Для чего нужны моменты инерции

Основные понятия и суть

Инерция — это способность тела сохранять приданную ей скорость движения при отсутствии какого-либо внешнего воздействия. Например, во время езды на общественном транспорте всем приходится держаться за поручни. Если этого не сделать, то при изменении скорости движения транспортного средства существует большая вероятность упасть вперёд или назад. Другими словами, возникает какая-то сила, влияющая на пассажира. Когда её действие заканчивается, движение человека всё равно продолжается.

Это свойство и описывается понятием инертность. Раньше изучали это явление известные учёные Галилей, Ньютон, Мах. В соответствии с их исследованиями было установлено классическое правило момента вращения, физический смысл которого заключается в распределении массы в теле, определяемой суммой произведения простейшей массы на расстояние до начального множества в квадрате. Классическая формула, описывающая характеристику, выглядит следующим образом: Ja = Σmi*r 2 j. В ней:

То есть момент — это скалярная величина, являющаяся мерой инертности. В качестве единицы измерения по международной системе принято использовать произведение килограмма на квадратный метр (кг*м²). Обозначают параметр латинской буквой I или J. При умножении момента инерции на угловое ускорение можно определить сумму моментов всех сил, приложенных к телу: M = I * E. Фактически это уравнение является аналогом второго закона Ньютона.

М — это момент силы, оказывающий вращательное движение и воздействующий на ускорение тела, а E — угловое ускорение. Мера инертности тела отличается от массы тем, что вторая проявляется, когда его необходимо разогнать, а первая — при его раскручивании.

Вычисление параметра

Любое тело можно описать совокупностью материальных точек. Для понятия процесса лучше всего рассмотреть простой пример. Пусть имеется невесомый цилиндр, способный вращаться по радиусу Rc. На него намотана верёвка, к которой приложена сила F. На цилиндр будут насаживаться тела с различной формой. Если известны его радиус и сила, с которой происходит раскручивание, то справедливо будет записать следующее выражение: M = F*Rc.

Допустим, на цилиндр помещены два тела. Одно имеет массу m1 и радиус вращения r1, а другое — m2 и r2. Используя основное уравнение динамики вращательного движения для первого тела с угловым ускорением ƹ1, момент силы можно определить как M1 = I1 * ƹ1. Соответственно, для второго предмета сила будет определяться по формуле: M1 = I2 * ƹ2.

Если эти два тела жёстко скрепить между собой, то они буду представлять собой составные части одного предмета, поэтому их угловые ускорения станут одинаковы (ƹ1 + ƹ2 = ƹ), а требующийся момент M станет равный сумме M1 + M2. Подставив значения, получим равенство M = I1*ƹ + I2*ƹ. Выражение можно упростить до вида M = ƹ (I1+I2). То есть нужный момент для тела, состоящего из совокупности точек, будет равен произведению суммы моментов инерции на угловое ускорение обоих тел.

Из сказанного можно сделать вывод, что момент инерции всего тела равен сумме моментов составных частей. Другим словами, он обладает свойством аддитивности. Используя это, можно составить алгоритм расчёта для любой формы.

Методика решения

Существует универсальный алгоритм, подходящий для расчёта параметра прямоугольника, треугольника, круга или другой фигуры произвольной формы. Допустим, есть сложное тело с заданной осью вращения. Необходимо найти момент его вращения. Для того чтобы решить поставленную задачу, используются два принципа:

Эта формула является приближённой, так как точность зависит от массы частей и размера. Если кусочки, на которые разбивается тело, большие, считать их материальными точками нельзя. Чем мельче части, тем точнее будет результат. В соответствии с математическим анализом такие задачи решаются с помощью интегрирования. Понимая физический смысл момента инерции, можно отметить следующие зависимости:

Роль последнего пункта огромна. Например, если рассмотреть два момента вращения велосипедной спицы диаметром 2 мм и длиной 30 сантиметров, то можно увидеть зависимость от выбранной оси поворота.

Относительно вертикальной оси вращение обозначим I1, горизонтальной — I2. Подставив в формулы выражения, используемые для расчётов, можно получить отношение I1/I2 = (m*l2/12) / ((m*d2/8). После его упрощения будет верна запись I1/ I2 = (2/3)*(l/d)2. В итоге получится ответ 15000. Получается, если спицу будут закручивать с одинаковым моментом вокруг вертикальной оси и горизонтальной, то в первом случае она станет крутиться в 15 тыс. раз быстрее.

Моменты простейших объектов

Проведение интегрирования — довольно трудная операция, предполагающая хорошее знание высшей математики. Существует таблица, в которой собраны вычисления инерции для простейших геометрических фигур. При взятии сведений из неё важно обращать внимание на то, относительно какой оси приводится момент вращения объекта. Характеристика инерции для наиболее используемых объектов в физике имеет следующий вид:

При использовании этих формул необходимо учитывать, что единицей измерения момента инерции является кг* м², поэтому при расчёте величины следует приводить значения к этим единицам.

Теорема Гюйгенса — Штейнера

Теорема была названа в честь двух математиков, давших формулировку определению характеристики параллельных осей. Например, пусть имеется объект произвольной формы, центробежная сила которого известна. Используя формулу Штейнера, можно вычислить момент тела относительно любой оси параллельной линии, проходящей через середину фигуры. В своём выводе учёные опирались на две формулы:

Обозначив центр произвольной оси буквой O, а один из множества кусков — Δm, можно воспользоваться универсальной формулой. Сначала необходимо определить квадрат расстояния до оси вращения ri. Для этого через центр проведём ось Oц, а расстояние между O и Oц обозначим как d.

Указанные значения нужно выразить через координаты кусочка. Для этого строится ось абсциссы, проходящая через Oц, и ординаты — O. При таком выборе направления начала координат x центр масс равняется d, а у — нулю. Фактически получится прямоугольный треугольник. Воспользовавшись теоремой Пифагора, можно записать: I = Σ Δ mi* (xi2 + yi2).

В результате можно отметить, что момент в точке O будет прямо пропорционален расстоянию между Δ m и центром. Это и есть главный вектор на чертеже. Для его обозначения вводится длина r’.

Другими словами, теорема определяет, что характеристика инерции тела относительно любой оси находится как сумма моментов относительно параллельной оси, пересекающей центр масс, и произведению массы тела на квадрат расстояния между осями. Сопротивлением вращению пренебрегают.

Пример задачи

Допустим, есть монета с массой m и радиусом r. Вращение происходит вокруг оси, распложенной по касательной. Необходимо найти момент вращения.

Момент вращения относительно диска определяется с помощью выражения I1 = m* d 2 / 2. Для решения задачи она будет выглядеть Io = m* d 2 / 4. Подставив все данные, получим: I = (1m*d2 / 4) + (md)2 = 5*m*d2 /4.

Источник

Момент инерции в физике

Содержание:

Что такое инерция?

Инерция в физике – способность тел определенное время сохранять состояние движения при отсутствии действия внешних сил. Впрочем, понятие инерции имеет частое применение не только в физике, но и в нашей повседневной жизни. Так обычно «инертным» называют человека, который совершенно не проявляет никакой инициативы, делают только то, что ему скажут другие, и делает это крайне медленно, без какого-либо энтузиазма. «Движется по инерции», – говорим мы, когда хотим подчеркнуть, что что-то делается без какого-либо смысла, а просто потому, что так было заведено когда-то или в силу наработанной годами привычки. И если с понятием инерции все более-менее понятно, благодаря таким вот житейским примерам, то термин «момент инерции» требует более детального пояснения, чем мы и займемся в нашей статье.

Определение момента инерции

Со школьной программы по физике мы прекрасно знаем, что масса тела является мерой его инертности. Например, если в супермаркете сильно толкнуть две тележки, одна из которых будет пустой, а вторая нагруженной разными товарами, то впоследствии остановить будет труднее тележку, нагруженную товарами в силу ее большей массы. Другими словами, чем больше у тела масса, тем большее на него воздействие инерции и тем больше нужно сил, чтобы изменить движение такого тяжелого тела.

В приведенном примере тележка движется по прямой линии, то есть иными словами совершает поступательное движение. И если при поступательном движении какого-либо теле его масса является мерой его инерции, то при вращательном движении тела вокруг своей оси мерой его инерции будет величина, которая собственно и называется – момент инерции.

Момент инерции – скалярная физическая величина, мера инертности тела при его вращении вокруг оси. Обычно обозначается буквой J и измеряется в килограммах, умноженных на квадратный метр. Такое академическое определение того, что такое момент инерции.

Формула

Как рассчитать точное значение момента инерции? Для этого есть общая формула, помогающая физикам определять момент инерции любого тела. Если тело разбить на бесконечно маленькие кусочки с массой dm, то момент инерции будет равным сумме произведения этих элементарных масс на квадрат расстояния до оси вращения. Формула будет иметь такой вид:

J – момент инерции, r – расстояние до оси вращения.

Для материальной точки массы m, которая вращается вокруг оси на расстоянии r, данная формула будет иметь такой вид:

Теорема Гюйгенса – Штейнера

Говоря о моменте инерции невозможно не упомянуть о теореме двух математиков Гюйгенсе и Штейнере, которые дали формулировку определению характеристики параллельных осей.

Теорема Гюйгенса – Штейнера гласит: момент инерции тела относительно произвольной оси равен сумме момента инерции тела относительно оси, проходящей через центр масс параллельно произвольной оси и произведения массы тела на квадрат расстояния между осями.

Если записать вышесказанное математической формулой, то получится следующее:

Где d – расстояние между осями

Эта теорема значительно облегчает решения многих физических задач, связанных с инерцией. К примеру, у Вас имеется объект произвольной формы, центробежная сила которого известна. При помощи формулы Штейнера можно вычислить момент инерции тела относительно любой оси параллельной линии, которая проходит через середину фигуры.

Моменты инерции простейших объектов

Несмотря на внешнюю простоту, вычисление моментов инерции для разных предметов предполагает знание интегралов, этих важных инструментов высшей математики. Для упрощения задачи создана таблица с вычислениями инерции для простых геометрических фигур: круга, квадрата, цилиндра и т. д.

Так выглядят математические расчеты вычисления моментов инерции для круга и кольца.

Аналогичным образом будет рассчитываться момент инерции цилиндра.

Предлагаем вашему вниманию более детальную таблицу с формулами для расчета момента инерции для основных геометрических фигур: шара, сферы, диска, цилиндров, и т. д.

Рекомендованная литература и полезные ссылки

Видео

И в завершение образовательное видео по теме нашей статьи.

Эта статья доступна на английском языке – Moment of Inertia.

Источник

Момент инерции для чайников: определение, формулы, примеры решения задач

Часто мы слышим выражения: «он инертный», «двигаться по инерции», «момент инерции». В переносном значении слово «инерция» может трактоваться как отсутствие инициативы и действий. Нас же интересует прямое значение.

Ежедневная рассылка с полезной информацией для студентов всех направлений – на нашем телеграм-канале.

Что такое инерция

Согласно определению инерция в физике – это способность тел сохранять состояние покоя или движения в отсутствие действия внешних сил.

Если с самим понятием инерции все понятно на интуитивном уровне, то момент инерции – отдельный вопрос. Согласитесь, сложно представить в уме, что это такое. В этой статье Вы научитесь решать базовые задачи на тему «Момент инерции».

Определение момента инерции

Из школьного курса известно, что масса – мера инертности тела. Если мы толкнем две тележки разной массы, то остановить сложнее будет ту, которая тяжелее. То есть чем больше масса, тем большее внешнее воздействие необходимо, чтобы изменить движение тела. Рассмотренное относится к поступательному движению, когда тележка из примера движется по прямой.

По аналогии с массой и поступательным движением момент инерции – это мера инертности тела при вращательном движении вокруг оси.

Момент инерции – скалярная физическая величина, мера инертности тела при вращении вокруг оси. Обозначается буквой J и в системе СИ измеряется в килограммах, умноженных на квадратный метр.

Как посчитать момент инерции? Есть общая формула, по которой в физике вычисляется момент инерции любого тела. Если тело разбить на бесконечно малые кусочки массой dm, то момент инерции будет равен сумме произведений этих элементарных масс на квадрат расстояния до оси вращения.

Это общая формула для момента инерции в физике. Для материальной точки массы m, вращающейся вокруг оси на расстоянии r от нее, данная формула принимает вид:

Теорема Штейнера

От чего зависит момент инерции? От массы, положения оси вращения, формы и размеров тела.

Теорема Гюйгенса-Штейнера – очень важная теорема, которую часто используют при решении задач.

Кстати! Для наших читателей сейчас действует скидка 10% на любой вид работы

Теорема Гюйгенса-Штейнера гласит:

Момент инерции тела относительно произвольной оси равняется сумме момента инерции тела относительно оси, проходящей через центр масс параллельно произвольной оси и произведения массы тела на квадрат расстояния между осями.

Для тех, кто не хочет постоянно интегрировать при решении задач на нахождение момента инерции, приведем рисунок с указанием моментов инерции некоторых однородных тел, которые часто встречаются в задачах:

Пример решения задачи на нахождение момента инерции

Рассмотрим два примера. Первая задача – на нахождение момента инерции. Вторая задача – на использование теоремы Гюйгенса-Штейнера.

Задача 1. Найти момент инерции однородного диска массы m и радиуса R. Ось вращения проходит через центр диска.

Разобьем диск на бесконечно тонкие кольца, радиус которых меняется от 0 до R и рассмотрим одно такое кольцо. Пусть его радиус – r, а масса – dm. Тогда момент инерции кольца:

Массу кольца можно представить в виде:

Здесь dz – высота кольца. Подставим массу в формулу для момента инерции и проинтегрируем:

В итоге получилась формула для момента инерции абсолютного тонкого диска или цилиндра.

Задача 2. Пусть опять есть диск массы m и радиуса R. Теперь нужно найти момент инерции диска относительно оси, проходящей через середину одного из его радиусов.

Момент инерции диска относительно оси, проходящей через центр масс, известен из предыдущей задачи. Применим теорему Штейнера и найдем:

Кстати, в нашем блоге Вы можете найти и другие полезные материалы по физике и решению задач.

Надеемся, что Вы найдете в статье что-то полезное для себя. Если в процессе расчета тензора инерции возникают трудности, не забывайте о студенческом сервисе. Наши специалисты проконсультируют по любому вопросу и помогут решить задачу в считанные минуты.

Источник

Лекция 5. Моменты инерции поперечного сечения

Иногда при расчете строительных конструкций необходимо знать значение момента инерции поперечного сечения. При этом само понятие момент инерции знает любой инженер, а вот откуда взялось это понятие, и какой его физический смысл, могут объяснить не многие. Как правило в любом справочнике или учебнике по сопротивлению материалов дается приблизительно следующее определение для момента инерции:

I = ∑r_i 2 dF i =∫r 2 dF (1.1)

В принципе и определение и формула, его описывающая, не сложные и запомнить их намного легче, чем вникнуть в суть. Но все-таки попробуем разобраться, что же такое момент инерции и откуда он взялся.

Понятие момент инерции пришло в сопромат и строительную механику из другого раздела физики, изучающего кинематику движения, в частности вращательное движение. Но все равно начнем издалека.

Я точно не знаю, упало ли Исааку Ньютону на голову яблоко, упало оно рядом, или вообще не падало, теория вероятности допускает все эти варианты (к тому же в этом яблоке слишком много от библейской легенды о древе познания), однако я уверен, что Ньютон был наблюдательным человеком, способным делать выводы из своих наблюдений. Так наблюдательность и воображение позволили Ньютону сформулировать основной закон динамики (второй закон Ньютона), согласно которому масса тела m, умноженная на ускорение a, равна действующей силе Q (вообще-то более привычным для силы является обозначение F, но так как дальше мы будем иметь дело с площадью, которая также часто обозначается как F, то я использую для внешней силы, рассматриваемой в теоретической механике как сосредоточенная нагрузка, обозначение Q, сути дела это не меняет):

Q = ma (1.2)

По мне величие Ньютона именно в простоте и понятности данного определения. А еще, если учесть, что при равноускоренном движении ускорение а равно отношению приращения скорости ΔV к периоду времени Δt, за который скорость изменилась:

при V_о = 0 a = v/t (1.3.2)

то можно определить основные параметры движения, такие как расстояние, скорость, время и даже импульс р, характеризующий количество движения:

p = mv (1.4)

Например, яблоко, падающее с разной высоты под действием только силы тяжести, будет падать до земли разное время, иметь разную скорость в момент приземления и соответственно разный импульс. Другими словами, яблоко, падающее с бóльшей высоты, будет дольше лететь и сильнее треснет по лбу незадачливого наблюдателя. И все это Ньютон свел к простой и понятной формуле.

А еще Ньютон сформулировал закон инерции (первый закон Ньютона): если ускорение а = 0, то в инерциальной системе отсчета невозможно определить, находится ли наблюдаемое тело, на которое не действуют внешние силы, в состоянии покоя или движется прямолинейно с постоянной скоростью. Это свойство материальных тел сохранять свою скорость, пусть даже и нулевую, называется инертностью. Мерой инертности является инерционная масса тела. Иногда инерционная масса называется инертной, но сути дела это не меняет. Считается, что инерционная масса равна гравитационной массе и потому часто не уточняется, какая именно масса имеется в виду, а упоминается просто масса тела.

Не менее важным и значимым является и третий закон Ньютона, согласно которому сила действия равна силе противодействия, если силы направлены по одной прямой, но при этом в противоположные стороны. Не смотря, на кажущуюся простоту, и этот вывод Ньютона гениален и значение этого закона трудно переоценить. Об одном из применений этого закона чуть ниже.

Однако данные положения справедливы только для тел, движущихся поступательно, т.е. по прямолинейной траектории и при этом все материальные точки таких тел двигаются с одинаковой скоростью или одинаковым ускорением. При криволинейном движении и в частности при вращательном движении, например, когда тело вращается вокруг своей оси симметрии, материальные точки такого тела перемещаются в пространстве с одинаковой угловой скоростью w, но при этом линейная скорость v у различных точек будет разная и эта линейная скорость прямо пропорциональна расстоянию r от оси вращения до этой точки:

v = wr (1.5)

при этом угловая скорость равна отношению приращения угла поворота Δφ к периоду времени Δt, за который угол поворота изменился:

при φ_о = 0 w = φ/t (1.7.2)

соответственно нормальное ускорение а_n при вращательном движении равно:

a_n = v 2 /r = w 2 r (1.8)

И получается, что для вращательного движения мы не можем прямо использовать формулу (1.2), так как при вращательном движении одного только значения массы тела недостаточно, требуется еще знать распределение этой массы в теле. Получается, что чем ближе материальные точки тела к оси вращения, тем меньшую силу требуется приложить, чтобы заставить тело вращаться и наоборот, чем дальше материальные точки тела от оси вращения, тем большую силу нужно приложить, чтобы заставить тело вращаться (в данном случае речь идет о приложении силы в одной и той же точке). К тому же при вращении тела более удобно рассматривать не действующую силу, а вращающий момент, так как при вращательном движении точка приложения силы также имеет большое значение.

Поразительные свойства момента нам известны со времен Архимеда и если применить понятие момента к вращательному движению, то значение момента М будет тем больше, чем больше расстояние r от оси вращения до точки приложения силы F (в строительной механике внешняя сила часто обозначается как Р или Q):

М = Qr (1.9)

Из этой также не очень сложной формулы выходит, что если сила будет приложена по оси вращения, то никакого вращения не будет, так как r = 0, а если сила будет приложена на максимальном удалении от оси вращения, то и значение момента будет максимальным. А если мы подставим в формулу (1.9) значение силы из формулы (1.2) и значение нормального ускорения и формулы (1.8), то получим следующее уравнение:

М = mw 2 r·r = mw 2 r 2 (1.10)

В частном случае когда тело является материальной точкой, имеющей размеры намного меньше, чем расстояние от этой точки до оси вращения, уравнение (1.10) применимо в чистом виде. Однако для тела, вращающегося вокруг одной из своих осей симметрии, расстояние от каждой материальной точки составляющей данное тело, всегда меньше одного из геометрических размеров тела и потому распределение массы тела имеет большое значение, в этом случае требуется учесть эти расстояния отдельно для каждой точки:

M = ∑r i 2 w 2 m_i (1.11.1)

И тогда получается, что согласно третьему закону Ньютона в ответ на действие вращающего момента будет возникать так называемый момент инерции I. При этом значения вращающего момента и момента инерции будут равны, а сами моменты направлены в противоположные стороны. При постоянной угловой скорости вращения, например w = 1, основными величинами, характеризующими вращающий момент или момент инерции будут масса материальных точек, составляющих тело, и расстояния от этих точек до оси вращения. В итоге формула момента инерции примет следующий вид:

I_c = ∫ρr 2 dV (1.13)

Таким образом момент инерции является мерой инертности тела при вращательном движении, подобно тому как масса является мерой инертности тела при поступательном прямолинейном движении.

Все круг замкнулся. И тут может возникнуть вопрос, какое отношение все эти законы динамики и кинематики имеют к расчету статических строительных конструкций? Оказывается, что ни на есть самое прямое и непосредственное. Во-первых потому, что все эти формулы выводились физиками и математиками в те далекие времена, когда таких дисциплин, как «Теоретическая механика» или «Теория сопротивления материалов» попросту не существовало. А во-вторых потому, что весь расчет строительных конструкций и построен на основе указанных законов и формулировок и пока ни кем не опровергнутом утвержении о равенстве гравитационной и инертой масс. Вот только в теории сопротивления материалов все еще проще, как ни парадоксально это звучит.

I_р = ∫r 2 dF (2.1) → (1.1)

Так как в теории сопротивления материалов часто рассматриваются прямоугольные сечения, да и прямоугольная система координат более удобна, то при решении задач обычно рассматриваются два осевых момента инерции поперечного сечения:

I_z = ∫y 2 dF (2.2.1)

I_y = ∫z 2 dF (2.2.2)

Рисунок 1. Значения координат при определении осевых моментов инерции.

В то же время теория сопротивления материалов рассматривает именно поперечное сечение, для которого важны ширина и высота, а длина не учитывается. Само собой при решении задач теории сопротивления материалов, также порой достаточно сложных используются все те же привычные оси х и у. Мне такое положение дел кажется не совсем правильным, так как не смотря на разницу, это все же смежные задачи и потому будет более целесообразным использование единых осей для рассчитываемой конструкции.

Значение полярного момента инерции в прямоугольной системе координат будет:

I_р = ∫r 2 dF = ∫y 2 dF + ∫z 2 dF (2.3)

I_xz = ∫xzdF (2.4)

Среди осей прямоугольной системы координат, проходящих через центр тяжести поперечного сечения, есть две взаимно-перпендикулярные оси, относительно которых осевые моменты инерции принимают максимальное и минимальное значение, при этом центробежный момент инерции сечения I_zy = 0. Такие оси называют главными центральными осями поперечного сечения, а моменты инерции относительно таких осей – главными центральными моментами инерции

Когда в теории сопротивления материалов речь заходит о моментах инерции, то как правило в виду имеются именно главные центральные моменты инерции поперечного сечения. Для квадратных, прямоугольных, круглых сечений главные оси будут совпадать с осями симметрии. Моменты инерции поперечного сечения также называют геометрическими моментами инерции или моментами инерции площади, но суть от этого не изменяется.

I = I_c + r 2 F (2.5)

и тогда полярный статический момент поперечного сечения будет:

S_р = ∫rdF (2.7)

Как видим, определение статического момента сходно с определением момента инерции. Но есть и принципиальная разница. Статический момент потому и называется статическим, что для тела, на которое действует сила тяжести, статический момент равен нулю относительно центра тяжести. Другими словами такое тело находится в состоянии равновесия, если опора приложена к центру тяжести тела. А согласно первому закону Ньютона такое тело или находится в состоянии покоя или движется с постоянной скоростью, т.е. ускорение = 0. А еще с чисто математической точки зрения статический момент может быть равен нулю по той простой причине, что при определении статического момента необходимо учитывать направление действия момента.

S_z = ∫ydF = 0 (2.8)

А еще этот великий ноль позволяет определять опорные реакции строительных конструкций. Если рассматривать строительную конструкцию, к которой приложена например сосредоточенная нагрузка Q в некоторой точке, то такую строительную конструкцию можно рассматривать, как тело с центром тяжести в точке приложения силы, а опорные реакции в этом случае рассматриваются, как силы приложенные в точках опор. Таким образом зная значение сосредоточенной нагрузки Q и расстояния от точки приложения нагрузки до опор строительной конструкции, можно определить опорные реакции.

Например для шарнирно опертой балки на двух опорах значение опорных реакций будет пропорционально расстоянию до точки приложения силы, а сумма реакций опор будет равна приложенной нагрузке. Но как правило при определении опорных реакций поступают еще проще: за центр тяжести принимается одна из опор и тогда сумма моментов от приложенной нагрузки и от остальных опорных реакций все равно равна нулю. В этом случае момент от опорной реакции относительно которой составляется уравнение моментов, равен нулю, так как плечо действия силы = 0, а значит в сумме моментов остаются только две силы: приложенная нагрузка и неизвестная опорная реакция (для статически определимых конструкций).

Таким образом принципиальная разница между статическим моментом и моментом инерции в том, что статический момент характеризует сечение, которое сила тяжести как бы пытается сломать пополам относительно центра тяжести или оси симметрии, а момент инерции характеризует тело, все материальные точки которого перемещаются (или пытаются переместиться в одном направлении). Возможно, более наглядно представить себе эту разницу помогут следующие достаточно условные расчетные схемы для прямоугольного сечения:

Рисунок 2. Наглядная разница между статическим моментом и моментом инерции.

А теперь вернемся еще раз к кинематике движения. Если проводить аналогии между напряжениями, возникающими в поперечных сечениях строительных конструкций, и различными видами движения, то в центрально растягиваемых и центрально сжатых элементах возникают напряжения равномерные по всей площади сечения. Эти напряжения можно сравнить с действием некоторой силы на тело, при котором тело будет двигаться прямолинейно и поступательно. А самое интересное, это то, что поперечные сечения центрально-растянутых или центрально сжатых элементов действительно движутся, так как действующие напряжения вызывают деформации. И величину таких деформаций можно определить для любого поперечного сечения конструкции. Для этого достаточно знать значение действующих напряжений, длину элемента, площадь сечения и модуль упругости материала, из которого изготовлена конструкция.

А еще момент инерции позволяет определить момент сопротивления сечения. Для этого момент инерции нужно просто разделить на расстояние от центра тяжести сечения до наиболее удаленной точки сечения, для прямоугольного сечения на h/2. А так как исследуемые сечения не всегда симметричны, то значение момента сопротивления может быть разным для разных частей сечения.

А началось все с банального яблока. хотя нет, начиналось все со слова.

Доступ к полной версии этой статьи и всех остальных статей на данном сайте стоит всего 30 рублей. После успешного завершения перевода откроется страница с благодарностью, адресом электронной почты и продолжением статьи. Если вы хотите задать вопрос по расчету конструкций, пожалуйста, воспользуйтесь этим адресом. Зараннее большое спасибо.)). Если страница не открылась, то скорее всего вы осуществили перевод с другого Яндекс-кошелька, но в любом случае волноваться не надо. Главное, при оформлении перевода точно указать свой e-mail и я обязательно с вами свяжусь. К тому же вы всегда можете добавить свой комментарий. Больше подробностей в статье «Записаться на прием к доктору»

Для терминалов номер Яндекс Кошелька 410012390761783

Номер карты Ymoney 4048 4150 0452 9638 SERGEI GUTOV

Классная статья, всё понятно, с рисунками, красота!

В данной статье сказано: Получается, что чем ближе материальные точки тела к оси вращения, тем меньшую силу требуется приложить, чтобы заставить тело вращаться и наоборот, чем дальше материальные точки тела от оси вращения, тем большую силу нужно приложить, чтобы заставить тело вращаться.
Не наоборот ли? Ведь расстояние от оси является плечом. Чем больше плечо, тем меньше силы нужно приложить для того, чтобы заставит тело вращаться. Или я вновь неправильно всё понял. Упс:(

Возможно я недостаточно ясно выразился, поэтому внес в статью соответствующую поправку. В данном случае речь идет о силе, приложенной в одной и той же точке. Например в первом случае, когда материальная точка расположена близко к центру вращения, то необходимая для вращения сила, приложенная на таком же расстоянии, будет одной. Во втором случае плечо приложения силы не изменится, а вот материальная точка будет от центра вращения значительно дальше, поэтому и сила для ее вращения потребуется больше, хотя при этом масса материальных точек в обоих случаях остается одинаковой.
Надеюсь, теперь понятно объяснил.

То самое объяснение которое так долго я искал. Лучшее на мой взгляд. Спасибо, стало все гораздо яснее!

Рад был помочь, пусть и виртуально.

Здравствуйте!
Вы пишите «соответственно нормальное ускорение аn при вращательном движении равно». На основании чего это соответственно? Для наблюдателя никакого соответствия не видно. Просто в воздухе возникла формула.

Дмитрий, искренне рад, что статья вам понравилась.

Уважаемый Доктор, а Вы не думали выпустить свои труды в печатном виде?

Не думаю, что это будет иметь успех. К тому же труд еще не завершен, многие аспекты теории сопротивления материалов еще не нашли отражения в моих статьях (и теперь вряд ли найдут, так как сил и желания на продолжение работы у меня уже нет).

Да я вроде целую статью посвятил объяснению осевых моментов инерции и добавить мне тут особенно нечего. Пожалуйста, перечитайте данную статью более внимательно и физический смысл вам откроется. Если нет, то обращайтесь.

Подскажите, где я ошибаюсь?

Примечание: Возможно ваш вопрос, особенно если он касается расчета конструкций, так и не появится в общем списке или останется без ответа, даже если вы задатите его 20 раз подряд. Почему, достаточно подробно объясняется в статье «Записаться на прием к доктору» (ссылка в шапке сайта).

Источник