Для чего нужны линейные уравнения в жизни
Для чего нужны линейные уравнения в жизни
Вот пример прямой задачи: сколько весит кусок сплава, на изготовление которого пошло 0,6 дм³ меди (уд. вес 8,9 кг / дм³) и 0,4 дм³ цинка (уд. вес 7,0 кг/ дм³)? При ее решении мы находим вес взятой меди (8,9 · 0,6 = 5,34 (кг)), затем вес цинка (7,0 · 0,4 = 2,8 (кг)) и, наконец, вес сплава (5,34 + 2,8 = 8,14 (кг)). Выполняемые действия и их последовательность диктуются самим условием задачи.
Вот пример косвенной задачи: кусок сплава меди и цинка объемом в 1 дм³ весит 8,14 кг. Найти объемные количества меди и цинка в этом сплаве. Здесь из условия задачи не видно, какие действия ведут к ее решению. При так называемом арифметическом решении нужно проявить подчас большую изобретательность, чтобы наметить план решения косвенной задачи. Каждая новая задача требует создания нового плана. Труд вычислителя затрачивается нерационально. Для рационализации вычислительного процесса и был создан метод уравнений, который является основным предметом изучения в алгебре. Суть этого метода такова.
1.Искомые величины получают особые наименования. Мы пользуемся для этой цели буквенными знаками (предпочтительно последними буквами латинского алфавита х, у, z, u, v). Условие задачи с помощью этих знаков и знаков действий (+, — и т. д.) «переводится на математический язык», т. е. связи между данными и искомыми величинами мы выражаем не словами и фразами разговорного языка, а математическими знаками. Каждая такая «математическая фраза» и есть уравнение.
2.После этого мы решаем уравнение, т. е. находим значения искомых неизвестных величин. Решение уравнения производится совершенно механически, по общим правилам. Нам не приходится больше учитывать особенности данной задачи; мы только должны применять раз навсегда установленные правила и приемы. (Выводом этих правил и занимается в первую очередь алгебра.)
Таким образом, уравнения нужны для того, чтобы механизировать труд вычислителя. После того как уравнение составлено, решение его можно получить вполне автоматически (в настоящее время сконструирован ряд таких автоматов). Вся трудность решения задачи сводится лишь к составлению уравнения.
Зачем линейные уравнения в жизни. Школьникам не понять
Сколько же чудесных школьных лет уходит на решение задач с линейными уравнениями, а потом и с системами линейных уравнений! А задумываются ли школьники и те, кто проводит время с их тетрадками, сколько научной энергии вложено в эту проблему? Пожалуй, стоит приоткрыть завесу – вокруг чего столько шума и самое главное, как это вообще можно применить в жизни?
Что это такое?
Стоит только задать вопрос поисковику, как тут же выдается несколько страниц ссылок. В основном, это методы решения подобного класса задач. А чтобы немного освежить воспоминания, Википедия, как всегда, незаменима.
Системой линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) называется система:
Совокупность всех Xi будет решением системы уравнений, если при подстановке всех Х в систему, равенства будут корректными. Сложно? Сразу проясним примером:
Это простейшая СЛАУ, где две неизвестных. Не стоит смущаться, если вместо Х появляются другие неизвестные, тут решением системы является пара
Для чего это?
Казалось бы, какая жизненная ситуация способна поставить нас перед необходимостью решения такой системы? Насколько известно, в первую очередь это задачи оптимизационного характера. Нужно выбрать несколько параметров так, чтобы это решение было самым лучшим. Системой задаются необходимые условия.
Например, на заводе изготавливают два вида продукции А и Б из одного сырья и известно несколько технологий. При каждой технологии из одного количества сырья получается разное количество А и Б.
А вот дальше уже наступает полет фантазии о том, какую цель нужно достичь при выборе технологии. Исходя из необходимости, можно получить любую систему уравнений.
Особое внимание задачам оптимизации уделяется при планировании логистических процессов. Есть грузы разного вида, твердые, жидкие, сыпучие, есть вагоны и цистерны и при перемещении всего этого нужно заработать как можно больше денег. От правильной постановки задачи зависит успех)
Как решают?
Возьмем простой пример:
В школе предлагают все это сводить к одному линейному уравнению с одним неизвестным. Для этого можно сложить оба уравнения так, чтобы исчезла одна неизвестная. Для большей наглядности уберем y, для этого умножим каждую часть первого уравнения на 2 и сложим со вторым уравнением:
Mathcad хорошо справляется с системами линейных уравнений
Теперь-то можно быть точно спокойным). Решение — это точка пересечения линейных функций. Если у линейных функций сравнять углы наклона, то очевидно, что они не пересекутся и в этом случае решения не будет. Далеко не всегда решение может существовать.
Графически это выглядит просто и очевидно только потому, что неизвестных в системе всего две. При увеличении количества неизвестных фантазия заканчивается и нам остается прибегнуть к какому-то более сложному и менее наглядному методу. А их набирается прямо-таки немалое количество. Все их можно классифицировать на прямые и итерационные методы.
Прямые методы позволяют найти точное решение системы. Итерационные методы позволяют получить решение в результате последовательных приближений.
Некоторые прямые методы:
Преимущество итерационных методов в том, что часто они позволяют найти решения с заранее заданной точностью. Суть этих методов состоит в последовательном приближении к точке решения.
Среди итерационных методов:
Где еще встречается?
СЛАУ применяется в экономике, физике, химии и прочих областях. Физики и химики, если есть тут такие, напишете, пожалуйста, как у вас это применяется?
Недавно наткнулся на использование СЛАУ в задаче расчёта фазированной антенной решетки. В двух словах не рассказать, как там приходят к такому красивому решению, лучше смотрите все сами.
Проект по математике «Линейная функция и её применение в жизни человека»
«Управление общеобразовательной организацией:
новые тенденции и современные технологии»
Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику
Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение
«Средняя общеобразовательная школа №1»
Линейная функция и её применение в жизни человека
Перевалова Вероника, ученица 8 класса.
Колосова Елена Александровна, учитель
первой квалификационной категории
Нижнетуринский городской округ
1. Из истории развития функции ………………………………………………… 4
2. Функциональная зависимость величин ………………………………………. 9
2.1. Постоянные и переменные величины …………………………………. 9
2.2. Функциональная зависимость, понятие функции …………………….. 9
2.3. Способы задания функции …………………………………………….12
3. Линейная функция, её свойства и график…………………………………. 15
3.1. Определение, свойства и график ……………………………………….15
3.2. Частные случаи линейной функции …………………………………. 19
3.3. Условие параллельности и перпендикулярности прямых …………… 22
4. Применение линейной функции в разных сферах жизни человека ……….. 25
4.2. Линейная функция в природе ………………………………………….. 27
4.3. Линейная функция в медицине ………………………………………. 28
4.4. Линейная функция в физике …………………………………………. 29
4.5. Линейная функция в экономике ………………………………………. 32
4.6. Линейная функция в статистике ………………………………………. 37
4.7. Линейная функция в хозяйстве ……………………………………….. 40
5. Линейная функция в решении упражнений повышенной трудности и на ОГЭ по математике……………………………………………………………………. 41
5.1. Линейная функция с модулем …………………………………………..41
5.2. Линейная функция на ОГЭ по математике ………………………….. 48
Я заметила, что многие процессы в жизни человека можно выразить с помощью функции. Например: чем большее количество одного товара покупаешь, тем больше заплатишь; чем лучше готовишь уроки, тем выше отметку получишь и т.п.
Поэтому решила расширить свои знания о линейной функции, которую мы изучали в 7 классе, и её применении в жизни человека.
Цель проекта : П оказать, что во многих сферах деятельности человека встречаются процессы, которые можно описать с помощью линейной функции.
Найти и изучить информацию о линейной функции.
Показать применение линейной функции в разных сферах жизни человека.
Рассмотреть применение линейной функции в решении упражнений повышенной трудности и на ОГЭ по математике.
Объект исследования: Линейная функция, сферы жизни и деятельности человека.
Предмет исследования: Линейная функция.
Гипотеза: Линейная зависимость существует во всех сферах жизни человека. С помощью линейной функции можно описать процессы движения, изменения присущие природе.
Методы исследования : изучение и анализ литературы по данной проблеме, наблюдение и обобщение, сбор и обработка информации.
Из истории развития функции
С развитием скотоводства и земледелия, ремесла и обмена увеличилось количество известных людям зависимостей между величинами. Многие из них выражались с помощью чисел. Это позволило формулировать их словами «больше на», «меньше на», «больше во столько-то раз». Если за одного быка давали 6 овец, то двух быков обменивали на 12 овец, а трёх быков – на 18 овец; если из одного ведра глины изготовляли 4 горшка, то из двух ведер глины можно было сделать 8 горшков, а из трёх ведер – 12 горшков. Такие расчёты привели к возникновению понятия о пропорциональности величин.
С развитием цивилизации люди стали сталкиваться с более сложными зависимостями. Они научились выполнять подсчёт количества кирпича, необходимого для строительства гигантских пирамид или дворцов, рассчитывать необходимое количество продовольствия для дальних походов, вести учёт поступающих налогов и т.д. Правила решения задач переходили из поколения в поколение.
Высокого уровня достигла математика в Древнем Вавилоне. Чтобы облегчить вычисления, вавилоняне составили таблицы обратных значений чисел, таблицы квадратов и кубов чисел и даже таблицы для суммы квадратов чисел и их кубов. Разумеется, путь от появления таблиц до создания общего понятия функциональной зависимости был еще очень долог, но первые шаги по этому пути уже были сделаны.
В Древней Греции наука приняла иной характер, чем в Египте и в Вавилоне. Появились профессиональные ученые, которые изучали саму математическую науку, занимались строгим логическим выводом одних утверждений из других. Многое из того, что делали древнегреческие математики, тоже могло привести к возникновению понятия о функции. Они решали задачи на построение и смотрели, при каких условиях данная задача имеет решение, изучали, сколько решений может иметь эта задача, и т.д. Древние греки нашли много различных кривых, неизвестных писцам Египта и Вавилона, изучали зависимости между отрезками диаметров и хорд в круге, эллипсе и других линиях.
Вопросами практической математики в Греции больше занимались астрономы. Они придумали, например, долготу и широту, с помощью которой определяли положение звёзд на небосводе. Астрономам приходилось решать сферические треугольники. Это послужило началом сферической тригонометрии, которая, как ни странно, была создана раньше, чем плоская. Чтобы решать тригонометрические задачи, пришлось составить таблицы зависимости между длиной хорды и величиной стягиваемой ею дуги. По сути дела, это уже были таблицы функции у = sin x (длина хорды, стягивающей дугу 2х, равна 2R sin x).
Арабские учёные ввели новые тригонометрические функции, усовершенствовали таблицы хорд, составленные Птолемеем.
Исследование общих зависимостей началось в XIV веке. Французский ученый Николай Оресм (ок.1323 – 1382 г.г.) стал изображать интенсивность длинами отрезков. Когда он располагал эти отрезки перпендикулярно некоторой прямой, их концы образовывали линию, названную им «линией интенсивностей» или «линией верхнего края». Мы сразу можем узнать в ней график соответствующей функциональной зависимости.
Важным достижением Оресма была попытка классифицировать получившиеся графики. Он выделил три типа качеств: 1) равномерные (с постоянной интенсивностью); 2) равномерно-неравномерные (с постоянной скоростью изменения интенсивности); 3) неравномерно-неравномерные (все остальные).
Идеи Оресма намного обогнали тогдашний уровень науки. Чтобы развивать их дальше, нужно было уметь выражать зависимости между величинами не только графически, но и с помощью формул, а буквенной, алгебры в то время не существовало.
Путь к появлению понятия функции заложили в 17 веке Франсуа Виет (1540 – 1603 г.г.) и Рене Декарт (1596 – 1650 г.г.) – французские ученые, основоположники современной алгебраической символики.
Они разработали единую буквенную математическую символику, которая вскоре получила всеобщее признание. Введено было единое обозначение: неизвестных — последними буквами латинского алфавита: x, y, z; известных — начальными буквами того же алфавита: a, b, c. и т.д. При этом операциям над величинами соответствовали операции над буквами. Теперь уже для преобразования одной зависимости в другую не надо было писать громоздкие пропорции, изучать подобные треугольники и преобразовывать геометрические фигуры. Достаточно было по твёрдо установленным правилам делать алгебраические преобразования, при чём все эти преобразования производились в общем виде.
Декарту удалось уничтожить пропасть, лежавшую со времен древнегреческой математики, между геометрией и арифметикой. Чтобы освободить алгебру от несвойственного ей геометрического языка, Декарт ввёл фиксированный единичный отрезок и стал рассматривать отношения других отрезков к нему. По сути дела, эти отношения были не чем иным, как положительными действительными числами.
Отношения между известными и неизвестными величинами Декарт выражал в виде уравнений. Чтобы наглядно изображать уравнения, он заменял все величины длинами отрезков. По сути дела, здесь была заложена идея метода координат. Как уже говорилось, ещё греческие астрономы задавали положение звёзд на небесной сфере долготой и широтой. Но лишь Декарт начал геометрически изображать не только пары чисел, но и уравнения, связывающие два числа.
Одновременно с Декартом к мысли о соответствии между линиями и уравнениями пришёл другой французский математик – Пьер Ферма (1601 – 1665г.г.), один из создателей аналитической геометрии, математического анализа, теории вероятностей и теории чисел.
У Рене Декарта и Пьера Ферма в геометрических работах появляется отчетливое представление переменной величины и прямоугольной системы координат. В своей «Геометрии» в 1637 году Декарт дает понятие функции, как изменение ординаты точки в зависимости от изменения ее абсциссы; он систематически рассматривал лишь те кривые, которые можно точно представить с помощью уравнений, притом преимущественно алгебраических. Постепенно понятие функции стало отождествляться, таким образом, с понятием аналитического выражения — формулы.
В 1671 году Исаак Ньютон (1643 – 1727 г.г.), английский физик, математик, механик и астроном, под функцией стал понимать переменную величину, которая изменяется с течением времени (он называл ее «флюентой»).
В «Геометрии» Рене Декарта и работах Пьера Ферма, Исаака Ньютона и немецкого математика Годфрида Вильгельма Лейбница (1646 – 1716 г.г.) понятие функции носило, по существу, интуитивный характер и было связано либо с геометрическими, либо с механическими представлениями: ординаты точек кривых — функция от абсцисс (x); путь и скорость — функция от времени (t) и т. п.
В 18 веке появляется новый взгляд на функцию как на формулу, связывающую одну переменную с другой. Это так называемая аналитическая точка зрения на понятие функции. Подход к такому определению впервые сделал швейцарский математик Иоганн Бернулли (1667 – 1748), который в 1718 году определил функцию следующим образом: «функцией переменной величины называют количество, образованное каким угодно способом из этой переменной величины и постоянных».
В 1718 г. И.Бернулли ввёл обозначение функции φх, а в 1734 г. Леонард Эйлер (1707 – 1783 г.г.) ввёл обозначение f(х), соответствующее современному.
Во второй половине 19 века после создания теории множеств в понятие функции, помимо идеи соответствия была включена и идея множества. Таким образом, в полном своем объеме общее определение понятия функции формулируется следующим образом: если каждому элементу x множества А поставлен в соответствие некоторый определенный элемент y из множества В, то говорят, что на множестве А задана функция y = f (x), или что множество А отображено на множество В. В первом случае элементы x множества А называют значениями аргумента, а элементы их множества В — значениями функции; во втором случае x — прообразы, y — образы.
Важный вклад в развитие теории обобщенной функции внести в 20 веке и советские математики Н. М. Гюнтер (1871 – 1941 г.г.), С. Л. Соболев (1908 – 1989 г.г.), И. М. Гельфанд (1913-2009 г.г.), Г. Е. Шилов (1917-1975 г.г.) и др.
Школьный курс изучения функции строится по аналогии с развитием в истории понятия функции.
До 7 класса идет накопление знаний, необходимых для введения понятия функции. В 7 классе впервые дается определение понятия «функция». Также в этом классе изучаются различные способы задания функции.
В 9 классе еще раз дается определение функции на основе идеи зависимости одной переменной от другой: «Функцией называют такую зависимость переменной y от переменной x, при которой каждому значению переменной x соответствует единственное значение переменной y».
В 10 – 11 классах вводится современное понятие функции как соответствия между двумя множествами: «числовой функцией с областью определения D называется соответствие, при котором каждому числу x из множества D сопоставляется по некоторому правилу число y, зависящее от D».
Функциональная зависимость величин
2.1. Постоянные и переменные величины
Пример: Во время взлёта самолёта расстояние его от поверхности земли увеличивается, количества бензина в баках уменьшается, а число пассажиров, длина самолёта остаются постоянными.
Одна и та же величина в одном процессе может быть постоянной, а в другом – переменной.
Однако есть и такие величины, которые остаются постоянными всё время. Такие величины называют константами.
Например: Отношение длины окружности к её радиусу, сумма углов треугольника, температура кипения воды и т.д.
Изменяясь, переменная величина не всегда может принимать произвольные значения, а только такие значения, которые находятся в некоторых допустимых для неё пределах. Все те значения, которые величина может принимать в конкретных условиях рассматриваемого процесса, называются допустимыми значениями для данной переменной величины.
2.2. Функциональная зависимость, понятие функции
Примеры функциональной зависимости:
2) Сила тока в полупроводниковом элементе есть функция напряжения, так как каждому значению напряжения соответствует определённое значение силы тока.
3) Объём шара есть функция его радиуса.
4) Высота, на которую поднимается брошенный вертикально вверх камень, есть функция его начальной скорости.
Определение функции: Если каждому элементу х множества Х поставлен в соответствие по некоторому закону f только один элемент у множества У, то на множестве Х определена функция у = f (х).
Символическая запись функции: у = f (х ), х → у. Читают «у равно эф от х».
Если две переменные величины находятся в функциональной зависимости, то та из них, которая может принимать произвольные допустимые значения, называется независимой переменной или аргументом. Другая величина, значения которой зависят от значений аргумента, называется зависимой переменной или функцией (х – аргумент, у – функция).
Определение : Множество всех допустимых значений аргумента данной функции называется областью определения этой функции.
Определение : Множество всех значений, которые функция принимает на области определения, называется областью значений этой функции.
Например: Авиапассажиры сидят в креслах салона пассажирского авиалайнера. Пусть Х – множество пассажиров, У – множество кресел салона. Рассмотрим соответствие у = f (х).
1) Каждому пассажиру хЄХ соответствует то кресло у = f (х), в котором он сидит. Здесь простой пример функции, областью определения которой является множество Х пассажиров, а областью значений – множество f (х) занимаемых ими кресел. Если заполнены не все кресла У, то множество значений функции будет подмножеством У, не совпадающим со всем множеством У.
Геометрическая интерпретация функции:
2.3. Способы задания функции
Функция считается заданной (известной), если для каждого значения аргумента (из числа возможных) можно узнать соответствующее её значение.
Наиболее употребительны способы задания :
Из физики известно, что при равномерном движении пройденный путь прямо пропорционален времени, прошедшему с момента начала пути. Эта фраза описывает путь как линейную функцию времени.
Часто функцию задают формулой, указывающей последовательность математических операций, которые надо выполнить над аргументом, чтобы получить её значение.
При этом ничего не говорится об области определения. В этом случае считается, что функция определена на множестве тех значений аргумента, для которых указанные формулой действия выполнимы. Множество таких значений аргумента называется естественной областью определения функции, заданной формулой, или областью допустимых значений аргумента. В случае задания функции формулой возникает задача нахождения области определения функции.
Пример 1: Найти область определения функции у =.
Действия, указанные этой формулой, выполнимы для тех значений аргумента х, для которых подкоренное выражение неотрицательно, т.е.
Итак, неравенство справедливо лишь при х Є [-1; 2). Значит, х Є [-1; 2) – область определения функции у =.
В руках у электрика можно увидеть таблицу, где для приборов различных диаметров указаны предельно допустимые значения силы тока, в школьном кабинете математики – таблицы квадратов, кубов, квадратных корней и др. Всё это примеры табличного представления функций. В советской школе широко применялись в учебном процессе четырёхзначные математические таблицы В. М. Брадиса.
Графический способ заключается в проведении линии (графика), у которой абсциссы изображают значения аргумента, а ординаты – соответствующие значения функции. Часто для наглядности масштабы на осях принимают разными. График функции – это линия, дающая цельное представление о характере изменения функции по мере изменения её аргумента. Графический способ представления функции – самый наглядный.
Определение: График функции у = f (х) – это множество точек (х;у) на координатной плоскости, где координате х придаются всевозможные значения из области определения функции, и для каждого такого х значение у определяется функциональной зависимостью у = f (х).
Функциональная зависимость предполагает, что каждому значению х из области определения функции соответствует одно, и только одно, значение у. Отсюда следует, что любой перпендикуляр, восстановленный к оси абсцисс в какой-либо точке из области определения функции, пересекает её график лишь в одной точке.
Поэтому линии, изображённые на рисунке 1, не могут быть графиками никаких функций, а линия, изображённая на рисунке 2, есть график некоторой функции.
Рис. 2
Благодаря своей наглядности графический способ задания функций часто сопутствует другим способам. Выводя формулу какой-нибудь функциональной зависимости, исследователь вслед за этим строит ещё и её график. На многих электронных вычислительных машинах кроме печатающего устройства, выдающего результаты расчётов в виде колонки цифр, есть и графопостроитель, представляющий те же результаты в форме графиков. Многие приборы выдают показания именно в виде графиков. Например, барограф вычерчивает график атмосферного давления как функции времени, кардиограмму можно назвать графиком работы сердца.
График может служить правилом, задающим функцию. Например, по характеристике полупроводникового элемента можно определить (рисунок 3), что если аргумент U равен 0,6 (вольт), то функция I равна 1,3 (миллиампер).
Графики большинства функций имеют названия, сходные с названием самой функции. График функции синус называют синусоидой, график функции тангенс – тангенсоидой, график логарифмической функции – логарифмикой и т.д.
3. Линейная функция, её свойства и график
Определение, свойства и график
Определение : Функция вида у = k х+в, где k и в – действительные числа, называется линейной.
Линейная функция – двучлен первой степени. Функция называется линейной потому, что её график есть прямая линия.
Геометрический смысл коэффициента b – длина отрезка, который отсекает прямая по оси Oy, считая от начала координат (рис. 5).
Рис. 4