Для чего нужны квадратные уравнения в жизни

Для чего нужны квадратные уравнения в жизни

История квадратных уравнений

Необходимость решать уравнения не только первой степени, но и второй ещё в древности была вызвана потребностью решать задачи, связанные с нахождением площадей земельных участков, с развитием астрономии и самой математики. Квадратные уравнения умели решать около 2000 лет до н. э. вавилоняне. Правила решения этих уравнений, изложенные в вавилонских текстах, совпадает по существу с современными, но в этих текстах отсутствуют понятие отрицательного числа и общие методы решения квадратных уравнений.

Решением квадратных уравнений занимались и в Древней Греции такие ученые как Диофант, Евклид и Герон. Диофант Диофант Александрийский – древнегреческий математик, живший предположительно в III веке нашей эры. Основное произведение Диофанта – «Арифметика» в 13 книгах. Евклид. Евклид древнегреческий математик, автор первого из дошедших до нас теоретических трактатов по математике Герон. Герон – греческий математик и инженер впервые в Греции в I век н.э. дает чисто алгебраический способ решения квадратного уравнения

Задачи на квадратные уравнения встречаются уже в астрономическом трактате «Ариабхаттиам», составленном в 499 г. индийским математиком и астрономом Ариабхаттой. Другой индийский ученый, Брахмагупта (VII в.), изложил общее правило решения квадратных уравнений, приведенных к единой канонической форме: ax2 + bх = с, а> 0. (1) В уравнении (1) коэффициенты, могут быть и отрицательными. Правило Брахмагупты по существу совпадает с нашим. В Индии были распространены публичные соревнования в решении трудных задач. В одной из старинных индийских книг говорится по поводу таких соревнований следующее: «Как солнце блеском своим затмевает звезды, так ученый человек затмит славу в народных собраниях, предлагая и решая алгебраические задачи». Задачи часто облекались в стихотворную форму.

Вот одна из задач знаменитого индийского математика XII в. Бхаскары.

«Обезьянок резвых стая

А двенадцать по лианам Всласть поевши, развлекалась

Стали прыгать, повисая

Их в квадрате часть восьмая

Сколько ж было обезьянок,

На поляне забавлялась

Ты скажи мне, в этой стае?»

Квадратные уравнения в Европе XVII века

Определение квадратного уравнения

Коэффициенты квадратного уравнения

Какие из данных уравнений не являются квадратными?

Источник

Урок по алгебре «Квадратные уравнения в нашей жизни». 8 класс.

«Управление общеобразовательной организацией:
новые тенденции и современные технологии»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

МУНИЦИПАЛЬНОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

«СРЕДНЯЯ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ШКОЛА № 19

г. Димитровград
Ульяновская область

УРОК АЛГЕБРЫ

« КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ В НАШЕЙ ЖИЗНИ »

Подготовила и провела

Егорычева Оксана Юрьевна

Тема: «Квадратные уравнения в нашей жизни».

Предмет математики настолько серьезен, что полезно не упускать случая, делать его немного занимательным.

I . Организационный момент:

Добрый день дорогие друзья, гости! Я рада приветствовать Вас на нашем уроке, и прошу всех вас улыбнуться друг другу, а ребят прошу, мысленно пожелать успехов и себе и товарищам. Садитесь.

Сегодняшний урок мы проведем с использованием рейтинговой системы контроля знаний. У вас имеются оценочные листы, в которых вы выставляете баллы, полученные за каждый этап урока. Каждый правильный ответ оценивается в 1 балл.

На доске уравнение: 15х 2 + х + 2019 = 0

— Назовите вид данного уравнения. Назовите его коэффициенты.

О каком событии говорят коэффициенты уравнения? (Дата проведения урока)

— Как вы знаете, вчера мы встретили Старый новый год. А по китайскому календарю этот год будет годом свиньи. Поэтому сегодня мы будем решать задачу об этих славных животных.

Подготовьтесь к выразительному чтению задачи.

Вопрос: С чего придется начать, чтобы ответить на вопрос задачи? (Составить уравнение)

Что необходимо для составления уравнения? (ввести неизвестную)

Что мы обозначим за х? (количество всех поросят)

Как обозначить часть восьмую поросят?

А в квадрате? () 2

Что еще известно о поросятах? (12 поросят в луже тёпленькой лежат)

А как узнать, сколько их всего было? (() 2 + 12)

D ₁ = k ²- ac ; Х=

Х= S = a • b .

Поросят весёлых стая,

Всласть поевши, развлекалась.

Часть восьмая их в квадрате

Хрюкала и забавлялась.

А двенадцать поросят

В луже тёпленькой лежат.

Ты скажи мне поскорей,

Сколько было всех свиней?

Самостоятельно составьте уравнение. Сравните его.

Какой вид оно имеет? (квадратное)

Слайд 5

Эта задача подвела нас к теме урока.

Сформулируйте тему нашего урока. (Учащиеся формулируют тему)

Я бы хотела уточнить. Сегодня мы убедимся, что без умения решать квадратные уравнения, невозможна жизнь современного человека.

Тема урока: Квадратные уравнения в нашей жизни.

Запишите её в рабочих листах.

Чтобы урок для вас стал полезен, поставьте перед собой цель работы и запишите её в рабочем листе, выбрав один из вариантов.

-Какие цели мы поставим к уроку? (вспомним и обобщим все те знания, которые мы получили на предыдущих уроках).

— Ребята, скажите, что должен уметь делать каждый из вас на сегодняшнем уроке? (уметь правильно, быстро и рационально решать квадратные уравнения)

Слайд 6

2. Актуализация знаний.

Слайд 7

1. Какое же уравнение называется квадратным уравнением? (ах 2 + вх + с =0)

2.Как называются числа а, в и с в квадратном уравнении.

4.Как называются квадратные уравнения, у которых хотя бы один из коэффициентов в или с =0 (неполное)

5. Что нам необходимо чтобы решить полученное нами уравнение в задаче? (дискриминант).

6.Какие формулы для его нахождения вам известны? (в презентации)

Теперь мы уже готовы к решению нашей задачи.

Слайд 8

Какое будет первое действие?

Ребята, все согласны?

Класс внимание, может у кого- то есть другое предложение?

Какой способ лучше? Пойдем через к. Вычисления меньше.

Решение задачи. (Каждая строка в решении, новый ученик у доски получает жетон.)

1 человек () 2 + 12 = х

+ 12 = х

Д_{1 = К} 2 – ас = 256 = 16 2

Слайд 9

Ребята, мы решили задачу, но у нас возникла проблема, как это часто бывает в жизни. Куда же нам поместить наших поросят? Ответ на этот вопрос нам дадут квадратные уравнения.

Ведь благодаря им рассчитывается тормозной путь автомобиля, мощность ракеты для выхода на орбиту и даже строятся любые объекты, в том числе свиноферма. Поэтому дружно встали и идем на строительство. Я выдаю вам кирпичи. Ваша задача – передать его сзади стоящему человеку, а потом с конца вернуть таким же образом вперёд. Побеждает та бригада, которая вернет кирпич первой.

Мы пришли на объект. Садитесь.

Слайд 10

Слайд 11

Слайд 12

(Пусть одна сторона х, другая х +6, а так как площадь 135 м 2 имеем уравнение)

Слайд 13

1 ученик х ( х+6) = 135

Класс решает самостоятельно, а у доски 2 ученик сам.

тогда вторая сторона 6+9 = 15

Слайд 14

Итак, наш участок имеет размеры 9 на 15 метров. На нём обживаются поросята, а я предлагаю узнать имя еще одного ученого.

Вопросы по способам решения квадратных уравнений (предложить более рациональный способ решения)

1.Какое уравнение можно решить извлечением квадратных корней? (Д)

2. Какое уравнение решается вынесением общего множителя за скобки? (И)

3. Какое уравнение можно решить, представляя в виде квадрата двучлена? (О)

4. В каком уравнении надо применять общую формулу корней? (Ф)

5. Какое уравнение решается по формуле, используя четный второй коэффициент? (А)

6. Какое уравнение удобно решать по теореме Виета? (Н)

7. Какое уравнение можно решить разложением разности квадратов? (Т)

Итак, мы сегодня открыли свиноферму, заселили туда поросят. И все это благодаря чему? (квадратным уравнениям, которые к нам пришли из древности.)

4. Ребята, прочитайте на историческую справку.

Слайд 19

Квадратные уравнения впервые встречаются в работе индийского математика и астронома Ариабхатты.

Другой индийский ученый Брахмагупта ( VII в) изложил общее правило решения квадратных уравнений, которое практически совпадает с современным.

В Древней Индии были распространены публичные соревнования в решении трудных задач.

Часть из которых благодаря вам решена на нашем уроке.

5. Подведем итог. Подсчитаем жетоны. У кого 4 жетона, ставьте в рабочем листе оценку «4», у кого 5 жетонов – ставим «5». А теперь обещанный сюрприз: выбираем руководителя фермы? (Вручить медаль)

Наш урок подходит к концу. И в завершение я хочу рассказать вам одну притчу.

Шел мудрец, а навстречу ему три строителя, которые везли под горячим солнцем тележки с камнями. Он остановил их и задал каждому по вопросу. У первого спросил: «Что ты делал целый день?». Тот с грустью ответил, что целый день возил эти тяжелые камни. У второго спросил: «А что ты делал целый день?» Тот ответил: «Я добросовестно выполнял свою работу» А третий улыбнулся, его лицо засветилось радостью и удовольствием: «а я принимал участие в строительстве храма»

Мы с вами тоже были строителями.

А теперь оцените свою работу на уроке.

Перед вами рисунки (слайд). Выберите себе тот, который характеризует вашу степень участия на уроке.

Кто работал как первый человек, т.е. решал весь урок эти непонятные, трудные уравнения? Поднимите руку. А почему?

Кто работал как второй человек, т.е. добросовестно решал все уравнения?

Кто работал как третий человек, т.е. приумножал свои знания? – 3 рисунок

(Учащиеся обосновывают свой выбор)

Каждый из вас в начале урока, поставил перед собой цель. Поднимите руки те, кто достиг своей цели. Назовите свою цель. А что ты делал для достижения цели. (Решал задачи, применял формулы.)

Что вам понравилось? Какой момент урока был трудным? Где были затруднения? Почему? Что для себя узнал нового на уроке?

— Вы славно потрудились! Я осталась довольна вами. Спасибо за урок! Всего доброго.

1. Задача: Можно ли в котлован круглой формы диаметром 1,6 м поместить ёмкость для бассейна прямоугольной формы со сторонами равными корням данного уравнения

__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

2. Творческое задание. Подготовить сообщение о Диофанте.

Приложение №1 РАБОЧИЙ ЛИСТ

Цель: а) Я хочу научиться…______________________________________

б)Я хочу узнать…_____________________________________________

D ₁ = k ²- ac ; Х=

Х= S = a • b .

Поросят весёлых стая,

Всласть поевши, развлекалась.

Часть восьмая их в квадрате

Хрюкала и забавлялась.

А двенадцать поросят

В луже тёпленькой лежат.

Ты скажи мне поскорей,

Сколько было всех свиней?

Задание3: Узнать имя еще одного ученого.

Вопросы по способам решения квадратных уравнений (предложить более рациональный способ решения)

1.Какое уравнение можно решить извлечением квадратных корней?

2. Какое уравнение решается вынесением общего множителя за скобки?

3. Какое уравнение можно решить, представляя в виде квадрата двучлена?

4. В каком уравнении надо применять общую формулу корней?

5. Какое уравнение решается по формуле, используя четный второй коэффициент?

6. Какое уравнение удобно решать по теореме Виета?

7. Какое уравнение можно решить разложением разности квадратов?

_ _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Количество Моя

«Лист настроения» : отметить, с каким настроением вы пришли на урок и с каким ушли с урока.

Источник

Исследовательская работа «Квадратные уравнения»

«Управление общеобразовательной организацией:
новые тенденции и современные технологии»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

«Сергачская средняя общеобразовательная школа №3»

Квадратные уравнения: от истоков к современности

Выполнила ученица 8 «а» класса

Никулина Анастасия, 14 лет

Руководитель: Маслова Елена Владимировна

3. Способы решения квадратных уравнений …………………………… ….10-15

С квадратными уравнениями мы знакомы из школьного курса алгебры. В учебнике алгебры 8 класса под редакцией С.А.Теляковского нам представляют квадратные уравнения, как уравнения второй степени. Предлагаются некоторые способы решения квадратных уравнений, а также решение задач с помощью квадратных уравнений. Но к сожалению, о применении уравнений на практике в учебнике ничего не сказано.

На уроке нам учитель сообщила, что есть и другие способы решения квадратных уравнений и можно для каждого вида уравнений выбрать эффективный способ. Я решила самостоятельно изучить способы решения квадратных уравнений, которых нет в учебнике, а также выяснить имеют ли применение в жизни квадратные уравнения.

Цель работы: Расширить свои знания о квадратных уравнениях

Познакомиться с историей появления и развития квадратных уравнений

Используя дополнительную литературу, изучить способы решения, которых нет в учебнике

Узнать применение квадратных уравнений в жизни

Объект исследования : квадратные уравнения

Предмет: исследования квадратных уравнений

Актуальность темы: Теория уравнений занимает ведущее место в алгебре и математике в целом. Сила теории уравнений в том, что не только имеет теоретическое значение для познания естественных законов, но и служит практическим целям. Большинство жизненных задач сводится к решению различных видов уравнений, и чаще это уравнения квадратного вида.

Гипотеза: Предполагаю, что квадратные уравнения можно решить многими способами, и они находят своё применение в жизни человека

Есть ли иные способы решения квадратных уравнений отличные от тех, что предложены в учебнике и зачем нам в жизни нужны квадратные уравнения

1 . Странички истории

Квадратные уравнения в Древнем Вавилоне

Много лет назад возникла необходимость решать уравнения второй степени. Потребность обусловлена нахождением площадей земельных участков и с земляными работами военного характера, а также с развитием астрономии и самой математики. Квадратные уравнения умели решать около 2000 лет до нашей эры вавилоняне. Применяя современную алгебраическую запись, можно сказать, что в их клинописных текстах встречаются, кроме неполных, и такие, например, полные квадратные уравнения:

Правило решения этих уравнений, изложенное в вавилонских текстах, совпадает по существу с современным, однако неизвестно, каким образом дошли вавилоняне до этого правила. Почти все найденные до сих пор клинописные тексты приводят только задачи с решениями, изложенными в виде рецептов, без указаний относительно того, каким образом они были найдены. Несмотря на высокий уровень развития алгебры в Вавилоне, в клинописных текстах отсутствуют понятие отрицательного числа и общие методы решения квадратных уравнений.

В «Арифметике» Диофанта нет систематического изложения алгебры, однако в ней содержится систематизированный ряд задач, сопровождаемых объяснениями и решаемых при помощи составления уравнений разных степеней.

При составлении уравнений Диофант для упрощения решения умело выбирает неизвестные. Вот, к примеру, одна из его задач.

Задача «Найти два числа, зная, что их сумма равна 20, а произведение – 96».

или же 100 – х 2 =96, х 2 =4

Ясно, что, выбирая в качестве неизвестного полу разность искомых чисел, Диофант упрощает решение; ему удается свести задачу к решению неполного квадратного уравнения.

Квадратные уравнения в Индии

Задачи на квадратные уравнения встречаются уже в астрономическом трактате «Ариабхаттиам», составленном в 499 г. индийским математиком и астрономом Ариабхаттой. Другой индийский ученый, Брахмагупта (VII в.), изложил общее правило решения квадратных уравнений, приведенных к единой канонической форме:

В уравнении (1) коэффициенты, могут быть и отрицательными. Правило Брахмагупты по существу совпадает с нашим.

В Индии были распространены публичные соревнования в решении трудных задач. В одной из старинных индийских книг говорится по поводу таких соревнований следующее: «Как солнце блеском своим затмевает звезды, так ученый человек затмит славу в народных собраниях, предлагая и решая алгебраические задачи». Задачи часто облекались в стихотворную форму. Вот одна из задач знаменитого индийского математика XII в. Бхаскары. «Стая обезьян забавляется: восьмая часть всего числа их в квадрате резвится в лесу, остальные двенадцать кричат на вершине холмика. Скажите мне, сколько всех обезьян?»

После извлечения квадратного корня получаем: x – 32 =16.

Квадратные уравнения в Европе XII-XVII в.

Формы решения квадратных уравнений по образцу Аль-Хорезми в Европе были впервые изложены в «Книге абака», написанной в 1202г. итальянским математиком Леонардом Фибоначчи. Автор разработал самостоятельно некоторые новые алгебраические примеры решения задач и первый в Европе подошел к введению отрицательных чисел.

Эта книга способствовала распространению алгебраических знаний не только в Италии, но и в Германии, Франции и других странах Европы. Многие задачи из этой книги переходили почти во все европейские учебники XIV-XVII вв. Общее правило решения квадратных уравнений, приведенных к единому каноническому виду х 2 + bx = c при всевозможных комбинациях знаков и коэффициентов b, c, было сформулировано в Европе в 1544 г. М. Штифелем.

Вывод формулы решения квадратного уравнения в общем виде имеется у Виета, однако Виет признавал только положительные корни. Итальянские математики Тарталья, Кардано, Бомбелли среди первых в XVI в. учитывают, помимо положительных, и отрицательные корни. Лишь в XVII в. благодаря трудам Жирара, Декарта, Ньютона и других ученых способ решения квадратных уравнений принимает современный вид.

Истоки алгебраических методов решения практических задач связаны с наукой древнего мира. Как известно из истории математики, значительная часть задач математического характера, решаемых египетскими, шумерскими, вавилонскими писцами-вычислителями (XX—VI вв. до н. э.), имела расчетный характер. Однако уже тогда время от времени возникали задачи, в которых искомое значение величины задавалось некоторыми косвенными условиями, требующими, с нашей современной точки зрения, составления уравнения или системы уравнений. Первоначально для решения таких задач применялись арифметические методы. В дальнейшем начали формироваться начатки алгебраических представлений. Например, вавилонские вычислители умели решать задачи, сводящиеся с точки зрения современной классификации к уравнениям второй степени. Был создан метод решения текстовых задач, послуживший в дальнейшем основой для выделения алгебраического компонента и его независимого изучения.

Это изучение осуществлялось уже в другую эпоху сначала арабскими математиками (VI—Х вв. н. э.), выделившими характерные действия, посредством которых уравнения приводились к стандартному виду приведение подобных членов, перенос членов из одной части уравнения в другую с переменой знака. А затем европейскими математиками Возрождения, в итоге длительного поиска создавшими язык современной алгебры, использование букв, введение символов арифметических операций, скобок и т. д. На рубеже XVI—XVII вв. алгебра как специфическая часть математики, обладающая своим предметом, методом, областями приложения, была уже сформирована. Дальнейшее ее развитие, вплоть до нашего времени, состояло в совершенствовании методов, расширении области приложений, уточнении понятий и связей их с понятиями других разделов математики.

Аль – Хорезми — арабский учёный, который в 825 г. написал книгу «Книга о восстановлении и противопоставлении». Это был первый в мире учебник алгебры. Он также дал шесть видов квадратных уравнений и для каждого из шести уравнений в словесной форме сформулировал особое правило его решения.

В трактате Хорезми насчитывает 6 видов уравнений, выражая их следующим образом:

1. «Квадраты равны корням», т.е. ах 2 = вх.

2. «Квадраты равны числу», т.е. ах 2 = с.

3. «Корни равны числу», т.е. ах = с.

4. «Квадраты и числа равны корням», т.е. ах 2 + с = вх.

5. «Квадраты и корни равны числу», т.е. ах 2 + вх = с.

Разберём задачу аль – Хорезми, которая сводится к решению квадратного уравнения. «Квадрат и число равны корням.» Например, один квадрат и число 21 равны 10 корням того же квадрата, т.е. спрашивается, из чего образуется квадрат, который после прибавления к нему 21 делается равным 10 корням того же квадрата?» х 2 + 21 = 10х

Франсуа Виет — французский математик, сформулировал и доказал теорему о сумме и произведении корней приведённого квадратного уравнения.

Искусство, которое я излагаю, ново или по крайней мере было настолько испорчено временем искажено влиянием варваров, что я счел нужным придать ему совершенно новый вид . Франсуа Виет

Виет Франсуа (1540-13.12. 1603) родился в городе Фонтене ле-Конт провинции Пуату, недалеко от знаменитой крепости Ла-Ро-шель. Он был широко образованным человеком. Знал астрономию и математику и все свободное время отдавал этим наукам.Главной страстью Виета была математика. Он глубоко изучил сочинения классиков Архимеда и Диофанта, ближайших предшественников Кардано, Бомбелли, Стевина и других. Виета они не только восхищали, в них он видел большой изъян, заключающийся в трудности понимания из-за словесной символики: Почти все действия и знаки записывались словами, не было намека на те удобные, почти автоматические правила, которыми мы сейчас пользуемся. Нельзя было записывать и, следовательно, начать в общем виде алгебраические сравнения или какие-нибудь другие алгебраические выражения. Каждый вид уравнения с числовыми коэффициентами решался по особому правилу. Поэтому необходимо было доказать, что существуют такие общие действия над всеми числами, которые от этих самих чисел не зависят. Виет и его последователи установи, что не имеет значения, будет ли рассматриваемое число количеством предметов или длиной отрезка. Главное, что с этими числами можно производить алгебраические действия и в результате снова получать числа того же рода. Значит, их можно обозначать какими-либо отвлеченными знаками. Виет это и сделал. Он не только ввел свое буквенное исчисление, но сделал принципиально новое открытий, поставив перед собой цель изучать не числа, а действия над ними. Такой способ записи позволил Виету сделать важные открытия при изучении общих свойств алгебраических уравнений. Не случайно за это Виета называют «отцом» алгебры, основоположником буквенной символики.

2. Способы решения квадратных уравнений

1. СПОСОБ : Разложение левой части уравнения на множители

2. СПОСОБ : Метод выделения полного квадрата

3. СПОСОБ : Решение квадратных уравнений по формуле

4. СПОСОБ : Графическое решение квадратного уравнения

5. СПОСОБ : Решение уравнений с использованием теоремы Виета

Все вышеперечисленные способы подробно разобраны в учебнике, поэтому на них я не буду останавливаться. Разберём ещё несколько способов.

6. СПОСОБ : Решение уравнений способом «переброски»

Рассмотрим квадратное уравнение ах 2 + bх + с = 0, где а ≠ 0.

Умножая обе его части на а, получаем уравнение а 2 х 2 + аbх + ас = 0.

Решим уравнение 2х 2 — 11х + 15 = 0.

Решение. « Перебросим» коэффициент 2 к свободному члену и сделав замену получим уравнение у 2 — 11у + 30 = 0.

Согласно обратной теореме Виета

7. СПОСОБ: Свойства коэффициентов квадратного уравнения

Пусть дано квадратное уравнение ах 2 + bх + с = 0, а ≠ 0

1. Если a+ b + с = 0 ( т.е. сумма коэффициентов уравнения равна нулю), то х ₁ = 1, х ₂ = c/а

Решим уравнение 132х2 + 247х + 115 = 0

8. СПОСОБ: Решение квадратных уравнений с помощью циркуля и линейки

При этом возможны три случая

1) Радиус окружности больше ординаты центра, окружность пересекает ось Ох в двух точках

2) Радиус окружности равен ординате центра, окружность касается оси Ох в точке

3) Радиус окружности меньше ординаты центра, окружность не имеет общих точек с осью абсцисс, в этом случае уравнение не имеет решения.

Проведем окружность радиуса S A, где А (0;1)

9. СПОСОБ : Геометрический способ решения квадратных уравнений

В древности, когда геометрия была более развита, чем алгебра, квадратные уравнения решали не алгебраически, а геометрически. Приведем ставший знаменитым пример из «Алгебры» ал-Хорезми.

Решим уравнение х 2 + 10х = 39.

В оригинале эта задача формулируется следующим образом: «Квадрат и десять корней равны 39».

Решение. Рассмотрим квадрат со стороной х, на его сторонах строятся прямоугольники так, что другая сторона каждого из них равна 2,5, следовательно, площадь каждого равна 2,5х. Полученную фигуру дополняют затем до нового квадрата ABCD, достраивая в углах четыре равных квадрата, сторона каждого их них 2,5, а площадь 6,25.

х 2 + 10х числом 39, получим, что S = 39 + 25 = 64, откуда следует, что сторона квадрата ABCD, т.е. отрезок АВ = 8. Для искомой стороны х первоначального квадрата получим

Преобразуя уравнение, получаем

10. СПОСОБ: Решение уравнений с использованием теоремы Безу

Теорема Безу и её следствие рассматриваются в старших классах. Смысл состоит в том, что нужно подставить в уравнение вместо неизвестной все целые делители свободного члена уравнения, и поделить столбиком наш трехчлен на (х- а), где а – найденный корень. Затем разложить на множители и найти остальные корни. Приведу пример:

Разделим р (х) на (х-1)

3. Жизнь по «параболе»

Школьном курсе алгебры мы знакомимся с квадратными уравнениями и уравнениями, сводящимися к квадратным. Однако они применяются не только для решения более сложных уравнений. Мы встретим квадратные уравнения в экономических дисциплинах, в различных программах для обработки звука и видео, а также в векторной графике.

Многие обучающиеся даже не догадываются, что график квадратичной функции, парабола, встречается в разных областях нашей жизни. Приведу несколько примеров.

При разбеге прыгуна для максимально четкого попадания на планку отталкивания и высокого полета используют расчеты, связанные с параболой. Подобные расчеты нужны и при метании снаряда. Дальность полета объекта зависит от квадратного уравнения. Даже беговая дорожка стадиона, параболической формы, для плавного прохождения дистанции.

Мы с удовольствием наблюдаем красивейшее оптическое явление – радуга. Еще ученые древности задавались вопросом формы радуги. Она полукруглая. Форма радуги определяется формой капель воды, в которых преломляется солнечный свет. А форма капли- круглая.

Даже струя воды, выбрасываемая из фонтана принимает форму параболы.

Дельфины – прекрасные создания. Они сопровождают суда и начинают выпрыгивать из воды, демонстрируя при этом движение по параболе.

Человечество прошло длинный путь от незнания к знанию, непрерывно заменяя на этом пути неполное и несовершенное знание все более полным и совершенным.

В ходе выполнения своей исследовательской работы я считаю, что с поставленной целью и задачами я справилась, мне удалось узнать о квадратных уравнениях гораздо больше, чем в школьном курсе алгебры. Мне было интересно узнать о различных способах решения квадратных уравнений, а также узнать где же они применяются. Способов решения квадратных уравнений очень много. Я изучила 10 способов решения квадратных уравнений. Надо отметить, что не все они удобны для решения, но каждый из них уникален. Некоторые способы решения помогают сэкономить время, что немаловажно при решении заданий на ГИА.

Подводя итоги, можно сделать вывод, что гипотеза моя подтвердилась. Квадратные уравнения играют огромную роль в математике. Эти знания могут пригодиться нам на протяжении всей жизни, и я думаю, что мою презентацию можно использовать в учебном процессе, чтобы заинтересовать увлекающихся математикой школьников и просто тех детей, которые не видят смысла в квадратных уравнениях

6.Пресман А.А. Решение квадратного уравнения с помощью циркуля и линейки.М., Квант, №4/72. С.34.

7.Дидактические материалы по алгебре. М., Математика (приложение к газете «Первое сентября»), №№ 21/96, 10/97.

8.Баранова Е.А. Как увлечь школьников исследовательской деятельностью. Математика в школе / Е.А. Баранова, М.И.Зайкин// 2004. №2 – 80с.

9.Глейзер Г.И. История математики в школе. 7-8 классы. – М.: Просвещение, 1982.

10.Дробышев Ю.А. Изучение квадратных уравнений на основе историко – генетического метода /Ю.А. Дробышев // /. Математика в школе № 6 –2011.

11.С.А. Литвинова, и др. За страницами учебника математики 8-11 классы. – 2-е изд., дополненное – М.: Глобус, Волгоград: Панорама,2008.– c.76-82.

12.Макарычев Ю. Н. Алгебра: учебник для 8 класса общеобразовательных учреждений / Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова; Под редакцией С. А. Теляковского. – 11-е издание – М.: Просвещение, 2003. – 238 с.

Источник