То, что не может произойти, никогда не может быть, а если произошло, то не должно нас удивлять.
Марк Туллий Цицерон. О девинации.
Римский философ и политик, I в.д.н.э.
Преобразование Гильберта для любого произвольного сигнала представляет собой идеальный широкополосный фазовращатель, который осуществляет поворот начальных фаз всех частотных составляющих сигнала на угол, равный 90 о (сдвиг на p /2). Применение преобразования Гильберта позволяет выполнять квадратурную модуляцию сигналов, в каждой текущей координате модулированных сигналов производить определение огибающей и мгновенной фазы (частоты) сигналов, выполнять анализ каузальных систем обработки сигналов.
Функция 1/(t- t ) называется ядром преобразования Гильберта. Обратное преобразование Гильберта определяется выражением:
Интегралы преобразования имеет особую точку при a = t- t Ю 0 и при вычислении используется их главное значение по Коши:
Спектральная характеристика преобразования. Выполним преобразование Фурье функции (10.1.1). В общей форме:
(f) = TF[(t)] = X(f) Ч Hb(f), (10.1.2)
(f) =(t) exp(-j2 p ft) dt. (10.1.2′)
Заметим, что произведение X(f) Ч Hb(f) не является преобразованием Гильберта спектральной функции X(f). Это не более чем преобразование Фурье свертки функций: x(t) * hb(t) Ы X(f) Ч Hb(f), которое позволяет вычислить результат преобразования Гильберта во временной области через частотную область:
Функция hb(t)=1/ p t является нечетной, а спектр этой функции, представленный только мнимой частью, является обратной сигнатурной функцией (рис. 10.1.2):
Изменение спектра сигналов при выполнении преобразования Гильберта. На рис. 10.1.3 приведено преобразование радиоимпульсного сигнала x(t) = a(t) Ч cos( w o t) с несущей частотой w o в сигнал (t) во временной области непосредственно через операцию свертки по (10.1.1). Сигнал x(t) является односторонним каузальным. Спектр сигнала содержит реальную и мнимую составляющие, т.е. может быть записан в виде X( w ) = Re(X( w )) + j Ч Im(X( w )). Эти составляющие для сигнала x(t) на рис. 10.1.3 показаны непрерывными кривыми на рис. 10.1.4 и 10.1.5.
Угол, на который изменяется фаза гармоник, можно определить из следующих соображений. Частотную характеристику Hb(f) (10.1.3) можно записать в следующем виде:
Hb(f) = |Hb(f)| Ч exp(j j h (f)), где |Hb(f)| = 1.
Если спектр функции x(t) также представить в виде
X(f) = |X(f)| Ч exp(j j x (f)),
то выражение (10.1.2) преобразуется к следующей форме:
(f) = |X(f)| Ч exp(j j x (f)) Ч exp(j j h (f)) = |X(f)| Ч exp[j( j x (f)+ j h (f))], (10.1.2»’)
Сдвиг фазы спектров сигналов x(t) на p /2 определяет изменение четности и самих сигналов: четный x(t) Ы нечетный (t), и наоборот.
Спектры каузальных функций. Каузальная (физически осуществимая) линейная система (равно как и произвольная причинно обусловленная функция) задается односторонним импульсным откликом (выражением) h(t), t і 0, и имеет частотную характеристику H(f):
a(t) =A(f) cos(2 p ft) df, b(t) =B(f) sin(2 p ft) df,
Рис. 10.1.6. Параметры каузальной функции.
Из этих условий следует, что нечетная функция b(t) в каузальной системе однозначно связана с четной функцией:
b(t) = sgn(t) Ч a(t), (10.1.8)
Осуществляя преобразование Фурье обеих частей данного равенства при известном преобразовании сигнатурной функции (sgn (t) Ы j/ p f), получаем:
или, с учетом знака мнимой части:
Аналогично определяется и действительная компонента спектра по мнимой части:
A(f) = (1/ p f) * B(f) = (1/ p ) [ B(v)/(f-v) ] dv. (10.1.10)
Таким образом, реальная и мнимая части спектра физически осуществимых (односторонних) систем, а равно и произвольных каузальных сигналов, связаны парой преобразований Гильберта. Они позволяют производить определение любой, действительной или мнимой, части частотной характеристики каузальной функции путем свертки другой ее части с функцией 1/ p f.
Для любых произвольных функций x(t) и y(t), имеющих Фурье – образы X( w ), Y( w ) и преобразования Гильберта (t) = ТН[x(t)] и (t) = ТН[y(t)], действительны следующие свойства:
Свойство четности и нечетности определяется сдвигом всех гармоник сигнала на p /2, при этом четные сигналы x(t) дают нечетные сигналы (t), и наоборот. Это действительно и для произвольных сигналов относительно их четных и нечетных частей.
Альтернативная форма вычисления x(t) из (t):
Подобие при изменении масштаба аргумента: ТН[x(at)] = (at).
x 2 (t) dt =2 (t) dt. (10.2.2)
Это следует из теоремы Парсеваля (энергия сигнала равна сумме энергии всех частотных составляющих сигнала) и равенства модулей спектров сигналов x(t) и (t) (энергия сигнала не зависит от его фазочастотной характеристики).
x(t) Ч (t) dt = 0. (10.2.3)
Если все косинусные составляющие сигнала x(t) превращаются в ортогональные им синусные составляющие сигнала , а синусные – в ортогональные им косинусные, то и сигналы x(t) и должны быть ортогональны. Из теоремы Парсеваля следует:
Преобразование Гильберта аналоговых сигналов целесообразно выполнять не по формулам линейной свертки с оператором 1/ p t, который стремится к Ґ при t Ю 0, а через спектр аналитической функции:
т.е. спектр функции z(t) является односторонним и устанавливается непосредственно по спектру функции x(t) при f і 0 (см. также (10.1.13)). Обратное преобразование Фурье функции Z(f) должно давать комплексную функцию z(t), при этом из (10.3.2′) следует:
В дискретной форме, при общем числе N отсчетов функции x(t) с шагом D t, с шагом по частоте D f =1/(N D t):
X(n D f) = D tx(k D t) Ч exp(-j2 p kn/N), n = 0,1. N/2. (10.3.4)
На рис. 10.3.1 приведен пример преобразования Гильберта, выполненный через частотную область. Естественно, что при реальном использовании преобразования Гильберта выполнять вычисления по (10.3.5′) не требуется.
= [1/(2 p k D t)] Ч [1-exp(-j p k D t)-exp(j p k D t)+1] = [1/( p k D t)] Ч [1-(exp(-j p k D t)+exp(j p k D t)/2] =
= [1/( p k D t)] Ч (1-cos( p k D t)) = [2/( p k D t)] sin 2 ( p k D t/2). (10.3.6)
Нетрудно убедиться, что коэффициент усиления постоянной составляющей оператора равен нулю, а коэффициент усиления дисперсии помех равен 1.
В частотной области при выполнении преобразования Гильберта спектральных функций оператор свертки hb(k D f) Ь 1/ p f не отличается от приведенного для временной области.
2. Бендат Дж., Пирсол А. Прикладной анализ случайных данных. – М.: Мир, 1989. – 540 с.
Реферат: Тема 17. Преобразование гильберта то, что не может произойти, никогда не может быть, а если произошло, то не должно нас удивлять
Название: Тема 17. Преобразование гильберта то, что не может произойти, никогда не может быть, а если произошло, то не должно нас удивлять Раздел: Остальные рефераты Тип: реферат Добавлен 17:54:42 16 ноября 2011 Похожие работы Просмотров: 228 Комментариев: 13 Оценило: 2 человек Средний балл: 3.5 Оценка: неизвестно Скачать
Тема 17. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ГИЛЬБЕРТА
То, что не может произойти, никогда не может быть, а если произошло, то не должно нас удивлять.
Марк Туллий Цицерон. Римский философ и политик, I в.д.н.э.
Однако пока не создано строгой математической теории чудес, приходится наоборот не удивляться, когда они не осуществляются, и удивляться, когда они осуществляются.
Николай Пятин. Воронежский геофизик Уральской школы, XX в.
1. Сущность преобразования Гильберта. Определение преобразования Гильберта. Спектральная характеристика преобразования Гильберта. Изменение спектра сигналов при выполнении преобразования Гильберта. Спектры каузальных функций.
Преобразование Гильберта для любого произвольного сигнала представляет собой идеальный широкополосный фазовращатель, который осуществляет поворот начальных фаз всех частотных составляющих сигнала на угол, равный 90 о (сдвиг на p/2). Применение преобразования Гильберта позволяет выполнять квадратурную модуляцию сигналов, в каждой текущей координате модулированных сигналов производить определение огибающей и мгновенной фазы и частоты сигналов, выполнять анализ каузальных систем обработки сигналов.
Давид Гильберт (Hilbert, 1862-1943), немецкий математик. Окончил Кенигсбергский университет. В 1895-1930 годах профессор Геттингенского университета. Исследования Гильберта оказали большое влияние на развитие многих разделов математики, а его деятельность в Гёттингенском университете содействовала тому, что Геттинген являлся одним из основных мировых центров математической мысли.
Угол, на который изменяется фаза гармоник, можно определить из следующих соображений. Частотную характеристику Hb(f) (17.1.3) можно записать в следующем виде:
Если спектр функции x(t) также представить в виде
то выражение (17.1.2) преобразуется к следующей форме:
Сдвиг фазы спектров сигналов x(t) на p/2 определяет изменение четности и самих сигналов: четный x(t) Û нечетный (t), и наоборот.
Спектры каузальных функций. Каузальная (физически осуществимая) линейная система (равно как и произвольная причинно обусловленная функция) задается односторонним импульсным откликом (выражением) h(t), t ³ 0, и имеет частотную характеристику H(f):
a(t) =A(f) cos(2pft) df, b(t) =B(f) sin(2pft) df,
Рис. 17.1.5. Параметры каузальной функции.
Из этих условий следует, что нечетная функция b(t) в каузальной системе однозначно связана с четной функцией:
Осуществляя преобразование Фурье обеих частей данного равенства при известном преобразовании сигнатурной функции (sgn(t) Û j/pf), получаем:
или, с учетом знака мнимой части:
Аналогично определяется и действительная компонента спектра по мнимой части:
Таким образом, реальная и мнимая части спектра физически осуществимых (односторонних) систем, а равно и произвольных каузальных сигналов, связаны парой преобразований Гильберта. Они позволяют производить определение любой, действительной или мнимой, части частотной характеристики каузальной функции путем свертки другой ее части с функцией 1/pf.
17.2. Свойства преобразования Гильберта [1, 2].
Для любых произвольных функций x(t) и y(t), имеющих Фурье – образы X(w), Y(w) и преобразования Гильберта (t) = ТН[x(t)] и (t) = ТН[y(t)], действительны следующие свойства:
Свойство четности и нечетности определяется сдвигом всех гармоник сигнала на p/2, при этом четные сигналы x(t) дают нечетные сигналы (t), и наоборот. Это действительно и для произвольных сигналов относительно их четных и нечетных частей.
Альтернативная форма вычисления x(t) из (t):
Подобие при изменении масштаба аргумента: ТН[x(at)] = (at).
x 2 (t) dt =2 (t) dt. (17.2.2)
Это следует из теоремы Парсеваля (энергия сигнала равна сумме энергии всех частотных составляющих сигнала) и равенства модулей спектров сигналов x(t) и (t) (энергия сигнала не зависит от его фазовочастотной характеристики).
x(t)×(t) dt = 0. (17.2.3)
Если все косинусные составляющие сигнала x(t) превращаются в ортогональные им синусные составляющие сигнала , а синусные – в ортогональные им косинусные, то и сигналы x(t) и должны быть ортогональны. Из теоремы Парсеваля следует:
Преобразование Гильберта аналоговых сигналов целесообразно выполнять не по формулам линейной свертки с оператором 1/pt, который стремится к ¥ при t Þ 0, а через спектр аналитической функции:
т.е. спектр функции z(t) является односторонним и устанавливается непосредственно по спектру функции x(t) при f ³ 0 (см. также (17.1.13)). Обратное преобразование Фурье функции Z(f) должно давать комплексную функцию z(t), при этом из (17.3.2′) следует:
x(t) = Re [2X(f) exp(j2pft) df], (17.3.3)
(t) = Im [2X(f) exp(j2pft) df]. (17.3.3′)
В дискретной форме, при общем числе N отсчетов функции x(t) с шагом Dt, с шагом по частоте Df =1/(NDt):
X(nDf) = Dtx(kDt)×exp(-j2pkn/N), n = 0,1. N/2. (17.3.4)
На рис. 17.3.1 приведен пример преобразования Гильберта, выполненный через частотную область. Естественно, что при реальном использовании преобразования Гильберта выполнять вычисления по (17.3.5′) не требуется.
= [1/(pkDt)]×(1-cos(pkDt)) = [2/(pkDt)] sin 2 (pkDt/2). (17.3.6)
Нетрудно убедиться, что коэффициент усиления постоянной составляющей оператора равен нулю, а коэффициент усиления дисперсии помех равен 1.
В частотной области при выполнении преобразования Гильберта спектральных функций оператор свертки hb(kDf)Ü1/pf не отличается от приведенного для временной области.
2. Бендат Дж., Пирсол А. Прикладной анализ случайных данных. – М.: Мир, 1989. – 540 с.
ДАВИД ГИЛЬБЕРТ (1862-1943)
Его называют последним всесторонним математиком и учителем математиков 20 века.
В математике Гильберт был «классиком», поочередно осваивал области математики и заканчивал освоение, написав хороший учебник и прочитав соответствующий курс для студентов. Гильберт был заботлив с учениками, в которых замечал «искру Божью». Но если она угасала, то вежливо советовал им сменить род деятельности. Бездельников полноценными людьми не считал. Гильберт был открытым человеком, семьей Гильберта были его ученики из всех стран Европы и Америки. Гильберт регулярно устраивал совместные чаепития и турпоходы, во время которых математические дискуссии прерывались студенческим трепом обо всем на свете. Для чопорной немецкой профессуры такой стиль общения со студентами был непривычен; но авторитет Гильберта сделал его нормой в Геттингене, а ученики и стажеры разнесли эту норму по всему свету.
Гильберт начал свои исследования с алгебры и 5 лет наводил в ней порядок. После первых алгебраических увлечений интерес Гильберта сместился в две области геометрии: классическую геометрию Евклида и геометрию бесконечномерных пространств, называемую функциональным анализом. За 23 столетия в геометрии Евклида было выявлено достаточно много пробелов. В 1899 году Гильберт предложил новую, логически более совершенную систему из 20 аксиом. Среди векторных пространств Гильберт выделил то, в котором определены расстояние между точками, угол между векторами и предел последовательности точек. Этот аналог евклидова пространства теперь называют гильбертовым пространством.
Как-то молодые ученики спросили Гильберта: решение какой задачи было бы сейчас полезнее всего для математики? Стареющий профессор ответил вполне серьезно: «Поймать муху на обратной стороне Луны! Сама эта задача никому не нужна. Но если она будет решена, то, какие могучие методы придется изобрести для этого, и какое множество других важных открытий мы при этом сделаем!»
В последние 10 лет жизни Гильберт бессильно наблюдал распад Геттингенской математической школы под властью нацистов. Их невежественное владычество сдвигало центр мировой научной мысли из Германии на запад, в США. Но в истории науки Давид Гильберт останется самым прозорливым и влиятельным математиком 20 века.
Главный сайт автора
Лекции по сигналам
О замеченных опечатках, ошибках и предложениях: davpro@yandex.ru
(t) = ТН[x(t)] = x(t) * (1/ p t),
(t) = 
. (10.1.1)
(f) = TF[
(t)] = X(f) Ч Hb(f), (10.1.2)
(f) =
(t) во временной области непосредственно через операцию свертки по (10.1.1). Сигнал x(t) является односторонним каузальным. Спектр сигнала содержит реальную и мнимую составляющие, т.е. может быть записан в виде X( w ) = Re(X( w )) + j Ч Im(X( w )). Эти составляющие для сигнала x(t) на рис. 10.1.3 показаны непрерывными кривыми на рис. 10.1.4 и 10.1.5.
) Рис. 10.1.5. Преобразование Im(X) Ю Re( 
)
(f) = |X(f)| Ч exp(j j x (f)) Ч exp(j j h (f)) = |X(f)| Ч exp[j( j x (f)+ j h (f))], (10.1.2»’)
(t), и наоборот.
(t) = ТН[x(t)] и 
(t) = ТН[y(t)], действительны следующие свойства:
(at).
(t) dt = 0. (10.2.3)
, а синусные – в ортогональные им косинусные, то и сигналы x(t) и 
(t). (10.2.4)
(f) = [-j sgn(f) X(f)] Ч Y(f) = 
(t) Ч Y(f) Ы 
(f) = X(f) Ч [-j sgn(f) Y(f)] = X(f) Ч 
(f) Ы x(t) * 
(t) Ы X(f) + j Ч 
(f) = Z(f). (10.3.1)
, (10.3.2′)
x(k D t) Ч exp(-j2 p kn/N), n = 0,1. N/2. (10.3.4)
(f) = |X(f)|×exp(jjx (f))×exp(jjh (f)) = |X(f)|×exp[j(jx (f)+jh (f))], (17.1.2»’)
(t), и наоборот.
A(f) cos(2pft) df, b(t) =
(t) = ТН[x(t)] и 
(t) = ТН[y(t)], действительны следующие свойства:
(t) dt = 0. (17.2.3)
, а синусные – в ортогональные им косинусные, то и сигналы x(t) и 
должны быть ортогональны. Из теоремы Парсеваля следует:
(t). (17.2.4)
(f) = [-j sgn(f) X(f)]×Y(f) = 
(t)×Y(f) Û 
(f) Û x(t) * 
(t) Û X(f) + j×
(f) = Z(f). (17.3.1)
, (17.3.2′)
X(f) exp(j2pft) df], (17.3.3)
x(kDt)×exp(-j2pkn/N), n = 0,1. N/2. (17.3.4)
X(nDf)×exp(j2pkn/N)]. (17.3.5′)
(kDt) = 2Df×Im[