Для чего нужны матрицы в спо

Что такое матрицы, откуда они взялись, и чем они полезны?

Первые упоминания о матрицах или «волшебных квадратах», как их тогда называли, были найдены на территории еще Древнего Китая, однако бум случился намного позже, в середине XVIII века, когда знаменитый математик Габриэль Крамер опубликовал свой труд под названием «Введение в анализ алгебраических кривых», в котором описывался алгоритм решения систем линейных уравнений совершенно новым методом.

Как следствие, в дальнейшем появляются «классический» метод решения Карла Фридриха Гаусса, теорема Гамильтона-Кели, работы Карла Вейерштрасса, Георга Фробениуса и других выдающихся ученых.

Занимательно, что только после всех этих открытий, а именно в 1850 году был непосредственно введен термин матрица, автором которого стал Джеймс Джозеф Сильвестр.

Сегодня термин «матрица» применяется во множестве разных областей: от программирования до кинематографии (здесь должно быть название фильма, о котором вы все подумали).

Матрица в математике – это таблица чисел, состоящая из определенного количества строк (m) и столбцов (n).

Вы встречаетесь с ними каждый день, так как любая числовая информация, занесенная в таблицу, уже в какой-то степени считается матрицей.

Примером могут служить:
● список телефонных номеров;
● различные статистические данные;
● табель успеваемости ученика и многое другое.

Сами матрицы всегда обозначаются прописными латинскими буквами (A, B, C…), а элементы матрицы – строчными (a, b, c…). Индексы обозначают местоположение элемента матрицы в системе, причем первое число – это всегда номер строки, а второе – это всегда номер столбца. Например, а₂₃ находится во второй строке и в третьем столбце, а₃₁ в третьей строке и первом столбце и т.д.

Важно произносить элементы матриц правильно, так а₂₃ будет звучать как «а два три», а не «а двадцать три».

Примеры записи матриц

Для чего нужны матрицы

Теперь выясним, для чего нам так нужны матрицы конкретно в математике?

В качестве примера рассмотрим простейшую систему двух линейных уравнений и решим ее методом сложения, который изучают в школьном курсе.

Оказывается, можно решить эту систему уравнений альтернативным способом, используя матрицы, и называется он метод Крамера.

Вы можете подумать, зачем усложнять решение какими-то матрицами?

В данном случае да, при желании можно эту систему и в уме решить. Но представьте себе систему, состоящую хотя бы из 5 линейных уравнений с пятью неизвестными. А если система состоит из 6, 7 или ещё больше уравнений? Решать её школьным методом, мягко говоря, трудоёмко. Зато применяя тот же метод Крамера, решение будет выглядеть достаточно компактно.

Система с тремя уравнениями

В подтверждение вышесказанного рассмотрим систему уравнений с тремя неизвестными и решим её метод Крамера.

Из этого следует, что матрицы – еще один способ решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ).

На основе второго примера убеждаемся в том, что матрицы могут применяться в тех случаях, когда применение школьных методов решения СЛАУ не является рациональным.

На самом деле за прошедшие столетия алгебра матриц изучена более, чем достаточно, и тот факт, что матрицы используются повсеместно однозначно подтверждает необходимость их изучения.

Источник

Разработка практического занятия для СПО по математике по теме «Матрицы» для 2 курса

ФИНАНСЫ Практическое занятие № 1

Практическое занятие №1

Тема: Действия над матрицами, вычисление определителей

Цель: формировать навыки выполнения операций над матрицами: сложение, вычитание, умножение матрицы на число, произведение матриц; формировать умения находить определители матриц.

• развитие творческого профессионального мышления;

• овладение языком науки, навыки оперирования понятиями;

• овладение умениями и навыками постановки и решения задач;

• углубление теоретической и практической подготовки;

• развитие инициативы и самостоятельности студентов.

План практического занятия.

Приветствует обучающихся. Проверяет подготовленность к учебному занятию, организует внимание обучающихся. Обеспечивает благоприятный настрой.

Актуализация опорных знаний.

Проверка домашнего задания (Разбор нерешенных примеров).

Вопросы для закрепления теоретического материала к практическому занятию:

Понятие матрицы и ее элементы

Основные виды матриц

Понятие ранга матрицы, минора и определителя матрицы. Виды определителей и их свойства

Применение и значение матриц в практической деятельности

Требования к выполнению практической работы:

Оформить задания в тетради для практических работ.

Выполнить индивидуальную работу по варианту.

Ответить на один контрольный теоретический вопрос по варианту.

Выполнение заданий совместно с преподавателем.

Упражнения к практическому занятию:

Так как матрицы имеют одинаковый размер, то их можно складывать. При сложении матриц надо сложить элементы, стоящие на одинаковых местах, т.е.

(знак — любой, любые). Будет ли матрица А+В такого же вида?

Да. Так как в результате сложения матриц элемент

(знак — любой, любые). Будет ли матрица А+В такого же вида?

Нет. Так как в результате сложения матриц элемент

Даны четыре матрицы:

Подберите так, чтобы выполнялось равенство

Определить размер матрицы-произведения матриц AB, CC, DM, NL, LK, LM, DD.

не существует, т.к. число столбцов первой матрицы не равно числу строк второй матрицы; не существует, т.к. число столбцов первой матрицы не равно числу строк второй матрицы;

Дана матрица А размера .

Какие из указанных действий можно выполнить над матрицей А :

Операция произведение матрицы на число всегда выполнима, поэтому можно выполнить;
складывать можно матрицы одинаковых размеров, следовательно, можно выполнить;
матрицы можно умножать, если число столбцов первой матрицы равно числу строк второй матрицы, поэтому нельзя выполнить.

Учитывая определения операций сложения матриц и умножения матрицы на число, можно записать следующие равенства:

Выполнить действия:

Известно, что Найти m и n .

По правилу умножения матриц: Матрица-произведение имеет строк столько, сколько первая матрица, и столбцов – сколько вторая (пункт два), следовательно,

Известно, что Найти m и n .

По правилу умножения матриц

Известно, что Найти m и n .

Известно, что Найти m и n .

По правилу умножения матриц

Известно, что Найти m и n .

По правилу умножения матриц

Найти матрицу если

Выполним по действиям:

Выполнение заданий под руководством преподавателя.
1. Вычислить произведение матриц:

.

Решение. Первая матрица имеет размеры 2´3, а вторая размеры 3´3, поэтому произведение существует. В результате умножения получится матрица С = (c _ij ) размеров 2´3. Вычислим ее элементы.

с ₁₁ = (-2)×3 + 3×1 + 1×4 = 1, с ₁₂ = (-2)×(-1) + 3×1 + 1×6 = 11,

с ₁₃ = (-2)×2+3×0+1×8 = 4, с ₂₁ = 0×3 + 5×1 + 6×4 = 29,

с ₂₂ = 0×(-1) + 5×1 + 6×6 = 41, с ₂₃ = 0×2+5×0+6×8 = 48.

Ответ: .

2. Вычислить произведение матриц:

.

Решение. Первая матрица имеет размеры 3´3, а вторая размеры 2´3. Число столбцов в первой матрице (3) не совпадает с числом строк во второй матрице (2), поэтому произведение не существует,

Ответ: произведение не существует.

3. Вычислить произведение матриц:

.

Ответ: .

4. Вычислить произведение матриц:

.

5. Вычислить произведение матриц:

.

6. Вычислить произведение матриц:

.

7. Вычислить произведение матриц:

.

8. Вычислить произведение матриц:

.

9. Вычислить степень матрицы:

.

10. Вычислить степень матрицы:

.

Ответ: .

12. Вычислить значение многочлена f(x) = x 3 — x 2 + x + 2 от матрицы

.

Ответ: .

2. Самостоятельное выполнение заданий студентами.

Индивидуальная работа по вариантам.

Выполнить индивидуальную работу по теме «Действия с матрицами»

Подведение итогов практического занятия.

Вопросы для самоконтроля:

Какие матрицы называются равными?

Назовите виды матриц.

Назовите линейные операции над матрицами.

Какие матрицы можно перемножать? Как выполняется умножение?

д) , е) , ж) , з) ,

Элементы высшей математики: учебник для студентов учреждений сред. проф. образования / В.П. Григорьев, Ю.А. Дубинский. – 3-е изд., стер. – М.: Издательский центр «Академия», 2007. – 320 с.

Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. – М.:Высш. Школа, 2008г.

Источник

Методическая разработка по математике. Тема:»Матрицы в экономике»

«Управление общеобразовательной организацией:
новые тенденции и современные технологии»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ НИЖЕГОРОДСКОЙ ОБЛАСТИ

ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ПРОФЕССИОНАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

«НИЖЕГОРОДСКИЙ ГУБЕРНСКИЙ КОЛЛЕДЖ»

МЕТОДИЧЕСКАЯ РАЗРАБОТКА ПО ДИСЦИПЛИНЕ

ТЕМА: «МАТРИЦЫ. ПРИМЕНЕНИЕ МАТРИЦ В ЭКОНОМИКЕ».

«Экономика и бухгалтерский учет» (по отраслям), «Программирование в компьютерных системах» среднего профессионального образования

( на базе основной общеобразовательной школы)

Определение и виды матриц ____________________________6

Линейные операции над матрицами_________________________ 9

Умножение матриц ______________________________________ 12

Определители, действия и свойства_________________________13

Обратная матрица, правило вычисления_____________________ 14

Решение СЛУ по формуле Крамера и матричным способом_____17

Данная методическая разработка предназначена как пособие в изучении данного раздела дисциплины математика.

Методическая разработка «Матрицы. Применение матриц в экономике » соответствует государственным требованиям к минимуму содержания и уровню подготовки выпускников по специальности «Экономика и бухгалтерский учет (по отраслям)» 2 курса.

Тема методической разработки соответствует рабочей программе, рассчитанной на 48 часов по дисциплине «Математика» для студентов 2 курса и состоит из теоретического материала и упражнений, выполняемых студентами с помощью преподавателя и самостоятельно, закрепляющих изученный материал.

В работе раскрываются основные теоретические вопросы, которые студент должен изучить и понять за четыре занятия (8 часов), правила сложения, вычитания, умножения матриц. Нахождение обратной матрицы, решение систем линейных уравнений матричным способом. Решение экономических задач с помощью матриц. Практические задания, которые студенты выполняют как с помощью преподавателя, так и самостоятельно индивидуально и в группах.

Матрицей A = A _{m n} порядка m х n называется прямоугольная таблица чисел, содержащая m — строк и n — столбцов.

Виды матриц

2. Квадратные: m = n

4. Матрица столбец – столбчатая или вектор : n = 1. Например

5. Диагональная матрица: m = n и a_ij = 0, если i ≠ j. Например

6. Единичная матрица: m = n и

7. Нулевая матрица: a_ij = 0, i=1,2. m

j=1,2. n

8. Треугольная матрица: все элементы ниже главной диагонали равны 0.

9. Симметрическая матрица : m = n и a _ij = a _ji (т.е. на симметричных относительно главной диагонали местах стоят равные элементы), следовательно, A’=A

Ясно, A’=-A

Равенство матриц.

Действия над матрицами.

4. Умножение A х B матриц по правилу строка на столбец (число столбцов матрицы А должно быть равно числу строк матрицы B)

Покажем операцию умножения матриц на примере:

5. Возведение в степень

6. Транспонирование матрицы А. Транспонированную матрицу обозначают A T или A’

Строки и столбцы поменялись местами

Пример

Свойства операций над матрицами

A+B = B+A (A’)’ = A

(A+B)+C = A+(B+C) ( λ A)’ = λ (A)’

λ (A+B) = λ A+ λ B (A+B)’ = A’+B’

A(B+C) = AB+AC (AB)’ = B’A’

(A+B)C = AC+BC

λ (AB) = ( λ A)B=A( λ B)

A(BC) = (AB)C

Выполните действия над матрицами:

АВ

ВА

ВА+3С, если

Решение:

1 . АВ = — ответ

2.

— ответ . Из этого следует, что

3. — ответ

Самостоятельно выполнить задания.

1. Выполнить действия над матрицами: 1 ). 2(А+В)(2В-А), где

2). 3А-(А+2В)В, где А и В те же матрицы.

2. Выполнить действия над матрицами:

3АВ+(А-В)(А+2В), где

3. Выполнить действия над матрицами:

2А(А+В)-3АВ, где

4. Выполнить действия над матрицами:

(3А+0,5В)(2В-А), где

5. Выполнить действия над матрицами:

2АВ+А(В-А), где

Напомним свойства, вычисления и действия над определителями матрицы.

Знак — дельта (детерминант) есть определитель 2-го порядка: квадратная таблица, вычисляемая по формуле:

1.определитель равен 0, если: а) элементы 2-х строк или столбцов числа равные или пропорциональные; б) строка или столбец состоит из нулей;

2. величина определителя не изменится, если: а) строки заменить на столбцы или наоборот (не меняя порядка); б) если к элементам строки или столбца прибавить соответствующие элементы другой строки или столбца, умноженные на любой общий множитель;

3. при перестановке двух строк или столбцов определитель меняет знак на противоположный;

4. общий множитель строки или столбца можно выносить за знак определителя.

5. если каждый элемент строки или столбца есть сумма двух слагаемых, то определитель равен сумме двух определителей, причём в одном их них соответствующая строка или столбец состоит из первых слагаемых, а в другом – из вторых слагаемых, остальные же строки и столбцы – те же, что и в данном определителе.

Вычисление определителя 3-го порядка – правило треугольника

+ (произведение со своим знаком)

— (произведение с противоположным знаком)

.

(6) (4)

1. Выносим из 2-го столбца общий множитель 6, из 3-го столбца множитель 4.

2. По правилу треугольника вычисляем определитель и умножаем на общие множители.

Второе правило вычисления определителя 3-го порядка:

Составьте определитель 3 порядка, вычислите его, обменяйтесь с соседом и проверьте его вычисления (взаимопроверка) и оцените его работу. Если есть ошибки, разберите и исправьте. Консультирует по необходимости преподаватель.

Понятия обратной функции, обратного числа вам знакомо.

Обратная матрица

Способы нахождения обратной матрицы. Рассмотрим квадратную матрицу

.

Обозначим: Δ = det A (определитель матрицы) или

Теорема . Для того, чтобы матрица А имела обратную матрицу, необходимо и достаточно, чтобы ее определитель был отличен от нуля.

откуда .

_{Ранг матрицы равен наибольшему порядку отличного от нуля минору}

Пример. Дана матрица А, найти ее ранг, используя метод окаймления миноров.

Решение. Минорами минимального порядка являются миноры первого порядка, которые равны элементам матрицы А.

Рассмотрим, например, минор М1 = 1 отличен от 0. Окаймляем его с помощью 2-ой строки и 2-го столбца, получаем:

Таких миноров два: комбинация 3-ей строки со вторым столбцом или с 4-ым столбцом. Вычисляем эти миноры:

Таким образом, все окаймляющие миноры 3-го порядка равны 0. Значит ранг матрицы А равен 2: rang A =2.

Работа в группах. Выполнить задания А и В.

Найти обратную матрицу к матрице

Таким образом, транспонированная матрица :

Ответ:

Назовем элементарными преобразованиями матрицы следующие:

1) Отбрасывание нулевой строки (столбца).

2) Умножение всех элементов строки (столбца) матрицы на

число у не равное нулю.

3) Изменение порядка строк (столбцов) матрицы.

4) Прибавление к каждому элементу одной строки (столбца)

соответствующих элементов другой строки (столбца), умноженных

5) Транспонирование матрицы.

Теорема. Ранг матрицы не изменяется при элементарных преобразованиях матрицы.

При изучении свойств определителей было показано, что

при преобразованиях квадратных матриц их определители либо

сохраняются, либо умножаются на число, не равное нулю. В

результате сохраняется наивысший порядок отличных от нуля

миноров исходной матрицы, т.е. ее ранг не изменяется. ■

С помощью элементарных преобразований можно привести

матрицу к так называемому ступенчатому виду, когда вычисление

ее ранга не представляет труда.

Матрица А называется ступенчатой, если она имеет вид:

, где (2)

Замечание. Условие r ≤ k всегда может быть достигнуто транспонированием матрицы.

порядка, не равный 0.

=

Найти ранг матрицы с помощью окаймления миноров низших порядков.

Ответы сверяют по группам и разбирают ошибки, если они присутствуют.

Индивидуально пример С.

Найти ранг матрицы , используя преобразования и приведя ее к треугольному виду.

НАПОМНИМ ИЗВЕСТНЫЙ С 1 КУРСА МАТЕРИАЛ.

Чтобы решить систему с помощью определителей, нужно составить расширенную матрицу:

— прямоугольная таблица, состоящая из коэффициентов при х и у и свободных членов (М), определитель состоит из коэф-ов при неизвестных; — определитель, 1-ый столбец которого заменяется столбцом из свободных членов,

— определитель, 2-ой столбец которого заменяется столбцом свободных членов.

Итак: и формула Крамера (правило Крамера)

Если , то система совместная и имеет единственное решение, она определенная.

Если а или не равны 0, то система несовместная, то есть не имеет решения.

Если , то система совместная и неопределенная, т.е. имеет множество решений (0/0-неопределённость)

Решите систему по формуле Крамера:

Составим расширенную матрицу:

У доски на решение каждого определителя вызывается отдельный студент. Т.е. отвечают четверо у доски по очереди.

2

=

16 +12 – 8 = 20 – верно

24 – 8 – 10 = 6 – верно

Решим эту же систему матричным способом

Матрица

Мы получили матричное уравнение вида: А∙Х = В и тогда

Решение по алгоритму:

Удобнее найти дополнения как есть А, затем устно транспонируем и сразу записываем обратную матрицу

Ответ: х1 = 8; х2 = 4; х3 = 2

Решить СЛУ по формуле Крамера. Определители вычислите понижением порядка. Проверка обязательна.

2. Решить СЛУ матричным способом:

Самостоятельно выполнить задания по вариантам.

Теперь рассмотрим действия над матрицами с позиции экономики и решим несколько задач.

1. В три магазина завозят два раза в месяц одинаковое количество диванов, кресел, тумбочек. В первый – по 10 диванов, 6 кресел, 8 тумбочек, во второй – по 5 диванов, 7 кресел, 10 тумбочек, в третий – по 2 дивана, 3 кресла и 5 тумбочек. Во всех магазинах устанавливали одинаковые цены и меняли их в связи с завозами. Найдите суммарные месячные выручки, если в магазинах все распродали, и матрица цен выглядит так:

P =(цены указаны в тыс.руб.).

Найдем матрицу поступлений товаров:

A =,

а теперь найдем суммарные выручки:

C == =.

ОТВЕТ: C =.

2. Поступление товаров на первый склад описывается матрицей

A ₁=,

а поступление товаров на второй склад описывается матрицей

A ₂=.

Найдите суммарный завоз товаров на склады; годовой завоз на склады, если по договору, производится ежемесячный завоз одинаковых партий товаров.

A ₁ +A ₂ = + = ,

12( A ₁+ A ₂)= 12=.

3. По заказу с завода в магазин доставили товары, поступление которых описывается матрицей

A 1 = ,

но данные товары не пользуются большим спросом. Найдите количество товаров, оставшихся на складе, если количество купленных товаров описывается матрицей

A 2 = .

Найдем разность этих двух матриц:

A 1- A 2=— = .

4. Пусть в магазин поступили три вида товаров: холодильники, телевизоры и стиральные машины, тогда вектор

означает, что поступило 10 холодильников, 12 телевизоров и 8 стиральных машин.

Если во второй завоз поступление этих товаров имело вид:

то мы можем найти суммарное поступление товаров:

Допустим теперь, что магазинов не один, а два, тогда завоз товаров можно описать матрицей, у которой две строки и три столбца. Первая строка относится к первому магазину, а вторая – ко второму.

Допустим, что во второй магазин завезли в первый раз 5 холодильников, 20 телевизоров и 14 стиральных машин. Тогда общий завоз товаров в два магазина первый раз можно описать матрицей

A ₁ =

Если во второй завоз поступление товаров в магазины описывается матрицей

A ₂=,

то мы можем найти суммарный завоз товаров в магазины:

A ₁+ A ₂ = + =

Если завоз товаров в магазины, который описывается матрицей A ₁, был произведен троекратно, то результирующий завоз будет описываться матрицей:

3 A ₁= 3 =

Описанные в примерах действия называются линейными операциями.

5. Некоторая фирма занимается реализацией четырех видов товаров в трех районах. Данные об уровне продаж товаров по районам образуют матрицу

A = ( a _ij ) =

C =

Если хотим найти суммарный объем продаж в первом районе, то мы должны вычислить следующее выражение:

Производя такое умножение на столбец C второй и третьей строк, получаем еще две величины, которые представляют собой суммарные продажи во втором и третьем районах. Эти две величины вместе с ранее найденной величиной образуют вектор суммарных продаж

P =

6. Пусть матрица уровня продаж имеет вид:

A =

(Объемы продаж даны в тысячах штук).

Пусть цены заданы с помощью матрицы:

C =

Тогда для нахождения вектора-столбца суммарных продаж мы произведем вычисления

C = ==

Предприятие производит продукцию 3-х видов и использует сырье 2-х типов.

Нормы затрат на единицу продукции каждого вида задается матрицей

А = Стоимость единицы сырья каждого типа задана матрицей

В = ( 10 15 ). Каковы общие затраты предприятия на производство 100 единиц продукции 1-го вида, 200 единиц продукции 2-го вида и 150 единиц продукции 3-го вида?

Задание: представить ситуацию и составить текст задачи. Решить ее матричным способом.

Использование элементов алгебры матриц является одним из основных методов решения многих экономических задач. Особенно этот вопрос стал актуальным при разработке и использовании баз данных: при работе с ними почти вся информация хранится и обрабатывается в матричной форме.

Рассмотрим типичные задачи, использующие понятие вектора и его свойства.

1. Предприятие выпускает ежесуточно четыре вида изделий, основные производственно-экономические показатели которых, приведены в табл. 16.1.

Требуется определить следующие ежесуточные показатели: расход сырья S, затраты рабочего времени Т и стоимость Р выпускаемой продукции предприятия.

Решение. По данным табл. 16.1 составим четыре вектора (строчная матрица), характеризующие весь производственный цикл:

= (20, 50, 30,40) — вектор ассортимента,

= (5, 2, 7, 4) — вектор расхода сырья,

= (10, 5, 15, 8) — вектор затраты рабочего времени,

= (30, 15, 45, 20) — ценовой вектор.

Тогда искомые величины будут представлять собой соответствующие скалярные произведения вектора ассортимента на три других вектора, т.е.

2. Предприятие выпускает 4 вида изделий с использованием 4-х видов сырья. Нормы расхода сырья даны как элементы матрицы А:

Требуется найти затраты сырья на каждый вид изделия при заданном плане их выпуска: соответственно 60, 50, 35 и 40 ед.

Решение. Составим вектор-план выпуска продукции

Тогда решение задачи дается вектором затрат, координаты которого и являются величинами затрат сырья по каждому его виду; этот вектор затрат вычисляется как произведение вектора на матрицу А:

3. Пусть затраты 4-х видов сырья на выпуск 4-х видов продукции характеризуются матрицей А, приведенной в предыдущей задаче. Требуется найти: а) общие затраты на сырье для каждого вида продукции и его перевозку; б) общие затраты на сырье и его транспортировку при условии заданного вектора-плана предыдущей задачи, если известны себестоимости каждого вида сырья и его доставки (соответственно 4, 6, 5, 8 и 2, 1, 3, 2 ден. ед.).

Решение. Составим матрицу себестоимостей сырья и его доставки (соответственно 1-я и 2-я строки):

Тогда ответ на первый вопрос задачи дается в виде произведения матрицы А на транспонированную матрицу CT:

Суммарные затраты на сырье и его доставку (в денежных единицах) при векторе-плане выпуска продукции = (60, 50, 35, 40) определяются произведением вектора на матрицу АСT:

4. В табл. 16.2 приведены данные о дневной производительности 5 предприятий, выпускающих 4 вида продукции с потреблением 3-х видов сырья, а также продолжительность работы каждого предприятия в году и цена каждого вида сырья.

1) годовую производительность каждого предприятия по каждому виду изделий;

2) годовую потребность каждого предприятия по каждому виду сырья;

3) годовую сумму кредитования каждого предприятия для закупки сырья, необходимого для выпуска продукции указанных видов и количеств.

Решение. Нужно составить матрицы, характеризующие весь интересующий нас экономический спектр производства, а затем при помощи соответствующих операций над ними получить решение данной задачи. Прежде всего приведем матрицу производительности предприятий по всем видам продукции:

Каждый столбец этой матрицы соответствует дневной производительности отдельного предприятия по каждому виду продукции. Следовательно, годовая производительность j-го предприятия по каждому виду продукции получается умножением j-гo столбца матрицы А на количество рабочих дней в году для этого предприятия (j = 1, 2, 3, 4, 5). Таким образом, годовая производительность каждого предприятия по каждому из изделий описывается матрицей

Матрица затрат сырья на единицу изделия (эти показатели по условию одинаковы для всех предприятий) имеет вид

Дневной расход по типам сырья на предприятиях описывается произведением матрицы В на матрицу А:

где i-я строка соответствует номеру типа сырья, а j-й столбец — номеру предприятия согласно табл. 16.2 (i = 1, 2, 3; j = 1, 2, 3, 4, 5). Ответ на второй вопрос задачи получим по аналогии с матрицей Агод умножением столбцов матрицы ВА на соответствующие количества рабочих дней в году для предприятий — это годовая потребность каждого предприятия в каждом виде сырья:

Введем вектор стоимости сырья

Тогда стоимость общего годового запаса сырья для каждого предприятия получается умножением вектора на матрицу ВA год :

Следовательно, суммы кредитования предприятий для закупки сырья определяются соответствующими компонентами вектора .

5. Отрасль состоит из n предприятий, выпускающих по одному виду продукции каждое; обозначим объем продукции i-го предприятия через xi. Каждое из предприятий отрасли для обеспечения своего производства потребляет часть продукции, выпускаемой им самим и другими предприятиями. Например, в отрасли электротехнического оборудования часть продукции предприятий, выпускающих электродвигатели, силовые кабели, электрокары и т.д., употребляется практически всей отраслью. Пусть aij — доля продукции i-го предприятия, потребляемая j-м предприятием для обеспечения выпуска своей продукции объема xj. Возникает естественный вопрос о величине yi — количестве продукции i-го предприятия, предназначенной для реализации вне данной отрасли (объем конечного продукта). Эта величина легко может быть подсчитана по формуле

Введем в рассмотрение матрицу порядка n, описывающую внутреннее потребление отрасли:

Тогда вектор конечного продукта является решением матричного уравнения

или с использованием единичной матрицы Е получаем

Рассмотрим конкретный пример при n = 3. Пусть вектор выпуска продукции отрасли и матрица внутреннего потребления имеют соответственно вид

Используя формулу (16.1) и правило сложения матриц, получаем вектор объемов конечного продукта, предназначенного для реализации вне отрасли, состоящей из 3-х предприятий:

Использование систем линейных уравнений

Рассмотрим задачи, приводящие к составлению и решению систем линейных алгебраических уравнений.

6. Прогноз выпуска продукции по запасам сырья. Предприятие выпускает три вида продукции, используя сырье трех типов. Необходимые характеристики производства указаны в табл. 16.3. Требуется определить объем выпуска продукции каждого вида при заданных запасах сырья. Задачи такого рода типичны для прогнозов и оценок функционирования предприятий, экспертных оценок проектов освоения месторождений полезных ископаемых, а также для планирования микроэкономики предприятий.

Решение. Обозначим неизвестные объемы выпуска продукции через x1, x2 и x3. Тогда при условии полного расхода запасов для каждого вида сырья можно записать балансовые соотношения, которые образуют систему трех уравнений с тремя неизвестными:

Решая эту систему уравнений любым способом, находим, что при заданных запасах сырья объемы выпуска продукции составят по каждому виду соответственно (в условных единицах)

Источник