Для чего нужна математическая логика

Логика математическая

Математическая логика — это раздел современной формальной логики (см. Логика формальная), в котором логические выводы исследуются посредством логических исчислений на основе математического языка, аксиоматизации и формализации. В качестве другого названия современного этапа в развитии логики (см. Логика) используется также термин «символическая логика» (см. Логика символическая). Иногда термин «математическая логика» употребляется в более широком смысле, охватывая исследование свойств дедуктивных теорий, именуемое металогикой (см. Металогика) или метаматематикой. В целом, определение «математическая логика» подчёркивает её сходство с математикой, основывающееся, прежде всего, на методах построения логических исчислений на основе строгого символического языка, аксиоматизации и формализации. Они позволяют избежать двусмысленной и логической неясности естественного языка, которым пользовалась при описании правильного мышления традиционная логика, развивавшаяся в рамках философии (см. Философия).

Математические методы дали логике такие преимущества, как высокая точность формулировок, возможность изучения более сложных, с точки зрения логической формы, объектов. Многие проблемы, исследуемые в математической логике, вообще невозможно было сформулировать с использованием только традиционных методов. Применение в логике математических методов становится возможным тогда, когда суждения формулируются на некотором точном (формализованном) языке. Такие точные языки имеют две составляющие: синтаксис (см. Синтактика) и семантику (см. Семантика). Синтаксисом называется совокупность правил построения объектов языка (обычно называемых формулами). Семантикой называется совокупность соглашений, описывающих наше понимание формул (или некоторых из них) и позволяющих считать одни формулы верными, а другие — нет.

Уже в Античности (в частности Аристотелем) широко применялись буквенные обозначения для переменных. Идея построения универсального языка для всей математики, для формализации на базе такого языка математических доказательств и вообще любых рассуждений выдвигалась в XVII веке Г. В. Лейбницем. Но только к середине XIX века стало очевидным, что существующая логическая парадигма, а именно аристотелевская силлогистика (см. Силлогистика), уже не отвечает требованиям развития науки того времени. С одной стороны, значительные успехи абстрактной алгебры в особенности в теории групп позволили перенести алгебраические методы на другие области науки. Это с успехом проделала английская школа, основоположником которой можно считать А. де Моргана, который в 1847 году опубликовал книгу «Formal Logic; or The Calculus of Inference, Necessary and Probable». Им открыты названные в его честь законы де Моргана, разработана теория отношений и в 1838 определено понятие математической индукции.

Однако наибольшую известность получили работы Дж. Буля. В 1847 году он публикует брошюру «Mathematical Analaysis of Logic», а в 1854 — свой главный труд по логике «An Investigation into the Laws of Thought, on which are Founded the Mathematical Theories of Logic and Probabilities». Как и де Морган, Дж. Буль был одним из тех математиков из Кембриджа, которые признали чисто абстрактную природу алгебры. Они заметили, что простейшие операции над множествами подчиняются законам коммутативности, ассоциативности и дистрибутивности. Оставалось только провести аналогию между объединением и сложением, пересечением и умножением, пустым классом и нулём, универсальным классом и единицей. Работы Буля 1847 и 1854 годов можно считать началом алгебры логики (см. Алгебра логики), первоначальный этап развития которой был завершён Э. Шрёдером в трёхтомной монографии «Vorlesungugen uber die Algebra der Logik» (1890–1905).

С другой стороны, возникновение и развитие математической логики связано с работами Г. Фреге и Ч. С. Пирса. После того, как Фреге в 1879 и Пирс в 1885 году ввели в язык алгебры логики предикаты, предметные переменные и кванторы, возникла реальная возможность построения системы логики в виде логического исчисления, что и было сделано Фреге, который по праву считается основателем математической логики в её современном понимании. Пытаясь реализовать идеи Лейбница, Фреге в своём труде «Begriffsschrift» предложил символическую запись для строгих рассуждений. Хотя его нотация сейчас совсем не используется (например, формулы рисовали в виде двумерного дерева), Фреге в действительности впервые построил исчисление предикатов. Исчисление предикатов есть формальная система, состоящая из двух частей: символического языка и логики предикатов (см. Логика предикатов). Кроме этого для исчисления предикатов Фреге даёт строгое определение понятия «доказательство», которое является общепринятым и по сей день.

Основы современной логической символики были разработаны Дж. Пеано, чьи интересы, как и Фреге, концентрировались вокруг оснований математики и развития формально-логического языка. Его широко известный труд «Formulaire de mathématiques», опубликованный (в соавторстве) в годах, был нацелен на развитие математики в её целостности, исходя из некоторых фундаментальных постулатов. Логическая запись Пеано была принята, хотя и частично модифицирована, А. Н. Уайтхедом и Б. Расселом в их широко известной трёхтомной «Principia Mathematica» (1910–1913), а затем воспринята Д. Гилбертом. Таким образом, в логику был введён символический язык. Создание такого искусственного языка и с его помощью таких объектов, как логические исчисления, строго формализующие различные теории в виде некоторого конечного списка аксиом и правил вывода, было вызвано, в первую очередь, потребностями математики, ставившей проблемы, для решения которых средства традиционной логики были непригодны.

Основным стимулом развития математической логики в начале XX века была проблема оснований математики. К. Вейерштрасс, Р. Дедекинд и Г. Кантор показали, что в качестве фундамента всей классической математики может рассматриваться арифметика целых чисел. Дедикинд и Пеано аксиоматизировали арифметику, а Фреге дал определение натурального числа как множества всех равномощных множеств. Таким образом, вся математика сводилась к теории множеств. Рефлексия над феноменом множеств привела к обнаружению ряда парадоксов в теории множеств, ответом на которые стало развитие четырёх направлений в основаниях математики:

Развитие и применение технического аппарата самой логики в первую очередь относится к программе Д. Гилберта (начиная с 1904 года), где была поставлена главная задача: найти строгое основание для математики посредством доказательства её непротиворечивости, то есть доказательства того факта, что в ней недоказуема никакая формула вида A вместе с формулой

А. Для этого потребовалось развить теорию доказательств, после чего, считал Гилберт, используя только финитные методы, можно будет доказать непротиворечивость теории множеств и самой теории действительных чисел и таким образом решить проблему оснований математики. Однако результат К. Гёделя о неполноте арифметики (1931) убедительно показал, что программа Гилберта невыполнима. Теорема Гёделя о неполноте утверждает, что всякая достаточно богатая теория необходимо содержит утверждения, которые нельзя ни доказать, ни опровергнуть, не опровергнув самой теории.

С годов XX века начинается современный этап развития математической логики. Он связан с применением точных методов при изучении формальных аксиоматических задач. Суть их состоит в описании рассматриваемой теории на базе строгого логико-математического языка (формализация), с последующими процедурами логического анализа теории, а именно с точки зрения непротиворечивости (например, таких теорий, как элементарная геометрия, арифметика, анализ достаточно надёжных оснований) и полноты. Основным объектом современной математической логики являются исчисления. В качестве их компонентов выступают: язык (формальный); аксиомы; правила вывода. На их основе стало возможным дать точное определение доказательства, получить точные утверждения о невозможности доказательства тех или иных предложений теории.

Обширным полем деятельности для современной математической логики является теория рекурсии, которая в первую очередь имеет дело с проблемой разрешимости: доказуема или нет формула A из некоторого множества посылок. Эти исследования привели к теориям вычислимости, к созданию компьютерных программ автоматического поиска доказательств. Решение проблемы разрешимости послужило основным стимулом для создания теории алгоритмов. Формулировка тезиса Чёрча — Тьюринга, утверждающего, что понятие общерекурсивной функции является уточнением интуитивного понятия алгоритма, стало наиболее важным достижением математической логики. Только после уточнения понятия алгоритма выяснилось, что в хорошо известных разделах математики существуют алгоритмически неразрешимые проблемы.

Важное место в современной математической логике занимает теория моделей (см. Теория моделей), которая изучает фундаментальные связи между синтаксическими свойствами множеств предложений формального языка, с одной стороны, и семантическими свойствами их моделей, с другой; и вообще, изучаются соотношения между моделями и теориями, а также преобразование моделей. Зачастую модели используются как инструмент для того, чтобы показать, что некоторая формула A не может быть дедуцирована из определённого множества постулатов или, если A есть аксиома, то показать недоказуемость A из остальных аксиом системы, к которой A принадлежит (если это возможно). Тогда A является независимой аксиомой.

Наряду с этим стало очевидно, что те впечатляющие результаты, которые были получены средствами математической логики, и в первую очередь в области оснований математики, привели к некоторому гипостазированию функции и предмета самой этой логики. Так, в предисловии к «Handbook of Mathematical Logic» (1977) Дж. Барвайс пишет: «Математическая логика традиционно подразделяется на четыре раздела: теория моделей, теория множеств, теория рекурсии и теория доказательств». В свою очередь в «Encyclopedia Britanica» (CD–1998), уже применительно к математической логике, четыре указанных раздела названы «четырьмя главными областями исследования». Более точно было бы говорить о применении технического аппарата логики в данных областях, поскольку теория множеств и теория рекурсии сами по себе являются самостоятельными математическими дисциплинами и не являются частью математической логики. Теория доказательств для некоторых математиков-логиков превратилась чуть ли не в «метаматематику» (термин Гилберта), а теория моделей давно вышла за пределы логической семантики.

Развитие современной логики показывает, что термин «математическая логика» постепенно сужается и часто используется для обозначения области исследования тех типов рассуждений, которыми пользуются математики, тем самым приобретая всё большее методологическое и прикладное значение, прежде всего в рамках вычислительной математики и связанных областей. В целом, символизация и представление различных логических теорий в виде исчислений стало обычным делом и поэтому строго разделить современные логические исследования на относящиеся к математической логике и не относящиеся к ней порой просто невозможно.

Источник

Что такое ЛОГИКА – зачем она нужна. Виды логики

Логика. Не каждый человек задумывался о том, что такое логика. Хотя логическое мышление присутствует в жизни повсеместно от простых бытовых дел до решения сложных математических задач. Оно неотделимо от науки и творчества, повседневных диалогов и решения насущных дел.

Логика – что это?

Этот термин имеет древнегреческие корни. Он образован от древнегреческого слова «логос», что понимают, как слово, рассуждение, мысль, смысл или разум. Самое простое определение логики – это наука о правильном мышлении, здравомыслии. Она зародилась примерно в V в. до н.э. благодаря трудам философа и мыслителя Аристотеля, который и считается основателем традиционной логики.

Существуют и другие толкования:

Зачем нужна логика?

Основной целью логического мышления является изучение определенной последовательности событий, явлений или действий, их взаимосвязи. То есть человек с помощью разума накапливает имеющиеся знания, аккумулируя их из разных источников, и строит причинно-следственные связи. Индивид руководствуется не своим эмпирическим опытом, а достоверными фактами.

Разобравшись с тем, что такое логика, можно сделать вывод о ее необходимости для:

Виды логики

Благодаря сохранившимся историческим документам доподлинно известно, что логика как наука о законах и формах мышления зародилась примерно 2500 лет назад. С тех пор она претерпевала определенные изменения, которые привели к выделению трех основных видов логики:

Формальная логика

Самым древним считается раздел философии под названием формальная, формально-фактическая или дискретная логика, отцом которой и был знаменитый Аристотель. Он рассматривал эту науку как возможность восприятия и оперирования формальными фактами и связями между ними без учета содержания. Выясняя, какие проблемы решает формальная логика, отметим, что она проверяет правильность рассуждений в современном мире. Важно абстрагироваться от конкретики и учитывать только общую форму суждения или вопроса.

Простым примером можно назвать констатацию факта: «на улице тепло и сухо, поэтому я пойду и прогуляюсь». Такой тип мышления заложен в каждом человеке, ведь впервые видя собеседника, индивид оценивает его внешний вид и подмечает другие особенности, складывая пазл в единую картину. Если же увиденное не соответствует принятым стандартам, то шаблон ломается.

Математическая логика

В начале XIX в. традиционная формальная теоретическая логика пополняется арсеналом математических методов с использованием искусственных языков. Так сформировалась символическая или современная логика, как ее принято называть. Математический подход позволил вывести способность к рассуждению ученых в разных областях науки на новый уровень,

Такая модель упрощает процесс познания благодаря замене слов привычного языка, которые могут нести двусмысленность и неточность, формальными символами. Многие проблемы, которые изучает математическая логика, невозможно сформулировать привычными словесными выражениями с использованием известных методов. Нередко такую науку в более широком плане причисляют к металогике или метаматематике.

Диалектическая логика

Немецкий философ Гегель и последователи марксистской материалистической теории основатели так называемую диалектическую логику, базой для развития которой стала дискретная логика. В ее основе лежит метод руководства не только формой, но и содержанием явлений, объектов и процессов. То есть такая наука о познавательной деятельности может рассматривать не отдельные противоположности, а их связь и схожесть между собой. У этого раздела философии существуют свои законы и принципы:

Законы логики

Как и в любой науке, здесь существуют определенные правила. Закон логики – это принцип, которому необходимо следовать, чтобы из истинных суждений получить правильный вывод. Их разработал и сформулировал еще Аристотель, изучая формальную логику, в которой использовались словесные суждения. Существует четыре базовых закона, нарушение которых приводит к появлению умышленных или неумышленных ложных выводов:

Закон тождества

Изучая, что такое наука логика, непременно сталкиваются с ее первым законом тождества или равенства. Некоторые именуют его принципом постоянства. Суть состоит в том, что на всем протяжении логического рассуждения изначальное понятие должно сохранять свой первоначальный смысл. Искажение, которое свойственно многим языкам и двойственность, многозначность, могут привести к ложным выводам.

Примером несоблюдения этого принципа является простой диалог:

Закон непротиворечия

Еще одним фундаментальным постулатом является закон непротиворечия. Его суть состоит в том, что два противоположных высказывания не могут быть одновременно истинными. Одно или оба из них обязательно окажутся ложными. Можно привести простой пример иллюстрации этого закона:

Закон исключенного третьего

Нередко студенты изучая, что такое наука логика, путают предыдущий закон с принципом исключенного третьего. Они схожи, но суть каждого все же отличится. Этот закон сформулирован так, что истинным может быть либо само суждение, либо же его отрицание. Третьего не дано. То есть закон оперирует не противоположными понятиями, а противоречащими друг другу. К примеру:

Закон достаточного основания

Четвертый закон – логического мышления, был сформулирован не Аристотелем, а лишь в XVIII в. озвучен Готфридом Лейбницем. Суть принципа состоит в том, что любой тезис будет иметь силу только тогда, когда будет подтвержден аргументами. Причем они должны быть такими, чтобы исходная мысль четко вытекала из них.

Самым ярким и знаменитым примером применения закона достаточного основания в жизни является принцип так называемой презумпции невиновности:

Как развить логику?

Многие философские термины и примеры могут показаться обывателю сложными и мало применимыми в обычной жизни. Однако каждый из указанных выше законов мы часто неосознанно можем встретить в любом споре или диалоге, когда собеседники, стремясь ввести друг друга в заблуждение, сознательно или неосознанно их нарушают. Навыки того, как развить логическое мышление, могут пригодиться каждому индивиду для достижения успехов в разных сферах науки и жизни.

Логическое мышление закладывается у человека в раннем возрасте, а умение мыслить абстрактно формируется примерно в 7-8 лет и развивается всю жизнь. Для качественного и полноценного его развития нейропсихологи советуют:

Источник

Для чего нужна математическая логика

ну а теперь немного о жизни.

В математической логике было дано точное определение алгоритма и вычислимости. Вопрос о существовании алгоритмов имеет для математики первостепенное значение (например, алгоритм существования решений для системы уравнений). Были получены разрешающие алгоритмы для ряда теорий, например, элементарной геометрии, упорядоченного поля действительных чисел, атомной булевой алгебры и т.д. Неразрешимы теории (т.е. не существует единого алгоритма для решения всех задач) элементарной арифметики, анализа, класса всех конечных симметрических групп (т.е.групп перестановок), аксиоматических систем теории множеств.
В последние годы большое внимание уделяется теории сложности алгоритмов и вычислений. Выяснилось, что одного только существования алгоритма, решающего ту или иную массовую проблему, далеко не достаточно для практики. После уточнения понятия сложности вычисления стали исследовать вопросы такого рода, как внутренняя сложность вычислимой функции, ее криптографическая стойкость, приобретающие особую актуальность с развитием сетей связи, вычислительной техники и автоматизированных систем управления.

а историю с философией вы зачем учите. чтобы мозг ваш начал учиться анализировать ситуацию вокруг вас.
а зачем вы учили матанализ и геометрию. наверное, чтобы потом написать какие-то полезные программы для решения конкретных практических задач!
метод резолюций, например, является основой логического программирования (а это, в свою очередь, база в разработке систем искусственного интеллекта и экспертных систем)
формулы алгебры логики используюстя в РКС, на которых построена любая ЭВМ.
с их же (формул) помощью решаются довольно легко различные логические задачи, где есть куча условий и их все нужно проанализировать, свести во едино и сделать верное умозаключение.

спросите, зачем вам нужна эта наука? так вы же пришли учиться в вуз! если вам нужны знания только для выполнения механической работы, связанной с компами, сетями и прочим, тогда надо было идти в техникум, там не углубляются в теоретическую науку настолько!

Герсеванов, Николай Михайлович — сов. ученый в области механики грунтов, чл.-корр. АН СССР
В 1923 сделал попытку применения алгебры логики в технич. расчетах. За разработку и внедрение в практику новых методов строительства в условиях макропористых (лессовидных) грунтов Г. получил Сталинскую премию (1948).

Методы структурного синтеза пневматических систем, основанные на алгебре логики, широко распространены в инженерной практике, так как существенно облегчают проектирование.

Источник

Зачем мы изучаем математическую логику?

Логика есть наука о законах и формах познающего мышления. Логика изучает мышление, но не всякое мышление, а лишь те мыслительные процессы, которые направлены на обнаружение и обоснование истины, на решение некоторой задачи, на поиск путей преодоления тех или иных трудностей, встающих перед нами как в профессиональной деятельности, так и в обыденной жизни.

В этом отношении логика сходна с грамматикой, которую мы изучали в школе. Грамматика тоже исследует и описывает формы языковых выражений, отвлекаясь от их содержания. Известное стихотворение «Бармаглот» из «Алисы в Зазеркалье» Льюиса Кэрролла начинается со следующих строк:

«Варкалось. Хливкие шорьки

И хрюкотали зелюки,

Как мюмзики в мове.»

При изучении логики мы вводим различные формальные языки. Дело в том, что формальные языки всегда проще, чем структура естественных языков. Иногда естественный язык может быть очень сложен.

Вот как, например, Марк Твен обыгрывает особенности словообразования в немецком языке [25, с. 59]:

Однажды в тех местах, в городе Шраттертроттэле, был схвачен негодяй, убивший готтентотку, мать двоих детей.

Преступника поймали и за неимением других помещений посадили в одну из клеток для кенгуру, о которых выше было сказано. Он бежал, но снова был изловлен. Счастливый своей удачей, негр-охотник быстро явился к старшине племени.

— Как какого? Этого самого! Латтенгиттерветтеркоттэрбейтельратте.

— Яснее! Таких у нас много… Непонятно, чему ты так радуешься?

— Я поймал щраттертроттэльхоттентотенмуттэраттэнтэтэр-латтенгиттерветтеркоттэрбейтельратте! Вот кого!

Тут начальник подскочил, точно подброшенный пружиной:

— Так что же ты мне сразу не сказал этого так коротко и ясно, как сейчас?!»

Математическая логика, возникшая почти 100 лет назад в связи с внутренними потребностями математики, нашла применение в теоретическом и практическом программировании и, судя по всему, взаимодействие этих двух наук в недалеком будущем сможет принести новые плоды.

Почему программисты обратились к математической логике, а логики заинтересовались программированием? Математическая логика, занимается построением формальных языков, предназначенных для представлений таких фундаментальных понятий, как функция, отношение, аксиома, доказательство, и изучение основанных на этих языках логических и логико-математических исчислений.

Для формализации семантики программы (это полезно при разработке трансляторов) необходим аппарат математической логики (уже использовались : l-исчисление Черча, теория областей Дана Скотта).

Другие приложения математической логики в программировании:

теория логического вывода:

правильность программ относительно спецификаций:

задачи представления и обработки знаний;

проблемы сложности вычислений;

элементная логическая база компьютеров.

Источник

Области применения математической логики

Когда обнаружилось, что математические рассуждения, вполне согласующиеся, по-видимому, с общепринятыми нормами, могут приводить к противоречиям, это было воспринято многими математиками как кризис, ставящий под сомнение надежность методов математики, всегда считавшейся достовернейшей из наук. Правда, все парадоксы связаны с «экзотическими» объектами, определения которых содержат явное или неявное упоминание о них самих. Содержанием предложения, приводящего к парадоксу лжеца, является утверждение о его собственной ложности. Множество всех множеств состоит из элементов, среди которых имеется, в частности, оно само, и так же обстоит дело с любым самосодержащим множеством. В словосочетании, которое служит именем числа, дающего парадокс Берри, фактически идет речь о множестве, содержащем это число в качестве элемента. Функция, фигурирующая в парадоксе Ришара, определяется через множество всех функций натурального аргумента с натуральными значениями, одним из элементов которого опять таки является сама эта функция. В конкретных математических дисциплинах, таких как арифметика, элементарная геометрия, дифференциальное исчисление и т.п., подобные объекты не встречались, и можно было надеяться, что эти дисциплины не окажутся под угрозой. Но чтобы иметь в этом уверенность, нужен был тщательный анализ способов образования математических понятий и способов математических рассуждений, который позволил бы отличать «законные» способы от «незаконных». Возникла новая область научных исследований «на стыке» математики и философии – основания математики; ее главным инструментом стала математическая логика, развитие которой сделалось, таким образом, насущной задачей.

В изучение оснований математики внесли свой вклад многие ученые, в том числе весьма выдающиеся – Г. Фреге Б. Рассел, Д. Гильберт, Л. Брауэр, Г. Вейль и др. Как всегда бывает в философии и смежных с ней областях, мнения ученых о природе кризиса и путях его преодоления были различны. В философии математики появились разные направления. Но следует сказать, что все они так или иначе способствовали развитию математической логики и углублению знаний математиков о природе понятий и методов своей науки. Был получен ряд результатов, по большей части неожиданных, которые, хотя и не привели к общему согласию в главных вопросах оснований математики (в том числе в вопросе о происхождении и значении парадоксов), но позволили гораздо лучше, чем раньше, представить себе, что можно и чего нельзя сделать с помощью формальных математических методов. Кроме того, сами логические исчисления дали возможность лучше понять, как устроены математические доказательства. Был подвергнут анализу и другой вид деятельности, составляющий не менее важную часть работы математика, чем доказательство теорем: вычисления и всевозможные формальные выкладки. В результате этого анализа возникла теория алгоритмов, также ставшая составной частью математической логики.

Современная математическая логика включает в себя также такие разделы, как многозначная логика(или нечеткая логика – fuzzy logic), в которой наряду с истинными и ложными суждениями имеются суждения, принимающие промежуточные между истиной и ложью значения. Модальная логика, оперирующая понятиями возможности и необходимости. Временная логика, в которой истинность суждений зависит от времени и др.

Говоря о современной математической логике, нельзя не сказать еще о том, что, начиная с конца 1930-х годов, идеи и методы математической логики используются и за пределами логики и математики.

Имеются две области такого их использования. Во-первых, это конструирование и эксплуатация различных автоматических устройств, в том числе вычислительных машин. В ряде случаев здесь используется технический аппарат математической логики; сверх того, что особенно важно, идеи математической логики – в первую очередь теории алгоритмов, но также и всей науки в целом – и свойственный ей стиль мышления оказали и продолжают оказывать очень большое влияние на те своеобразные области деятельности, содержанием которых является автоматическая переработка информации (информатика) и автоматизация процессов управления (кибернетика).

Другой областью использования идей и методов математической логики стала лингвистика (языковедение). В этой науке в первой половине XX в. произошли революционные изменения, связанные с осознанием того факта, что в языке существенна не материальная природа его элементов, а только отношения между ними и эти отношения подчиняются строгим закономерностям, напоминающим математические. Стала очевидной желательность разработки математических методов исследования строения языка. При этом своеобразие языковых явлений делало невозможным, за небольшими исключениями, использование готового математического аппарата, предназначенного для других целей; математический аппарат для лингвистики предстояло создать заново. Это было сделано в 50–60-е годы, когда появилась новая математическая дисциплина – математическая лингвистика, занимающаяся разработкой и изучением математического аппарата для описания естественного языка. Главными источниками идей и методов этой новой науки были математическая логика и абстрактная алгебра. Центральное место в математической лингвистике занимает теория формальных грамматик, родственная теории алгоритмов и имеющая с ней много точек соприкосновения. Математическая логика влияет на современнее языковедение не только через математическую лингвистику, но и непосредственно: основные понятия математической логики – предикаты, кванторы, пропозициональные связки вошли в «повседневный обиход» лингвистов; «математико-логический дух» все больше проникает в лингвистические теории и исследования. Все это, разумеется не случайно: столь важное значение математической логики для лингвистики обусловлено тем, что язык математики, изучением которого занимается математическая логика, представляет собой фрагмент естественного языка, обработанный и развитый специальным образом с целью обеспечить максимальную точность, но все же сохранивший некоторые очень существенные черты естественного языка. Поэтому, когда лингвистике потребовались точные методы, аппарат математической логики мог служить образцом для их создания.

Следует сказать, что упомянутые области приложения идеи и методов математической логики имеют много точек соприкосновения: с одной стороны, формальные грамматики, созданные для исследования строения естественных языков, оказались также и удобным средством анализа языков программирования и других формальных языков; с другой – в информатике большое место занимают задачи, связанные с переработкой информации, выраженной на естественном языке, и требующие применения точных методов лингвистики.

Представляется вероятным, что со временем сфера внематематических приложений математической логики будет расширяться. Уже сейчас можно говорить, например, об использовании ее идей для некоторых разделов психологии.

Источник