Для чего нужны масштабы

Масштаб

Понятие наиболее распространено в геодезии, картографии и проектировании — отношение натуральной величины объекта к величине его изображения. Человек не в состоянии изобразить большие объекты, например, дом, в натуральную величину, поэтому, при изображении большого объекта в рисунке, чертеже, макете и так далее, человек уменьшает величину объекта в несколько раз: в два, пять, десять, сто, тысяча и так далее. Число, показывающее, во сколько раз уменьшен изображенный объект, есть масштаб. Масштаб применяется и при изображении микромира. Человек не может изобразить живую клетку, которую рассматривает в микроскоп, в натуральную величину и поэтому увеличивает величину ее изображения в несколько раз. Число, показывающее, во сколько раз произведено увеличение или уменьшение реального явления при его изображении, определено как масштаб.

Содержание

Масштаб в геодезии, картографии и проектировании

Масштаб показывает, во сколько раз каждая линия, нанесенная на карту или чертёж, меньше или больше её действительных размеров. Есть три вида масштаба: численный, именованный, графический.

Масштабы на картах и планах могут быть представлены численно или графически.

Численный масштаб записывают в виде дроби, в числителе которой стоит единица, а в знаменателе — степень уменьшения проекции. Например, масштаб 1:5 000 показывает, что 1 см на плане соответствует 5 000 см (50 м) на местности.

Более крупным является тот масштаб, у которого знаменатель меньше. Например, масштаб 1:1 000 крупнее, чем масштаб 1:25 000.

Графические масштабы подразделяются на линейные и поперечные. Линейный масштаб — это графический масштаб в виде масштабной линейки, разделённой на равные части. Поперечный масштаб — это графический масштаб в виде номограммы, построение которой основано на пропорциональности отрезков параллельных прямых, пересекающих стороны угла.Поперечный масштаб применяют для более точных измерений длин линий на планах. Поперечным масштабом пользуются следующим образом: откладывают на нижней линии поперечного масштаба замер длины таким образом, чтобы один конец (правый) был на целом делении ОМ, а левый заходил за 0. Если левая ножка попадает между десятыми делениями левого отрезка (от 0), то поднимаем обе ножки измерителя вверх, пока левая ножка не попадёт на пересечение к-либо трансвенсали и какой-либо горизонтальной линии. При этом правая ножка измерителя должна находиться на этой же горизонтальной линии. Наименьшая ЦД = 0,2 мм, а точность — 0,1.

Точность масштаба — это отрезок горизонтального проложения линии, соответствующий 0,1 мм на плане. Значение 0,1 мм для определения точности масштаба принято из-за того, что это минимальный отрезок, который человек может различить невооруженным глазом. Например, для масштаба 1:10 000 точность масштаба будет равна 1 м. В этом масштабе 1 см на плане соответствует 10 000 см (100 м) на местности, 1 мм — 1 000 см (10 м), 0,1 мм — 100 см (1 м).

Масштабы изображений на чертежах должны выбираться из следующего ряда: [1]

При проектировании генеральных планов крупных объектов допускается применять масштабы 1:2 000; 1:5 000; 1:10 000; 1:20 000; 1:25 000; 1:50 000.
В необходимых случаях допускается применять масштабы увеличения (100n):1, где n — целое число.

Масштаб в фотографии

При фотосъёмке под масштабом понимают отношение линейного размера изображения, полученного на фотоплёнке или светочувствительной матрице, к линейному размеру проекции соответствующей части сцены на плоскость, перпендикулярную к направлению на камеру.

Некоторые фотографы измеряют масштаб как отношение размеров объекта к размерам его изображения на бумаге, экране или ином носителе. Правильная методика определения масштаба зависит от контекста, в котором используется изображение.

Масштаб имеет важное значение при расчете глубины резко изображаемого пространства. Фотографам доступен очень широкий диапазон масштабов — от практически бесконечно малого (например, при съемке небесных тел) до очень крупного (без использования специальной оптики возможно получение масштабов порядка 10:1).

Под макрофотографией традиционно понимают съёмку в масштабе 1:1 или крупнее. Однако с широким распространением компактных цифровых фотоаппаратов этим термином стали также называть съёмку расположенных близко к объективу (как правило, ближе 50 см) мелких объектов. Связано это с необходимым изменением режима работы системы автофокуса в таких условиях, однако с точки зрения классического определения макросъёмки такое толкование является неверным.

Масштаб в моделизме

Для каждого вида масштабного (стендового) моделизма определены масштабные ряды, состоящие из нескольких масштабов разной степени уменьшения, причём для разных видов моделизма (авиамоделизм, судомоделизм, железнодорожный, автомобильный, военной техники) определены свои, исторически сложившиеся, масштабные ряды, которые обычно не пересекаются.

Масштаб в моделизме исчисляется по формуле:

При масштабе 1/72, и параметре оригинала 7500 мм, решение будет выглядеть;

7500 мм / 72 = 104,1 мм

Полученное значение 104,1 мм, есть искомое значение при масштабе 1/72

Масштаб времени

В программировании

В операционных системах с разделением времени чрезвычайно важную роль играет предоставление отдельно взятым задачам так называемого «режима реального времени», при котором обработка внешних событий обеспечивается без дополнительных задержек и пропусков. Для этого употребляется также термин «реальный масштаб времени», однако это терминологическая условность, не имеющая к исходному значению слова «масштаб» никакого отношения.

В кинотехнике

Масштаб времени — количественная мера замедления или ускорения движения, равная отношению проекционной частоты кадров к съёмочной. Так, если проекционная частота кадров равна 24 кадра в секунду, а киносъёмка производилась на 72 кадра в секунду, масштаб времени равен 1:3. Масштаб времени 2:1 означает ускоренное вдвое по сравнению с обычным протекание процесса на экране.

В математике

Масштабы изображений на чертежах должны выбираться из следующего ряда (масштабы ГОСТ 2.302-68): Масштабы уменьшения 1 : 2; 1 : 2,5; 1 : 4; 1 : 5; 1 : 10; 1 : 15; 1 : 20; 1 : 25; 1 : 40; 1 : 50; 1 : 75; 1 : 100; 1 : 200; 1 : 400; 1 : 500; 1 : 800; 1 : 1000 Натуральная величина 1 : 1 Масштабы увеличения 2 : 1; 2.5,5 : 1; 4 : 1; 5 : 1; 10 : 1; 20 : 1; 40 : 1; 50 : 1; 100: 1 см. например Быстро-медленная система

Масштаб-число,показывающее, во сколько раз уменьшены или увеличены настоящие размеры на чертеже.

Источник

Что такое масштаб. Виды масштабов

Собираясь в интересное путешествие или же просто рассматривая карты на просторах Интернета, каждый человек сталкивается с таким понятием, как масштаб. Однако что это такое, какие бывают виды масштабов и как правильно его высчитывать, знает далеко не каждый.

Что такое масштаб

Для чего нужен масштаб

Итак, зачем людям на практике нужен масштаб? Что показывает масштаб? На самом деле это понятие связано практически и теоретически со многими отраслями: математикой, архитектурой, моделированием и, конечно же, картографией. Ведь ни на одной карте, даже суперсовременной цифровой, невозможно отобразить географический объект в его реальном размере. Поэтому, при нанесении изображения тех или иных городов, рек, гор или даже целых материков на карту все эти объекты пропорционально уменьшаются. А во сколько раз это сделано, и является масштабом, который указывается на полях карты.

В старину, когда в картографии еще не применяли масштаб, а уменьшали изображаемые объекты по своему усмотрению, полученные карты были очень неточными и носили, скорее, приблизительный характер. Так что путешественники, использующие их, часто попадали впросак. Кто знает, возможно, у карты, которой пользовался Христофор Колумб, тоже был неверный масштаб, и поэтому вместо Индии он приплыл в Америку?

Еще одной отраслью, которая просто не может существовать без использования масштаба, является моделирование. Ведь, создавая чертеж будущего здания или самолета, инженер делает это в определенном масштабе, уменьшая или увеличивая изображение в зависимости от необходимости. Так что ни одна, даже самая крохотная деталь, не может быть сделана без использования чертежа, а ни один чертеж не обойдется без масштаба.

Основные виды масштабов

Несмотря на простоту понятия «масштаб», существует несколько его видов. На картах он, как правило, обозначается либо с помощью цифр (численный), либо графически. Графические масштабы подразделяются на два подвида: линейный вид масштаба и поперечный.

Также есть подвиды масштаба, которые больше относятся к видам карт. В зависимости от того, каковы размеры масштабов, выделяют карты:

Естественно, на мелкомасштабных картах некоторые детали не наносятся, в то же время крупномасштабные карты могут содержать названия улиц и даже небольших переулков. В современных электронных картах пользователь может сам регулировать масштаб, за одно мгновение превращая карту из мелкомасштабной в крупномасштабную, и наоборот.

Численный и именованный масштаб

Данные о масштабе могут указываться разными способами. Если на карте или чертеже масштаб указан с помощью дроби (1:200, 1:20 000 и тому подобное), то такой его вид называется численным. При расчете такого размера стоит брать во внимание тот факт, что крупнее будет тот масштаб, у которого число в знаменателе меньше. Иными словами, объекты на карте с масштабом 1:200 будет более крупными, нежели на карте с масштабом 1:20 000.

Именованный масштаб указывает не просто размер уменьшения изображения, но и называет единицы измерения, с помощью которых это делается. К примеру, на плане местности указано, что 1 сантиметр на ней равен 1 метру. Именованный масштаб редко применяется для мелкомасштабных карт, да и для карт вообще. Он более практичен для различных чертежей. Особенно если это крохотная деталь или же, наоборот, огромный жилой комплекс.

Графический масштаб

Графические виды масштабов, как уже было указано выше, бывают двух вариантов.

Поперечный – это усовершенствованный вариант линейного масштаба. Его предназначение – максимально верно определить расстояние, указанное на плане. Подобный графический вариант, как правило, используется на специализированных картах.

Масштабы чертежей

Рассмотрев самые распространенные виды масштабов в картографии, стоит упомянуть, что это понятие также неотъемлемо связано с черчением и архитектурной графикой. Будь то инженерные чертежи крохотных механических деталей или же, наоборот, чертежи громадных архитектурных ансамблей, в любом случае к ним применяются специализированные масштабы чертежей. Каждый чертежный бланк имеет графу в которой в обязательном порядке указывается масштаб спроектированного изделия.

Примечателен тот факт, что даже если инженер создает чертеж детали в натуральную величину, все равно в информации о нем указывается масштаб 1:1. В отличие от карт, на чертежах масштаб может быть не только уменьшенным (1:5), но и увеличенным (5:1) если изображаемое изделие крохотных размеров.

Источник

Проектная работа «Масштаб и его применение»

«Управление общеобразовательной организацией:
новые тенденции и современные технологии»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

2. Из истории возникновения масштаба. Понятие масштаба.

3.1 Численный масштаб

3.2 Именованный масштаб

3.3 Графический масштаб

4. Точность масштаба

5. Области применения масштаба

6. Практическая часть

6.1 Изображение плана квартиры в масштабе

6.2 Творческие задачи на масштаб

8. Список литературы

Каждый ребенок с раннего детства любит рисовать. Первые пробы рисования — это настоящее «марание», «каракули». Затем у ребенка появляются умение рисовать некоторые формы: неровные круги, нечто похожее на многоугольники, углы, отрезки линий. Примерно с 3-4-х лет маленький человек начинает рисовать людей, затем дома, деревья, реки, горы и т. д. Все вы помните, что человек, дерево, домик вначале на рисунках детей изображаются приблизительно одинаковых размеров, и лишь позднее детские рисунки становятся более реалистичными и пропорциональными…Как же соблюсти все эти пропорции на рисунках?

Если посмотреть вокруг себя, мы увидим, что предметы имеют разные размеры.

Очень часто в жизни приходится использовать увеличение или уменьшение для создания различных видов изображений реальных объектов. Мы не можем нарисовать на альбомном листе человека того роста, который он имеет, нам необходимо уменьшить реальный объект для его изображения; а если мы захотим нарисовать божью коровку, то нам придется на рисунке увеличить ее размеры относительно реальных. Для того, что бы точно и умело выполнять уменьшения и увеличения необходимо знать, что такое масштаб и уметь применять его на практике. В этом и заключается актуальность выбранной мной темы проекта.

Когда в начале урока математики при изучении темы «Масштаб» учитель задал нам вопрос: «Как вы думаете, можно ли объять необъятное и увидеть невидимое?», мы переглянулись и не поняли о чем идет речь. Учитель тогда сказал, что вернемся мы к этому вопросу в конце урока.

Меня эта тема заинтересовала и я решил поподробнее в ней разобраться

Работая над проектом, я поставил

 Определить, что такое масштаб; узнать его историю;

 Найти, какие виды масштабов существуют;

 Выяснить в каких науках применяется масштаб;

 Показать практическое применение масштаба при составлении плана квартиры и выполнении ее макета;

 Научиться составлять задачи, связанные с масштабом.

Для этого мне было необходимо решить следующие

 Изучить литературу по этой теме

 Отобрать нужную информацию по данной теме;

 Проанализировать полученную информацию;

 Выполнить необходимые измерения и начертить план своей квартиры, и склеить макет комнаты, используя подходящий масштаб;

 Составить задачи, связанные с масштабом

2. Из истории возникновения масштаба. Понятие масштаба

В старину, когда в картографии еще не применяли масштаб, а уменьшали изображаемые объекты по своему усмотрению, полученные карты были очень неточными и носили, скорее, приблизительный характер. Так что путешественники, использующие их, часто попадали впросак. Кто знает, возможно, у карты, которой пользовался Христофор Колумб, тоже был неверный масштаб, и поэтому вместо Индии он приплыл в Америку?

Так что же это такое- масштаб?

В учебнике математики 6 класса определение масштаба дается следующим образом:

Масштаб- это отношение длины отрезка на карте к длине соответствующего отрезка на местности.

Аналогично можно сказать о плане и чертеже.

В толковом словаре В.И. Даля дано такое определение:

Масштаб- жезл размерный или мерило, мерник, размерник, мера линейная, принятая для чертежа или иной работы.

Есть три вида масштаба: численный, именованный, графический.

Численный масштаб записывают в виде дроби, в числителе которой стоит единица, а в знаменателе — степень уменьшения объекта. Например, масштаб 1:5 000 показывает, что 1 см на плане соответствует 5 000 см (50 м) на местности.

Более крупным является тот масштаб, у которого знаменатель меньше. Например, масштаб 1:1 000 крупнее, чем масштаб 1:25 000.

Обратите внимание на то, что численный масштаб есть величина отвлеченная, не имеющая конкретных единиц измерения. Если числитель дроби выразить в сантиметрах, то и знаменатель будет иметь те же единицы измерения, т.е. сантиметры.

Например , масштаб 1:25 000 означает, что 1 сантиметру карты соответствует 25 000 сантиметров местности, или 1 дюйм карты соответ ствует 25 000 дюймов местности.

Именованным масштабом называют словесное выражение численного масштаба. Под численным масштабом на топографической карте имеется надпись поясняющая, сколько метров или километров на местности соответствует одному сантиметру карты.

Для построения линейного масштаба выбирают исходный отрезок, удобный для данного масштаба. Этот исходный отрезок ( а ) называют основанием масштаба (рис. 6.1).

Рис. 6.1. Линейный масштаб. Измеряемый отрезок на местности
будет CD = ED + CE = 1000 м + 200 м =1200 м.

Порядок пользования линейным масштабом:

циркулем-измерителем зафиксировать длину линии на карте;

правую ножку циркуля поставить на одно из делений справа от нуля, а левую ножку – на левое основание;

длина линии состоит из двух отсчетов: отсчет целых оснований и отсчета делений левого основания (рис. 6.1).

Если отрезок на карте длиннее построенного линейного масштаба, то его измеряют по частям.

Для более точных измерений пользуются поперечным масштабом (рис. 6.2, б).

Рис 6.2. Поперечный масштаб. Измеренное расстояние
PK = TK + PS + ST = 100 +10 + 7 = 117 м.

Порядок пользования поперечным масштабом:

циркулем-измерителем зафиксировать длину линии на карте;

правую ножку циркуля поставить на целое деление основания, а левую – на любую трансверсаль, при этом обе ножки циркуля должны располагаться на линии, параллельной линии AB ;

длина линии состоит из трех отсчетов: отсчет целых оснований, плюс отсчет делений левого основания, плюс отсчет делений вверх по трансверсали.

Точность измерения длины линии с помощью поперечного масштаба оценивается половиной цены его наименьшего деления.

4. Точность масштаба

Точность масштаба позволяет решать две важные задачи:

определение минимальных размеров объектов и предметов местности, которые изображаются в данном масштабе, и размеров объектов, которые в данном масштабе невозможно изобразить;

установление масштаба, в котором следует создавать карту, чтобы на ней изобразились предметы и объекты местности с заранее определенными минимальными размерами.

Разновидности карт (по масштабу)

Масштаб выступает одним из критериев для классификации географических карт. Так, согласно ему, все карты делятся на:

мелкомасштабные (масштаб до 1:1 000 000);

среднемасштабные (от 1:1 000 000 до 1:200 000);

крупномасштабные (от 1:200 000 и более).

Рассмотрев самые распространенные виды масштабов в картографии, стоит упомянуть, что это понятие также неотъемлемо связано с черчением и архитектурной графикой. Будь то инженерные чертежи крохотных механических деталей или же, наоборот, чертежи громадных архитектурных ансамблей, в любом случае к ним применяются специализированные масштабы чертежей. Каждый чертежный бланк имеет графу в которой в обязательном порядке указывается масштаб спроектированного изделия. Примечателен тот факт, что даже если инженер создает чертеж детали в натуральную величину, все равно в информации о нем указывается масштаб 1:1. В отличие от карт, на чертежах масштаб может быть не только уменьшенным (1:5), но и увеличенным (5:1) если изображаемое изделие крохотных размеров.

5. Области применения масштаба

1) Как уже говорилось, понятие масштаба наиболее распространено в геодезии, картографии и проектировании — это отношение натуральной величины объекта к величине его изображения. Человек не в состоянии изобразить большие объекты, например дом, в натуральную величину, поэтому при изображении большого объекта в рисунке, чертеже или макете человек уменьшает величину объекта в несколько раз: в два, пять, десять, сто, тысячу и так далее.

Картография зародилась в глубокой древности, упоминания о картах есть даже в Библии. Первые руководства по картографии составлены древнегреческим учёным К. Птолемеем. Античные картографы создавали географические карты, учитывавшие шарообразность Земли и снабжённые градусной сеткой. Расцвет картографии приходится на эпоху Возрождения и Великих географических открытий. Авторами знаменитых карт мира и первых атласов были нидерландские картографы Г. Меркатор и А. Ортелий.

2) Масштаб в фотографии

При фотосъёмке под масштабом понимают отношение линейного размера изображения, полученного на фотоплёнке или светочувствительной матрице, к линейному размеру проекции соответствующей части сцены на плоскость, перпендикулярную к направлению на камеру.

Некоторые фотографы измеряют масштаб как отношение размеров объекта к размерам его изображения на бумаге, экране или ином носителе. Правильная методика определения масштаба зависит от контекста, в котором используется изображение.

3) Масштаб в кинотехнике

Масштаб времени — количественная мера замедления или ускорения движения, равная отношению проекционной частоты кадров к съёмочной.

Так, если проекционная частота кадров равна 24 кадра в секунду, а киносъёмка производилась на 72 кадра в секунду, масштаб времени равен 1:3. Масштаб времени 2:1 означает ускоренное вдвое по сравнению с обычным протекание процесса на экране.

Замедленная киносъёмка – это съемка, при которой значительную часть времени механизм киносъемочного аппарата остановлен, а экспозиция осуществляется покадрово с большими интервалами (Примеры: исследование крушения самолета, изучение видео при расследовании различных преступлений…)

В художественном кино применяется ускоренная киносъемка, когда зрителю показывают ускоренное прохождение определенного промежутка времени, спустя который события фильма продолжаются. (Примеры: переход от дня к вечеру, от вечера к утру следующего дня, от зимы к лету и от лета к зиме.)

4) Масштаб в моделизме

Моделизм — изготовление и конструирование отдельными лицами, клубами и промышленными производителями действующих или стендовых моделей зданий и различной техники —летательных аппаратов, автомобилей, танков, судов, локомотивов и других средств транспорта.

Для каждого вида масштабного (стендового) моделизма определены масштабные ряды, состоящие из нескольких масштабов разной степени уменьшения, причём для разных видов моделизма (авиамоделизм, судомоделизм, железнодорожный, автомобильный, военной техники) определены свои, исторически сложившиеся, масштабные ряды, которые обычно не пересекаются.

Масштаб в моделизме исчисляется по формуле: L / М = Х, где L — параметр оригинала, М — требуемый масштаб, Х — искомое значение.

В автомобильном модельном мире наиболее распространены следующие масштабы:

1:5, 1:8, 1:9, 1:12, 1:18, 1:24, 1:25, 1:32, 1:35, 1:36, 1:43, 1:48, 1:50, 1,60, 1:72, 1:76, 1:87, 1:120, 1:144, 1:160. Можно заметить некоторую закономерность, в основном все масштабы кратны числу 12, так как в одном футе 12 дюймов. Отсюда, если размер модели автомобиля равен 15-ти футам, то его длина будет составлять 15 дюймов, при масштабе 1:12 и т.д.

5) Масштаб в биологии

6) В промышленности

До сих пор в некоторых отраслях промышленности используют чертежи, выполненные в натуральную величину. Например, в судостроении чертежи выполняют прямо в цехе, в помещении с гладким полом, на котором и вычерчивают обводы судна в натуральную величину.

6. Практическая часть

План моей квартиры, выполненный в масштабе 1:50

Мы живем в замечательном городе, который имеет славную историю. В этом году исполнится 75 лет Курской битве, (5 июля — 23 августа 1943 года), которая также известна как Битва на Курской дуге. По своим масштабам, задействованным силам и средствам, напряжённости, результатам и военно-политическим последствиям является одним из ключевых сражений Второй мировой войны и Великой Отечественной войны. Самое крупное танковое сражение в истории; в нём участвовали около двух миллионов человек, шесть тысяч танков, четыре тысячи самолётов с нашей стороны.

Я составил несколько задач, связанных с этим грандиозным событием по теме моего проекта

Войска Центрального фронта 5 июля 1943года под командованием генерала армии К. К. Рокоссовского обороняли северный фас Курского выступа протяженностью до 306 км. Найдите протяженность этой

линии на карте, выполненной в масштабе 1:750000

Разделим 306 км на 750000

— Найдем по карте расстояние от Курска до Прохоровки: 14,7 см

— Найдем расстояние от Курска до Прохоровки на местности, используя масштаб (1:750000): 14,7*750000=11025000см=110250м=110,25км

— Найдем время движения пехоты:

Советские войска выдвинулись 3 августа из города Курска в город Богодухов. В первый день они прошли треть всего пути, во второй день- 90% пути, пройденного в первый день, а за третий день войска прошли остальные 99км.

В каком масштабе выполнена карта, если расстояние от Курска до Богодухова на ней равно 18 см?

Пусть х км-весь путь, тогда в первый день войска прошли 1/3х км,

а во второй день (0,9*1/3х) км

Масштаб 1:1 500 000

Задача 4 Самый лучший танк Т-34 времен ВОВ имел длину вместе с пушкой 8100 мм, без пушки 6100мм, ширину 3000мм, высоту 2700мм. Поместится ли на листе бумаги формата А4 план танка выполненный в масштабе

А) Найдем дину танка на чертеже с масштабом 1:10:

8100мм=810см; 810:10=81 см

Видим, что отрезок такой длины не поместится на листе формата А4

Б) Найдем дину танка на чертеже с масштабом 1:20:

В) Найдем дину танка на чертеже с масштабом 1:30:

Ответ: а)нет, б)нет, в)да

В результате работы над проектом я узнал, что масштаб – это важное понятие. Если научиться его правильно понимать, он поможет не только в математике, но и в географии, черчении и даже в биологии. Масштаб нашел применение во многих науках. И хотя масштаб является географическим понятием, но все вычисления, связанные с ним выполняются по математическим законам и правилам. Так же я научился составлять и решать задачи, связанные с масштабом. Попробовал себя в роли проектировщика. Я думаю, что полученные знания в ходе работы над проектом, не раз пригодятся мне в жизни. И теперь я с уверенностью могу ответить на вопрос, поставленный учителем: Можно объять необъятное и увидеть невидимое!

8. Список литературы

1. География. Учебник для 6 класса. Герасимова Т.П. – М. Дрофа, 2012. 6. Интернет – ресурс. https://ru.wikipedia.org

2. За страницами учебника математики. Депман И. Я., Виленкин Н. Я. – Москва: Просвещение, 1989.

3. « Математика без формул», Москва, из-во «Знание», 1978 год, Пухначёв Ю. и Попов.

4. «Я познаю мир: Детская энциклопедия: Математика / Составители А.П. Савин, В.В. Станцо, А.Ю. Котова: Под общ. ред. О.Г. Хинн; ООО «Издательство АСТ- ЛТД», 1998.

5. «Большая советская энциклопедия» том №15, «Масштаб», Москва, из-во «Советская энциклопедия», 1977 год, Постников М.

Источник