Для чего нужна теория подобия

Теория подобия

Связанные понятия

Упоминания в литературе

Связанные понятия (продолжение)

Компьютерная модель (англ. computer model), или численная модель (англ. computational model) — компьютерная программа, работающая на отдельном компьютере, суперкомпьютере или множестве взаимодействующих компьютеров (вычислительных узлов), реализующая представление объекта, системы или понятия в форме, отличной от реальной, но приближенной к алгоритмическому описанию, включающей и набор данных, характеризующих свойства системы и динамику их изменения со временем.

Методы прогнозирования в экономике — это совокупность научных методик, которые используются специалистами для разработки оптимальных алгоритмов дальнейшего развития различных сфер экономики каждого конкретного государства или мировой экономики в целом.

Распределённые системы в физике — термин, обычно применяемый к колебательным системам, также сплошные колебательные системы — физические системы, динамические характеристики которых (например, масса и упругость в механических системах, индуктивность и ёмкость в электрических) не сосредоточены (только) в точечных элементах (не приложены только к точечным элементам), а распределены тем или иным образом непрерывно по пространству (конечным или бесконечным областям пространства), поверхностям, линиям.

Две и более физические системы называются подо́бными, если при их эволюции сохраняется отношение между некоторыми измеряемыми величинами, характеризующими данные системы.

Метод ренормализационной группы (также часто называемый методом ренормгруппы, методом РГ) в квантовой теории поля — итеративный метод перенормировки, в котором переход от областей с меньшей энергией к областям с большей вызван изменением масштаба рассмотрения системы.

Источник

Основы теории подобия.

При изучении различных физических явлений применяют два мето­да исследований: экспериментальныйи теоретический(или метод ма­тематической физики). Достоинством экспериментального метода исследования является достоверность получаемых результатов. Основной недостаток экспериментального метода исследования заключается в том, что результаты данного эксперимента не могут бить использованы применительно к другому явлению, которое в деталях отличается от изученного. Следовательно, при экспериментальном методе каждый конкретный случай должен служить самостоятельным объектом изучения. Последнее обстоятельство является органическим недостатком экспе­риментального метода исследований.

Если положительные стороны математического и эксперименталь­ного методов исследования объединить в целое, то полу­чим универсальный аппарат изучения различиях явлений природа. Такое объединение обоих методов осуществляется теорией подобия.

(117)

l₁″, l₂″, l₃″— сходственнее линейные размеры другой фигуры;

C_l — константа геометрического подобия.

Условие (116) является математической формулировкой геометрического подобия.

Для сложных физических явлений должны выполняться следующие условия подобия:

1) Понятие подобия в отношении физических явлений применимо только к явлениям одного и того же рода, которые качественно оди­наковы и описываются одинаковыми уравнениями, как по форме, так и по содержанию.

Если же математическое описание двух каких-либо явлений одинаково по форме, но различно по физическому содержанию, то такие явления называются аналогичными. Такая аналогия существует, напри­мер, между процессами теплопроводности, электропроводности и диффузии.

2) Обязательной предпосылкой подобия физических явлений долж­но быть геометрическое подобие, т.е. подобные явления всегда про­текают в геометрически подобных системах.

3) При анализе подобных явлений сопоставлять между собой мож­но только однородные величины и лишь в сходственных точках прост­ранства и в сходственные моменты времени.

Однородными называются такие величины, которые имеют один и тот же физический смысл и одинаковую размерность.

Сходственными точками геометрически подобных систем называ­ются такие точки, координаты которых удовлетворяют условию (116):

, ,

Два промежутка времени τ’ и τ″ называются сходственными, если они имеют начало отсчета, и связаны преобразованием подобия, т.е. τ″=С_τ*τ’

4) Подобие двух физических явлений означает подобие всех ве­личин, характеризующих рассматриваемых явлений.

Это означает, что в сходственных точках пространства и в сходственные моменты времени любая величина φ’ первого явления пропорциональна однородной с ней величине φ» второго явления, т.е.

где С_φ— константа подобия (или множитель подобного преобразования).

При этом физическая величина имеет свою константу по­добия, например:

, , , ,

Приведенные константы подобия называют: линейная, плотностная, температурная, скоростная, временная.

Константы подобия для различных величин в подобных явлениях нельзя назначать или избирать произвольно. Между ними имеются строго определенные соотношения, которые выводятся из анализа математичес­кого описания процессов. Эти соотношения имеют центральное значение в теории подобия, так как они устанавливают существование особых величин, называемых числами или критериями подобия, которые для всех подобных между собой явлений сохраняют одно и то же числовое значение. Покажем это на примере. Для примера воспользуемся диффе­ренциальным уравнением теплоотдачи. Это уравнение для сходственных точек двух подобных систем запишется так:

для первой системы (а)

для второй системы (б)

Обозначим константы подобия:

, , , (в)

где l— характерный (определяющий) размер системы. Из уравнений (в) получаем:

, , , , ,

Подставив эти выражения в уравнение (б), получим

Сократив на С_t и разделив левую и правую часть на С_α, получим

(г)

Сравнивая (а) и (г), получим, что

(д)

Из уравнения (д) следует, что выбор комплекса констант подо­бия ограничен условием: любая их комбинация должна быть равна еди­нице. Величину С называют индикатором подобия.

Заменив значения констант подобия в уравнении (д) из уравнений (в), получаем:

,

Умножив левую и правую часть последнего уравнения на α″*l″/λ″, получим

или в общем случае (е)

Такие комплексы величин называются числами подобия.

Числа подобия являются безразмерными комплексами, составлен­ными из разнородных физических величин, характеризующих данное явление. При этом нулевая размерность является характерным свойством числа подобия и может служить проверкой правильности его составле­ния. Числа подобия принято называть именами ученых, работающих в соответствующей области науки, и обозначать двумя начальными буквами их фамилий. Получают числа подобия из аналитических зависи­мостей, описывающих данный процесс. Таким образом, математические описания процесса, хотя бы в виде неинтегрируемых дифференциальных уравнений общего вида, является необходимой предпосылкой ис­пользования теории подобия. Это положение лежит в основе практи­ческого применения теории подобия.

Записанное уравнением (е) число называют числом Нуссельта и обозначают N_U. Равенство (е) можно представить в виде:

Для характеристики подобия явлений можно применять константы подобия и числа подобия. Но при этом нужно помнить, что константе подобия сохраняют числовое значение только для двух подобных явлений, оставаясь одинаковыми для всех сходственных точек рассматривае­мых систем. Числа подобия сохраняют свое числовое значение в сходственных точках всех подобных между собой систем, но в различных точках одной и той же системы они могут иметь разные числовые зна­чения.

Основные положения теории подобия обычно формулируются в виде теорем подобия.

Первая теорема подобия.

В подобных явлениях одноименные числа подобия в сходственных точках и в сходственные моменты временя имеют одинаковые числовые значения.

Вторая теорема подобия.

Зависимость между переменными величинами, характеризующими какое-либо явление, может быть представлена в виде зависимости между числами подобия.

Эта зависимость между числами подобия называется уравнением подобия (или критериальным уравнением).

Вторую теорему подобия можно сформулировать так:

если физическое явление описывается дифференциальным уравнением (или системой уравнений), то всегда существует возможность представить его (их) в виде уравнения подобия.

Третья теорема подобия отвечает на воп­рос, какие условия достаточны, чтобы явления были подобны.

Подобны те явления условия однозначности которых подобны, и числа подобия, составленные из условий однозначности в сходственных точках и сходственные моменты времени численно одинаковы.

Источник

Для чего нужны теории подобия и анализ размерностей

Виды теплообменников и области их преимущественного применения.

Теплообменным аппаратом наз-ся устройство, в котором происходит процесс нагрева илиохлаждения т.е. осуществляется переход тепла от одного теплоносителя к другому.

Различают 3 типа, вида теплообменных аппаратов.

Наиболее распространенные рекуперативные аппараты.

а) на прямоточные, если теплоносители движутся параллельно в одном направлении;

б) на противоточные, если теплоносители движутся параллельно, но в противоположных направлениях;

в) с перекрестным током, если теплоносители движутся во взаимно перпендикулярных направлениях.

Встречаются и более сложные схемы движения теплоносителей.

Из трех рассмотренных выше видов теплообменников наиболее широкое и разностороннее применение находят рекуперативные теплообменники.

Подобными называются явления, происходящие в геометрически подобных системах, если у них во всех сходственных точках отношения одноименных величин есть постоянные числа [1]. Эти отношения называются константами подобия, которые могут быть различными для разных величин.

Теория подобия оперирует с обобщенными переменными или критериями подобия. Последние могут быть получены различными способами: методом масштабных преобразований и методом анализа размерностей. Первый применяется в том случае, если явление изучено в такой степени, что известно аналитическое описание процесса в какой-либо форме, и в частности, дифференциальной. Второй используется для малоизученных явлений, когда отсутствует аналитическое описание процесса

Метод масштабных преобразований состоит в приведении к безразмерному виду уравнений, описывающих процесс. Для конвективного теплообмена такими уравнениями является система

Теорема подобия. Для подобия физических процессов необходимо и достаточно, чтобы:

а) явления описывались одинаковыми по форме и физическому содержанию дифференциальными уравнениями;

б) условия однозначности были одинаковыми во всем, кроме их численных значений;

в) соответствующие определяющие критерии были равны.

Из этой теоремы следует, что подобные явления должны описываться тождественно одинаковыми безразмерными дифференциальными уравнениями и условиями однозначности должны быть тождественно одинаковы. Следовательно, критериями подобия являются, по существу, лишь определяющие критерии.

Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет

Источник

Основы теории подобия

Теория подобия — это учение о подобии явлений. Наиболее простое подобие — геометрическое. У геометрически подобных фигур — сходственные стороны пропорциональны, а соответственные углы равны.

Понятие подобия распространяется на любые физические явления, например подобие движения двух потоков жидкости или подобие распределения температур и тепловых потоков.

Подобие физических явлений возможно только при качественно одинаковых явлениях, которые описываются одинаковыми уравнениями. Если же физическое содержание различно, но явления описываются одинаковыми уравнениями, то эти явления называются аналогичными. Например, процессы теплопроводности и электропроводности.

При этом подобие физических явлений означает подобие всех величин, характеризующих рассматриваемые явления. Обязательной предпосылкой подобия физических явлений должно быть подобие геометрическое.

Из анализа математического описания подобных процессов установлены критерии подобия, которые для подобных явлений сохраняют одно и то же числовое значение. Критерии подобия — это безразмерные комплексы, составленные из величин, характеризующих явление. Критерии подобия названы именами ученых внесших существенный вклад в развитие науки.

Основные положения теории подобия формулируются в виде трех теорем.

Первая теорема подобия — подобные между собой процессы имеют одинаковые критерии подобия.

Вторая теорема — зависимость между переменными, характеризующими процесс, может быть представлена в виде зависимости между критериями подобия.

Эта теорема дает возможность обобщать и представлять данные эксперимента в виде критериальных зависимостей.

Третья теорема подобия — подобны те процессы, критерии которых численно одинаковы.

Эта теорема отвечает на вопрос: какие условия необходимы и достаточны чтобы процессы были подобны.

При изучении процессов теплообмена пользуются критериями определяемыми и определяющими.

В процессах теплообмена в качестве определяемого выступает критерий Нуссельта, характеризующий интенсивность процесса конвективного теплообмена

. (13.4)

Здесь a — коэффициент теплоотдачи, Вт/(м 2 ·град);

l — характерный размер стенки (размер, участвующий в процессе, для круглой трубы — d), м;

l — коэффициент теплопроводности среды, омывающей твердую стенку, Вт/(м·град).

Как известно, интенсивность теплообмена зависит от условий омывания твердой стенки жидкостью. Условия омывания определяются характером движения — вынужденной или естественной конвекцией. Вынужденная конвекция характеризуется критерием Рейнольдса, естественная конвекция — критерием Грасгофа. Соответственно определяющим критерием при вынужденной конвекции является критерий Рейнольдса

, (13.5)

где V — скорость движения потока жидкости, м/с;

d — характерный размер (при движении внутри труб — внутренний диаметр d), м;

n — кинематическая вязкость текущей жидкости, м 2 /с.

Критерий Грасгофа, который характеризует интенсивность подъемной силы в этих условиях естественной конвекции

, (13.6)

где b — температурный коэффициент объемного расширения среды, здесь ;

Т — абсолютная температура среды, К;

g — ускорение свободного падения, g = 9,81 м/с 2 ;

Dt — разность температур между температурой греющей стенки и температурой среды;

l — характерный размер. Для горизонтальной трубы — d, для вертикальной трубы — высота трубы h;

n — кинематическая вязкость среды, м 2 /с.

Кроме критериев Re и Gr в теплотехнических расчетах в качестве определяющего принимает участие критерий Прандтля, который характеризует теплофизические свойства теплоносителя.

, (13.7)

где n — кинематическая вязкость теплоносителя, м 2 /с;

a — коэффициент температуропроводности, м 2 /с.

Таким образом, при вынужденном движении теплообмен зависит от режима движения и теплофизических параметров теплоносителя , а при естественной конвекции .

На практике встречаются случаи, когда одновременно с вынужденным движением на теплообмен большое влияние оказывает и свободная конвекция и тогда . Причем влияние естественной конвекции будет тем больше, чем меньше скорость вынужденного потока и чем выше разность температур между стенкой и жидкостью.

В процессе теплообмена меняется температура жидкости, и, следовательно, меняются значения физических свойств жидкости. Как правильно выбрать температуру, по которой будут определяться значения физических параметров? Для этого введено понятие определяющей температуры, при значении которой из таблиц находят величины вязкости, теплопроводности и значение критерия Прандля Pr.

Однозначной рекомендации по выбору определяющей температуры нет. Распространен выбор в качестве определяющей — средней температуры жидкости. Пользуются также значениями, средней температуры стенки (теплообменной поверхности), температуры жидкости на входе в аппарат, и т.д. Универсального способа выбора температур нет. Поэтому целесообразно в качестве определяющей принимать такую, которая либо задана в расчетах, либо легко определяется.

Важен также вопрос выбора определяющего размера, хотя с точки зрения теории подобия любой размер может быть принят в качестве определяющего. Целесообразно выбрать размер, который определяет развитие процесса теплообмена. Например, при теплообмене внутри трубы, определяющий размер — внутренний диаметр трубы, при поперечном обтекании трубы — наружный диаметр, при обтекании плиты — ее длина по направлению движения, при теплообмене в кольцевом зазоре — разность диаметров. Для каналов неправильной формы применяется формула определения эквивалентного диаметра

, (13.8)

где F — площадь поперечного сечения канала, м 2 ;

П — периметр канала, м.

13.3. Теплоотдача при обтекании плоской поверхности
(пластины)

Течение жидкости вдоль пластины, после накатывания потока на край пластины, сопровождается образованием гидродинамического пограничного слоя. В нем скорость движения жидкости изменяется от нуля на поверхности пластины, к которой прилипают частички жидкости, до значения скорости невозмущённого потока V0 — на внешний границе этого пограничного слоя (рис. 13.1).

Рис. 13.1. Схема движения жидкости при обтекании пластины

Образование пограничного слоя и падение скорости в нем происходят из-за вязкости жидкости. У передней кромки в начале пластины толщина пограничного слоя минимальна, затем она растет, ее величина зависит от расстояния от передней кромки и степени турбулизации набегающего потока. При небольшой турбулизации потока движение жидкости вдоль пластины сопровождается увеличением толщины пограничного слоя, тормозящее воздействие стенки распространяется на всё более далекие слои жидкости. Режим движения в пограничном слое ламинарный, толщину слоя на расстоянии x от начала пластины можно рассчитать по формуле

. (13.9)

. (13.10)

Около поверхности пластины в потоке жидкости, кроме гидродинамического, формируется также тепловой пограничный слой, в пределах которого температура теплоносителя изменяется от tс до tж. Температуру tс имеют частицы жидкости, прилипшие к стенке, температура tж характерна для жидкости, находящейся вдали от поверхности стенки. Характер распределения температур в тепловом пограничном слое зависит от режима движения жидкости в динамическом пограничном слое. Формирование теплового пограничного слоя сходно с характером развития гидродинамического слоя.

При ламинарном пограничном слое перенос тепла в слое осуществляется только за счет теплопроводности.

При турбулентном динамическом слое основное изменение температуры происходит в пределах тонкого вязкого подслоя около поверхности теплообмена. В турбулентном ядре пограничного слоя из-за интенсивного перемешивания жидкости изменение температуры незначительно.

Коэффициент теплоотдачи при ламинарном режиме течения теплоносителя можно определить из критериального уравнения

. (13.11)

Для определения среднего коэффициента теплоотдачи в условиях турбулентного режима жидкости вдоль пластины рекомендуется зависимость

. (13.12)

В формулах (3.11) и (3.12):

Prж — критерий Прандтля теплоносителя при его средней температуре;

Pr_с— критерий Прандтля теплоносителя при температуре стенки.

;

,

где l — длина пластины, обтекаемой потоком жидкости, м;

a — средний коэффициент теплоотдачи, Вт/(м 2 ·град);

V — средняя скорость движения потока жидкости, м/с;

l — средняя теплопроводность жидкости при ее средней температуре, Вт/мК;

n — вязкость жидкости, м 2 /с.

Множитель представляет собой поправку, учитывающую направление теплового потока. Если жидкость нагревается в результате процесса теплообмена, то , а при охлаждении жидкости .

Если в качестве теплоносителя используется воздух, или двухатомные газы, то формулы (13.11) и (13.12) упрощаются, так как значение критерия Прандтля для воздуха в широком диапазоне температур практически неизменно и поправка .

Уравнения (3.11) и (3.12) трансформируются для воздуха в выражения

; (13.11 1 )

. (13.12 1 )

Источник