися буклета «Комбинаторика в жизни»
Необходимые принадлежности у учащихся: учебник «Математика», авторы: Н.Я.Виленкин, В.И.Жохов, А.С.Чесноков и др., тетрадь, линейка, карандаш, ручка.
Урок предназначен для учащихся 5-ых классов в рамках изучения темы «Комбинаторика».
I этап. Погружение в проблемную ситуацию (проходит в виде беседы с учащимися)
– Всем здравствуйте (добрый день!). Давайте здороваться, т.е. все пожмем друг другу руки. Рядом сидящим пожмем руку, а с остальными будем здороваться мысленным рукопожатием.
– В классе нас сколько?
Вопрос: Сколько было всего рукопожатий?
– Итак, какие будут ответы? Ответы записать на доске.
Основной педагогический акцент на уроке делается на проговаривание и обязательное устное пояснение решения задачи.
Допустим нас 25.
Способ 1.
Каждый из 25-и человек пожал руки 24-м. Однако произведение 25 * 24 = 600 дает удвоенное число рукопожатий (так как в этом расчете учтено, что первый пожал руку второму, а затем второй первому, на самом же деле было одно рукопожатие). Итак, число рукопожатий равно: (25 * 24) : 2 = 300.
Способ 2.
Первый ученик пожал руки 24-м, второй – 23-м (плюс рукопожатие с первым, которое уже учтено), третий – 22-мя и т.д.
двадцать четвертый ограничился одним рукопожатием, а на долю двадцать пятого выпала пассивная роль – принимать приветствия.
Таким образом, общее число рукопожатий выражается суммой:
N = 24 + 23 + 22 + … + 3 + 2 + 1 или
N = 1 + 2 + 3 + … + 22 + 23 + 24.
Сложив почленно обе суммы получаем:
2N = (24 + 1) + (23 + 2) + (22 + 3) +… + (3 + 22) + (2 + 23) + (1 + 24) = 25 * 24;
N = (25 * 24) : 2 = 300.
II этап. Выдвижение предположений и обоснования гипотезы
III этап. Доказательство гипотезы
– Сегодня с вами рассмотрим некоторые задачи комбинаторики.
Устный счет (готовит учащихся к работе на уроке)
1. Сколько двузначных чисел можно составить, используя цифры 1, 4 и 7 (цифры в числе не повторяются)? (Шесть: 14, 17, 41, 47, 71, 74). (Приложение 1. Слайд 5)
Ответ на вопрос, конечно, можно получить, выписывая сами числа, т.е. методом перебора вариантов. Но это не очень удобно. Будем рассуждать так. Первую цифру можно выбрать тремя способами, а вторую цифру можно выбрать (из оставшихся двух) двумя способами. Следовательно, общее число искомых двузначных чисел равно произведению 3 * 2 = 6.
Мы нашли ответ на поставленный вопрос, используя так называемое комбинаторное правило умножения.
Такую схему называют деревом возможных вариантов.
Эта схема действительно похожа на дерево, правда, «вверх ногами» и без ствола. (Приложение 1. Слайд 6)
2. Сколько различных 3-значных чисел можно составить из цифр 3, 7 и 8 (цифры не повторяются)? (Приложение 1. Слайд 7)
3. Сколько 4-значных чисел можно составить из 4 цифр? (Приложение 1. Слайд 9)
Разбор решения. «На 1-е место в 4-значном числе – 4 варианта, на 2-е – 3 варианта, на 3-е – 2 варианта, на 4-е – 1 вариант». 4 * 3 * 2 * 1 = 24. 4! = 1 * 2 * 3 * 4. 3! = 1 * 2 *3. (Приложение 1. Слайд 10)
– Давайте откроем тетради, запишем дату и тему: Комбинаторика и ее применение
IV этап. Проверка правильности решения проблемы. Обобщение и систематизация знаний
Решение задач по теме:
– С утра вы очень часто отправляетесь к расписанию или открываете дневники, посмотреть порядок уроков. А представьте на миг, чтобы стало в школе, если бы не было расписания. Трудно пришлось бы всем: и детям, и учителям. Даже в одном классе и то вряд ли легко решили бы проблему.
В помощь тому, кто составляет расписание, решим задачу.
Задача 1. В 6 классе во вторник 5 уроков: физкультура, русский язык, литература, обществознание и математика. Сколько можно составить вариантов расписания на день, зная точно, что математика – последний урок? (Приложение 1. Слайд 11)
Ответ: 4 * 3 * 2 * 1 = 24 способа (Приложение 1. Слайд 12)
Без переменки заглянем в столовую.
Задача 2. В школьной столовой имеются 2 первых, 5 вторых и 4 третьих блюд. Сколькими способами ученик может выбрать обед, состоящий из первых, вторых и третьих блюд? (Приложение 1. Слайд 13)
Решение: Первое блюдо можно выбрать 2 способами. Для каждого выбора первого блюда существует 5 вторых блюд. Первые два блюда можно выбрать 2 * 5 = 10 способами. И, наконец, для каждой 10 этих выборов имеются четыре возможности выбора третьего блюда, т. е. Существует 2 * 5 * 4 способов составления обеда из трех блюд. Итак, обед может быть составлен 40 способами. (Приложение 1. Слайд 14)
Заглянем в гардероб наших девочек.
Задача 3. У Светланы 3 юбки и 5 кофт, удачно сочетающихся по цвету. Сколько различных комбинаций одежды имеется у Светланы? (Приложение 1. Слайд 15)
Решение: Получается 15 различных комбинаций одежды. (Приложение 1. Слайд 16)
Задача 4. На полке лежат 3 книги. В каком порядке можно расставить эти книги? (Приложение 1. Слайд 17)
Решение: Обозначим их буквами а, в, с. Эти книги можно расставить на полке по – разному: авс, асв, вас, вса, сав, сва.
Ответ: 6 способов расстановки книг (Приложение 1. Слайд 18)
Физкультминутка
Сильно зажмурить глаза на 3-5 секунд, а затем открыть их на такое же время. Повторять 5-6 раз. Быстро моргать в течение 10-12 секунд, открыть глаза, отдыхать 10-12 секунд. Повторять 3 раза.
Задача 5. Опыт с листом бумаги (Приложение 1. Слайд 19)
Дима сложил квадратный листок бумаги пополам, потом еще раз и еще раз. В центре того, что получилось, он проделал дырку, а потом снова развернул лист. Сколько дырок он увидел?
(A)2; (B) 3; (C) 4; (D) 6; (E) 8;
Решение: Каждое складывание увеличивает толщину (в слоях) бумаги в два раза. Дима складывал бумагу три раза и получил толщину 2 * 2 * 2 = 8.
Дырки получатся на каждом листе. Итого 8 дырок.
V этап. Самостоятельная работа
Задания для самостоятельной работы сформулированы по принципу ЕГЭ.
В розыгрыше первенства страны по футболу принимает участие 16 команд. Сколькими способами могут быть распределены золотая и серебряная медали?
Выберите букву правильного ответа. А) 256 Б) 31 В) 240 Г) 16
Решение: Золотую медаль может получить одна из 16 команд. После того как определен владелец золотой медали, серебряную медаль может иметь одна из 15 команд. Следовательно, общее число способов, которыми могут быть распределены золотая и серебряная медали, равно 16 * 15 = 240.
Ответ: В
В классе 25 учащихся, сколькими способами можно выбрать старосту класса и его заместителя? Выберите букву правильного ответа.
А) 25 Б) 600 В) 49 Г) 625
Решение:Староста класса может быть выбран 1 из 25 человек, значит существует 25 способов выбора старосты и 24 способа выбора его заместителя. Существует 25 * 24 = 600 способов выбора старосты класса и его заместителя.
Ответ: Б
VI этап. Обсуждение результатов и подведение итогов
На примере решенных задач мы увидели практическое применение «Комбинаторики» в различных сферах деятельности человека, т. е. выяснили, где в реальной жизни мы встречаемся с комбинаторикой.
В ближайшем будущем мы научимся решать более сложные задачи комбинаторики, а ваши знания по теме будут востребованы при решении задач олимпиадного типа, задач из ЕГЭ. Комбинаторика играет большую роль в практической деятельности человека.
Вывод:
Комбинаторика повсюду.
Комбинаторика везде.
Комбинаторика вокруг нас. (Приложение 1. Слайд 23)
Но как говорят «Без знания прошлого нет настоящего, нет будущего» (Приложение 1. Слайд 24)
Презентация проекта «Истоки комбинаторики» (Приложение 2)
VII этап.Домашнее задание:
– Придумать свою комбинаторную задачу и решить её.
– Применение комбинаторики в практической деятельности людей (рассказ или эссе) (Слайд 25)
VIII этап. Рефлексия
Учащиеся осмысливают свою деятельность на уроке, проводят самооценку своей деятельности (на листочках).
– А какие навыки, кроме решения задач, Вы приобрели сегодня для себя? (Выслушать и обобщить ответы учащихся)
– Спасибо всем за работу. Надеюсь, присутствующие получили много интересной и актуальной информации. Мне было очень приятно работать с вами на уроке.
Список литературы:
1. Н.Я. Виленкин, А.Н. Виленкин, П.А. Виленкин. Комбинаторика. М., 2006.
2. В.Е.Гмурман. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. – М.: Высшая школа, 1975.
3. И.И.Ежов, А.В.Скороход, М.И.Ядренко. Элементы комбинаторики. М., 1977.
4. Д.Ж.Риордан. Введение в комбинаторный анализ. М., 1963.